fx4800P10章編程函數(shù)計算器在土木工程中的應用

1、第10章 在高等數(shù)學中的應用§10.1 極限運算法則(1) 數(shù)學模型有理分式函數(shù)中，當時，分子及分母都是無窮大，不能用商的極限運算法則，而要用最高次冪去除分子及分母，然后取極限：即當，和為非負整數(shù)時有(10-1)(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量注釋A分子最高次冪項系數(shù)B分母最高次冪項系數(shù)M分子最高次冪N分母最高次冪R極限值2) 案例【例10-1】 求。解 先用去除分子及分母，然后取極限：這是因為，其中為常數(shù)，為正整數(shù)，?！纠?0-2】求。解 先用去除分子及分母，然后取極限，得【例10-3】求解 應用例10-2的結果，得3) 程序程序名：LIMLbl

2、1:ABMNA=0Goto 1B=0Goto 1M=NR=A÷BGoto 2Lbl 2: MNR=0R=1÷04) 操作步驟將上述程序以LIM的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇LIM程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1A? ×××3分子最高次冪項系數(shù)2B? ×××7分母最高次冪項系數(shù)3M? ×××3分子最高次冪4N? ×××3分母最高次冪5R=0.429極限值6A? ×××3例10-28B? ×

3、15;×29M? ×××210N? ×××311R=0.00013A? ×××2例10-314B? ×××315M? ×××316N? ×××217R=ERROR提示：1、 程序使用ERROR(即1÷0)表示。2、 由于工程上要求保留三位有效數(shù)字，故本章取小數(shù)點后三位。§10.2 曲線的凹凸性(1) 數(shù)學模型設在內連續(xù)，如果對內任意兩點，恒有 (10-2)那么稱在內的圖形是(向上)凹的(

4、或凹弧)；如果恒有 (10-3)那么稱在內的圖形是(向上)凸的(或凸弧)。如果在上連續(xù)，且在內的圖形是凹的(或凸)的，那么在上的圖形是凹(或)的，如圖10-1所示。設在上連續(xù)，且在內具有一階和二階導數(shù)，那么 1) 若在內，則在上的圖形是凹的；2) 若在內，則在上的圖形是凸的。圖10-1曲線的凹凸性 (2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量注釋A區(qū)間的起點B區(qū)間的終點C曲線在起點的二階微分值D曲線在終點的二階微分值E終界R曲線的凹凸性2) 案例【例10-4】求曲線分別在(-2,-1)，(0.2,0.5)，(0.6,1)區(qū)間內的凹凸性。解 函數(shù)的定義域為。，。解方程，得。

5、把函數(shù)的定義域分成三個部分區(qū)間：、。在內，因此在區(qū)間上這曲線是凹的。在內，因此在區(qū)間上這曲線是凸的。在內，因此在區(qū)間上這曲線是凹的。，故在區(qū)間內曲線是凹的，故在區(qū)間內曲線是凸的，而在區(qū)間()內曲線有凹有凸。3) 程序程序名：ATXLbl 0: E=5ABC=d2/dX2(3X4-4X3+1,A,E)D=d2/dX2(3X4-4X3+1,B,E)CD0Goto 1: Goto 2Lbl 1: C0R=1R=-1Lbl 2:R=04) 操作步驟將上述程序以ATX的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇ATX程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1E=5.000終界2A? ×

6、5;×-2區(qū)間的起點3C=192.000曲線在起點的二階微分值4B？×××-1區(qū)間的終點5D=60.000曲線在終點的二階微分值6R=-1.000在此區(qū)間曲線是凹的7E=5.0008A? ×××0.29C=-3.36010B？×××0.511D=-3.00012R=1.000在此區(qū)間曲線是凸的13E=5.00014A? ×××0.615C=-1.44016B？×××117D=12.00018R=0.000在此區(qū)間內曲線有凹有凸提示：1、

7、程序中，R=1表示在此區(qū)間內曲線是凸的，R=-1表示在此阿區(qū)間內曲線是凹的，R=0表示在此區(qū)間內曲線有凹有凸。2、終界n只能使用1至15的整數(shù)。使用此范圍外的值時，將出現(xiàn)錯誤信息“Ma ERROR”。3、二次微分計算時，計算器使用了F、G、H三個存儲器變量，此時用戶不要使用這三個存儲器變量。§10.3 曲率與曲率半徑計算在工程技術中，有時需要研究曲線的彎曲程度。例如，船體結構中的鋼梁，機床的轉軸等，它們在荷載作用下要產生彎曲變形，在設計時對它們的彎曲必須有一定的限制，這就要定量地研究它們的彎曲程度。為此首先要討論如何用數(shù)量來描述曲線的彎曲程度。(1) 數(shù)學模型圖10-2 曲線的曲率半

