量子力學(xué)(第八章自旋)

1、本章所講的主要內(nèi)容本章所講的主要內(nèi)容電子自旋態(tài)與自旋算符電子自旋態(tài)與自旋算符(8.1)總角動量的本征態(tài)總角動量的本征態(tài)(8.2)堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)與反常堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)與反常ZeemanZeeman效應(yīng)效應(yīng)(8.3)自旋單態(tài)與三重態(tài)，自旋糾纏態(tài)自旋單態(tài)與三重態(tài)，自旋糾纏態(tài)(8.4) 1. 電子自旋存在的實驗依據(jù)電子自旋存在的實驗依據(jù) 大量的實驗事實證明電子具有自大量的實驗事實證明電子具有自旋。我們已經(jīng)知道，與電子軌道角動量旋。我們已經(jīng)知道，與電子軌道角動量 相應(yīng)地存在一個軌道磁矩相應(yīng)地存在一個軌道磁矩 ,zLLLLzg Lg L 2Legc (1)L 8.1電子自旋態(tài)與自旋算符電

2、子自旋態(tài)與自旋算符其中其中 為電子的軌道回轉(zhuǎn)磁比率。由于為電子的軌道回轉(zhuǎn)磁比率。由于軌道角動量的模量（大?。┦橇孔踊能壍澜莿恿康哪Ａ浚ù笮。┦橇孔踊腖g , 且具有空間量子化且具有空間量子化 因此相應(yīng)的軌道磁矩也具有模量因此相應(yīng)的軌道磁矩也具有模量 以及以及空間的量子化，即空間的量子化，即 對同一對同一 ， 可取可取 個值，即對同個值，即對同一個一個 ，它在空間可有，它在空間可有 種取向，而由種取向，而由22(1)Ll l,zLmL(1) ,0,1,2,.,1LLLgl lln,0, 1, 2, 3,.,zLLg mmllm21lflL21l (2) 于于 只能為零及正整數(shù)，只能為零及正整

3、數(shù)， 總是奇數(shù)?？梢钥偸瞧鏀?shù)?？梢酝ㄟ^與軌道磁矩有關(guān)的實驗現(xiàn)象來檢驗軌道通過與軌道磁矩有關(guān)的實驗現(xiàn)象來檢驗軌道角動量的量子化性質(zhì)。角動量的量子化性質(zhì)。例如對氫原子基例如對氫原子基態(tài)態(tài) ，其，其 ， 即無軌道角動量與軌道磁矩，但著名的施即無軌道角動量與軌道磁矩，但著名的施特恩特恩-蓋拉赫實驗表明，原子具有不同于蓋拉赫實驗表明，原子具有不同于軌道磁矩的一個新的磁矩。軌道磁矩的一個新的磁矩。 llf(1,0)nlm0,0LLSG實驗如下圖所示，由實驗如下圖所示，由K源射出的處于源射出的處于S態(tài)態(tài)(基態(tài)基態(tài))的氫原子束經(jīng)過狹縫和不均勻磁場照射的氫原子束經(jīng)過狹縫和不均勻磁場照射到底片上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)射線束方

4、向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，到底片上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)射線束方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，分裂成兩條分立的線，這說明氫原子有磁分裂成兩條分立的線，這說明氫原子有磁矩，在非均勻磁場的作用下受到力的作用而矩，在非均勻磁場的作用下受到力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)。發(fā)生偏轉(zhuǎn)。NSzBB（Stern-Gerlach實驗）實驗） 由于這是處于基態(tài)的氫原子，軌道角動量為由于這是處于基態(tài)的氫原子，軌道角動量為零，零，基態(tài)氫原子的磁矩不可能由軌道角動量基態(tài)氫原子的磁矩不可能由軌道角動量產(chǎn)生。故是一產(chǎn)生。故是一 種新的磁矩種新的磁矩。此外，由于實驗此外，由于實驗上發(fā)現(xiàn)只有上發(fā)現(xiàn)只有兩條譜線兩條譜線，因而這種磁矩在磁場，因而這種磁矩在磁場中只有中只有兩種取向兩種取

5、向，是空間量子化的，而且只，是空間量子化的，而且只取取兩個值兩個值。假定原子具有磁矩。假定原子具有磁矩 ，它在，它在 方方向上的外磁場向上的外磁場 中的勢能為中的勢能為 為外磁場為外磁場 與原子磁矩與原子磁矩 之間的夾角。之間的夾角。zBcoszUBB B(3) 而原子因磁矩而原子因磁矩 的存在，在的存在，在Z方向上受到的力方向上受到的力為為 實驗表明，這時分裂出來的兩條譜線分別對實驗表明，這時分裂出來的兩條譜線分別對應(yīng)于應(yīng)于 和和 兩個值。實驗還進(jìn)一兩個值。實驗還進(jìn)一步表明，即使所使用的氫原子束不是純基態(tài)，步表明，即使所使用的氫原子束不是純基態(tài)，混有激發(fā)態(tài)混有激發(fā)態(tài) 的成分，則由軌道磁矩貢獻(xiàn)

6、的成分，則由軌道磁矩貢獻(xiàn)而引起的射線束分裂也只能是奇數(shù)條而引起的射線束分裂也只能是奇數(shù)條 ，決不會有軌道磁矩導(dǎo)致偶數(shù)條的射束分裂偏轉(zhuǎn)。決不會有軌道磁矩導(dǎo)致偶數(shù)條的射束分裂偏轉(zhuǎn)。coszzBUFzz cos1cos1(0)l 21l (4)原子具有這一新磁矩也在其他實驗里呈現(xiàn)。原子具有這一新磁矩也在其他實驗里呈現(xiàn)。特別是在原子光譜的特別是在原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)精細(xì)結(jié)構(gòu)研究中表現(xiàn)。研究中表現(xiàn)。應(yīng)用分辨率較高的光譜分析裝置，可觀測到應(yīng)用分辨率較高的光譜分析裝置，可觀測到堿金屬光譜的的精細(xì)結(jié)構(gòu)，如堿金屬光譜的的精細(xì)結(jié)構(gòu)，如Na原子光譜中原子光譜中的主線系的每條譜線（例如的主線系的每條譜線（例如3p3s能

