圓錐曲線題型總結(jié)

1、高三數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)總結(jié)（八）八、圓錐曲線1. 圓錐曲線的兩個(gè)定義 ：（ 1）第一定義 中要重視“括號(hào)” 內(nèi)的限制條件：橢圓中 ，與兩個(gè)定點(diǎn)F 1 ，F(xiàn) 2 的距離的和等于常數(shù)2a ，且此 常數(shù) 2a 一定要大于 F F2，當(dāng)常數(shù)等于 F F2時(shí)，軌跡是線段 F 1 F 2，當(dāng)常數(shù)小于F F2時(shí)，無(wú)軌跡；111雙曲線中 ，與兩定點(diǎn) F 1 ， F 2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a ，且此常數(shù) 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定義中的 “絕對(duì)值”與 2a |F1 F 2 | 不可忽視 。若 2a |F 1 F 2 | ，則軌跡是以 F 1 ， F 2 為端點(diǎn)的兩條射線，若

2、2a |F 1 F 2 | ，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點(diǎn) F1(3,0),F2(3,0) ，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡中是橢圓的是A PF1PF 24B PF1PF 26C PF1PF 210D PF122PF 212（ 2）方程 ( x6)2y2(x 6)2y28 表示的曲線是 _（ 2）第二定義 中要 注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“ 點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率 e 。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于 運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。如已知點(diǎn) Q(2

3、2,0)及拋物線 yx 2上一動(dòng)點(diǎn) P（ x,y） ,則 y+|PQ|的最小值是 _42. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（ 1）橢圓：焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí) x 2y 21（ a b0）xa cos （參數(shù)方程， 其中為參數(shù)），a2b2yb sin焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí) y 2x210 ）。方程Ax2By2C表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，a 2b 2 （ a b且 A ，B，C 同號(hào)， A B）。如（ 1）已知方程x2y21表示橢圓，則k 的取值范圍為 _3k2k（ 2）若 x, yR ，且2222x2y6，則xy的最大值是_ xy的

4、最小值是_3，22y 軸上： y22（ 2 ）雙曲線 ：焦點(diǎn)在x 軸上： x 2y2=1 ，焦點(diǎn)在2x2 1 （ a0, b 0）。方程Ax2By2ababC 表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC 0，且 A ， B 異號(hào)）。如（ 1）雙曲線的離心率等于5 ，且與橢圓 x2y2有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_2941（ 2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn) F、F在坐標(biāo)軸上，離心率 e2 的雙曲線 C 過(guò)點(diǎn)P(4,10)，12則 C 的方程為 _（3）拋物線：開(kāi)口向右 時(shí) y22 px( p0) ， 開(kāi) 口 向 左 時(shí) y22 px( p 0) ， 開(kāi) 口 向 上 時(shí)x22 py( p 0) ，開(kāi)口向下

5、時(shí)x22 py( p 0)。3. 圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷 （首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷） ：（ 1）橢圓 ：由 x 2 , y 2 分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程x 2y2m 的取值范圍是 _m 121 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則m（ 2）雙曲線 ：由 x 2 , y 2 項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（ 3）拋物線 ：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。特別提醒 ：（ 1）在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F 1 ， F 2 的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)a,b ，確

6、定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷開(kāi)口方向；（ 2）在橢圓中，a 最大， a2b2c2 ，在雙曲線中，c 最大， c2a2b2 。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì) ：（ 1）橢圓（以 x2y21（ ab 0 ）為例）：范圍：a x a,b yb ；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦a2b 2點(diǎn) ( c,0)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸 x0, y0，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0 ），四個(gè)頂點(diǎn) (a,0),(0,b) ，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 a ，短軸長(zhǎng)為2 b ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線xa2ce 1， e 越； 離心率： e，橢圓0小，橢圓越圓； e 越大，橢圓越扁。ca如（ 1）若橢圓 x2y21的離

7、心率 e10 ，則 m 的值是 _5m5（ 2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1 時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi)（ 2）雙曲線 （以x2y2a0, b0）為例）：范圍： xa 或 xa, yR ；焦點(diǎn)：兩a21 （b2個(gè)焦點(diǎn) (c,0) ；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x 0, y0 ，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0 ），兩個(gè)頂點(diǎn) (a,0) ，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2 a ，虛軸長(zhǎng)為 2b ，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2y2k, k 0 ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線xa2； 離心率： ece1 ，等軸雙曲線c，雙曲線ab x 。e2 ， e 越小，開(kāi)口越小， e 越大，開(kāi)口越大；兩