8、徑計算如圖10-2所示，設曲線是光滑的，在曲線上選定一點作為度量弧的基點，基點至曲線上點的弧長為，過點切線的傾角為，曲線上另外一點的弧長為，過點切線的傾角為，那么，弧段的長度為，當動點從移動到時，使切線轉過的角度為。類似于從平均速度引進瞬時速度的方法，當時，(即時)，上述平均曲率的極限稱為曲線在點處的曲率，記作，即。在存在的條件下，也可以表示為 (10-4)設曲線的直角坐標方程是，且具有二階導數(shù)(這是連續(xù)，從而曲線是光滑的)。因為，所以 (10-5)曲線在點處的曲率為。在點處曲線的法線上，在凹的一側去一點，以這點為圓心，為半徑作圓，這個圓叫做曲線在點處的曲率圓，曲率圓的半徑叫做曲線在點處的曲率

9、半徑。 (10-6)(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量注釋A曲線上一點的橫坐標B曲線在點()的一階導數(shù)值C曲線在點()的二階導數(shù)值D終界E的增量減量K曲線在某點的曲率P曲線在某點的曲率半徑2) 案例【例10-5】計算曲線在點(1，0)處的曲率。解 現(xiàn)在，從而， 。因此， ， 把它們代入公式(10-5)，便得曲線在點(1，0)處的曲率為 把曲率代入公式(10-6)，得到曲線在點(1，0)處的曲率半徑為 3) 程序程序名：QLLbl 1:D=1E-5E=5AB=d/dx(X3+4X2+X-6,A,D)C= d2/dx2(X3+4X2+X-6,A,E)K=Abs(C)

10、÷(1+B2)3)K=0Goto 1: P=K-14) 操作步驟將上述程序以QL的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇QL程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1D=0.007曲線上一點的橫坐標2E=5.000曲線在點()的一階導數(shù)值3A? ×××1曲線在點()的二階導數(shù)值4B=12.000終界5C=14.000的增量減量6K=0.008曲線在某點的曲率7P=124.718曲線在某點的曲率半徑提示：1、對于不同的曲線有不同的表達式，故在B、C編輯時相應的加以變更。2、的增量減量的輸入可省略。省略時，計算器將自動地取一個合適于求導點的值作為。圖10

11、-3平面曲線弧長計算原理§10.4 定積分的應用§10.4.1平面曲線弧長的計算圓的周長可以利用圓的內接正多邊形的周長當邊長無限增多時的極限來確定,現(xiàn)在用類似的方法來建立平面的連續(xù)曲線弧長的概念,從而應用定積分來計算弧長。(1) 數(shù)學模型如圖10-3所示，設曲線弧由直角坐標方程 給出，其中在，上具有一階連續(xù)導數(shù)。現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度。取橫坐標為積分變量，其變化區(qū)間為，。曲線上相應于，上任意小區(qū)間，的一段弧的長度，可以用該曲線在點(，)處的切線上相應的一小段的長度來近似代替。而切線上這相應的小段的長度為從而得弧長元素(即弧微分)為 以為被積表達式，在閉區(qū)間，上作定積分，便

12、得所求的弧長為 (10-7)(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量注釋A曲線區(qū)間起點B曲線區(qū)間終點E分割數(shù)(=2，為1到9的整數(shù))S弧長2) 案例【例10-6】計算曲線上相應于從1到2的一段弧的長度。解 現(xiàn)在，從而弧長元素為因此，所求弧長為3) 程序程序名：HCAB:E=5S=(1+(X)2),A,B,E)4) 操作步驟將上述程序以HC的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇HC程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1E=5.000分割數(shù)2A？×××1曲線區(qū)間起點3B? ×××2曲線區(qū)間終點4S=1.