7、級躍遷能級躍遷的的D線）是由兩條靠的很近的譜線組成的線）是由兩條靠的很近的譜線組成的, 在在其他原子光譜中也存在這種精細(xì)結(jié)構(gòu)。它必其他原子光譜中也存在這種精細(xì)結(jié)構(gòu)。它必須在考慮原子中電子的這一新的磁矩才能予須在考慮原子中電子的這一新的磁矩才能予以解釋。以解釋。 烏侖貝克（烏侖貝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脫和哥德斯密脫 （Goudsmit）為了解釋這些現(xiàn)象，于為了解釋這些現(xiàn)象，于1925年年左右提出了電子自旋的假設(shè)左右提出了電子自旋的假設(shè)： （1）每個電子都具有一個自旋角動量每個電子都具有一個自旋角動量 ，它，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：

8、 （若將空間任意方向取為（若將空間任意方向取為z方向）方向）（2）每個電子具有自旋磁矩每個電子具有自旋磁矩 它與自旋角動它與自旋角動 量量 的關(guān)系是的關(guān)系是s2zS ss 在空間任意方向上的投影為在空間任意方向上的投影為 其中其中 稱為稱為自旋回轉(zhuǎn)磁比率自旋回轉(zhuǎn)磁比率，它是，它是 軌道回轉(zhuǎn)磁比率的軌道回轉(zhuǎn)磁比率的2倍。倍。 （3）電子自旋是不能給以經(jīng)典圖象而認(rèn)為是一個帶電子自旋是不能給以經(jīng)典圖象而認(rèn)為是一個帶電小球繞自身軸的自轉(zhuǎn)的電小球繞自身軸的自轉(zhuǎn)的，其困難在于當(dāng)把自旋還，其困難在于當(dāng)把自旋還原為空間坐標(biāo)描述的轉(zhuǎn)動時，只能得到原為空間坐標(biāo)描述的轉(zhuǎn)動時，只能得到 ，而，而絕不會得出絕不會得出

9、； 要達(dá)到實驗上所測量要達(dá)到實驗上所測量 值，值，小球的轉(zhuǎn)速要使球表面線速度超過光速，小球的轉(zhuǎn)速要使球表面線速度超過光速，,ssseeg SS gcc s(22zsszBBeeg Scc 玻爾磁子)2slgecg slgg2slgg作定性的估算可以得到合理的假定作定性的估算可以得到合理的假定22eeem cr根據(jù)相對論作能量估算根據(jù)相對論作能量估算er p測不準(zhǔn)關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系則電子旋轉(zhuǎn)速度為則電子旋轉(zhuǎn)速度為2137ee epcvccmm re 即電子必須大致以即電子必須大致以137c的旋轉(zhuǎn)速度，才能的旋轉(zhuǎn)速度，才能得到得到 的角動量，這當(dāng)然是不正確的。因的角動量，這當(dāng)然是不正確的。因此，自旋是

10、電子本身的內(nèi)稟屬性，是沒有此，自旋是電子本身的內(nèi)稟屬性，是沒有與其經(jīng)典對應(yīng)的，在非相對論性量子力學(xué)與其經(jīng)典對應(yīng)的，在非相對論性量子力學(xué)中是作為一種內(nèi)部運動而引入的第中是作為一種內(nèi)部運動而引入的第4個自個自由度來處理的。在相對論量子力學(xué)理論中，由度來處理的。在相對論量子力學(xué)理論中，自旋是相對論效應(yīng)的結(jié)果或表現(xiàn)。自旋是相對論效應(yīng)的結(jié)果或表現(xiàn)。 不僅電子，所有不僅電子，所有微觀粒子都具有微觀粒子都具有自旋自旋，它是微觀粒子的它是微觀粒子的固有屬性固有屬性之一之一。l 為了對電子的狀態(tài)作出完全描述，如前為了對電子的狀態(tài)作出完全描述，如前所述，還必須考慮其自旋狀態(tài)。確切的說，所述，還必須考慮其自旋狀態(tài)。

11、確切的說，要考慮電子自旋在某給定方向（例如要考慮電子自旋在某給定方向（例如z軸方軸方向）的兩個可能取值（投影）的波輻，即向）的兩個可能取值（投影）的波輻，即波函數(shù)中還應(yīng)包括自旋投影這個變量（習(xí)波函數(shù)中還應(yīng)包括自旋投影這個變量（習(xí)慣上取為慣上取為 ），記為），記為 ，與連續(xù)變量，與連續(xù)變量 不同，不同， 只能取只能取 兩個分立值，因此，兩個分立值，因此，使用二分量波函數(shù)是方便的使用二分量波函數(shù)是方便的zS( ,)zr Sr2( ,2)( ,)( ,2)zrr Sr(1)zS 稱為稱為旋量波函數(shù)旋量波函數(shù)。其物理意義如下：。其物理意義如下： ：是電子自旋向上（：是電子自旋向上（ ）, 位置在位置在

12、 處的幾率密度。處的幾率密度。 : 是電子自旋向下（是電子自旋向下（ ） 位置在位置在 處的幾率密度。處的幾率密度。 而而 表示電子自旋向上（表示電子自旋向上（ ） 的幾率。的幾率。 表示電子自旋向下（表示電子自旋向下（ ） 的幾率。的幾率。2( ,2)r2zS r2( ,2)r2zS r23( ,2)d rr2zS 23( ,2)d rr2zS 所以歸一化條件為所以歸一化條件為 在在很多情況很多情況下，波函數(shù)可以分離變量，即下，波函數(shù)可以分離變量，即 其中其中 是描述自旋態(tài)的波函數(shù)，其一般形式是描述自旋態(tài)的波函數(shù)，其一般形式為為2223332( , ) ( , 2)( ,2) zzsd rr

13、 Sd rd rrr 1( ,)( ) ()zzr SrS( )zS( )zaSb (2)(3)(4) 式中式中 與與 分別代表電子分別代表電子 的幾的幾率，所以歸一化條件表示為率，所以歸一化條件表示為2a2b2zS 22*1aababb 特例：特例：在在 表象中，根據(jù)表象理論，表象中，根據(jù)表象理論， 的矩的矩陣表示應(yīng)該是對角矩陣，本征值為對角元，陣表示應(yīng)該是對角矩陣，本征值為對角元，即即zS()smzszS121()0zS 12sm (5)(6)sm 201002012zS 設(shè)其本征值為設(shè)其本征值為12sm 為其本征態(tài)，則為其本征態(tài)，則 有時將他們簡記為有時將他們簡記為 與與 構(gòu)成電子自旋態(tài)

