人教版高中數(shù)學(xué)必修3全套教案

1、教學(xué)過程第1課時 案例1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 大家喜歡打乒乓球吧，由于東、西方文化及身體條件的不同，西方人喜歡橫握拍打球，東方人喜歡直握拍打球，對于同一個問題，東、西方人處理問題方式是有所不同的.在小學(xué)，我們學(xué)過求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來. 當(dāng)兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)較大時（如8 251與6 105），使用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.下面我們介紹兩種不同的算法輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù),由此可以體會東、西方文化的差異. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了算法步驟、程序框圖和算法

2、語句.今天我們將通過輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)來進(jìn)一步體會算法的思想.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）怎樣用短除法求最大公約數(shù)？（2）怎樣用窮舉法（也叫枚舉法）求最大公約數(shù)？（3）怎樣用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)？（4）怎樣用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)？討論結(jié)果：（1）短除法 求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來.（2）窮舉法（也叫枚舉法） 窮舉法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù).（3）輾轉(zhuǎn)相除法 輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其

3、算法步驟可以描述如下： 第一步，給定兩個正整數(shù)m，n. 第二步，求余數(shù)r：計算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中. 第三步，更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r. 第四步，判斷余數(shù)r是否為0.若余數(shù)為0，則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第二步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行. 如此循環(huán)，直到得到結(jié)果為止. 這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫歐幾里得算法.（4）更相減損術(shù) 我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù). 九章算術(shù)是中國古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”翻譯為現(xiàn)

4、代語言如下： 第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)，若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步. 第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).應(yīng)用示例例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求8 251與6 105的最大公約數(shù),寫出算法分析，畫出程序框圖，寫出算法程序.解：用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)：8 251=6 105×1+2 146.由此可得，6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù)，反過來，8 251與6 105的公約數(shù)也是

5、6 105與2 146的公約數(shù)，所以它們的最大公約數(shù)相等.對6 105與2 146重復(fù)上述步驟：6 105=2 146×2+1 813.同理，2 146與1 813的最大公約數(shù)也是6 105與2 146的最大公約數(shù).繼續(xù)重復(fù)上述步驟：2 146=1 813×1+333，1 813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4. 最后的除數(shù)37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8 251與6 105的最大公約數(shù). 這就是輾轉(zhuǎn)相除法.由除法的性質(zhì)可以知道，對于任意兩個正整數(shù)，上述除法步驟總可以在有限步之后完成，從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除

6、法求出兩個正整數(shù)的最大公約數(shù).算法分析：從上面的例子可以看出，輾轉(zhuǎn)相除法中包含重復(fù)操作的步驟，因此可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法.算法步驟如下：第一步，給定兩個正整數(shù)m，n.第二步，計算m除以n所得的余數(shù)為r.第三步，m=n，n=r.第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.程序框圖如下圖：程序：INPUT m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND點評：從教學(xué)實踐看，有些學(xué)生不能理解算法中的轉(zhuǎn)化過程，例如：求8 251與6 105的最大公約數(shù),為什么可以轉(zhuǎn)化為求6 105與2 146的公約數(shù).因為8 251=6 105

7、15;1+2 146，可以化為8 251-6 105×1=2 164，所以公約數(shù)能夠整除等式兩邊的數(shù)，即6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù).變式訓(xùn)練 你能用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？試畫出程序框圖和程序.解：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖如下圖：程序：INPUT m，nr=1WHILE r0 r=m MOD n m=n n=rWENDPRINT mEND例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，如下圖所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1

8、414-7=7所以，98和63的最大公約數(shù)等于7.點評：更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的比較：盡管兩種算法分別來源于東、西方古代數(shù)學(xué)名著，但是二者的算理卻是相似的，有異曲同工之妙主要區(qū)別在于輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行的是除法運算，即輾轉(zhuǎn)相除；而更相減損術(shù)進(jìn)行的是減法運算，即輾轉(zhuǎn)相減，但是實質(zhì)都是一個不斷的遞歸過程變式訓(xùn)練 用輾轉(zhuǎn)相除法或者更相減損術(shù)求三個數(shù)324,243,135的最大公約數(shù).解：324=243×181，243=81×30，則324與243的最大公約數(shù)為81.又135=81×154，81=54×127，54=27×20，則 81 與 135的最大公約

