排列組合解題策略

1、排列組合題型總結排列組合問題千變萬化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應用題時，除 做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復遺漏外，還應注意積累排列組合問題得以快速準確求解。一. 直接法1. 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字組成無重復的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1）數(shù)字1不排在個位和千位（2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。2 2 2 2分析：（1）個位和千位有5個數(shù)字可供選擇 A5，其余2位有四個可供選擇 A，由乘法原理：A5 A4 =2402 特殊位置法（2） 當1在千位時余下三位有 尼=60，1不在千位時，千位有

2、a4種選法，個位有 A：種，余下的有 A2，共有A：A4A：=192 所以總共有 192+60=252二. 間接法當直接法求解類別比較大時，應采用間接法。如上例中（2）可用間接法 a4 2AfA2 =252例2有五張卡片，它的正反面分別寫0與1， 2與3，4與5，6與7， 8與9，將它們任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三維書？分析：此例正面求解需考慮 0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1,類別較復雜，因而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C； 23 A個，其中o在百位的有C： 22 A個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù) C； 23 A；-C

3、： 22 Af =432 （個）三. 插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例3 在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目 且保持原節(jié)引順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有a9 AJo=1OO中插入方法。四. 捆綁法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。例44名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有A：種排法，而男生之間又有兀種排法，又乘法原理滿足44條件的排法有：A4 X A4 =576練習1四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使

4、每個盒子不空，則不同的放法有種（cJa|）2 .某市植物園要在30天內接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內不同的安排方法有（C, A；）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天1種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有C29其余的就是19所學校選28天進行排列）五. 閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5某校準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共 _ 種。分析：此例的實質是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在 12個名額種的11個空當

5、中插入7塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有C；種練習1.（a+b+c+d） 15有多少項？1 1 0當項中只有一個字母時，有C4種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故C4 C14。2 1 2 1當項中有2個字母時，有C4而指數(shù)和為15,即將15分配給2個字母時，如何分，閘板法一分為 2，C14即C4 C14當項中有3個字母時c3指數(shù)15分給3個字母分三組即可c：c!4當項種4個字母都在時C： Cu四者都相加即可.練習2 有20個不加區(qū)別的小球放入編號為 1, 2，3的三個盒子里，要求每個盒子內的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不2同的方法？ （ C16）3不定方程X+X2+X+%0=100中

6、不同的整數(shù)解有（C949）六. 平均分堆問題例6 6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？分析：分出三堆書（a ,a2）,（a3,a 4），（日5,日6）由順序不同可以有A3=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種練習：1 6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2 某年級6個班的數(shù)學課，分配給甲乙丙三名數(shù)學教師任教，每人教兩個班，則分派方法的種數(shù)。七. 合并單元格解決染色問題例7 （全國卷（文、理）如圖1，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不 有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域

7、可能是 2、3、4、5.下面分情況討論：（i ）當2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當于得使用同一顏色，現(xiàn)4個元素 的全排列數(shù)4A4第-7 -頁共5頁4（ii）當2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形（i ）類似同理可得氏種著色法.（iii）當2、4與3、5分別同色時，將2、4; 3、5分別合并，這樣僅有三個單元格2<3,_£>從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有33C4 A種方法.由加法原理知：不同著色方法共有4332 A C4A3=48+24=72 （種）練習1 （天津卷（文）將3種作物種植12345在如圖的5塊試

8、驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）（72）2 .（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分（如圖3）,現(xiàn)要栽種4種顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種（以數(shù)字作答）.（120）3 如圖4,用不同的5種顏色分別為 ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復使用也可以 不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù).（540）4如圖5:四個區(qū)域坐定 4個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū) 域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，

9、不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是種（84）5 將一四棱錐（圖6）的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共種（420）八. 遞推法例八一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設上n級樓梯的走法為an種，易知ai=1,a2=2,當n>2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨 一級，有an-i種走法，第二類是最后一步跨兩級，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-i + an-2,據(jù)此， a3=ai+a2=3,a 4=a#+a2=5,a 5=a4+a3=

10、8,a 6=13,a7=21,a 8=34,日9=55,日10=89.故走上 10 級樓梯共有 89 種不同的方法。九. 幾何問題1 .四面體的一個頂點位 A,從其它頂點與各棱中點取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有 _種（3C；+3=33）2. 四面體的棱中點和頂點共 10個點（1 ）從中任取3個點確定一個平面，共能確定多少個平面？3333（C10-4 C6 +4-3 C4 +3-6C 4 +6+2X 6=29）（2）以這10個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？三棱錐C104-4C64-6C44-3C44=141四棱錐6 X 4X 4=96 3 X 6=18共有114十.先選后排法

11、例9有甲乙丙三項任務，甲需 2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選派方法有（）A.1260 種B.2025 種C.2520 種D.5054 種分析：先從10人中選出2人十一用轉換法解排列組合問題例10.某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結果，不同的結果有多少種.解把問題轉化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題.Af =20種例11.個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法.解 把問題轉化為5個相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的10個相同的黑球之間的9個空隙種的排列問題.C<

12、5=126種 例12 從1，2，3，1000個自然數(shù)中任取10個不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法.解 把穩(wěn)體轉化為10個相同的黑球與990個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。Cj01例13某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種.解無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉化為3個相同的白球與四個相同的黑球的排列問題.C；=35 （種）例14 一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法.解根據(jù)題意要想12步登完只能6個一步登一個臺階，6個一步登兩個臺階，因此，把問題轉化為6個相同的

13、黑球與6個相同的白球的排列問題.C；2=924 （種）.例15 求（a+b+c） 10的展開式的項數(shù).解 展開使的項為aa b3 CY,且a +B +y =10,因此，把問題轉化為2個相同的黑球與10個相同的白球的排列問題.C；=66（種）例16亞、歐乒乓球對抗賽，各隊均有5名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程那么所有可能岀現(xiàn)的比賽 過程有多少種？解 設亞洲隊隊員為 日1,日2，,a 5,歐洲隊隊員為b1，b2，4，下標表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為 順序比賽過程轉化為這

14、 10個字母互相穿插的一個排列，最后師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比賽過程可表示為5個相同的白球和5個相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為C-60=252 （種）十二.轉化命題法例17圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內的交點最多有多少各？分析：因兩弦在圓內若有一交點，則該交點對應于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內接四邊形，則問題化為圓周上的15個不同的點能構成多少個圓內接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內的交點最多有C：5=1365 （個）十三.概率法例18 一天的課程表要排入語文、數(shù)學、物理、化學、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學必須排在體育之前，那么該天的課程 表有多少種排法？1分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學之前與數(shù)學課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)21 1就是所有排法的 ，即一 A=360種2 2十四除序法 例19用1，2，3, 4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2，4, 6次序一定，有多少個？（2） 若偶數(shù)2，4, 6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個？細AAAa； a4十五錯位排列例20同室四人各寫一張