14、空間的一組正交完備基，構(gòu)成電子自旋態(tài)空間的一組正交完備基，任何一個自旋態(tài)式（任何一個自旋態(tài)式（4），均可用它們來展開，），均可用它們來展開，表示為表示為而計及空間坐標(biāo)的波函數(shù)式（而計及空間坐標(biāo)的波函數(shù)式（1），可以表示為），可以表示為 120()1zS 10,01 ()zaSabb ( ,)( ,2)( ,2)zr Srr(7)(8)(9)特例特例 ： 中心力場中的電子，若忽略自旋軌道中心力場中的電子，若忽略自旋軌道耦合，則可選耦合，則可選 為守恒量完全集，為守恒量完全集，有共同本征態(tài)記為有共同本征態(tài)記為 。在。在 表象中可表象中可寫為寫為 3. 自旋算符與自旋算符與Pauli矩陣矩陣 考慮到

15、自旋具有角動量特征，假設(shè)自旋考慮到自旋具有角動量特征，假設(shè)自旋 的三個分量滿足與軌道角動量相同的對易關(guān)的三個分量滿足與軌道角動量相同的對易關(guān)系，即系，即 或或2(,)zzH L L Ssnlmm( ,)zr S( ,)( , , )( )ssnlmmznlmmzr SrS ,xyzyzxzxySSi SSSi SSSi SS Si S(10)(11)S 由于由于 在任意空間方向上投影只能取在任意空間方向上投影只能取 這這兩個函數(shù)值，故兩個函數(shù)值，故 這三個分量算符這三個分量算符的本征值都是的本征值都是 ，而分量平方算符的本征，而分量平方算符的本征值皆為值皆為 ，即有，即有 稱為稱為自旋磁量子數(shù)

16、自旋磁量子數(shù)。由。由 且且 故故 的本征值是的本征值是S2xSzSyS2242222,4xyzzsSSSSm1()2sm 2222xyzSSSS 222,0zyxSSSSSS2S2222234xyzSSSS(12)(13)(14)sm 若將任何角動量平方算符的本征值記為若將任何角動量平方算符的本征值記為 稱稱角動量量子數(shù)角動量量子數(shù)，則自旋角動量量子數(shù)，則自旋角動量量子數(shù) 滿足滿足 為方便起見，引入為方便起見，引入Pauli算符算符 （無量綱），（無量綱）， 則式（則式（11）化為）化為 22(1)Jj jjS22231(1),42Ss ss,2,2,2xyzyzxzxyiii (16)(18

17、)(17)(15)2S 或表示為或表示為也可表示成也可表示成 由式（由式（11）可見，）可見， 的本征值為的本征值為 ，因，因而而 分別用分別用 左乘和右乘左乘和右乘(18)式中的第二式，并利式中的第二式，并利 用式用式(21)，可得，可得,2ijijkki 2i xyz12221xyzy(19)(20)(21)(單位算符） 兩式相加，得到兩式相加，得到 ，類似，類似地可求其它兩個式子，歸納起來，即地可求其它兩個式子，歸納起來，即 的的不同分量是彼此反對易的：不同分量是彼此反對易的：2zyzyyxi 2yzyzxyi 0 xyyx (22)把式把式(18)和和(23)聯(lián)合起來，得聯(lián)合起來，得即

18、即0 xyyx 0yzzy 0zxxz xyyxzi yzzyxi zxxzyi (23)(24)i 式式(21)和和(24)和和 概括了概括了Pauli算符的全代算符的全代數(shù)性質(zhì)。數(shù)性質(zhì)。特例特例: 在量子力學(xué)中凡與自旋有關(guān)的力學(xué)量常在量子力學(xué)中凡與自旋有關(guān)的力學(xué)量常以以 算符表示。算符表示。 在任意方向在任意方向 的分量算符的分量算符 為為 其中其中是方向是方向 的單位矢量。的單位矢量。nnnxxyyzznnnn xyzxxyznn in jn kijkn(25)(26) 以上是以上是Pauli算符滿足的抽象代數(shù)關(guān)系。以算符滿足的抽象代數(shù)關(guān)系。以下我們選一個表象表示成矩陣形式。習(xí)慣上下我們

19、選一個表象表示成矩陣形式。習(xí)慣上選選 表象，即表象，即 對角化表象對角化表象。 由于由于 只能只能取取 ，所以，所以 矩陣可表示為矩陣可表示為 令令 矩陣表示為矩陣表示為zzz1z1001zxxabcd(27)(28) 待定?？紤]到待定?？紤]到得得 所以所以 ，因而，因而 化為化為 再根據(jù)厄米性要求，再根據(jù)厄米性要求， 可得可得, ,a b cd與（復(fù)數(shù))zxxz ababcdcd0adxx00 xbcx*cb(29)(30) 因而因而而而所以所以 ，因而可以令，因而可以令 ( 為實為實) 于是于是*00 xbb22*20001000 xbbbbbb21bibe00ixiee(31)(32)(

20、33) 再利用再利用 ，可得，可得 我們知道，量子力學(xué)中力學(xué)量在我們知道，量子力學(xué)中力學(xué)量在任何表象任何表象中中的矩陣表示，都有一個的矩陣表示，都有一個相位不確定性相位不確定性。習(xí)慣。習(xí)慣上取上取 (Pauli表象表象)，得，得yzxi (2)(2)0000iiyiieeiee 0110 x1001z00yii(34)(35)0 這就是著名的這就是著名的Pauli矩陣矩陣。4.電子的內(nèi)稟磁矩電子的內(nèi)稟磁矩 電子自旋和內(nèi)稟磁矩的系統(tǒng)理論在相對電子自旋和內(nèi)稟磁矩的系統(tǒng)理論在相對論性量子力學(xué)中將做介紹。下面給出一個簡論性量子力學(xué)中將做介紹。下面給出一個簡單的非相對論性理論說明。單的非相對論性理論說明

21、。 一個非相對論性的自由粒子的一個非相對論性的自由粒子的Hamilton量，通常表示為量，通常表示為 對于在外磁場對于在外磁場 中的電子中的電子 （荷電（荷電 ），則），則 22pHBA e21()2eHpAc(36) 其中其中 為正則動量，在坐標(biāo)表象，為正則動量，在坐標(biāo)表象， 若采用若采用Coulomb規(guī)范規(guī)范 上式化為上式化為 最后一項是反磁項，比較小，通常略去。對最后一項是反磁項，比較小，通常略去。對于均勻磁場，取于均勻磁場，取 則上式右邊第二則上式右邊第二項化為項化為 式中式中 是是電子軌道角動量帶來的磁矩電子軌道角動量帶來的磁矩， 代表代表ppi (0)A 2222122eeHpA

