微積分極限法所依賴的極限在導(dǎo)數(shù)點(diǎn)根本不存在

1、 微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）的本質(zhì)及問(wèn)題詳析 沈衛(wèi)國(guó) （西北工業(yè)大學(xué)前邏輯與人工智能研究所，西安 710072）摘要：為了解決牛頓、萊布尼茲求導(dǎo)法所產(chǎn)生的貝克萊悖論問(wèn)題，微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）被提出。但后者成立的前提是這個(gè)極限必須存在。筆者經(jīng)分析得到結(jié)論，增量比值函數(shù)在0點(diǎn)的極限與函數(shù)值一樣，也不存在。于是極限法并沒(méi)有也不可能解決根本問(wèn)題。此問(wèn)題的解決，必須要有新的思想。關(guān)鍵詞：微積分；標(biāo)準(zhǔn)分析；極限；增量比值函數(shù)；貝克萊悖論；導(dǎo)數(shù) 一、以二次函數(shù)為例對(duì)傳統(tǒng)微積分極限法求導(dǎo)過(guò)程的分析 微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）的提出是為了解決（而且通常也被“主流”看法認(rèn)為已經(jīng)解決）牛頓、萊布尼茲求導(dǎo)法產(chǎn)生的貝克

2、萊悖論的。在極限存在的前提下，單純從邏輯上講，這沒(méi)有問(wèn)題。但極限法的全部合理性，徹底依賴于這個(gè)極限在0點(diǎn)的存在性。過(guò)去包括筆者在內(nèi)的所有文獻(xiàn)，均未見(jiàn)對(duì)此提出異議。但在此文中，筆者經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，增量的比值函數(shù)在0點(diǎn)的極限根本就不存在，于是極限法賴以成立的依據(jù)就不存在了。以往那種本來(lái)就很牽強(qiáng)的以極限值（盡管還是永不可達(dá)的）取代增量比值函數(shù)在0點(diǎn)本無(wú)定義的函數(shù)值（為0/0）的做法也隨之徹底不能成立了。 筆者在【文獻(xiàn)4】圍繞該文中的公式11也就是下面的公式1，已經(jīng)對(duì)此進(jìn)行了討論，實(shí)際上幾乎已經(jīng)得到正確的結(jié)論了，但可惜尚未明確。下面詳細(xì)分析這個(gè)問(wèn)題。 上面公式1就是極限法求二次函數(shù)=2的導(dǎo)數(shù)的最經(jīng)典的式子

3、。由此式右數(shù)第二個(gè)等號(hào)兩邊可知，當(dāng)x趨于0時(shí)，其自身也就是x本身的極限明確等于0。由此上式中左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)，只能等于0/0。因?yàn)橥?，?dāng)x趨于0時(shí)，此項(xiàng)無(wú)論分子還是分母中的x的極限均為0，也就是當(dāng)x趨于0時(shí)，整個(gè)比式的極限為0/0，也就是沒(méi)有“有意義”的極限或極限值不定。即該比式在x=0時(shí)根本就不存在有意義的極限值。這從兩個(gè)極限之比的極限存在的必要條件為分母的極限不能為0的極限運(yùn)算法則也可印證。當(dāng)然，有教科書(shū)中也有一條規(guī)定（也算極限運(yùn)算“法則”之一）：“對(duì)于0/0型的極限，因式分解約去分母上的零因子后求解”。但此“規(guī)定”或“法則”在一句話中就前后自相矛盾：先是得到“0/0型極限”也就是

4、極限為0/0，而后馬上又令消去分子分母上的共同的“零因子”而“求解”出另一個(gè)非0/0型的極限。而這個(gè)所謂的“約去”，不過(guò)是對(duì)分母上為0的因子進(jìn)行相除，也就是0除以0（即0/0）于是上面的這條“規(guī)定”不能不變成“對(duì)于0/0型的極限，因式分解后進(jìn)行0/0類型的相除操作，然后求出非0/0型的極限”。顯然，這個(gè)對(duì)原式本質(zhì)上自相矛盾的加工、改動(dòng)后求出的“極限”只能是一個(gè)新的脫離原式而等于加工后的式子的極限（有意義的一個(gè)數(shù)），而非原式的極限（0/0），否則只有自相矛盾。此外，一個(gè)分式，哪怕分子、分母中有共同因子，也沒(méi)有必須相除（無(wú)論有沒(méi)有共同因子）成為非分式的道理，始終保持分式形式無(wú)任何問(wèn)題。如此，即使在

5、零點(diǎn)函數(shù)根本沒(méi)有定義（函數(shù)的定義域不包括零點(diǎn)），也可以有極限值0/0，盡管此時(shí)它無(wú)意義也罷。同時(shí)，分子、分母相除“以約去分母上的零因子”，其本質(zhì)就是零除以零后還要等于1，即0/0=1，這根本就不合理。退一步說(shuō)，就算該比值函數(shù)的定義域一開(kāi)始就不包括零點(diǎn)（事先規(guī)定、定義的），或者由于在零點(diǎn)出現(xiàn)0/0型函數(shù)值和極限值因此被“認(rèn)為”定義域不應(yīng)包括零點(diǎn)（由因果關(guān)系導(dǎo)致的），此時(shí)雖然可以分子、分母相除了（分母不為0了。相除后自然可以得到一個(gè)有意義的非0/0型極限）。但前已論及，這種“相除”不是必須的，因此極限不能排除、也就是完全可以仍舊是0/0。如此，這種定義域不包括0點(diǎn)的分母上為自變量的比值函數(shù)，根據(jù)分