9、數(shù)為27.所以,三個數(shù)324、243、135的最大公約數(shù)為27.另法：324243=81,24381=162,16281=81，則324與243的最大公約數(shù)為81.13581=54,8154=27,5427=27，則81與135的最大公約數(shù)為27.所以，三個數(shù)324、243.135的最大公約數(shù)為27.例3 （1）用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù).（2）用更相減損術(shù)求80和36的最大公約數(shù).解：（1）輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程如下：1232×4827，481×2721，271×216，213×63，62×3+0，最后6能被3整除，得123

10、和48的最大公約數(shù)為3.（2）我們將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，因為80和36都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2.80÷2=40，36÷2=18.40和18都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2.40÷2=20，18÷2=9.下面來求20與9的最大公約數(shù)，209=11，119=2，92=7，72=5，52=3，32=1，21=1，可得80和36的最大公約數(shù)為22×1=4.點評：對比兩種方法控制好算法的結(jié)束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達(dá)余數(shù)為0，更相減損術(shù)是到達(dá)減數(shù)和差相等.變式訓(xùn)練 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求1 734，816的最大公約數(shù)解：輾轉(zhuǎn)相除法：1 734=816

11、5;2+102，816=102×8（余0），1 734與816的最大公約數(shù)是102更相減損術(shù)：因為兩數(shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867，408，再求867與408的最大公約數(shù)867-408=459，459-408=51，408-51=357，357-51=306，306-51=255，255-51=204，204-51=153，153-51=102，102-51=51.1 734與816的最大公約數(shù)是51×2=102利用更相減損術(shù)可另解：1 734816918，918816102，816102714，714102612，612102510，510102408，40810230

12、6，306102204，204102102.1 734與816的最大公約數(shù)是102知能訓(xùn)練 求319，377，116的最大公約數(shù)解：377=319×1+58，319=58×5+29，58=29×2.377與319的最大公約數(shù)為29，再求29與116的最大公約數(shù)116=29×4.29與116的最大公約數(shù)為29.377，319，116的最大公約數(shù)為29.拓展提升 試寫出利用更相減損術(shù)求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的程序解：更相減損術(shù)程序：INPUT “m，n=”；m，nWHILE m<>nIF m>n THENm-nELSEm=n-mEND IF

13、WENDPRINT mEND課堂小結(jié)（1）用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù).（2）用更相減損術(shù)求最大公約數(shù).思想方法：遞歸思想.作業(yè) 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261，319的最大公約數(shù).分析：本題主要考查輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)及其應(yīng)用使用輾轉(zhuǎn)相除法可依據(jù)m=nq+r，反復(fù)執(zhí)行，直到r=0為止；用更相減損術(shù)就是根據(jù)m-n=r，反復(fù)執(zhí)行，直到n=r為止解：輾轉(zhuǎn)相除法：319=261×1+58,261=58×4+29,58=29×2.319與261的最大公約數(shù)是29更相減損術(shù)：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58

14、=29,58-29=29,319與261的最大公約數(shù)是29設(shè)計感想 數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，本節(jié)的引入從東、西方文化的不同開始，逐步向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化.從知識方面主要學(xué)習(xí)用兩種方法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)，從思想方法方面，主要學(xué)習(xí)遞歸思想.本節(jié)設(shè)置精彩例題，不僅讓學(xué)生學(xué)到知識，而且讓學(xué)生進(jìn)一步體會算法的思想，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情操第2課時 案例2 秦九韶算法導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 大家都喜歡吃蘋果吧，我們吃蘋果都是從外到里一口一口的吃，而蟲子卻是先鉆到蘋果里面從里到外一口一口的吃，由此看來處理同一個問題的方法多種多樣.怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5