22、pAcc12ABr()()222leeeBrprpBL BBccc 2leLc lB(37)(39) 它與外磁場的作用。在這里并不出現(xiàn)電子的它與外磁場的作用。在這里并不出現(xiàn)電子的內(nèi)稟磁矩。但如果考慮到電子有自旋，假設(shè)內(nèi)稟磁矩。但如果考慮到電子有自旋，假設(shè)自由電子的自由電子的Hamilton量表示為量表示為 在無外磁場的情況，由于在無外磁場的情況，由于 ，上述，上述 Hamilton量得不出新的內(nèi)容。但在外磁場量得不出新的內(nèi)容。但在外磁場 中，中，H化為化為21()2Hp 22()pp BA 21()2eHpAc211()() ()22eeepAipApAccc(40)(41) 其中利用了公式其

23、中利用了公式 上式右邊第一項即式上式右邊第一項即式(36)，它包含有電子軌道，它包含有電子軌道磁矩與外磁場的相互作用，第二項可化為磁矩與外磁場的相互作用，第二項可化為其中其中即即與自旋與自旋 相應(yīng)的磁矩，稱為內(nèi)稟磁矩相應(yīng)的磁矩，稱為內(nèi)稟磁矩。式。式表示電子內(nèi)稟磁矩與外磁場表示電子內(nèi)稟磁矩與外磁場 的相應(yīng)作用能的相應(yīng)作用能()()()ABA B iA B()()22ieiepAApiAcc 2seBBc 2seeScc ()2S SB(42)(43) 內(nèi)稟磁矩的值即內(nèi)稟磁矩的值即Bohr磁子磁子 比較式比較式(39)和和(43)式，式，可見內(nèi)稟磁矩的可見內(nèi)稟磁矩的g因子比因子比軌道磁矩的軌道磁矩

24、的g因子大一倍因子大一倍由式（由式（41）和（）和（42），可給出電子在外磁場中），可給出電子在外磁場中的一般方程的一般方程 （45）式中，式中， 是是 泡利矩陣，因此波函數(shù)是泡利矩陣，因此波函數(shù)是 （45）式）式 稱為稱為泡利方程。泡利方程。2Bec1,2.lsgg (44)21()22eeHpAeBcc 2 212, 1. 電子自旋是一種相對論效應(yīng)電子自旋是一種相對論效應(yīng) 可以證明，在中心力場可以證明，在中心力場V(r) 中運動的電子的相對論中運動的電子的相對論波動方程（波動方程（Dirac方程），在過渡到非相對論極限方程），在過渡到非相對論極限時，時， Hamilton量中將出現(xiàn)一項自旋

25、量中將出現(xiàn)一項自旋-軌道耦合項軌道耦合項（Thomas項）項） 其中其中 為電子質(zhì)量，為電子質(zhì)量，c為光速。在處理正常為光速。在處理正常Zeeman效應(yīng)時，效應(yīng)時，因外加磁場很強，自旋軌道因外加磁場很強，自旋軌道()rSL2211( )2dVrcr dr(1) 耦合項相對來說是很小的，可以忽略。但當(dāng)耦合項相對來說是很小的，可以忽略。但當(dāng)所加磁場很弱，或沒有外場的情況，這項作所加磁場很弱，或沒有外場的情況，這項作用對能級與光譜帶來的影響（精細(xì)結(jié)構(gòu)），用對能級與光譜帶來的影響（精細(xì)結(jié)構(gòu)），就不應(yīng)忽略。堿金屬元素光譜線的雙分裂及就不應(yīng)忽略。堿金屬元素光譜線的雙分裂及反常反常Zeeman效應(yīng)都與此有關(guān)

26、。效應(yīng)都與此有關(guān)。2 電子的總角動量算符電子的總角動量算符 當(dāng)計及自旋軌道耦合作用之后，軌道及當(dāng)計及自旋軌道耦合作用之后，軌道及 自旋角動量分別都不再是守恒量，因為自旋角動量分別都不再是守恒量，因為 定義矢量算符定義矢量算符 即即 則可以證明，在中心力場中電子總角動量則可以證明，在中心力場中電子總角動量 守恒量。考慮到守恒量。考慮到 和和 屬于不同自由度，屬于不同自由度， 因此對易，即因此對易，即 ,0, ,0L S LS S L JLSJLSLS(2)(3)(, , )x y zJ 因此因此 類似的還可證明其余類似的對易關(guān)系，故有類似的還可證明其余類似的對易關(guān)系，故有,0LS( , , )x

27、 y z , , ,xyxyxyJ JL LS S()zzziLSi J,xyzyzxzxyJJi JJJi JJJi J(4)(5)(6) 亦即亦即 總之，總之， 仍滿足類似于軌道角動量的對易式。仍滿足類似于軌道角動量的對易式。令令 還可以證明還可以證明 利用式利用式(3)和和(4)，容易證明（以下角動量算符均，容易證明（以下角動量算符均省略其上的省略其上的符號）符號） JJi JJ2222xyzJJJJ, ,x y z,0J SL(7)(8)(9)(10)2,0JJ 即即 為守恒量為守恒量 。還可以證明。還可以證明 不再是不再是守恒量，但是守恒量，但是 仍然是。因為仍然是。因為 因此，在中

28、心力場中電子的能量本征態(tài)可以選因此，在中心力場中電子的能量本征態(tài)可以選為為守恒量完全集守恒量完全集 的的共同本征態(tài)共同本征態(tài)。此共同本征態(tài)在此共同本征態(tài)在 表象中可表示為表象中可表示為J,0H J L2L2,0L S L 22(,)zH L JJ( ,)zS 12( , )( , ,2)( , ,)( , )( , ,2)zS (12)(11) 首先要求首先要求 是是 的本征態(tài)，即的本征態(tài)，即 也即也即 所以，所以， 與與 都應(yīng)是都應(yīng)是 的本征態(tài)，但對應(yīng)本的本征態(tài)，但對應(yīng)本征值相差征值相差 。因此。因此(12)可以取為可以取為 2L2LC()C為常數(shù)211LC222LC122L1( , ,)l

