牛吃草問題例題詳解含練習(xí)和答案

1、牛吃草問題一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？ ”這道題太簡單了，同學(xué)們一 下就可求出：3X10+6 = 5 （天）。如果我們把 一堆草”換成一片正在生長的草地”問題就 不那么簡單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變 化）的問題就是牛吃草問題。例1牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃#20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀錾显械牟莺托律L出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變

2、化，因?yàn)槭莿蛩偕L， 所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長出的草 量這兩個不變量。設(shè)1頭牛一天吃的草為 1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10 天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是 200份，后者的總草量是150份，前者是原有 的草加20天新長出的草，后者是原有的草加 10天新長出的草。200 150 = 50 （份），20 10 = 10 （天），說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃 完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草（10

3、5） X20 = 100 （份）或（15 5） X10 = 100 （份）?，F(xiàn)在已經(jīng)知道原有草 100份，每天新長出草5份。當(dāng)有25頭牛時，其中的5頭專吃新 長出來的草，剩下的 20頭吃原有的草，吃完需 100+20 = 5 （天）。所以，這片草地可供 25頭牛吃5天。在例1的解法中要注意三點(diǎn)：（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差 計(jì)算出來的。（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛 吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。（3 ）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的 草量可以計(jì)

4、算出能吃幾天。例2 一個水池裝一個進(jìn)水管和三個同樣的出水管。先打開進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時打開 3個出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？分析：雖然表面上沒有 牛吃草”但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?水”相當(dāng)于草”進(jìn)水管 進(jìn)的水相當(dāng)于新長出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草， 所以也是牛吃草問題，解法自然 也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩部分： 一部分是出水管打開之前原有的水量， 另一部分是 開始排水至排空這段時間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。 因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊模?所以可以從比較兩 次排水所用的時間及排水量

5、入手解決問題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為 1份，則2個出水管8分鐘所排的水是2X8 = 16（份）， 3個出水管5分鐘所排的水是3X5 = 15 （份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始 排水至排空這段時間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3 （分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是-3 =份）Q|假設(shè)讓1個岀水管專門排進(jìn)水管新逬的水，兩相抵消，其余的岀水管排原有的水，可以求出原有水的水量為A（2-|）X8 = 13 （份）或（3-）X5 = b|份）二解：設(shè)出水管每分鐘排出的水為 1份。每分鐘進(jìn)水量j（2X8-3X5）手（8-5）= j （份）,Ji水管提前開T（2-（分）。答：出

6、水管比進(jìn)水管晚開 40分鐘。例3由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知 某塊草地上的草可供 20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃 10天？分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是, 我們同樣可以利用例 1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10 （份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由草 地上的草可供20頭牛吃5天”再加上 寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草（20

7、+ 10 ） X5 = 150 （份）。由150-10 = 15知，牧場原有草可供 15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以，可 供5頭牛吃10天。例4自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結(jié)果男孩用了 5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了 6 分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級？分析：與例3比較，總的草量”變成了扶梯的梯級總數(shù)” 草”變成了梯級”?！弊兂?了速度”也可以看成牛吃草問題。B上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了 20X5 = 100 （級），女孩6分鐘走了 1

8、5X6 = 90 （級），女孩比男孩 少走了 100 90 = 10 （級），多用了 6 5 = 1 （分），說明電梯 1分鐘走10級。由男孩5 分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20 + 10 ） X5 = 150 （級）。解：自動扶梯每分鐘走（20X5 15X6） - （6 5） = 10 （級），V自動扶梯共有（20 + 10） X5 = 150 （級）。答：扶梯共有150級。例5某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那

9、么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，旅客”相當(dāng)于 草”檢票口 ”相當(dāng)于 ?！笨梢杂门３圆輪栴}的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成： 一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設(shè)1個檢票口 1分鐘檢票的人數(shù)為1份。因?yàn)?個檢票口 30分鐘通過（4X30）份，5 個檢票口 20分鐘通過（5X20 ）份，說明在（30-20 ）分鐘內(nèi)新來旅客（4X30-5 X20）份， 所以每分鐘新來旅客(4X30-5 X20) - ( 30-20 ) =2 (份)。假設(shè)讓2個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客， 可以求出原有旅客為（4-2）X30=

10、60 （份）或（5-2） X20=60 （份）。同時打開7個檢票口時，讓 2個檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過原來 的旅客，需要60 - （ 7-2 ） =12 （分）。例6有三塊草地，面積分別為5 , 6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供 12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供 19頭牛吃多少天？分析與解：例1是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，|只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。:5, 6, 8= 120。因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120+5 = 24，所以120公頃草地可供11X24 =264

11、 （頭）牛吃 10天。因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120-6 = 20，所以120公頃草地可供12X20 = 240 （頭）牛吃14天。f *120+8 = 15，問題變?yōu)椋?20公頃草地可供19X15 = 285 （頭）牛吃幾天？v因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋阂粔K勻速生長的草地，可供 264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可供285 頭牛吃幾天？ ”這與例1完全一樣。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。每天新長出的草有（240X14 264X10） +（14 10）= 180 （份）。草地原有草（264 180 ） X0 = 840 （份）?？晒?85頭牛吃8

12、40 + （285 180 ）= 8 （天）。所以，第三塊草地可供 19頭牛吃8天。練習(xí)這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。1. 一牧場上的青草每天都勻速生長。 那么，可供21頭牛吃幾周？2. 一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛，吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了 2天將草吃完，這群牛原來有多少頭？3. 經(jīng)測算，地球上的資源可供 100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一定的，為使人類有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？4. 有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機(jī)20時可以

13、把水抽干；用 15部同樣的抽水機(jī)，10時可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機(jī)多少小時可以把水抽干？ "5. 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時開放3個檢票口，那么 40分鐘檢票口前的隊(duì)伍恰好消失；如果同時開放4個檢票口，那么25分鐘隊(duì)伍恰好消失。如果同時開放 8個檢票口，那么隊(duì)伍多少分鐘恰好消失？6. 兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每個白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用5個晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用6個晝夜到達(dá)井底。那

14、么，井深多少米？A7. 兩位頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走 27級梯級，女 孩可走24級梯級，結(jié)果男孩走了 2分鐘到達(dá)另一端，女孩走了 3分鐘到達(dá)另一端。問：該 扶梯共多少級？答案與提示1.12 周。解：設(shè)1頭牛1周吃的草為1份。牧場每周新長草（23X9-27 X6） - （ 9-6 ） =15 （份）。草地原有草（27-15 ） 0=72 （份），可供21頭牛吃72- （21-15 ） =12 （周）。2.40 頭。解：設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。牧場每天新長草（17X30 19X24 ） - （ 30-24 ） =9 （份）。草地原有草（17 9） X30=240

15、（份）。這群牛8天應(yīng)吃掉草240 + 9X8 + 4X2 = 320 （份），所以這群牛有320-8=40 （頭）。3.70 億。解：設(shè)1億人生活1年的資源為1份。地球每年新生成資源（80X300-100X 100）-（300-100）=70 （份）。當(dāng)新生成的資源不少于每年消耗掉的資源時，地球上的資源才不致減少。所以地球最多能養(yǎng)活70億人。4.5 時。解：設(shè)1部抽水機(jī)1時抽出的水為1份。水池中每小時涌出泉水（10X20 15X10 ）十 （20-10 ）= 5 （份）。水池中原有水（10-5 ） X20=100 （份）。25部抽水機(jī)抽干需 100- （ 25-5 ）= 5 （時）。5.10 分。解：設(shè)1個檢票