6、子、分母的相除與不相除（當(dāng)然都可以），竟然可以分別得到兩個(gè)邏輯上都說(shuō)的通的、不同的、而且直接矛盾的結(jié)果（極限值），一個(gè)是0/0型的，一個(gè)是非0/0型的。這本質(zhì)上仍就是一個(gè)隱性的貝克萊悖論。其根本原因是：人為“規(guī)定”函數(shù)在=0點(diǎn)無(wú)定義本身是有問(wèn)題的。因?yàn)榍耙咽黾按藭r(shí)雖然函數(shù)本身在該點(diǎn)無(wú)定義，但在該點(diǎn)卻可以有極限0/0（盡管是無(wú)意義的極限），從而也應(yīng)該可以定義函數(shù)值0/0（按連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)）。同理，對(duì)非0/0型極限也可得到一個(gè)非0/0型的函數(shù)值。于是不但這兩個(gè)結(jié)果之間互相矛盾，而且我們一開(kāi)始把=0點(diǎn)從函數(shù)的定義域中排除變得沒(méi)有什么意義和道理（反倒得到在該點(diǎn)可以有函數(shù)值的結(jié)果）?？梢?jiàn)，前述有些教科書(shū)

7、中對(duì)“0/0型極限”的“求解”得到有意義極限值的方法、規(guī)定根本就不能成立，也就是不能確定地得到一個(gè)非0/0型的有意義的極限值，進(jìn)而也就不能最終排除一個(gè)0/0型的并無(wú)意義（僅在此意義上，它還是有其特殊的“意義”的，也就是明確知道在此點(diǎn)會(huì)得到這么一個(gè)“無(wú)意義的”結(jié)果，以區(qū)別于直接把該點(diǎn)排除在定義域之外）的極限值。此外，上面公式1中左起第一個(gè)等號(hào)的右項(xiàng)是導(dǎo)數(shù)的直接定義式，其“優(yōu)先級(jí)”顯然高于上式中左數(shù)第二個(gè)等號(hào)右邊那項(xiàng)，注意：前者的原始“定義域”是包括=0那點(diǎn)的，也就是并沒(méi)有“事先”人為地規(guī)定該比值函數(shù)不能到達(dá)=0點(diǎn)或在該點(diǎn)無(wú)值，只是“后來(lái)”無(wú)論是函數(shù)值進(jìn)而還是極限值在=0點(diǎn)都是無(wú)意義的0/0（而這

8、正是比值函數(shù)的性質(zhì)所決定的），也只有在這個(gè)結(jié)果或前提下，我們才可以說(shuō)該比值函數(shù)和其極限函數(shù)在=0點(diǎn)無(wú)定義（無(wú)有意義的值），或其定義域不包括=0點(diǎn)。但這顯然并不意味著在=0點(diǎn)（注意：此時(shí)該點(diǎn)是包括在定義域里面的）就不能有“無(wú)意義”的0/0型函數(shù)值進(jìn)而極限值。從公式1左邊優(yōu)先的不成文規(guī)定可以看到，這個(gè)在=0點(diǎn)（此時(shí)包括在定義域中）客觀存在的0/0型函數(shù)值與極限值，從邏輯上是優(yōu)先的，而公式1的右邊必須無(wú)條件地“服從”其本源式本身所具有的、或由此為其所限定的前提條件【二者顯然必須一致，等式才能嚴(yán)格成立。而此處在求極限前已經(jīng)事先進(jìn)行了消去分母中的x操作，而如此操作只有在默許該比值函數(shù)的原始定義域并不包括

9、=0點(diǎn)才行（因?yàn)榉帜干暇陀斜旧恚@然，這個(gè)額外的假設(shè)及建立在這個(gè)假設(shè)上的操作有意無(wú)意間等于人為取消了原導(dǎo)數(shù)定義式（公式1左起第一個(gè)等號(hào)兩邊）在x趨于0時(shí)在=0點(diǎn)（此時(shí)無(wú)論該函數(shù)還是極限函數(shù)值的定義域并沒(méi)有事先人為地排斥=0這一點(diǎn)）根本就沒(méi)有極限值（其值為0/0）的基本事實(shí)，因此就求極限而言，只能認(rèn)為是無(wú)效的】。而事實(shí)上嚴(yán)格地說(shuō)，公式1左數(shù)第二個(gè)等號(hào)根本就不成立，因?yàn)槠涞忍?hào)兩邊并不嚴(yán)格相等，只是有條件地相等。而一個(gè)必須附加限制條件才能成立的等式，卻不去或沒(méi)有注明這個(gè)條件，該等式嚴(yán)格說(shuō)是不能成立的，因此必須用“”而不是“=”來(lái)連接式子的兩邊。在這個(gè)具體問(wèn)題上，公式1的“潛臺(tái)詞”不能不是：由于在=

