2012年理數(shù)高考試題答案及解析-上海

1、2012上海高考數(shù)學(xué)試題（理科）答案與解析一填空題1計(jì)算： （為虛數(shù)單位）.【答案】【解析】.【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，首先，將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母實(shí)數(shù)化即可.2若集合，則 .【答案】 【解析】根據(jù)集合A ，解得，由，所以.【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的概念和性質(zhì)的運(yùn)用，同時(shí)考查了一元一次不等式和絕對(duì)值不等式的解法.解決此類問(wèn)題，首先分清集合的元素的構(gòu)成，然后，借助于數(shù)軸或韋恩圖解決.3函數(shù)的值域是 .【答案】 【解析】根據(jù)題目，因?yàn)?，所?【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查行列式的基本運(yùn)算、三角函數(shù)的范圍、二倍角公式，屬于容易題，難度較小.考綱中明確要求掌握二階行列式的運(yùn)算性質(zhì). 4若

2、是直線的一個(gè)法向量，則的傾斜角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】 【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的方向向量、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、反三角函數(shù)的表示.直線的傾斜角的取值情況一定要注意，屬于低檔題，難度較小.5在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 .2 / 20【答案】 【解析】根據(jù)所給二項(xiàng)式的構(gòu)成，構(gòu)成的常數(shù)項(xiàng)只有一項(xiàng)，就是 .【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理.對(duì)于二項(xiàng)式的展開(kāi)式要清楚，特別注意常數(shù)項(xiàng)的構(gòu)成.屬于中檔題.6有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 .【答案】 【解析】由正方體的棱長(zhǎng)組成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可知它們的

3、體積則組成了一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此， .【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的極限、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義.考查知識(shí)較綜合.7已知函數(shù)（為常數(shù)）.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是 .【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)看出當(dāng)時(shí)函數(shù)增函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以的取值范圍為： .【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，分類討論在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用.本題容易產(chǎn)生增根，要注意取舍，切勿隨意處理，導(dǎo)致不必要的錯(cuò)誤.本題屬于中低檔題目，難度適中.8若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 .【答案】【解析】根據(jù)該圓錐的底面圓的半徑為，母線

4、長(zhǎng)為，根據(jù)條件得到，解得母線長(zhǎng)，所以該圓錐的體積為：.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體的體積公式和側(cè)面展開(kāi)圖.審清題意，所求的為體積，不是其他的量，分清圖形在展開(kāi)前后的變化；其次，對(duì)空間幾何體的體積公式要記準(zhǔn)記牢，屬于中低檔題.9已知是奇函數(shù)，且，若，則 .【答案】 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以 .【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性.在運(yùn)用此性質(zhì)解題時(shí)要注意：函數(shù)為奇函數(shù)，所以有這個(gè)條件的運(yùn)用，平時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，本題屬于中檔題，難度適中.10如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與極軸的夾角，若將的極坐標(biāo)方程寫(xiě)成的形式，則 .【答案】【解析】根據(jù)該直線過(guò)點(diǎn)，可以直接寫(xiě)出代數(shù)形式的方程為：，將此化成

5、極坐標(biāo)系下的參數(shù)方程即可 ，化簡(jiǎn)得.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查極坐標(biāo)系，本部分為選學(xué)內(nèi)容，幾乎年年都有所涉及，題目類型以小題為主，復(fù)習(xí)時(shí)，注意掌握基本規(guī)律和基礎(chǔ)知識(shí)即可.對(duì)于不常見(jiàn)的曲線的參數(shù)方程不作要求.本題屬于中檔題，難度適中.11三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.【答案】【解析】一共有27種取法，其中有且只有兩個(gè)人選擇相同的項(xiàng)目的取法共有18種，所以根據(jù)古典概型得到此種情況下的概率為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合概率問(wèn)題、古典概型.要分清基本事件數(shù)和基本事件總數(shù).本題屬于中檔題.12在平行四邊形中