13、578弧長§10.4.2 功從物理學知道，如果物體在作直線運動的過程中有一個不變的力作用在這物體上，且這力的方向與運動的方向一致，那么，在物體移動了距離時(圖10-4)，力對物體所作的功為。如果物體在運動過程中所受到的力是變化的，這就會遇到變力對物體作功的問題。圖10-4(1) 數(shù)學模型在一般情況下，力的大小和方向均可隨時間變化，為使功的定義仍能使用，則所取的位移應極其微小，以致可認為在此微元位移上，力的變化小到可略去不計，同時所沿弦線與軌跡的切線重合,從而與相應的路程(即微元弧長)重合，并且二者的大小相等。于是，力所作的功為其中為在上的投影。力所經過的一段有限路程上所作之功為 (1

14、0-8)(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量注釋A力作功所經過路程的起點B力作功所經過路程的終點E分割數(shù)(=2，為1到9的整數(shù))W吸出水所需作的功2) 案例【例10-7】 一圓柱形的貯水桶高為5米，底圓半徑為3米，桶內盛滿了水。試問要把桶內的水全部吸出需要多少功？解 作軸如圖10-5所示，深度為積分變量，它的變化區(qū)間為0，5，相應于0，5上任一小區(qū)間，的一薄層水的高度為。水的比重為9.8千牛米3，因此如的單位為米，這薄層水的重力為。這薄層水吸出桶外需作之功近似地為此即功元素。于是所求的功為圖10-5 吸桶內水作功計算原理(千焦)3) 程序程序名：GONGAB:E=

15、5S=(88.2X,A,B,E)4) 操作步驟將上述程序以GONG的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇GONG程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1E=5.000分割數(shù)2A？×××0力作功所經過路程的起點3B? ×××5力作功所經過路程的終點4W=3463.606吸出水所需作的功§10.5 空間解析幾何與向量代數(shù)計算向量在工程技術中有著廣泛的應用，有關于空間向量的一些運算就顯得非常的必要。§10.5.1空間兩點間距離的計算 (1) 數(shù)學模型首先建立三維直角坐標系，設、為空間兩點(圖10-6)。用兩點的坐

16、標來表達它們間的距離： (10-9)(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量注釋A,B,C點的坐標D,E,F點的坐標G,H,I點的坐標J點、距離的平方K點、距離的平方L點、距離的平方R結論2) 案例【例10-8】求證以(4，3，1)、(7，1，2)、(5，2，3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。解 因為所以，既為等腰三角形。3) 程序程序名：JLLbl 0ABCDEFGHIJ=(A-D)2+(B-E)2+(C-F)2K=(D-G)2+(E-H)2+(F-I)2L=(A-G)2+(B-H)2+(C-I)2IKL=0Goto 0Goto 1Lbl 1:J=KGoto

17、4Goto 2Lbl 2:K=LGoto 4Goto 3Lbl 3:J=LGoto 4R=0Lbl 4:R=14) 操作步驟將上述程序以JL的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇JL程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1A? ×××4點的坐標2D? ×××7點的坐標3B? ×××3點的坐標4E？×××1點的坐標5C？×××1點的坐標6F？×××2點的坐標7J=14.000點、距離的平方8G？×&#

18、215;×5點的坐標9H？×××2點的坐標10I？×××3點的坐標11K=6.000點、距離的平方12L=6.000點、距離的平方13R=1.000結論提示：圖10-6 向量的模R=1表示該三角形為等腰三角形；R=0表示該三角形不是等腰三角形。§10.5.2向量的模與方向余弦的坐標表示式的計算(1) 數(shù)學模型由圖10-6可以看出，向量的模為令，故 (10-10)當時，可得(10-11)(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量單位注釋A,B,C點坐標D,E,F點坐標G,H,I向量在坐標軸上的

19、投影J向量的模K向量與軸夾角的余弦值L向量與軸夾角的余弦值M向量與軸夾角的余弦值N°向量與軸夾角O°向量與軸夾角P°向量與軸夾角2) 案例【例10-9】設已知兩點(2，2，)和(1，3，0)。計算向量的模、方向余弦和方向角。解 =12，32，01，1，3) 程序程序名：MAJDLbl 1ABCDEFG=D-A:H=E-B:I=F-CJ=(G2+H2+I2)J=0Goto 1Goto 2Lbl 2:K=G÷JL=H÷JM=I÷JN=cos-1KO=cos-1LP=cos-1M4) 操作步驟將上述程序以MAJD的文件名輸入計算器后，按鍵5