8、條漸近線：y3x2y0，則該雙曲線的離心率等于a如（ 1）雙曲線的漸近線方程是_（ 2）雙曲線 ax2by2 1的離心率為 5 ，則 a : b =（ 3）設(shè)雙曲線 x2y 21（ a>0,b>0）中，離心率 e 2 ,2, 則兩條漸近線夾角 的取值范圍是a2b2_（ 3）拋物線 （以 y22 px( p0) 為例）：范圍： x0, yR ；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)( p ,0) ，其中 p2的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸y0 ，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線xp； 離心率： ece1。2，拋物線a如設(shè) a 0,aR ，則拋物線 y 4ax2 的焦點(diǎn)

9、坐標(biāo)為 _5、點(diǎn) P(x0 , y0 ) 和橢圓x2y21（ ab 0 ）的關(guān)系 ：a2b2（ 1）點(diǎn) P( x0, y0 ) 在橢圓外x02y021；a2b2（ 2）點(diǎn) P( x0, y0 ) 在橢圓上x(chóng)02y02 1；a2b2（ 3）點(diǎn) P( x , y0) 在橢圓內(nèi)x02y0210a2b26直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（ 1）相交：0直線與橢圓相交；0 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有0 ，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0是直線與雙曲線相交的充分條件， 但不是必要條件；0直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0 ，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平

10、行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0 也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（ 1）若直線 y=kx+2 與雙曲線 x2-y 2=6 的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k 的取值范圍是 _；（ 2）直線 y kx 1=0 與橢圓 x2y21 恒有公共點(diǎn)，則m 的取值范圍是 _5m（ 3）過(guò)雙曲線x2y 21的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A 、B 兩點(diǎn)，若 AB 4，則這樣的直線有_12條（ 2）相切：0直線與橢圓相切；0直線與雙曲線相切；0直線與拋物線相切；（ 3）相離：0直線與橢圓相離；0直線與雙曲線相離；0直線與拋物線相離。特別提醒 ：（ 1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置

11、關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交 ,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（ 2）過(guò)雙曲線 x2y2 1 外一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：P 點(diǎn)在a2b2兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條； P 點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P 在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P 為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的

12、直線；（ 3 ）過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。如（ 1）過(guò)點(diǎn) (2,4) 作直線與拋物線y28x 只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_22（ 2）過(guò)點(diǎn) (0,2)與雙曲線xy1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為_(kāi)916（ 3）對(duì)于拋物線 C： y 24x ，我們稱滿足y024x0 的點(diǎn) M (x0 , y0 ) 在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn) M (x0 , y0 ) 在拋物線的內(nèi)部，則直線l ： y0 y2( xx0 ) 與拋物線 C 的位置關(guān)系是 _（ 4）過(guò)拋物線 y24x的焦點(diǎn) F 作一直線交拋物線于 P、 Q 兩點(diǎn)，若線段PF與 FQ

13、 的長(zhǎng)分別是 p、 q ，則 11_pq（ 5）設(shè)雙曲線 x2y21的右焦點(diǎn)為 F ，右準(zhǔn)線為 l ，設(shè)某直線 m 交其左支、右支和169右準(zhǔn)線分別于 P,Q, R，則PFR 和 QFR 的大小關(guān)系為 _（ 6）求橢圓 7x 24 y 228上的點(diǎn)到直線3x2y160的最短距離（7）直線y ax 1與雙曲線3221交于 A 、 B 兩點(diǎn)。當(dāng)a為何值時(shí)， A、 B 分x y別在雙曲線的兩支上？當(dāng)a 為何值時(shí)，以AB 為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？7、焦半徑 （圓錐曲線上的點(diǎn)P 到焦點(diǎn) F 的距離） 的計(jì)算方法 ：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑r ed ，其中 d 表示 P 到與