10、0點(diǎn)的定義域包括該點(diǎn)且分母上有本身的比值函數(shù)值及其極限值都是無(wú)意義的不定式0/0，因此在該點(diǎn)沒(méi)有有意義的也就是非0/0類型的函數(shù)值和極限值。也就是對(duì)非0/0類型的函數(shù)值和極限值而言，也可以認(rèn)為該函數(shù)的定義域不包括=0點(diǎn)。而既然定義域不包括=0點(diǎn)，那么這個(gè)分母中包括本身的比值式就可以選擇相除（注意：這里充其量也不過(guò)是“可以”，而絕不是“必須”。此時(shí)不去相除也完全可以，如此其在零點(diǎn)的極限仍為0/0），以消去分母上的，于是就可以得到一個(gè)有意義的非0/0型的極限值。顯然，上述推理是錯(cuò)的！因?yàn)樯厦嫱评淼玫健坝幸饬x的非0/0型”的極限值的前提即“函數(shù)和極限函數(shù)的定義域不包括=0點(diǎn)”此時(shí)不是無(wú)前提的，而這個(gè)

11、前提正好就是該比值函數(shù)和極限函數(shù)在=0點(diǎn)恰好已經(jīng)有無(wú)意義的0/0型函數(shù)值和極限值。因此再不能有非0/0型的有意義的函數(shù)值和極限值了。更何況前面已經(jīng)論及，函數(shù)的定義域不包括零點(diǎn)，也并不就意味著一定要分子分母相除以消去分母上的。因此，公式1中的等號(hào)必不成立。依據(jù)這個(gè)思路我們可以作一個(gè)簡(jiǎn)單的證明，來(lái)證明在=0點(diǎn)沒(méi)有有意義的非0/0型的極限值存在：設(shè)有這樣的極限值存在，則必沒(méi)有無(wú)意義的0/0型極限存在。但實(shí)際上由上面的分析可知這個(gè)無(wú)意義的0/0型極限是存在的，因?yàn)樵?0點(diǎn)該比值函數(shù)的0/0類型的函數(shù)值是存在的，否則牛頓、萊布尼茲就已經(jīng)解決問(wèn)題了，根本不用再有什么極限法，因?yàn)?/0函數(shù)值的問(wèn)題正是牛頓、

12、萊布尼茲法所產(chǎn)生的，也是人們尋求極限法所要解決的。而由連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)有值則必有相同極限值的原則，該點(diǎn)必然也有與函數(shù)值一樣的0/0極限值。此外，既然比值函數(shù)是分?jǐn)?shù)形式的，也就是有分子、分母，那么，其任何值及極限也應(yīng)該是、起碼是可以是分?jǐn)?shù)形式的，哪怕這個(gè)極限是無(wú)意義的0/0形式。這是“比值函數(shù)”的性質(zhì)所決定的。因此，如果一個(gè)極限不能表示為分?jǐn)?shù)形式，則必不是這個(gè)分?jǐn)?shù)函數(shù)的極限值。綜上，由反證法，原設(shè)非0/0型極限必不存在。得證。也就是：公式1的等式如果要絕對(duì)地成立，則不但要附加上限制條件：該函數(shù)值在=0點(diǎn)為0/0，而且還要特別要強(qiáng)調(diào)：必須還要充分地“尊重”其“本源”式即公式1中左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)

13、沒(méi)有有意義的極限(或極限為0/0）這一點(diǎn)，即必須加上在x=0時(shí)沒(méi)有有意義的極限（或極限為0/0）這個(gè)限制條件（本文新發(fā)現(xiàn)的），等式才可成立。而如此一來(lái)，當(dāng)然就得不到最后的“有意義的”極限值2x了。因此對(duì)原始意義的導(dǎo)函數(shù)式（公式1左邊）而言，它只能是個(gè)“偽極限”。于是，皮之不存毛將焉附？極限都沒(méi)有了，還有什么極限法？還有什么建立其上的“標(biāo)準(zhǔn)分析”？如果硬要說(shuō)最后得到的2x是個(gè)極限值，那也是另一個(gè)函數(shù)（盡管與原增量比值函數(shù)在0點(diǎn)完全一樣）的極限，而絕不是原增量比值函數(shù)也就是導(dǎo)函數(shù)的極限（式1左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右項(xiàng)）。于是傳統(tǒng)的所謂極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）的本質(zhì)，不過(guò)是把一個(gè)本不是原增量比值函數(shù)的“極限值”