29、mzlmaYSbY (15)(14)(13) 這樣就保證了它是這樣就保證了它是 與與 的的 共同的本征態(tài)，共同的本征態(tài)，本征值為本征值為 和和 。 此外，我們再要求此外，我們再要求 為為 的本征態(tài)。利的本征態(tài)。利用用 2LzJ2(1)l l (1 2)m2J2222()2JLSLSS L 223()4xxyyzzLLLL22223434ZZLLLLLL xyLLiL其中其中(16) 把式把式(16)代入代入 的本征方程的本征方程 利用利用 可得出可得出 2J2211lmlmlmlmaYaYJbYbY()無量綱待定1()(1)lmlmL Ylm lmY3 (1)()(1)4lmlmlml lm

30、aYlm lmbYaY1113()(1) (1)(1)4lmlmlmlm lmaYl lmbYbY(17)(18) 上式兩邊分別乘以上式兩邊分別乘以 對對 積分后得積分后得 這是確定這是確定a和和b的線形齊次方程，有非平庸解的線形齊次方程，有非平庸解的充要條件是的充要條件是 1*,lmlmYY( , ) 3 (1)()(1)04l lmal m l mb 3()(1) (1)(1)04l m l mal lmb 3(1)()(1)403()(1)(1)14l lmlm lmlm lml lm (19)(20) 解出解出 的兩個根得的兩個根得 或統(tǒng)一表為或統(tǒng)一表為 將將 這個根代入式這個根代入式

31、(19)中任何一式，中任何一式， 得得 113()()22ll211()()22ll(1)j j1 2jl (1) ()almlmb(21)(22)(23)1,2jl 同樣，將同樣，將 這個根代入式中，得這個根代入式中，得將以上兩代入式將以上兩代入式(15)利用歸一化條件利用歸一化條件對波函數(shù)對波函數(shù) ，并取適當(dāng)?shù)南辔唬▽?，并取適當(dāng)?shù)南辔唬▽或者或者b）可得出可得出 的共同本征態(tài)如下：的共同本征態(tài)如下：1 2jl () (1)almlmb ( , ,)zS 22(,)zL JJ(24) (a) 對于對于 情況，情況， (b)對于對于 情況（情況（ ）1 2jl 111( , ,)21lmzl

32、mlmYSllmY 112121lmlmlmlmYYll1 2jl 0l 11( , ,)211lmzlmlmYSllmY 112121lmlmlmlmYYll (25b)(25a) 它們是它們是 的共同本征態(tài)，相應(yīng)的本的共同本征態(tài)，相應(yīng)的本正值分別為正值分別為 和和 其中其中 ，注意式，注意式(25)不是不是 與與 的本征態(tài)的本征態(tài).22(,)zLJJ2(1),l l 2(1)j j (1 2) ,jmm1 2,jl 1 2l(0)l zLzS式式(25a)中，中， 。從。從 來考慮來考慮 。從。從 來考慮來考慮 ，所以，所以 可能取值為可能取值為 而而 相應(yīng)的可能取值為相應(yīng)的可能取值為 即

33、即 共共 個可個可 能取值。能取值。12j l lmYmaxml1lmYmin(1)ml m,1,.,0,., (1)l ll12jmm 1 2,1 2,.,1 2,., (1 2)lll,1,.,1 2,.,jmj jj(21)j 式式(25b)中，中， 。從。從 來考慮，來考慮， 。從。從 來考慮來考慮 所以所以 的可能取值為的可能取值為 而而 相應(yīng)的可能取值為相應(yīng)的可能取值為 即即 ，共，共 個個 可能取值?？赡苋≈怠?概括起來，概括起來， 的共同本征態(tài)可記的共同本征態(tài)可記 為為 1 2jl lmYminml (1)ml 當(dāng)時, =01lmYmax1ml ()ml當(dāng)時, =0m1,2,.

34、,1,llll 1 2jmm1 2,3 2,.,3 2,1 2llll ,1,.,1,jmj jjj (21)j 22( ,)zljj 情況，情況，12j l 1 2jmm11121jlmljmlmlmYllmY1 2,1 21 2,1 212jjjjmjjmjm Yjjm Y1 211 212121lmlmlmlmYYll(26) 情況，情況，12j l 1 2jmm11211jlmljmlmlmYllmY1 2,1 21 2,1 211221jjjjmjjmjmYjjmY1 211 212121lmlmlmlmYYll (0)l (27) 注意：注意： 時，不存在自旋軌道耦合，時，不存在自

35、旋軌道耦合，總角動量即自旋，總角動量即自旋， 。波函數(shù)可表示為非常耦合形式波函數(shù)可表示為非常耦合形式 0l 1 2,1 2jsjSmm 1 1112 22200000001011,00144YY (28)總結(jié)：總結(jié)：2210,1,2,jjljmljmLl ll22112jjljmljmjj jjl 1,1,1,2jjzljmjljmjjjmmjjjjmm 注意注意： 不是不是 的本征態(tài)的本征態(tài)jljmzL1 堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)：堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)： 堿金屬原子有一個價電子，原子核及堿金屬原子有一個價電子，原子核及內(nèi)層滿殼電子對它的作用，可近似用一個內(nèi)層滿殼電子對它的作用，可近似用一

36、個屏蔽屏蔽Conlomb場場V( r )描述。堿金屬原子的描述。堿金屬原子的低激發(fā)能級是由價電子激發(fā)而來。價電子低激發(fā)能級是由價電子激發(fā)而來。價電子的的Hamilton量可表示成量可表示成 2( )( )2pHV rr S L 2211( )2dVrc r dr(1) 在此情形下，守恒量的完全集可選為在此情形下，守恒量的完全集可選為 。利用上節(jié)的結(jié)果，角度部。利用上節(jié)的結(jié)果，角度部分及自旋部分波函數(shù)可選為分及自旋部分波函數(shù)可選為 的共同本征態(tài)的共同本征態(tài) 。令。令 代入代入Schodinger方程方程22(,)zH L JJ22(,)zL JJ( , ,)jljmzS ( , , ,)( )(

37、 , ,)jzljmzrSR rS 2222221()( )( )2LrV rr S LErrrr (3)(2) 利用利用 式式(3)可以化為可以化為23 (1)(1)24jjljmljmS Lj jl l 221,221(1),22jjljmljmljlljl (1)l (4) 對于對于 1 2jl 2222221(1)( )( ) ( )222( )ddl llrV rr R rr drdrrER r1 2jl 2222221(1)(1)( )( ) ( )222( )ddl llrV rr R rr drdrrER r對于對于(6)(5) 當(dāng)當(dāng)V( r )給定后給定后 也就給定也就給定，