20、 2及選擇MAJD程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1D? ×××1點軸坐標2A? ×××2點軸坐標3E? ×××3點軸坐標4B? ×××2點軸坐標5F? ×××0點軸坐標6C? ×××2點軸坐標7J=2.000向量的模8K=-0.500向量與軸夾角的余弦值9L=0.500向量與軸夾角的余弦值10M=-0.707向量與軸夾角的余弦值11N=120.000°向量與軸夾角12O=60.000

21、6;向量與軸夾角13P=135.000°向量與軸夾角§10.5.3 兩向量數(shù)量積的計算圖10-7 兩向量數(shù)量積如圖10-7(a)所示，設一物體在常力作用下沿直線從點移動到點。以表示位移。由物理學知道，力所做的功為其中為與的夾角。(1) 數(shù)學模型將圖10-7(b)中向量和的向量積記作，即有設，。按上述運算規(guī)律得到 (10-12)這就是兩個向量的坐標表示式。由于，所以當、都不是零向量時，由公式以數(shù)量積的坐標表示式及向量模的坐標表示式代入上式，就得 (10-13)這就是兩向量夾角余弦的坐標表達式。(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量單位注釋A,B,C

22、點的坐標D,E,F點的坐標G,H,I點的坐標J,K,L向量在坐標軸上的投影M,N,O向量在坐標軸上的投影P、的向量積Q的模R的模S°所求夾角2) 案例【例10-10】已知三點(1，1，1)、(2，2，1)和(2，1，2)，求。解 作向量及，就是向量與的夾角。這里，1，1，0，1，0，1，從而1×11×00×11代入兩向量夾角余弦的表達式，得=6003) 程序程序名：SLJLbl 1ABCDEFGHIJ=D-AK=E-BL=F-CM=G-AN=H-BO=I-CP=JM+KN+LOQ=(J2+K2+L2)R=(M2+N2+O2)QR=0Goto 1S=cos

23、-1(P÷QR)4) 操作步驟將上述程序以SLJ的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇SLJ程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1D? ×××2點的軸坐標2A? ×××1點的軸坐標3J=1.000向量在軸上的投影4E? ×××2點的軸坐標5B? ×××1點的軸坐標6K=1.000向量在軸上的投影7F? ×××1點的軸坐標8C? ×××1點的軸坐標9L=0.000向量在軸上的投影10G? ×

24、;××2點的軸坐標11M=1.000向量在軸上的投影12H? ×××1點的軸坐標13N=0.000向量在軸上的投影14I? ×××2點的軸坐標15O=1.000向量在軸上的投影16P=1.000、的向量積17Q=1.414的模18R=1.414的模19S=60.000°所求夾角§10.5.4 兩向量的向量積計算在研究物體轉動問題時，不但要考慮該物體所受的力，還要分析這些力所產生的力矩。如圖10-8(a)所示，設為一根杠桿的支點，有一個力作用于這杠桿上點處，與的夾角為，由力學原理可知，力對支點的力

25、矩是一向量，它的模為圖10-8 兩向量的向量積而的方向垂直于與所決定的平面，的指向按右手螺旋法則來確定。 這種有兩個已知向量按上面的法則來確定另一個向量的情況，在其它力學和物理問題中經常遇到，從而可以抽象出兩個向量的向量積概念。(1) 數(shù)學模型設向量是由兩個向量與按下列方式定出：的模，其中為、間的夾角；的方向垂直于與所決定的平面(即既垂直于，又垂直于)，的指向按右手螺旋法則從轉向來確定，見圖10-8(b)所示。那么，向量叫做向量與的向量積，記作，即，因此，上面的力矩等于與的向量積，即設，。那么，向量積的坐標表達式為 (10-14)(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變

26、量注釋A,B,C點的坐標D,E,F點的坐標G,H,I點的坐標J,K,L向量在坐標軸上的投影M,N,O向量在坐標軸上的投影Z1,Z2,Z3、的向量積在坐標軸上的投影S所求三角形的面積2) 案例【例10-11】已知三角形的頂點是、和，求三角形的面積。解 根據向量積的定義，可知三角形的面積為由于，因此于是2) 程序程序名：XLJABCDEFGHIJ=D-AK=E-BL=F-CM=G-AN=H-BO=I-CZ1=KO -LNZ2=LM -JOZ3=JN -KMS=(Z12+Z22+Z32)÷24) 操作步驟將上述程序以XLJ的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇XLJ程序，屏幕提示及操作步驟