15、時的值呢？方法也是多種多樣的，今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)， 今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時的值有哪些方法？比較它們的特點.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎樣評價一個算法的好壞？討論結(jié)果：（1）怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時的值呢？ 一個自然的做法就是把5代入多項式f(x)，計算各項的值，然后把它們加起來，這時，我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運算，5次加法運算. 另一種做法是先計算x2的值，然后依次計算x2

16、83;x，（x2·x）·x，（x2·x）·x）·x的值，這樣每次都可以利用上一次計算的結(jié)果，這時，我們一共做了4次乘法運算，5次加法運算. 第二種做法與第一種做法相比，乘法的運算次數(shù)減少了，因而能夠提高運算效率，對于計算機來說，做一次乘法運算所用的時間比做一次加法運算要長得多，所以采用第二種做法，計算機能更快地得到結(jié)果.（2）上面問題有沒有更有效的算法呢？我國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶（約12021261）在他的著作數(shù)書九章中提出了下面的算法： 把一個n次多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改寫成如下形式：f(x)=anxn+a

17、n-1xn-1+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+a1）x+ a0=（anxn-2+an-1xn-3+a2）x+a1)x+a0=（anx+an-1）x+an-2）x+a1）x+a0.求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即v1=anx+an-1，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，vn=vn-1x+a0，這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值.上述方法稱為秦九韶算法.直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進(jìn)的算法.（3）計算機的一個很重要的特點就是運算速度快，但即便如此，算法好壞的一個重要標(biāo)志仍然

18、是運算的次數(shù).如果一個算法從理論上需要超出計算機允許范圍內(nèi)的運算次數(shù)，那么這樣的算法就只能是一個理論的算法.應(yīng)用示例例1 已知一個5次多項式為f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)x=5時的值.解：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：f(x)=（(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)x=5時的值：v0=5；v1=5×5+2=27;v2=27×5+3.5=138.5;v3=138.5×5-2.6=689.9;v4=689.9×5+1.

19、7=3 451.2;v5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，當(dāng)x=5時，多項式的值等于17 255.2.算法分析：觀察上述秦九韶算法中的n個一次式，可見vk的計算要用到vk-1的值，若令v0=an，我們可以得到下面的公式：這是一個在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn).算法步驟如下：第一步，輸入多項式次數(shù)n、最高次的系數(shù)an和x的值.第二步，將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1.第三步，輸入i次項的系數(shù)ai.第四步，v=vx+ai,i=i-1.第五步，判斷i是否大于或等于0.若是，則返回第三步；否則，輸出多項式的值v.程序框圖如下圖：程序：IN

20、PUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND點評：本題是古老算法與現(xiàn)代計算機語言的完美結(jié)合，詳盡介紹了思想方法、算法步驟、程序框圖和算法語句,是一個典型的算法案例.變式訓(xùn)練 請以5次多項式函數(shù)為例說明秦九韶算法，并畫出程序框圖.解：設(shè)f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，讓我們以5次多項式一步步地進(jìn)行改寫：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（a5x3+a4x2+ a

21、3x+a2）x+a1）x+a0=（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分層計算,只用了小括號，計算時，首先計算最內(nèi)層的括號，然后由里向外逐層計算，直到最外層的括號，然后加上常數(shù)項即可.程序框圖如下圖：例2 已知n次多項式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an，如果在一種算法中，計算（k=2，3，4，n）的值需要k1次乘法，計算P3(x0)的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算P10(x0)的值共需要_次運算.下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)

22、+ak+1（k0，1，2，n1）利用該算法，計算P3(x0)的值共需要6次運算，計算P10(x0)的值共需要_次運算.答案：65 20點評：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運算的次數(shù)最多可到達(dá)，加法最多n次.秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運算的次數(shù)減少到最多n次，加法最多n次.例3 已知多項式函數(shù)f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，求當(dāng)x=5時的函數(shù)的值.解析：把多項式變形為：f(x)=2x55x44x3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7.計算的過程可以列表表示為：最后的系數(shù)2 677即為所求的值.算法過

23、程：v0=2；v1=2×55=5；v2=5×54=21；v3=21×5+3=108；v4=108×56=534；v5=534×5+7=2 677.點評：如果多項式函數(shù)中有缺項的話，要以系數(shù)為0的項補齊后再計算.知能訓(xùn)練當(dāng)x=2時，用秦九韶算法求多項式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值解法一：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)x=2時的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1