38、可以求解可以求解 上列方程，得到能量本征值，它與量子數(shù)上列方程，得到能量本征值，它與量子數(shù) 有關(guān)，記為有關(guān)，記為 ，能級是，能級是 重簡重簡并在原子中，并在原子中， （吸引力），（吸引力）， ， 所以所以 因此因此( ) r( , , )n l jnljE21j ( )0V r ( )0V r( )0r1 21 2nljlnljlEE (7) 即即 能級略高于能級略高于 能級，但能級，但是由于自旋軌道耦合項比較小，所以，兩條是由于自旋軌道耦合項比較小，所以，兩條軌道能級可能很靠近，這就是堿金屬雙線結(jié)軌道能級可能很靠近，這就是堿金屬雙線結(jié)構(gòu)的由來。構(gòu)的由來。 隨原子序數(shù)隨原子序數(shù)z增大而增大。對

39、于堿金屬原子，增大而增大。對于堿金屬原子，鋰的雙線分裂就很小，不易測出。從鈉開始鋰的雙線分裂就很小，不易測出。從鈉開始就比較顯著，如圖所示。鈉原子基態(tài)電子組就比較顯著，如圖所示。鈉原子基態(tài)電子組態(tài)是態(tài)是 ，即價電子處于，即價電子處于 1 2jl 1 2jl 1 21 2nljlnljlEEE 2261(1 ) (2 ) (2 ) (3 )ssps3s(8) 能級。對于能級。對于s能級能級 ，沒有自旋軌道耦合分，沒有自旋軌道耦合分裂。鈉原子的第一激發(fā)態(tài)是價電子激發(fā)到裂。鈉原子的第一激發(fā)態(tài)是價電子激發(fā)到3p能級，有自旋軌道耦合，能級，有自旋軌道耦合，3p能級分裂為兩條，能級分裂為兩條， 能級略高于

40、能級略高于 能級。這兩條靠近的能級上能級。這兩條靠近的能級上的電子往基態(tài)躍遷，就產(chǎn)生鈉黃線，即的電子往基態(tài)躍遷，就產(chǎn)生鈉黃線，即(0)l 323P123P312233PS112233PS2D1D5890 A。5896A。5.146s1/25s1/24s1/23s1/2ev0123455p3 25p1 24p3 24p1 23p1 23p3 22D 5889.9631D 5895.9304f 7/2,5/24d5/2,3/25d 5/2,3/23d 5/2,3/25149.096154.275153.656160.734982.875688.224978.615682.67 ( (可見光部分可見

41、光部分) ) 鈉原子能級圖及光譜的雙線結(jié)構(gòu)鈉原子能級圖及光譜的雙線結(jié)構(gòu) 8.2圖 2 反常反常Zeeman效應(yīng)效應(yīng) 在強磁場中，原子光譜發(fā)生分裂（一般在強磁場中，原子光譜發(fā)生分裂（一般為為3條）稱為正常條）稱為正常Zeeman效應(yīng)。對于正常效應(yīng)。對于正常Zeeman效應(yīng)，不必考慮電子自旋就能說明。效應(yīng)，不必考慮電子自旋就能說明。設(shè)外加磁場方向取為設(shè)外加磁場方向取為z軸方向，按照前面的討軸方向，按照前面的討論，堿金屬原子中價電子的論，堿金屬原子中價電子的Hamilton量為量為 B為磁場強度。設(shè)為磁場強度。設(shè) 的能量的能量本征值為本征值為 ，對應(yīng)的波函數(shù)取為守恒量完全，對應(yīng)的波函數(shù)取為守恒量完全

42、集集 的本征態(tài)的本征態(tài)2( )22zpeBHV rLc202( )HpV rnlE20(,)zHL L(9) 則則H的本征值為的本征值為 能級簡并完全被解除，但波函數(shù)不變，仍為能級簡并完全被解除，但波函數(shù)不變，仍為 的共同本征態(tài)。的共同本征態(tài)。 在式（在式（9）中來計及電子內(nèi)稟磁矩與外磁場的）中來計及電子內(nèi)稟磁矩與外磁場的相互作用。若計及這項作用，則相互作用。若計及這項作用，則H應(yīng)取為應(yīng)取為( , , )( )( , )nlmnllmrRr Y 2nlmnleBEEmc(,.,1, )mlll 20(,)zHL L2( )(2)22zzpeBHV rLSc(12)(11)(10) 它的本征函數(shù)

43、的空間部分仍為式（它的本征函數(shù)的空間部分仍為式（10），而），而整個波函數(shù)可表示為整個波函數(shù)可表示為 的共同本的共同本征函數(shù)征函數(shù) 。本征值則為。本征值則為 如圖所示?？紤]到光輻射躍遷定則，如圖所示?？紤]到光輻射躍遷定則， ，躍遷只能分別在，躍遷只能分別在 及及 兩組兩組能級內(nèi)部進(jìn)行，因此盡管能級有所改變，對能級內(nèi)部進(jìn)行，因此盡管能級有所改變，對譜線分裂卻沒有影響。譜線分裂卻沒有影響。 但當(dāng)所加外磁場很弱，自旋軌道耦合并但當(dāng)所加外磁場很弱，自旋軌道耦合并2(, ,)zzH ll S( , , )()jsljmmzrS (2)2snlmmnlseBEEmmc(1)2nleBEmc(1 2)sm

44、0sm1 2sm 1 2sm (13) 不比外磁場作用小，則需一并加以考慮，即不比外磁場作用小，則需一并加以考慮，即Hamilton量應(yīng)取為量應(yīng)取為 要嚴(yán)格處理上式最后一項，是很麻煩的。為要嚴(yán)格處理上式最后一項，是很麻煩的。為此先不考慮最后一項，則此先不考慮最后一項，則H本征值問題與處本征值問題與處理堿金屬光譜線雙分裂相同。此時理堿金屬光譜線雙分裂相同。此時 仍為守恒量，仍為守恒量，H的本征態(tài)仍然可以表示成的本征態(tài)仍然可以表示成22( )(2)( )2zzeBHpV rlSr S Lc 22( )( )22zzeBeBpV rr S LjScc 22( ,)zljj( , , ,)( )( ,