14、F 所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（ 1）已知橢圓 x2y 2上一點(diǎn) P 到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn) P 到右準(zhǔn)線的距離為 _12516（ 2）已知拋物線方程為y2 8x，若拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng) 軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于 _；（ 3）若該拋物線上的點(diǎn)M 到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 _（ 4）點(diǎn) P 在橢圓 x2y21上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P259的橫坐標(biāo)為 _（ 5）拋物線 y22x 上的兩點(diǎn) A、 B 到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段 AB 的中點(diǎn)到y(tǒng) 軸的距離為 _（ 6）橢圓 x 2y21內(nèi)有一點(diǎn) P(1,1) ， F 為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，

15、使 MP2 MF 之值最43小，則點(diǎn)M 的坐標(biāo)為 _8、焦點(diǎn)三角形 （橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題 ：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)P( x0 , y0 ) 到兩焦點(diǎn) F1 , F2 的距離分別為 r1 , r2 ，焦點(diǎn) F1 PF2 的面積為 S ，則在橢圓 x2y 21中， 2b21)，且當(dāng) rr即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為a 2b 2arccos(r1 r212max arccos b 2c2； Sb2 tan2c | y0 | ，當(dāng) | y0|b 即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)， Smax 的最大值為 bc；a 2對(duì)于雙曲線 x2y21的焦點(diǎn)三角形

16、有：arccos 12b2； S1 r1r2 sinb2 cot。a2b2r1 r222如（ 1）短軸長(zhǎng)為5 ，離心率 e2的橢圓的兩焦點(diǎn)為F1 、 F2 ，過(guò) F1 作直線交橢圓于 A 、B 兩點(diǎn)，3則 ABF2 的周長(zhǎng)為 _（ 2）設(shè) P 是等軸雙曲線x2y2a2 (a0) 右支上一點(diǎn)，1、F2 是左右焦點(diǎn)， 若PF2 F1 F20，|PF1|=6，F(xiàn)則該雙曲線的方程為（3）橢圓x2y2<0時(shí)，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)的91的焦點(diǎn)為 F1、 F2，點(diǎn) P 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PF2·PF14取值范圍是（ 4）雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率 e6 ， F1、 F2 是它的左右焦點(diǎn)，若過(guò)F1

17、 的直線與雙曲線的左支2交于 A、 B 兩點(diǎn)，且 AB 是 AF2 與 BF2 等差中項(xiàng)，則AB _（ 5 ）已知雙曲線的離心率為2 ， F1 、 F2 是左右焦點(diǎn)，P 為雙曲線上一點(diǎn)，且F1 PF260 ，SPF1F212 3 求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì) ：（ 1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切； （ 2）設(shè) AB 為焦點(diǎn)弦， M 為準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)，則 AMF BMF；（ 3）設(shè) AB 為焦點(diǎn)弦， A、 B 在準(zhǔn)線上的射影分別為 A1 ， B1 ，若 P 為 A1 B1 的中點(diǎn)，則PA PB；（ 4）若 AO的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于C，則 BC平行于 x

18、 軸，反之，若過(guò) B點(diǎn)平行于 x 軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則 A， O， C三點(diǎn)共線。10、弦長(zhǎng)公式 ：若直線 ykx b 與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A 、B，且 x1, x2 分別為 A 、B 的橫坐標(biāo)， 則 AB 1 k 2x1x2 ，若 y , y分別為 A 、 B 的縱坐標(biāo)，則AB 11 y1y2 ，若弦 AB 所在直線方12k 2程設(shè)為 xkyb，則 AB 1 k 2 y1y2 。特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（ 1）過(guò)拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（ x1，y1），B（ x2，y

19、2）兩點(diǎn)， 若 x1+x2=6，那么 |AB|等于 _（ 2）過(guò)拋物線 y22x 焦點(diǎn)的直線交拋物線于A 、 B 兩點(diǎn)，已知 |AB|=10 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ABC重心的橫坐標(biāo)為 _11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題： 遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用 “韋達(dá)定理” 或“點(diǎn)差法” 求解。在橢圓 x 2y 21k= b2 x0a 2b 2中，以 P( x0 , y0 ) 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在雙曲線 x2y2 1中，以 P( x0 , y0 ) 為中點(diǎn)的a2 y0a2b2弦所在直線的斜率k= b2 x0 ；在拋物線y22 px( p0) 中，以 P(x0 , y0 ) 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率a2 y0k