14、，去充當(dāng)根本就沒(méi)有極限值（x趨于0時(shí)，為0/0）的原增量比值函數(shù)的所謂極限值。這當(dāng)然不應(yīng)被允許?？傊?，極限原式也就是公式1左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)，顯然具有兩個(gè)“特性”：比值特性和分子、分母共同趨0（盡管0點(diǎn)無(wú)有意義的值或值為0/0）特性。但公式1左數(shù)第二個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)卻只剩下比值特性了（0點(diǎn)有有意義的非0/0型極限值），“分子、分母共同趨0特性”被有意無(wú)意地“丟失”或“隱匿”了。顯然，由公式1左數(shù)第二個(gè)等號(hào)相連接的這兩個(gè)式子并不等價(jià)，相較于左邊而言，右邊丟失了關(guān)鍵信息，所以等號(hào)右邊不能取代左邊，等號(hào)嚴(yán)格講必須換成不等號(hào)。而作為導(dǎo)數(shù)的定義式，顯然左邊的比值式（分母有x）才是所有討論必須依賴的出發(fā)

15、點(diǎn)。此外，我們可以再梳理一下傳統(tǒng)微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）在求導(dǎo)問(wèn)題上的具體做法，以看清其運(yùn)作的本質(zhì)：1、 承認(rèn)牛頓、萊布尼茨法會(huì)產(chǎn)生貝克萊悖論；2、為了解決這個(gè)悖論，傳統(tǒng)極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）首先“悄悄地”或無(wú)意中消去公式1左起第二個(gè)等號(hào)左邊項(xiàng)分母中的x，得到該等號(hào)的右邊項(xiàng)，這就等于人為地也是武斷地取消了導(dǎo)數(shù)的原始公式（公式1左起第一個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)）作為一個(gè)增量比值函數(shù)在x=0點(diǎn)既無(wú)有意義的非0/0型函數(shù)值、也無(wú)有意義的非0/0型極限值的原始屬性，把兩個(gè)原本不絕對(duì)相等（也可以認(rèn)為由于數(shù)學(xué)中“相等”所要求的絕對(duì)性，這里根本就不相等）的數(shù)學(xué)項(xiàng)，用等號(hào)聯(lián)系了起來(lái)（公式1左起第二個(gè)等號(hào)兩邊）；3、令公式1

16、中左起第二個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)中的x0（其實(shí)這里根本就不用兜什么圈子，干脆就是x=0），得到“它”的極限值2x，再一次強(qiáng)調(diào)，這個(gè)所謂的“極限值”不過(guò)是公式1左起第二個(gè)等號(hào)右邊項(xiàng)的極限值，而絕對(duì)不是該等號(hào)左邊項(xiàng)也就是導(dǎo)數(shù)的原始定義式的極限值，因此對(duì)此定義式而言只能認(rèn)為是個(gè)“偽極限”；4、明明這個(gè)“偽極限”就是在令x=0（牛頓、萊布尼茲法）或令趨向于0的極限值0（極限法）時(shí)求出來(lái)的，卻又把這個(gè)明明已經(jīng)得到的“偽極限”（假設(shè)為A），只說(shuō)成是“存在一個(gè)數(shù)A”，再由所謂說(shuō)法“論證”這個(gè)A就是那個(gè)所需要的極限（實(shí)際是偽極限），這是典型的循環(huán)論證。與其說(shuō)由法確定了極限A，還不如說(shuō)正是由于有了這個(gè)偽極限A才可以有這

17、個(gè)法。同時(shí)，人們還完全有意無(wú)意地忽略了對(duì)x=0時(shí)出現(xiàn)的函數(shù)值0/0、以及以0/0為“極限”值時(shí)我們同樣可以運(yùn)用說(shuō)法，也就是當(dāng)x0時(shí)函數(shù)趨向于0/0，但0/0卻不能被看成是有意義的極限；5、以這個(gè)“偽極限”去充當(dāng)（或代替）公式1左數(shù)第一個(gè)等號(hào)的右邊項(xiàng)也就是那個(gè)在x=0點(diǎn)根本就沒(méi)有極限值（或說(shuō)極限值為無(wú)意義的0/0）的增量比值函數(shù)在x=0點(diǎn)的極限值；6、令這個(gè)“偽極限值”再去充當(dāng)原增量比值函數(shù)（在x=0點(diǎn)無(wú)函數(shù)值）在x=0點(diǎn)之函數(shù)值，實(shí)際上得到一個(gè)新的連續(xù)函數(shù)，已取代了原先的那個(gè)在x=0點(diǎn)無(wú)有意義的值（0/0）因此間斷的函數(shù)；7、宣稱貝克萊悖論被解決或者原先根本就不存在貝克萊悖論（認(rèn)為這個(gè)悖論的存