24、5;2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.當(dāng)x=2時，多項式的值為238.解法二：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，則f(2)=(3×2+8)×23)×2+5)×2+12)×26238拓展提升 用秦九韶算法求多項式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x當(dāng)x=3時的值.解：f(x)=(7x+6)+5)x+4)x+3)

25、x+2)x+1)xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2 369；v6=2 369×3+1=7 108；v7=7 108×3+0=21 324.f(3)=21 324.課堂小結(jié)1.秦九韶算法的方法和步驟.2.秦九韶算法的計算機程序框圖.作業(yè)已知函數(shù)f(x)=x32x25x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x32x25x+8=(x22x5)x+8=(x2)x5)x+8 f(9)=(92)×95)×9+8

26、=530.設(shè)計感想 古老的算法散發(fā)濃郁的現(xiàn)代氣息，這是一節(jié)充滿智慧的課.本節(jié)主要介紹了秦九韶算法. 通過對秦九韶算法的學(xué)習(xí)，對算法本身有哪些進(jìn)一步的認(rèn)識？ 教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、概括，小結(jié)時要關(guān)注如下幾點：（1）算法具有通用的特點，可以解決一類問題；（2）解決同一類問題，可以有不同的算法，但計算的效率是不同的，應(yīng)該選擇高效的算法；（3）算法的種類雖多，但三種邏輯結(jié)構(gòu)可以有效地表達(dá)各種算法等等.第3課時 案例3 進(jìn)位制導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入 在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，據(jù)說這與古人曾以手指計數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛?、一年?/p>

27、二個月、一小時六十分的歷法.今天我們來學(xué)習(xí)一下進(jìn)位制.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）你都了解哪些進(jìn)位制？（2）舉出常見的進(jìn)位制.（3）思考非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)化方法.（4）思考十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)及非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法.活動：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路討論結(jié)果：（1）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的計數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制等等.也就是說：“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)（都是大于1的整數(shù)）就是幾.（2）

28、在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進(jìn)制，據(jù)說這與古人曾以手指計數(shù)有關(guān)，愛好天文學(xué)的古人也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制，至今我們?nèi)匀皇褂靡恢芷咛臁⒁荒晔€月、一小時六十分的歷法.（3）十進(jìn)制使用09十個數(shù)字.計數(shù)時，幾個數(shù)字排成一行，從右起，第一位是個位，個位上的數(shù)字是幾，就表示幾個一；第二位是十位，十位上的數(shù)字是幾，就表示幾個十；接著依次是百位、千位、萬位例如：十進(jìn)制數(shù)3 721中的3表示3個千，7表示7個百，2表示2個十，1表示1個一.于是，我們得到下面的式子：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.與十進(jìn)制類似，其他的

29、進(jìn)位制也可以按照位置原則計數(shù).由于每一種進(jìn)位制的基數(shù)不同，所用的數(shù)字個數(shù)也不同.如二進(jìn)制用0和1兩個數(shù)字，七進(jìn)制用06七個數(shù)字.一般地，若k是一個大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式 anan-1a1a0（k）（0ank，0an-1，a1，a0k).其他進(jìn)位制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式，如110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20， 7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.非十

30、進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)比較簡單，只要計算下面的式子值即可：anan-1a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+a1×k+a0.第一步：從左到右依次取出k進(jìn)制數(shù)anan-1a1a0(k)各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即an×kn,an-1×kn-1,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù).（4）關(guān)于進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進(jìn)制和其他進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換.這樣做的原因是，計算機是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲

31、和計算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計算機的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計算機必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時計算機又把運算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.1°十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)的算法“除k取余法”.2°非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換一個自然的想法是利用十進(jìn)制作為橋梁.教科書上提供了一個二進(jìn)制數(shù)據(jù)與16進(jìn)制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進(jìn)制數(shù).應(yīng)用示例思路1例1 把二進(jìn)制數(shù)110 011(2)化為十進(jìn)

32、制數(shù).解：110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.點評：先把二進(jìn)制數(shù)寫成不同位上數(shù)字與2的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制的運算規(guī)則計算出結(jié)果.變式訓(xùn)練設(shè)計一個算法，把k進(jìn)制數(shù)a（共有n位）化為十進(jìn)制數(shù)b.算法分析：從例1的計算過程可以看出，計算k進(jìn)制數(shù)a的右數(shù)第i位數(shù)字ai與ki-1的乘積ai·ki-1，再將其累加，這是一個重復(fù)操作的步驟.所以，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法. 算法步驟如下：第一步，輸入a，k和n的值.