45、 ,)jjnljmznljnljmzrSRrS (14)(15) 相應(yīng)的能量本征值為相應(yīng)的能量本征值為 是方程的能量本征值。當(dāng)無外磁場時，是方程的能量本征值。當(dāng)無外磁場時， 能級為能級為 重簡并。而重簡并。而在有磁場的情況下，它將分裂成在有磁場的情況下，它將分裂成 條條能級能級 即即 ，能級簡，能級簡并完全解除。注意：并完全解除。注意： 為偶數(shù)，這就可為偶數(shù)，這就可以解釋反常以解釋反常Zeeman效應(yīng)的特點（光譜線非偶效應(yīng)的特點（光譜線非偶數(shù)條），考慮到式最后一項后，所得出的能數(shù)條），考慮到式最后一項后，所得出的能級分布變化并不明顯，反常級分布變化并不明顯，反常Zeeman分裂的分裂的jnlj

46、mnljjLEEm2LeBcnljE(0,0)BL即(21)j (21)j (,1,.,)jmj jjjnljmE(21)j (16) 特征不變；但能量本征函數(shù)復(fù)雜的多。特征不變；但能量本征函數(shù)復(fù)雜的多。3p3s058933p3/21/23p058961D2D3s1 21/21/21/21/21/21/23/23/205890jm圖圖8.48.4 鈉黃線的反常鈉黃線的反常ZeemanZeeman分裂分裂 嚴(yán)格處理式最后一項的困難在于：盡管嚴(yán)格處理式最后一項的困難在于：盡管 ，但是，但是 ，即，即 不再是守恒不再是守恒量，因而不再是好量子數(shù)。但對于弱磁場（量，因而不再是好量子數(shù)。但對于弱磁場（B

47、很?。?，式最后一項很小），式最后一項 可以看成微擾。在可以看成微擾。在簡并態(tài)微擾論一級近似下，可略去不同簡并態(tài)微擾論一級近似下，可略去不同 態(tài)的態(tài)的混合，即局限在混合，即局限在 的諸簡并態(tài)所張開的的諸簡并態(tài)所張開的 維子空間中把式所示的維子空間中把式所示的H對角化。在對角化。在此空間中，考慮到此空間中，考慮到 ，微擾，微擾 已經(jīng)已經(jīng)是對角化，即是對角化，即 2 ,0zlS,0zzj S2,0zjS2jLzSjnljE(21)j ,0zzj S LzSjjjLzjLm mjzjljmS ljmljm S ljm (17)3p3sL- L+ L+ L- +10-1+10-100未加外磁場B加外磁場

48、sm =1/2sm =-1/2圖圖8.38.3 黃線的正常黃線的正常ZeemanZeeman分裂分裂 利用利用8.28.2節(jié)的結(jié)果，可得：節(jié)的結(jié)果，可得： (18)(18)按照簡并態(tài)一級微擾近似，在弱磁場中，電子按照簡并態(tài)一級微擾近似，在弱磁場中，電子的能量本征值可以相當(dāng)好地近似表示成：的能量本征值可以相當(dāng)好地近似表示成： (19)(19)2 , 1/2 | (22) , 1/2jLjzjLjmjjll j mSl j mmjjl (0)l 1(1) , 1/221(1) , 1/22jjLnljmnljjLmjljEEmjlj 8.4 自旋單態(tài)與三重態(tài)，自旋糾纏態(tài)自旋單態(tài)與三重態(tài)，自旋糾纏態(tài)

49、 中性氦原子有兩個電子，要研究氦原子的中性氦原子有兩個電子，要研究氦原子的 狀態(tài)就涉及到兩個電子的自旋態(tài)問題。設(shè)兩個狀態(tài)就涉及到兩個電子的自旋態(tài)問題。設(shè)兩個 電子的自旋算符分別為電子的自旋算符分別為 與與 ，令，令 (1)(1) 表示兩個電子自旋算符之和，因為表示兩個電子自旋算符之和，因為 , , 分別分別 屬于兩個電子，是不同的自由度，分別作用在屬于兩個電子，是不同的自由度，分別作用在 各自的自旋波函數(shù)上，所以各自的自旋波函數(shù)上，所以 。由此。由此 不難證明不難證明 的三個分量滿足角動量算符的普的三個分量滿足角動量算符的普1S 2S 12SSS 1S 2S 12,0S S S 遍對易關(guān)系，即

50、：遍對易關(guān)系，即： (2)(2) 令令 (3)(3) 利用式利用式(2)(2)，不難證明，不難證明: : （4 4） 兩個電子組成的體系兩個電子組成的體系, ,自旋自由度為自旋自由度為2 2, ,既可選既可選( )( )為自旋力學(xué)量的完全集為自旋力學(xué)量的完全集, ,也可選也可選( )( ) ,xyzyzxzxySSi SSSi SS Si S2222xyzSSSS 2,0 , , ,SSx y z 1z2zS ,S2zS ,S 為為自旋力學(xué)量完全集自旋力學(xué)量完全集。設(shè)。設(shè) 的本征態(tài)分別記的本征態(tài)分別記 為為 的本征態(tài)分別記為的本征態(tài)分別記為 則則 的共同本征態(tài)共有四個，即的共同本征態(tài)共有四個，

51、即 (5)(5) 顯然顯然, ,它們也是它們也是 的本征態(tài)的本征態(tài), ,本征值分本征值分 別為別為 。試問：它們是否為。試問：它們是否為 的本征的本征 態(tài)？利用態(tài)？利用2z(1) , (1) , S1zS(2) , (2) ,(1) (2) , (1) (2) , (1) (2) , (1) (2)z1z2zS =S +S,0,02S 2222121212()2SSSSSSS 12(,)zzSS (6)(6) 并注意并注意 (7)(7)這里這里 和和 分別作用與第一和第二個電子的分別作用與第一和第二個電子的自旋波函數(shù)上，容易證明自旋波函數(shù)上，容易證明221212123()22xxyyzz 1

52、2 , , , , ,xxyyzzii (8)(8) 即即 及及 是是 的本征態(tài)。但對于的本征態(tài)。但對于 的另兩個本征態(tài)的另兩個本征態(tài) 則不是則不是 的本征態(tài)。然而我們可以從這兩個簡并的的本征態(tài)。然而我們可以從這兩個簡并的 的的 本征態(tài)本征態(tài) 的線性疊加來構(gòu)成的線性疊加來構(gòu)成 的另外兩的另外兩 個本征態(tài)。令個本征態(tài)。令2222(1) (2)2(1) (2)(1) (2)2(1) (2)SS (1) (2)(1) (2)2S zS(1) (2)(1) (2)與2S zS2S (0)zS (9)(9) 代入本征方程：代入本征方程： (10)(10) 無量綱，待定。利用：無量綱，待定。利用： (11