18、在，是沒(méi)有發(fā)現(xiàn)上述那個(gè)“偽極限”作用的緣故）。簡(jiǎn)評(píng)：可以看出，“極限法”（標(biāo)準(zhǔn)分析）聲稱的用增量比值函數(shù)在x=0的極限值來(lái)充當(dāng)該函數(shù)在x=0點(diǎn)本不存在之值來(lái)消除貝克萊悖論是不行的，因?yàn)樵谠擖c(diǎn)既無(wú)函數(shù)值，也無(wú)極限值（都是無(wú)意義的0/0）。它實(shí)際做到的，是用前述“偽極限”來(lái)“代換”該點(diǎn)根本就不存在的“極限”，再用這個(gè)所謂的”極限“去”代換“該點(diǎn)同樣不存在的增量比值函數(shù)值。如果這種做法成立，那么，牛頓直接用消去原函數(shù)中的分母中x再令這個(gè)新的式子中的x=0得到2x去充當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值的做法也沒(méi)有什么理由不成立（根本無(wú)須繞個(gè)大圈子以實(shí)際上的“偽極限”來(lái)解決貝克萊悖論問(wèn)題）。但顯然貝克萊悖論并沒(méi)有因?yàn)榕ｎD的

19、做法而消失，恰恰相反，正因?yàn)檫@種做法而產(chǎn)生。以上討論可以看作是“極限法”（現(xiàn)在看嚴(yán)格講應(yīng)該是“偽極限法”）沒(méi)有消除貝克萊悖論的一個(gè)證明。 二、對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)/的極限、求導(dǎo)問(wèn)題的分析 再舉一個(gè)簡(jiǎn)單但明確的例子：設(shè)有特殊的比值函數(shù)x/x，顯然，這是函數(shù)y=x的導(dǎo)函數(shù)。它當(dāng)然可以在x0的前提下分子、分母相除后等于1（因此不是所謂“恒等于1”！因其在=0點(diǎn)等于0/0這個(gè)無(wú)意義的值。此外，1也不是必須的，不去相除仍為/不但是“未嘗不可”，而且還更“本源”一些）。顯然，x/x與1是兩個(gè)不同的函數(shù)。前者在=0點(diǎn)無(wú)值（0/0)，后者有值（仍為1）。而且按前述，我們沒(méi)有權(quán)利要求當(dāng)x0時(shí)只能寫(xiě)成1而不能寫(xiě)成.5/

20、5，2/2，1/1，0.1/0.1，0.01/0.01，.等等（當(dāng)x趨于0時(shí)）。而且后者按這個(gè)比值函數(shù)/的定義是本源的。況且即使將其寫(xiě)成1，我們也必須牢記該比值函數(shù)在x=0時(shí)不但是無(wú)值的（“值”為0/0），并且其在x=0時(shí)也是沒(méi)有極限值的（極限值也是0/0），除非在該點(diǎn)這個(gè)函數(shù)本身的值也等于1。因?yàn)槠洹氨驹础焙瘮?shù)也就是x/x在=0點(diǎn)（注意，此時(shí)該函數(shù)并沒(méi)有限制該點(diǎn)不能為其定義域中之點(diǎn)）的極限就是0/0，也就是沒(méi)有“有意義的”極限。因此，當(dāng)x趨于0時(shí)（注意：此時(shí)無(wú)論定義域包括不包括0點(diǎn)都無(wú)關(guān)系）函數(shù)x/x（始終不去分子、分母相除而保持分式形態(tài)）的極限與當(dāng)x趨于0時(shí)1這個(gè)特殊的函數(shù)（x=0時(shí)也有值

21、且等于1）的極限當(dāng)然不是一回事。后者與x其實(shí)無(wú)關(guān)（無(wú)論其為0還是不為0），因此當(dāng)然還是1，而前者極限為0/0，也就是根本沒(méi)有有意義的極限。我們說(shuō)函數(shù)本身在x=0時(shí)無(wú)值，對(duì)應(yīng)于牛頓、萊布尼茨時(shí)代的貝克萊悖論的本質(zhì)；而在該點(diǎn)該函數(shù)也沒(méi)有極限值（本文徹底闡明的），則對(duì)應(yīng)于所謂極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）下的更為隱蔽的貝克萊悖論的本質(zhì)（因此特別要強(qiáng)調(diào)：極限法并沒(méi)有如其所愿地解決牛頓、萊布尼茲所沒(méi)有解決的問(wèn)題）。它們的產(chǎn)生或存在，正像一個(gè)悖論所通常顯示的那樣：說(shuō)明理論在什么地方出了問(wèn)題。而指出了這個(gè)問(wèn)題后，悖論自然消除。具體到求導(dǎo)數(shù)這個(gè)問(wèn)題（無(wú)論牛頓法還是極限法），悖論的產(chǎn)生是沒(méi)有意識(shí)到不能隨意地消去分母的自變量

22、x再令其為0（或者趨于0然后取極限）。所以貝克萊悖論的解決，竟是弄明白了在x=0之點(diǎn)，既不存在有意義的增量的比值函數(shù)值，也不存在其有意義的極限值（都是0/0），因此也就不能允許隨便消去分母上的x。如此，也就沒(méi)有了什么悖論，有的只是理論非常明確的錯(cuò)誤。這是悖論產(chǎn)生的根源。至于如何解決所暴露出的問(wèn)題，則是另一項(xiàng)任務(wù)了（詳見(jiàn)文獻(xiàn)1、4、5）。具體到這里的例子，也就是極限雖然沒(méi)有，但函數(shù)y=x的導(dǎo)數(shù)卻有，這就是1，因此，有人也許會(huì)提出疑問(wèn)：這么說(shuō)傳統(tǒng)極限法根本就不應(yīng)該可以求出導(dǎo)數(shù)的，它怎么可以的？怎么做到的？詳見(jiàn)下文。 三、傳統(tǒng)微積分極限法雖有問(wèn)題，但卻可以得到正確結(jié)果的本質(zhì)原因 參見(jiàn)【參考文獻(xiàn)1】中

