線性代數(shù)課件：3-4 齊次線性方程組解的性質(zhì)

1、1解向量的概念解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若記若記（1）一、齊次線性方程組解的性質(zhì)2,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21則上述方程組（則上述方程組（1）可寫成）可寫成.Ax0 1212111nnx,x,x 若若為方程為方程 的的0 Ax解，則解，則（2）3 121111nx 稱為方程組稱為方程組(1) 的的解向量解向量，它也就是方程，它也就是方程(2)的的解解4齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì)（1 1）若）若 為為 的解，則的

2、解，則 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .證明證明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 5（2 2）若）若 為為 的解，的解， 為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，則 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax證明證明 .kkAkA0011 證畢證畢.11,ssi iiksxxx=由以上兩個性質(zhì)可知，若是方程的 個解向量，則他們的線性組合仍是齊次線性方程組的解向量。6如果如果解系解系的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)稱為齊次線性方程組稱為齊次線性方程組,0 , 21 Axt 12(1),0;tAxh hh=L是的一組線性無關(guān)的解12 (2)0,.tAxh hh=L

3、的任一解都可由線性表示基礎(chǔ)解系的定義基礎(chǔ)解系的定義二、基礎(chǔ)解系及其求法7的的通通解解可可表表示示為為那那么么的的一一組組基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為齊齊次次線線性性方方程程組組如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中rnkkk 8線性方程組基礎(chǔ)解系的求法線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨，并不妨設(shè)設(shè) 的前的前 個列向量線性無關(guān)個列向量線性無關(guān)r于是于是 可化為可化為AAA900000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb n

4、rn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax10現(xiàn)對現(xiàn)對 取下列取下列 組數(shù)：組數(shù)：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分別代入分別代入., 100, 010, 00111依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 從而求得原方程組的從而求得原方程組的 個解：個解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,12 3. 系數(shù)矩陣的秩系數(shù)矩陣的秩+基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)=未知量的個數(shù)未知量的個數(shù)說

5、明說明2基礎(chǔ)解系不是唯一的基礎(chǔ)解系不是唯一的.kkkxrnrn 22111若若 是是 的基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系，則其其通解通解為為 rn, 210 Ax.,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中rnkkk 13例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解.解解,0000747510737201137723521111 A對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚刈鞒醯刃凶儞Q，變?yōu)樾凶詈喚仃?，有陣，有A14 .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令x

6、x,7473757221 及及對應(yīng)有對應(yīng)有xx,107473,01757221 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系15).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解16例例2 2 解線性方程組解線性方程組 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A對系數(shù)矩陣施對系數(shù)矩陣施行初等行變換行初等行變換17 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程組有無窮多解，即方程組有無窮多解， 其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)

7、的解向量其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 10018所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為, 001121 故原方程組的通解為故原方程組的通解為.kkkx332211 .k,k,k為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中321,xx 1221依次得依次得. 12, 31, 010312 . 100123 19例例3 3= ,( )(n),.npABOA Bmr Ar Bn+矩陣，且證明設(shè)分別是和證證111,0(),(,1,)(),pppjBABAAOA

8、AjpBbbbbbbb=。因此 的每個列向量都是齊次線性方程組Ax=由得0的解向量。1,( )( )BOr ABnr=+（）若則111(2),0,( ).nrpnrBrr ABhhbbhh-=若其中而 的列向量 ，都可則說明Ax=0有非零解。從而有以由線基礎(chǔ)解系性表示。11,( ,)( )( )( )pnrrnr Ar Ar Bnbbhh-+=+由于“系數(shù)矩陣的秩基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)未知量的個數(shù)”所以r(B)=r(所以)。20 矩陣的秩的性質(zhì)矩陣的秩的性質(zhì) 矩陣的秩的最基本的性質(zhì)歸納起來有矩陣的秩的最基本的性質(zhì)歸納起來有 (1) 0min,m nr Am n()( );TR AR A= (2) (3) 若若P、Q可逆可逆 ,則則 .ARPAQR21 (4) max(),()(|)( )( ),m nm pR AR BR A BR A