20、=p 。y022如（ 1）如果橢圓xy1 弦被點(diǎn) A（ 4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是369（ 2）已知直線x2y21(a b 0) 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，且線段AB 的中點(diǎn)在直線y= x+1 與橢圓2b2aL ： x2y=0 上，則此橢圓的離心率為_(kāi)（ 3）試確定 m 的取值范圍，使得橢圓x2y2y 4x m 對(duì)稱；41上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線3特別提醒 ：因?yàn)? ！0 是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)12你了解下列結(jié)論嗎？（ 1）雙曲線 x2y 21的漸近線方程為x 2y20 ；a 2b 2a 2b2（ 2）以 yb x 為漸近

21、線（即與雙曲線x2y21共漸近線） 的雙曲線方程為 x 2y 2( 為參數(shù)，aa 2b 2a 2b 2 0）。如與雙曲線 x2y21有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)( 3,2 3) 的雙曲線方程為 _916（ 3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為mx2ny21；（ 4）橢圓、雙曲線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為2b2，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）a為 b2，拋物線的通徑為2 p ，焦準(zhǔn)距為 p ；c（ 5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；（ 6）若拋物線 y22 px( p0) 的焦點(diǎn)弦為 AB， A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，則 | AB |

22、x1 x2 p ； x1x2p2, y1 y2p24（ 7）若 OA、OB是過(guò)拋物線 y22 px( p 0) 頂點(diǎn) O的兩條互相垂直的弦， 則直線 AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn) (2 p,0)13動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 ：（ 1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；（ 2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立x, y 之間的關(guān)系F ( x, y)0 ；如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P 到定點(diǎn) F(1,0) 和直線 x3的距離之和等于4，求 P 的軌跡方程；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如線段 AB 過(guò) x 軸正半軸上一點(diǎn) M （ m， 0）

23、 (m 0) ，端點(diǎn) A 、 B 到 x 軸距離之積為 2m，以 x 軸為對(duì)稱軸，過(guò) A 、O、 B 三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；如 (1) 由動(dòng)點(diǎn) P 向圓x2y2作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為0A、B， APB=60，則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方1程為（ 2）點(diǎn) M與點(diǎn) F(4,0)的距離比它到直線l：x 5 0的距離小于1，則點(diǎn) M的軌跡方程是 _(3) 一動(dòng)圓與兩圓 M： x 2 y2 1 和 N： x2 y 2 8x 12 0 都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)P( x, y) 依賴于另一動(dòng)點(diǎn)

24、Q(x0, y0 ) 的變化而變化，并且 Q( x0 , y0 ) 又在某已知曲線上，則可先用 x, y 的代數(shù)式表示x0 , y0 ，再將 x0 , y0 代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動(dòng)點(diǎn) P 是拋物線 y2x21上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為 A(0, 1) , 點(diǎn) M分 PA 所成的比為2，則 M的軌跡方程為 _參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P( x, y) 坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。x, y 均如（ 1） AB是圓 |OP | |MN |，求點(diǎn)O的直徑，且P 的軌跡。|AB|=2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作MN AB，垂足為

25、N，在OM上取點(diǎn)P ，使（ 2）若點(diǎn) P( x1 , y1) 在圓 x2y21上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn) Q( x1 y1 , x1y1 ) 的軌跡方程是 _（ 3）過(guò)拋物線 x24y 的焦點(diǎn) F 作直線 l 交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，則弦 AB的中點(diǎn) M的軌跡方程是 _注意 ：如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化。如已知橢圓 x2y 21(a b0) 的左、右焦點(diǎn)分別是F1（ c，0）、a 2b 2F2（c，0），Q 是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|F1Q|2a. 點(diǎn) P 是線段 F1Q與該橢圓的

26、交點(diǎn)，點(diǎn) T 在線段 F2Q 上，并且滿足 PTTF20,| TF2 |0.（ 1）設(shè) x 為點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)，證明|F1P|ac x ；（ 2）求點(diǎn) T 的軌跡 C 的方程；a（ 3）試問(wèn)：在點(diǎn)T 的軌跡 C 上，是否存在點(diǎn)M ，使 F1MF 2 的面積 S= b 2 .若存在，求 F1MF2 的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于 “平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合( 如角平分線的雙重身份對(duì)稱性、利用到角公式) 、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代