23、的圖1、圖4，我們通常所說(shuō)的y/x，其中無(wú)論函數(shù)的增量y還是自變量的增量x，都只涉及曲線上的兩個(gè)點(diǎn)。這個(gè)增量是曲線上二點(diǎn)間的縱坐標(biāo)值之差與橫坐標(biāo)值之差。這個(gè)增量之比y/x在數(shù)值上等于該曲線上過(guò)此二點(diǎn)的割線的斜率，我們令其為g/f，其中g(shù)與f，是這個(gè)割線上的任意二點(diǎn)間縱、橫坐標(biāo)值的增量。注意這里是“任意”，不受曲線上那兩個(gè)點(diǎn)的限制，受該二點(diǎn)限制的是“割線段”，也就是割線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)之間線段，它的“長(zhǎng)度”是會(huì)隨二點(diǎn)重合而為0的。但顯然一般意義的割線上的二點(diǎn)在求斜率時(shí)不應(yīng)重合成一點(diǎn)，因?yàn)椤靶甭省辈豢赡軆H僅由一個(gè)點(diǎn)來(lái)求得。在0時(shí)，當(dāng)然有y/x=g/f，但由于在x=0時(shí)f0，也就是當(dāng)曲線上的兩點(diǎn)（與

24、割線的交點(diǎn)）“收縮”成一點(diǎn)時(shí)，原先是過(guò)曲線上二點(diǎn)的割線，此時(shí)變成了切線。因此，不失一般性，為明確起見(jiàn)我們可以就令fx，gy，于是，當(dāng)x=0時(shí)雖然有y/x=0/0，無(wú)意義，但此時(shí)f0，因此g/f仍有確定的值，也就是原先是割線、現(xiàn)在已是切線的那根線的斜率。我們求的實(shí)際就是它，而不是通常被誤解而會(huì)產(chǎn)生諸多邏輯問(wèn)題的y/x。也就是說(shuō)，當(dāng)x0時(shí)，我們實(shí)際求的并不是y/x（會(huì)產(chǎn)生0/0)，而是g/f(不會(huì)產(chǎn)生0/0）。這也就是我們說(shuō)極限法有邏輯問(wèn)題，但卻可以“歪打正著”產(chǎn)生正確結(jié)果的“理論”原因。簡(jiǎn)單嗎？總之，在x=0時(shí)，意味著曲線上的兩個(gè)點(diǎn)合二為一了。但增量的比值函數(shù)本身要求必須一定要有兩個(gè)點(diǎn)，這是非0

25、增量的本質(zhì)性要求，于是，在曲線上那個(gè)唯一點(diǎn)（由兩點(diǎn)重合得到的）處還能夠滿足兩個(gè)點(diǎn)要求的，只有過(guò)該點(diǎn)的切線上的兩個(gè)點(diǎn)。也就是這個(gè)增量的比值是切線的斜率，它只涉及曲線上的一個(gè)點(diǎn)，也就是所求導(dǎo)數(shù)點(diǎn)。而只要涉及曲線上的兩個(gè)點(diǎn)，無(wú)論它們靠得多近，哪怕是無(wú)窮小，也會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題。當(dāng)然，如果僅僅涉及曲線上的一個(gè)點(diǎn)，而不涉及切線上的兩個(gè)點(diǎn)，也不行（有0/0的問(wèn)題）。所以盡管很多教科書(shū)中早就簡(jiǎn)單地把導(dǎo)數(shù)看成切線斜率了，但那只是指的數(shù)值相等，只在本身就有問(wèn)題的無(wú)窮小區(qū)段或極限時(shí)才成立（所謂微分三角形），以往沒(méi)人認(rèn)為它會(huì)是一個(gè)普普通通的宏觀量。因此，也可以本質(zhì)地認(rèn)為，傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)中的問(wèn)題，是把導(dǎo)數(shù)看成是曲線上二點(diǎn)間的

26、割線“段”（只是整個(gè)割線的一部分）的縱、橫坐標(biāo)增量的比值，于是，當(dāng)曲線上二點(diǎn)趨于一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)“線段”必然趨于0，因此產(chǎn)生0/0的問(wèn)題。但如果曲線上的二點(diǎn)不趨于一點(diǎn)，則必有誤差，哪怕是無(wú)窮??；而筆者的求導(dǎo)，不過(guò)是只要求“過(guò)”曲線上二點(diǎn)的那個(gè)割線上的“任意”二點(diǎn)，如此涉及的點(diǎn)的總數(shù)，不僅僅是原先理論中的曲線與割線的兩個(gè)交點(diǎn)了，還有割線上的另外兩個(gè)任意點(diǎn)，也就是一共涉及4個(gè)點(diǎn)。于是在曲線上的二點(diǎn)趨于一點(diǎn)時(shí)，涉及的切線上的另外二點(diǎn)不受此限制，不會(huì)趨于一點(diǎn)，因此仍有求斜率的條件，也就是過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線的斜率。同時(shí)，既然不過(guò)是切線的斜率，就不必一定采用這種重新被解釋的“極限法”（此時(shí)僅有形式、過(guò)程本身了