33、第二步，將b的值初始化為0，i的值初始化為1.第三步，b=b+ai·ki-1，i=i+1.第四步，判斷in是否成立.若是，則執(zhí)行第五步；否則，返回第三步.第五步，輸出b的值.程序框圖如下圖：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DO b=b+t*k（i-1） a=a10 t=a MOD 10 i=i+1LOOP UNTIL inPRINT bEND例2 把89化為二進(jìn)制數(shù).解：根據(jù)二進(jìn)制數(shù)“滿二進(jìn)一”的原則，可以用2連續(xù)去除89或所得商，然后取余數(shù).具體計算方法如下：因為89=2×44+1，44=2×22+0，22=2

34、15;11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).這種算法叫做除2取余法，還可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到8

35、9=1 011 001(2).上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的算法，稱為除k取余法.變式訓(xùn)練 設(shè)計一個程序，實現(xiàn)“除k取余法”.算法分析：從例2的計算過程可以看出如下的規(guī)律： 若十制數(shù)a除以k所得商是q0，余數(shù)是r0，即a=k·q0+r0，則r0是a的k進(jìn)制數(shù)的右數(shù)第1位數(shù). 若q0除以k所得的商是q1，余數(shù)是r1，即q0=k·q1+r1，則r1是a的k進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第2位數(shù). 若qn-1除以k所得的商是0，余數(shù)是rn，即qn-1=rn，則rn是a的k進(jìn)制數(shù)的左數(shù)第1位數(shù). 這樣，我們可以得到算法步驟如下： 第一步，給定十進(jìn)制正整數(shù)a和轉(zhuǎn)化后的數(shù)的基數(shù)k. 第二步

36、，求出a除以k所得的商q，余數(shù)r. 第三步，把得到的余數(shù)依次從右到左排列. 第四步，若q0，則a=q，返回第二步；否則，輸出全部余數(shù)r排列得到的k進(jìn)制數(shù). 程序框圖如下圖：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DO q=ak r=a MOD k b=b+r*10i i=i+1 a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 將8進(jìn)制數(shù)314 706(8)化為十進(jìn)制數(shù)，并編寫出一個實現(xiàn)算法的程序.解：314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以，化為

37、十進(jìn)制數(shù)是104 902.點評：利用把k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法就可以把8進(jìn)制數(shù)314 706(8)化為十進(jìn)制數(shù).例2 把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù)，并寫出程序語句.解：具體的計算方法如下：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，所以:89(10)=10 022(3).點評：根據(jù)三進(jìn)制數(shù)滿三進(jìn)一的原則，可以用3連續(xù)去除89及其所得的商，然后按倒序的順序取出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可.知能訓(xùn)練 將十進(jìn)制數(shù)34轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)分析：把一個十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，用2反復(fù)去除這個十進(jìn)制數(shù)，直到商為0，所得余數(shù)（從

38、下往上讀）就是所求解：即34(10)=100 010(2)拓展提升把1 234(5)分別轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)解：1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4194則1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194302(8)點評：本題主要考查進(jìn)位制以及不同進(jìn)位制數(shù)的互化五進(jìn)制數(shù)直接利用公式就可以轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；五進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)之間需要借助于十進(jìn)制數(shù)來轉(zhuǎn)化課堂小結(jié)（1）理解算法與進(jìn)位制的關(guān)系.（2）熟練掌握各種進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)化.作業(yè) 習(xí)題1.3A組3、4.設(shè)計感想 計算機是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲和計算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計算機的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)