27、如下：步驟顯示按鍵注釋1D? ×××2點的軸坐標2A? ×××1點的軸坐標3J=2.000向量在軸上的投影4E? ×××4點的軸坐標5B? ×××2點的軸坐標6K=2.000向量在軸上的投影7F? ×××5點的軸坐標8C? ×××3點的軸坐標9L=2.000向量在軸上的投影10G? ×××2點的軸坐標11M=1.000向量在軸上的投影12H? ×××4點的軸

28、坐標13N=2.000向量在軸上的投影14I? ×××7點的軸坐標15O=4.000向量在軸上的投影16Z1=4.000、的向量積在軸上的投影17Z2=-6.000、的向量積在軸上的投影18Z3=2.000、的向量積在軸上的投影19S=3.742所求的三角形面積§10.6 多元函數(shù)的極值計算在實際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的極值問題。(1) 數(shù)學模型 與一元函數(shù)相類似，凡能使函數(shù)的，同時成立的點稱為函數(shù)的駐點。具有偏導數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點，但函數(shù)的駐點不一定是極值點。怎樣判定一個駐點是否是極值點?設函數(shù)在點的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又

29、，令，則在處是否取得極值的條件如下：1) 時具有極值，且當時有極大值，當時有極小值；2) 時沒有極值；3) 是可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量注釋X,Y函數(shù)的駐點A函數(shù)對的二階偏導數(shù)在駐點的值B函數(shù)對、的二階偏導數(shù)在駐點的值C函數(shù)對的二階偏導數(shù)在駐點的值MaxI函數(shù)的極大值MinS函數(shù)的極小值2) 案例【例10-12】求函數(shù)的極值。解 先解方程組求的駐點為(1，0)、(1，2)、(-3，0)、(-3，2)，再求出二階偏導數(shù)，在點(1，0)處，又，所以函數(shù)在(1，0)處有極小值；在點(1，2)處，所以不是極值；在點(-3

30、，0)處，所以不是極值；在點(-3，2)處，又，所以函數(shù)在(-3，2)處有極大值。3) 程序程序名：JZLbl 1:XYA=6X+6B=0C=-6Y+6AC-B20Goto 2Goto 1Lbl 2:A=0Goto 1Goto 3Lbl 3:A0I=X3-Y3+3X2+3Y2-9XS=X3-Y3+3X2+3Y2-9X4) 操作步驟將上述程序以JZ的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇JZ程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1X? ×××1函數(shù)的駐點值2A=12.000函數(shù)對的二階偏導數(shù)在駐點的值3B=0.000函數(shù)對、的二階偏導數(shù)在駐點的值4Y? 

31、15;××0函數(shù)的駐點值5C=6.000函數(shù)對的二階偏導數(shù)在駐點的值6S=-5.000函數(shù)的極小值7X? ×××18A=12.0009B=0.00010Y? ×××211C=-6.00012X? ×××-313A=-12.00014B=0.00015Y? ×××016C=6.00017X? ×××-318A=-12.00019B=0.00020Y? ×××221C=-6.00022I=31.000

32、函數(shù)的極大值§10.7對弧長的曲線積分本節(jié)將積分概念推廣到積分范圍為一段曲線弧。(1) 數(shù)學模型設在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為 其中在上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則曲線積分存在，且 (10-15)(2) 程序與案例1) 變量對照表數(shù)學模型變量fx-4800P變量單位注釋Rm半徑Arad中心角E分割數(shù)(=2，為1到9的整數(shù))Im 3轉動慣量2) 案例圖10-9 轉動慣量計算【例10-13】計算半徑為、中心角為的圓弧對于它的對稱軸的轉動慣量(設線密度，R1m，)。解 取坐標系如圖10-9所示，則為了便于計算，利用的參數(shù)方程， 于是將R1m，代入上式，得 3) 程序程序名：ZDGLRA:E=5:I=R3(sinX)2,-A,A,E)3) 操作步驟將上述程序以ZDGL的文件名輸入計算器后，按鍵5 2及選擇ZDGL程序，屏幕提示及操作步驟如下：步驟顯示按鍵注釋1E=5.000分割數(shù)2R? ×××1半徑3A? ×××3中心角4I=0.614轉動慣量提示：程序ZDGL涉及到弧度的計算，所以須指定“