27、）來(lái)求導(dǎo)數(shù)，筆者提出的代數(shù)法起碼在理論上也可以【1】?？傊?，傳統(tǒng)微積分（無(wú)論牛頓法還是“極限法”，本質(zhì)一樣）貝克萊悖論的產(chǎn)生本質(zhì)，還是源于導(dǎo)數(shù)定義中的雙點(diǎn)要求，同時(shí)導(dǎo)數(shù)又嚴(yán)格定義在曲線上一個(gè)點(diǎn)的基本事實(shí)。這兩個(gè)導(dǎo)數(shù)的基本要素間的表觀矛盾沒(méi)有被澄清。如果僅僅拘泥于在曲線上，二點(diǎn)合一與不合一，都不行。而把問(wèn)題分解到曲線上的一個(gè)點(diǎn)（切點(diǎn)，當(dāng)然也是切線上的一個(gè)點(diǎn)）與切線上的另外兩個(gè)點(diǎn)，則矛盾自消。事實(shí)上，我們可以將導(dǎo)函數(shù)看成一個(gè)特殊類型的泛函，只不過(guò)其過(guò)曲線上每點(diǎn)的函數(shù)，為線性且等值函數(shù)（等比函數(shù)，x/t不變，但t可以隨意取值）而已。 四、芝諾“飛矢不動(dòng)”悖論與微積分貝克萊悖論（即0/0問(wèn)題）的關(guān)聯(lián)性

28、分析及矛盾的化解 事實(shí)上，微積分求導(dǎo)問(wèn)題中的貝克萊悖論與古希臘的芝諾悖論中的“飛矢不動(dòng)”悖論是同構(gòu)的。再以自函數(shù)x/x為例。都知道其有導(dǎo)數(shù)恒為1，按物理解釋，就是速度為1。其量綱為“距離/時(shí)段”。從這個(gè)量綱也可以看出，時(shí)段x0。飛矢不動(dòng)悖論，就是問(wèn)的在x=0時(shí)，以恒定速度1運(yùn)動(dòng)（在這個(gè)具體的例子中）的“飛矢”，究竟是靜止還是運(yùn)動(dòng)？按以往極限論的觀點(diǎn)，x=0時(shí)，雖然沒(méi)有函數(shù)值，也就是恒定速度值，但因?yàn)橛羞@個(gè)恒定速度的“極限”，也就是令這個(gè)極限值為x=0點(diǎn)之值，并命名其為 “瞬時(shí)速度”。極限論者認(rèn)為只要進(jìn)行了這個(gè)“代換”，問(wèn)題就算徹底解決了，而全然不顧在x=0時(shí)，分母為0，從速度的量綱上也可以看的

29、出來(lái)，此時(shí)這個(gè)函數(shù)值為0/0，根本就沒(méi)有有意義的所謂“速度”。極限論成立的前提條件，顯然是先要有這個(gè)“極限”值，但由前文分析我們現(xiàn)在知道，這個(gè)極限值根本就不存在（在x=0點(diǎn)），它與速度本身的值一樣，也是0/0，無(wú)意義。因此想以這個(gè)本不存在的“極限值”去填補(bǔ)原速度函數(shù)在x=0點(diǎn)不存在的值是不能成立的。也就是它沒(méi)有也不可能解決貝克萊悖論的問(wèn)題。當(dāng)然，對(duì)極限論的徹底分析，也有助于我們解決著名的芝諾悖論中的飛矢不動(dòng)悖論。芝諾認(rèn)為x=0時(shí)飛矢不動(dòng)就等于速度為0，但這是錯(cuò)的，因?yàn)樗^“不動(dòng)”可以是速度為0（指的是在時(shí)段x0時(shí)運(yùn)動(dòng)距離為0，而不是時(shí)段為0時(shí)的運(yùn)動(dòng)距離為0），也可以是時(shí)段本身就是0，也就是時(shí)刻