53、)(11) 由此可得出由此可得出 (12)(12)12(1) (2)(1) (2)CC22S 2221212212() (1) (2)() (1) (2) (1) (2)(1) (2)SCCCCCC 1212(1)0(1)0CCCC 此方程有非平庸解的條件為此方程有非平庸解的條件為 (13)(13) 解之，得兩根，解之，得兩根， (14)(14) 用用 根代入式根代入式(12)(12)中任何一式，可得中任何一式，可得 (15)(15) 再用再用 根代入式根代入式(12)(12)中任何一式，可得中任何一式，可得 (16)(16) 1 10 1 1 -0,20121,C C 121.C C 2 再

54、利用歸一化條件再利用歸一化條件，并取適當(dāng)相位，并取適當(dāng)相位, ,可求出可求出 的歸一化本征態(tài)為：的歸一化本征態(tài)為： （1717） 令令 本征值表示為本征值表示為 , ,則則 分別對應(yīng)于分別對應(yīng)于S=0,1S=0,1。聯(lián)合式聯(lián)合式(8)(8)與式與式(17)(17)，就求，就求 出了出了 的共同本征態(tài)，記為的共同本征態(tài)，記為 , , S=1S=1, , 22212 (1) (2)(1) (2) ( =0,S0)12 (1) (2)(1) (2) ( =2,S2)即 本征值為即 本征值為2S22(1)S S0,22(,)zSS sSM2S 的三個態(tài)稱為自旋三重態(tài)的三個態(tài)稱為自旋三重態(tài)(triple

55、t)(triplet), , 而而 的態(tài)稱為自旋單態(tài)的態(tài)稱為自旋單態(tài)(singlet)(singlet)。 見表（見表（8.18.1）。）。1,0sM 0,0sSM 表表 8.1 兩個電子的自旋三重態(tài)和單態(tài)兩個電子的自旋三重態(tài)和單態(tài) 共同本征函數(shù)共同本征函數(shù) S MsS Ms2(,)zSS (1) (2)12 (1) (2)(1) (2)(1) (2)111101三重態(tài)12 (1) (2)(1) (2)0 0單態(tài)sSM 從以上討論可以看出，自旋為從以上討論可以看出，自旋為 的二粒子體系的二粒子體系 的的4 4個自旋態(tài)，可以是個自旋態(tài)，可以是 的共同本征態(tài)的共同本征態(tài)(5)(5)。 的自旋態(tài)可以

56、形象地記為：的自旋態(tài)可以形象地記為： , ., . 于是，式于是，式(5)(5)可以表示為：可以表示為： (18)(18) 以他們?yōu)榛傅谋硐?，稱為角動量以他們?yōu)榛傅谋硐螅Q為角動量非耦合表象非耦合表象。 而而 的共同本征態(tài)的共同本征態(tài) ( (見表見表8.18.1) )可以表示可以表示 為為 /212(,)zzss/2zs |12121212| , | | | ，SM2z(S ,S ) (19)(19) 以它們?yōu)榛傅谋硐螅Q為以它們?yōu)榛傅谋硐?，稱為動量耦合表象動量耦合表象。 由兩個粒子組成的復(fù)合體系的量子態(tài)，如果由兩個粒子組成的復(fù)合體系的量子態(tài)，如果 能夠表示為每個粒子的量子態(tài)的乘積，則

57、稱為能夠表示為每個粒子的量子態(tài)的乘積，則稱為可可 分離態(tài)分離態(tài)（separable stateseparable state）。反之，稱為。反之，稱為糾纏態(tài)糾纏態(tài)00121210121211121-112=12| ,=12| ,=| ,=|, (entangled state)(entangled state)。例如式。例如式(18)(18)中諸態(tài)均為可中諸態(tài)均為可 分離態(tài)，這是可以理解的，因為分離態(tài)，這是可以理解的，因為 都是單都是單 體算符。而式體算符。而式(19)(19)中的中的 和和 為可分離態(tài)為可分離態(tài), ,但但 和和 則為糾纏態(tài)，這是因為則為糾纏態(tài)，這是因為 是二體算符，但是二體算

58、符，但 是單體算符。是單體算符。 自旋為自旋為 的二粒子體系的的二粒子體系的 4 4 個歸一化的個歸一化的 糾纏態(tài)可以如下構(gòu)成糾纏態(tài)可以如下構(gòu)成: :12(,)zzss111-100102212()Sss 22221212121223 2 2(3)2ssssss12zzzSss2 (20)(20)可以證明，它們是二體算符完全集可以證明，它們是二體算符完全集 的共同本征態(tài)，稱為的共同本征態(tài)，稱為BellBell基基( (見見表表8.2)8.2)。001212101212111-11212111-11212=12| ,=12| ,12()=12| ,12()=12| 1212(,)zzxx 表表8

59、.2 Bell8.2 Bell基基 Bell 基12zz 12xx 121212|=12 | 121212|=12 | 121212|=12 | 121212|=12 | 11111111 注意，二粒子體系的自旋二體算符的完全集可注意，二粒子體系的自旋二體算符的完全集可 以有多種選擇。例如這四個以有多種選擇。例如這四個BellBell基是基是( ,( , ) )中任何兩個算符的共同本征態(tài)，中任何兩個算符的共同本征態(tài)， 或等價地是或等價地是( )( )中任何兩個算符的共同中任何兩個算符的共同 本征態(tài)。本征態(tài)。 糾纏態(tài)一詞是糾纏態(tài)一詞是Schrdinger(1935Schrdinger(1935年

60、年) )的一的一 篇論文中給出的。同年，篇論文中給出的。同年，Einstein-Podolsky-Einstein-Podolsky- Rosen(EPR) Rosen(EPR)的一篇論文對量子力學(xué)的正統(tǒng)詮釋的一篇論文對量子力學(xué)的正統(tǒng)詮釋 (Copenhagen(Copenhagen詮釋詮釋) )提出批評，就涉及糾纏態(tài)。提出批評，就涉及糾纏態(tài)。12xx 1212,yyzz 222,xyzSSS 在在2020世紀(jì)世紀(jì)5050年代，年代，BohmBohm為把問題簡單化，研究為把問題簡單化，研究 了自旋為了自旋為 的二粒子體系的自旋糾纏態(tài)所展的二粒子體系的自旋糾纏態(tài)所展 示的非定域性示的非定域性(