39、據(jù)，因此計算機必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時，計算機又把運算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出.因此學(xué)好進(jìn)位制是非常必要的，另外，進(jìn)位制也是高考的重點，本節(jié)設(shè)置了多種題型供學(xué)生訓(xùn)練，所以這節(jié)課非常實用.第84頁 共84頁第2課時導(dǎo)入新課思路1 客觀事物是相互聯(lián)系的,過去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系,但實際上更多存在的是一種非因果關(guān)系.比如說：某某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與物理成績,彼此是互相聯(lián)系的,但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是“因”,物理是“果”,或者反過來說.事實上數(shù)學(xué)和物理成績都是“果”,而真正的“因”是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度.所以說,函數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系

40、,但還存在著另一種非確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系.為表示這種相關(guān)關(guān)系,我們接著學(xué)習(xí)兩個變量的線性相關(guān)回歸直線及其方程.思路2 某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表：氣溫/261813104-1杯數(shù)202434385064 如果某天的氣溫是-5 ,你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？為解決這個問題我們接著學(xué)習(xí)兩個變量的線性相關(guān)回歸直線及其方程.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）作散點圖的步驟和方法？（2）正、負(fù)相關(guān)的概念？（3）什么是線性相關(guān)？（4）看人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,當(dāng)人的年齡增加時,體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢

41、？（5）什么叫做回歸直線？（6）如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？（7）利用計算機如何求回歸直線的方程？（8）利用計算器如何求回歸直線的方程？活動：學(xué)生回顧,再思考或討論,教師及時提示指導(dǎo).討論結(jié)果：（1）建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)中的對應(yīng)點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖.（a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系）（2）如果散點圖中

42、的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān).（3）如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系.（4）大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關(guān)的趨勢,我們可以從散點圖上來進(jìn)一步分析.（5）如下圖： 從散點圖上可以看出,這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近.如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線(regression line).如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡稱回歸方程),那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體

43、內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.就像平均數(shù)可以作為一個變量的數(shù)據(jù)的代表一樣,這條直線可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表.（6）從散點圖上可以發(fā)現(xiàn),人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,大致分布在通過散點圖中心的一條直線. 那么,我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個回歸方程呢? 有的同學(xué)可能會想,我可以采用測量的方法,先畫出一條直線,測量出各點與它的距離,然后移動直線,到達(dá)一個使距離的和最小的位置,測量出此時的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是,這樣做可靠嗎? 有的同學(xué)可能還會想,在圖中選擇這樣的兩點畫直線,使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同.同樣地,這樣做能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎? 還有的同學(xué)會想,在散點圖

44、中多取幾組點,確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù),將這兩個平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距. 同學(xué)們不妨去實踐一下,看看這些方法是不是真的可行?（學(xué)生討論：1.選擇能反映直線變化的兩個點.2.在圖中放上一根細(xì)繩,使得上面和下面點的個數(shù)相同或基本相同.3.多取幾組點對,確定幾條直線方程.再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距.）教師：分別分析各方法的可靠性.如下圖： 上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強. 實際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”.人們經(jīng)過長期的實踐與研究,已經(jīng)得

45、出了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式其中，b是回歸方程的斜率，a是截距.推導(dǎo)公式的計算比較復(fù)雜，這里不作推導(dǎo).但是,我們可以解釋一下得出它的原理.假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)，且所求回歸方程是=bx+a,其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取xi(i=1,2,n)時可以得到=bxi+a(i=1,2,n),它與實際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,n).這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的.由于（yi-）可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用來代替，但由于它含有絕對值，

46、運算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2 來刻畫n個點與回歸直線在整體上的偏差.這樣，問題就歸結(jié)為:當(dāng)a,b取什么值時Q最小，即總體偏差最小.經(jīng)過數(shù)學(xué)上求最小值的運算，a,b的值由公式給出.通過求式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（method of least square）.（7）利用計算機求回歸直線的方程. 根據(jù)最小二乘法的思想和公式，利用計算器或計算機，可以方便地求出回歸方程. 以Excel軟件為例,用散點圖來建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸

47、方程,具體步驟如下：在Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點圖（如下圖）,在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢線”選項,彈出“添加趨勢線”對話框.單擊“類型”標(biāo)簽,選定“趨勢預(yù)測/回歸分析類型”中的“線性”選項,單擊“確定”按鈕,得到回歸直線.雙擊回歸直線,彈出“趨勢線格式”對話框.單擊“選項”標(biāo)簽,選定“顯示公式”,最后單擊“確定”按鈕,得到回歸直線的回歸方程=0.577x-0.448.（8）利用計算器求回歸直線的方程. 用計算器求這個回歸方程的過程如下：所以回歸方程為=0.577x-0.448.正像本節(jié)開頭所說的，我們從人體脂肪含量與年齡這兩個變量的一組隨機樣本數(shù)據(jù)中，找到

48、了它們之間關(guān)系的一個規(guī)律，這個規(guī)律是由回歸直線來反映的.直線回歸方程的應(yīng)用:描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系.利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進(jìn)行估計,即可得到個體Y值的容許區(qū)間.利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化,通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標(biāo).如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度.應(yīng)用示例思路1例1 有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度/-50

49、4712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654（1）畫出散點圖；（2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；（3）求回歸方程；（4）如果某天的氣溫是2 ，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù).解：（1）散點圖如下圖所示：（2）從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少.（3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù).利用計算器容易求得回歸方程=-2.352x+147.767.(4)當(dāng)x=2時，=143.063.因此，某天的氣溫

50、為2 時，這天大約可以賣出143杯熱飲. 思考 氣溫為2 時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 這里的答案是小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：1.線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在隨機誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差.2.即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應(yīng)于x的預(yù)報值，能夠與實際值y很接近.我們不能保證點（x,y）落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近，事實上，y=bx+a+e=+e. 這里e是隨機變量，預(yù)報值與實際值y的接近程度由隨機變量e的標(biāo)準(zhǔn)差所決定. 一些學(xué)生可能會提出問題：既然不一定能夠賣出

51、143杯左右熱飲，那么為什么我們還以“這天大約可以賣出143杯熱飲”作為結(jié)論呢？這是因為這個結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大.具體地說，假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個非負(fù)整數(shù)作為可能的預(yù)測結(jié)果，則我們選擇142，143和144能夠保證預(yù)測成功（即實際賣出的杯數(shù)是這3個數(shù)之一）的概率最大.例2 下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料.機動車輛數(shù)x千臺95110112120129135150180交通事故數(shù)y千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說明理由；(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程.解：

52、（1）在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖,如下圖.直觀判斷散點在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系(2)計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：=1 031，=71.6,=137 835，=9 611.7.將它們代入公式計算得b0.077 4,a=-1.024 1,所以,所求線性回歸方程為=0.077 4x-1.024 1.思路2例1 給出施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455(1)畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線的方程.解：(1)散點圖如下圖(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計算,列成以下表格:i1234567xi152025303540

53、45yi330345365405445450455xiyi4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 475故可得到b=4.75,a=399.3-4.75×30257.從而得回歸直線方程是=4.75x+257.例2 一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間為此進(jìn)行了10次試驗,測得數(shù)據(jù)如下：零件個數(shù)x（個）102030405060708090100加工時間y（分）626875818995102108115122 請判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系,如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求線性回歸方程解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖,如下圖.直觀判斷散點

54、在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系由測得的數(shù)據(jù)表可知：=38 500,=87 777,=55 950.b=0.668.a=91.7-0.668×5554.96.因此,所求線性回歸方程為=bx+a=0.668x+54.96.例3 已知10條狗的血球體積及紅血球數(shù)的測量值如下：血球體積x(mL)45424648423558403950紅血球數(shù)y(百萬)6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72（1）畫出上表的散點圖；（2）求出回歸直線的方程.解：（1）散點圖如下.（2）(45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50,(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37.設(shè)回歸直線方程為=bx+a,則b=0.175,a=-0.418,所以所求回歸直線的方程為=0.175x-0.148.點評：對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時,應(yīng)先畫出其散點圖,看其是否呈直線形,再依系數(shù)a,b的