6、，邊、的長(zhǎng)分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是 .【答案】【解析】以向量所在直線為軸，以向量所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所?設(shè)根據(jù)題意，有.所以，所以 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算、概念、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律.做題時(shí)，要切實(shí)注意條件的運(yùn)用.本題屬于中檔題，難度適中.13已知函數(shù)的圖象是折線段，其中、，函數(shù)（）的圖象與軸圍成的圖形的面積為 .【答案】【解析】根據(jù)題意得到，從而得到所以圍成的面積為，所以圍成的圖形的面積為 .【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的解析式的求解方法、定積分在求解平面圖形中的運(yùn)用.突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，本題

7、綜合性較強(qiáng)，需要較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，在以后的練習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，本題屬于中高檔試題，難度較大.14如圖，與是四面體中互相垂直的棱，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是 .【答案】 【解析】據(jù)題，也就是說(shuō)，線段的長(zhǎng)度是定值，因?yàn)槔馀c棱互相垂直，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有最大值，此時(shí)最大值為：.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間四面體的體積公式、空間中點(diǎn)線面的關(guān)系.本題主要考慮根據(jù)已知條件構(gòu)造體積表達(dá)式，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量較大.屬于中高檔試題.二、選擇題（20分）15若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（ ）A B C D【答案】 B 【解析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的根的特點(diǎn)也是該

8、方程的另一個(gè)根，所以，即，故答案選擇B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)系數(shù)方程的根的問(wèn)題及其性質(zhì)、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，屬于中檔題，注重對(duì)基本知識(shí)和基本技巧的考查，復(fù)習(xí)時(shí)要特別注意.16在中，若，則的形狀是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不能確定 【答案】C【解析】由正弦定理，得代入得到，由余弦定理的推理得，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形.故選擇A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的運(yùn)用.主要抓住所給式子的結(jié)構(gòu)來(lái)選擇定理，如果出現(xiàn)了角度的正弦值就選擇正弦定理，如果出現(xiàn)角度的余弦值就選擇余弦定理.本題屬于中檔題.17設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為，隨機(jī)變量取值的概

9、率也均為，若記分別為的方差，則（ ）A B C D與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)【答案】 A【解析】 由隨機(jī)變量的取值情況，它們的平均數(shù)分別為：， 且隨機(jī)變量的概率都為，所以有. 故選擇A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式.記牢公式是解決此類問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)，本題屬于中檔題.18設(shè)，在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D100【答案】C【解析】依據(jù)正弦函數(shù)的周期性，可以找其中等于零或者小于零的項(xiàng).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和間接法解題.解決此類問(wèn)題主要找到規(guī)律，從題目出發(fā)可以看出來(lái)相鄰的14項(xiàng)的和為0，這就是規(guī)律，考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.三、解答

10、題（74分）：19（6+6=12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，求：（1）三角形的面積；（2）異面直線與所成的角的大小.【答案及解析】所以三角形PCD的面積為.6分 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時(shí)考查空間幾何體的體積公式的運(yùn)用.本題源于必修2立體幾何章節(jié)復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重課本，容易出現(xiàn)找錯(cuò)角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題20（6+8=14分）已知函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，求函數(shù)（）的反函數(shù).【答案及解析】，【

11、點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題21（6+8=14分）海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長(zhǎng)度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里處，如圖現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出失事船所在位置的縱坐標(biāo)若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；（2）問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？22（4+6+6=16分）在平面直

12、角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：（1）過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸進(jìn)線的平行線，求該直線與另一條漸進(jìn)線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：；（3）設(shè)橢圓：，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：到直線的距離是定值.【答案及解析】過(guò)點(diǎn)A與漸近線平行的直線方程為，,則到直線的距離為.設(shè)到直線的距離為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問(wèn)題，在雙曲線當(dāng)中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運(yùn)用可以大大節(jié)省解題時(shí)間，本題屬于中檔題 23（4+6+8=18分）對(duì)于數(shù)集，其中，定義向量集，若對(duì)任意，存在，使得，則稱具有性質(zhì)例如具有性質(zhì)（1）若，且具有性質(zhì)，求的值；（2）若