27、數(shù)問(wèn)題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么 可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化 .14、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：（ 1） 給出直線的方向向量u1, k 或 um, n ；（2）給出 OAOB 與 AB 相交 ,等于已知 OAOB過(guò) AB（3）給出 PMPN 0,等于已知 P 是 MN的中點(diǎn) ;（4）給出 APAQBPBQ ,等于已知P,Q 與 AB的中點(diǎn) ;的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;（5） 給出以下情形之一：AB/AC ；存在實(shí)數(shù),使ABAC；若存在實(shí)數(shù), , 且1,使OCOAOB , 等于已知

28、 A, B, C 三點(diǎn)共線 .（6） 給出 OPOAOB為定比，即 APPB1，等于已知 P 是 AB 的定比分點(diǎn)，（7） 給出 MA MB0,等于已知 MAMB ,即AMB 是直角 ,給出 MA MB m0 , 等于已知AMB 是鈍角,給出MA MB m等于已知AMB 是銳角,0 ,（8）給出MAMB等于已知 MP 是 AMB 的平分線/MAMBMP ,（ 9）在平行四邊形ABCD 中，給出 ( ABAD) (AB AD)0 ，等于已知 ABCD 是菱形 ;（ 10） 在平行四邊形ABCD 中，給出 | AB AD | | ABAD |，等于已知 ABCD 是矩形 ;222ABC 的外心（三

29、角形外接圓的圓心，（ 11）在ABC 中，給出 OAOBOC ，等于已知 O 是三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（12） 在ABC 中，給出 OAOBOC0，等于已知 O 是ABC 的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)） ；（13）在ABC 中，給出 OA OBOB OCOC OA ，等于已知 O 是ABC 的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；（14）在ABC 中，給出 OPOA( ABAC)(R ) 等于已知 AP 通過(guò)ABC 的內(nèi)心；| AB|AC|（ 15）在ABC 中，給出 a OAb OBc OC0, 等于已知 O 是ABC 的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角

30、形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；（16） 在ABC 中，給出 AD1 ABAC,等于已知 AD 是ABC 中 BC 邊的中線 ;2如 1.已知 F1、 F2 分別是橢圓 x 2y 21(ab0) 的左、右焦點(diǎn)， P 是此橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，并且a 2b 2PF1 PF2的取值范圍是 4,4.33（）求此橢圓的方程；（）點(diǎn) A 是橢圓的右頂點(diǎn)，直線y=x 與橢圓交于 B 、C 兩點(diǎn)（ C 在第一象限內(nèi)） ，又 P、Q 是此橢圓上兩點(diǎn)，并且滿足CPCQ)F1 F20, 求證：向量 PQ 與 AB 共線 .(|CP |CQ|2.已知點(diǎn) Q 位于直線 x3 右側(cè)，且到點(diǎn) F1,0 與到直線 x3 的

31、距離之和等于4.( )求動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡 C；( )直線 l 過(guò)點(diǎn) M 1,0交曲線 C 于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足 FP1 (FAFB) ，EP AB0 ，又 OE =( x0 ,0) ，2其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求x0 的取值范圍；( )在 ( )的條件下，PEF 能否成為以 EF 為底的等腰三角形？若能，求出此時(shí)直線l 的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由1.解：（）設(shè) P (x0 , y0 ), F1 ( c,0), F2 (c,0), 其中 ca 2b 2 ，則PF1 (c,0)(x0 , y0 )( x0c,y0 ) ， PF2(c,0)( x0 , y0 )( cx0 ,y0 ).從而(

32、,)(,)222222.PF1 PF2x0c x0y0x0cy0x0y0c2分c y0由于 b2x02y02a2 ，所以 b 2c2PF1 PF2a 2c2 ,即 2b2a2PF1PF2b2 .4 分又已知4PF1PF24 ，332b 2a 24 ,a 24,所以3b 24b24.,33從而橢圓的方程是x23 y21.6 分44（）因?yàn)?( CPCQ ) F1F20,而 CPCQ 與 PCQ 的平分線平行，所以|CP|CQ |CP |CQ | PCQ 的平分線垂直于x 軸.7 分由x23y 21,x1,44C(1,1).解得1,y x,y不妨設(shè) PC 的斜率為 k，則 QC 的斜率為 k，因此 PC 和 QC 的方程分別為yk( x1)1,y k( x1)1, yk( x1) 1,其中 k0,由 x 23 y2144消去 y 并整理得(132)x26(k1)