30、、瞬時(shí)（可以想象成理想化的、現(xiàn)實(shí)中不可能實(shí)現(xiàn)的時(shí)間的靜止?fàn)顟B(tài)）時(shí)的飛矢狀態(tài)，此時(shí)它當(dāng)然沒(méi)有移動(dòng)。但后者不叫速度為0，而是在一個(gè)“瞬時(shí)”或時(shí)刻（不是時(shí)段，或時(shí)段為0）上，時(shí)間沒(méi)有“移動(dòng)”，飛矢自然也不會(huì)“移動(dòng)”。但這不可能定義速度。因?yàn)樗c速度的定義不符。這以在此點(diǎn)它的值為0/0體現(xiàn)出來(lái)。至于之所以會(huì)有“瞬時(shí)速度”之說(shuō)，那只是一個(gè)重新定義的問(wèn)題。是把本質(zhì)上依賴于時(shí)段的本原的速度定義，重新定義在時(shí)刻上。是個(gè)次級(jí)定義。也必須重新解釋【1】。 五、一點(diǎn)說(shuō)明和對(duì)“甲函數(shù)、乙函數(shù)”理論的簡(jiǎn)評(píng) 1、應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是：即使微積分極限論（標(biāo)準(zhǔn)分析）以至于非標(biāo)準(zhǔn)分析都無(wú)錯(cuò)，都成立，也不就是筆者的“增量分析理論”【1、

31、4、5】就有錯(cuò)、不成立。也就是，如果極限論等有問(wèn)題，只有筆者這個(gè)方法可以消除其矛盾（消除矛盾依賴于筆者這個(gè)理論）；但反之，并不就是筆者這個(gè)方法依賴于極限論的錯(cuò)誤。也就是不存在它不錯(cuò)筆者就錯(cuò)的情況。我這個(gè)增量分析方法如果無(wú)矛盾地解釋了導(dǎo)數(shù)、微分等等，并且可以簡(jiǎn)化理論，那起碼也是可以和極限論的標(biāo)準(zhǔn)分析以致非標(biāo)準(zhǔn)分析等平行的一個(gè)方法。這點(diǎn)提請(qǐng)讀者注意。換言之，即使有些人仍然不認(rèn)可我對(duì)極限論矛盾的揭示，那也不意味著我提出的增量分析就不對(duì)。這是兩個(gè)問(wèn)題。 2、有學(xué)者提出“本質(zhì)上不同于極限或無(wú)窮小的道路通向微積分”的“甲函數(shù)、乙函數(shù)”的“第三代微積分理論”【6】，盡管頗有新意，但仔細(xì)分析可知：第一，并不能

32、用該理論直接求出導(dǎo)數(shù)，而只是借用早已得到的導(dǎo)數(shù)，去求證導(dǎo)數(shù)就是乙函數(shù)。第二、如果該理論真的不需要極限或無(wú)窮小，所涉及的曲線上的兩個(gè)點(diǎn)就是不必互相靠近以致重合之類，但如此，二點(diǎn)間可以有無(wú)窮條曲線，也就是可以有無(wú)窮個(gè)乙函數(shù)，導(dǎo)數(shù)不定，顯然不行。第三、如其不然，而乙函數(shù)又是定義在全域上的，也就是在任何點(diǎn)都有定義。于是【文獻(xiàn)6】中的公式4、5中“甲函數(shù)的差商是乙函數(shù)的中間值”的那個(gè)中間值本身的乙函數(shù)是什么？怎么得到？只有該文公式4、5中的等號(hào)成立才可，于是曲線上的二點(diǎn)合一，三值合一。但如此，必然產(chǎn)生中間值分母為0的老問(wèn)題，于是該文公式6的消去分母中自變量的增量的做法不再被允許，于是得不到有效的乙函數(shù)（

33、導(dǎo)數(shù)），而只能如傳統(tǒng)作法一樣得到一個(gè)0/0。第四、為了得到有意義的乙函數(shù)（非0/0型的），按照該理論的潛在思路及實(shí)質(zhì)，唯一的做法又是不得不依賴于傳統(tǒng)的也就是尚處于所謂“第二代”的極限理論，以這個(gè)極限去充當(dāng)或定義乙函數(shù)。但極限理論的問(wèn)題本文前文已經(jīng)給出詳盡的分析，不再重復(fù)。第五、該文的主旨就是回避極限理論的，所以在該文中并沒(méi)有涉及乙函數(shù)與極限的實(shí)質(zhì)上存在的隱含關(guān)系。由于前述第三、第四點(diǎn)表述的理由，于是該理論的完備性甚至還沒(méi)有達(dá)到傳統(tǒng)的、也就是被該文稱作是“第二代微積分”的極限論也就是標(biāo)準(zhǔn)分析的水準(zhǔn)。本質(zhì)上，它只是停留在該文所稱的“第一代微積分”的牛頓、萊布尼茲理論階段，不過(guò)換了一套反而更不直觀的表述形式而已。第六、由于該理論不去直接針對(duì)導(dǎo)數(shù)的直觀定義（物理上是“瞬時(shí)速度”，幾何上是“切線斜率”），想繞個(gè)彎子回避（也就是故意不去提）通常的教學(xué)難點(diǎn)也就是極限或無(wú)窮小概念，本質(zhì)上是試圖以回避矛盾的方式去解決矛盾，結(jié)果由于乙函數(shù)概念過(guò)于抽象，反而是不借助傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)概念很難為學(xué)生理解（坦率而言，不要說(shuō)學(xué)生，就是教師、專家又有多少真正把該理論的實(shí)質(zhì)搞清楚了的？），這也是作者推出這個(gè)理論試圖簡(jiǎn)化教學(xué)的目的顯然沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的根本原因