談今年全國(guó)1卷理科20題爭(zhēng)議蘇淳

1、談今年全國(guó) 1 卷理科 20 題爭(zhēng)議統(tǒng)計(jì)學(xué)遭遇數(shù)學(xué)的尷尬蘇淳試題：(2018年全國(guó)理科I卷第 20題)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱 200 件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)， 如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品。檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取 20 件作檢驗(yàn)，再根據(jù) 檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為 f(p)，求的最大值點(diǎn)p。現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了 20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中p。確定的作為p的值。 已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為 2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中， 則工

2、廠要對(duì)每件不合格品支 付 25 元的賠償費(fèi)用(i) 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求E(X).(ii) 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值作為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢 驗(yàn)？01題目開宗明義,面對(duì)的是大批量的產(chǎn)品,產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件。每箱先抽檢 20件,根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)。命題者怕在這里引起誤會(huì), 不可謂不仔細(xì)地斟酌了詞句, 特別強(qiáng)調(diào)了要決定的是 "是否 對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn) ",說明這里的選項(xiàng)只有兩個(gè)：要么對(duì)余下的所有產(chǎn)品都作檢驗(yàn)(全檢),要么就都不檢驗(yàn) (全不檢 ),不存在部分檢驗(yàn)的問題

3、。正是在這種思路的指導(dǎo)之下,誕生 了對(duì)于第(2)小題(ii)的官方解答。如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢查費(fèi)用為400元。由于E(X)>400,故應(yīng)對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)。注明：E(X)=400是第(i)的計(jì)算結(jié)果，即若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢 驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和的期望值。站在統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來看,這種解答是沒有問題的。因?yàn)樗紤]的是實(shí)際需求。要檢驗(yàn) 的是大批量的產(chǎn)品,不僅僅是一箱,而是許多許多箱。所以只對(duì)“全檢”與“全不檢”的費(fèi) 用作一比較,以決定是否需要全檢。問題尷尬的是,它是出在“數(shù)學(xué)試卷”中的題目,而且它自身又帶有明顯的“數(shù)學(xué)特 點(diǎn)”,這就讓人難以弄清它到

4、底是要考“統(tǒng)計(jì)”還是要考“數(shù)學(xué)”了。題目中的第 (1)小題要求學(xué)生用極大似然估計(jì)估計(jì)出產(chǎn)品的不合格率,沒有出現(xiàn)“極大 似然估計(jì)” 這個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)上的名詞,完全用的是數(shù)學(xué)語(yǔ)言, 求函數(shù)的極大值點(diǎn)。學(xué)生理所當(dāng)然 地把它作為數(shù)學(xué)題來做,求導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),觀察導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),確認(rèn)P。 =0.1 就是函數(shù) f(p) 的最大值點(diǎn)。問題出在第 (2)小題。題目說, “對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了 20件,結(jié)果恰有 2件不合格品。以 (1)中的p。作為p的值”p是什么？題目在大前提中說到，“每件產(chǎn)品為不合格品的概率都是 p” ,意即p就是不合 格率。幸虧學(xué)生沒有學(xué)習(xí)更多的統(tǒng)計(jì)知識(shí), 也沒有更多時(shí)間去思考, 否則他們會(huì)問：

5、 既然“檢 驗(yàn)了 20件，發(fā)現(xiàn)2件不合格”，那么為啥不可以直接用頻數(shù) 2/20=0.1去估計(jì)不合格率p,而 要繞一個(gè)圈子去求什么 f(p)的最大值點(diǎn)？你這分明不就是要考我們數(shù)學(xué)嗎 ？02其實(shí)不然， 命題者想考的還是統(tǒng)計(jì)。 只是礙于學(xué)生統(tǒng)計(jì)知識(shí)不足， 無(wú)法把問題講清楚。 因?yàn)閲?yán)格來說， 統(tǒng)計(jì)不是數(shù)學(xué)， 它是一門處理數(shù)據(jù)的藝術(shù)。出于不同的需求，可以對(duì)同一批 數(shù)據(jù)作不同的處理。舉例來說，對(duì)不合格的估計(jì)，既可以采用頻數(shù)估計(jì)(又叫作矩估計(jì)) ，也可以采用極大似然估計(jì)，各有各的優(yōu)缺，適用于不同的場(chǎng)合，滿足不同的需求?？汕傻氖?，在本題的場(chǎng)合 下，無(wú)論抽檢的20件產(chǎn)品中所發(fā)現(xiàn)的不合格品的件數(shù)k是多少，兩種估計(jì)

6、的結(jié)果都是相同的，都是 k/20 。既然命題者不愿意讓學(xué)生采用頻數(shù)估計(jì)，而一定要用極大似然估計(jì)，那么在這里只有 一種理解，那就還是要考數(shù)學(xué)。要考核學(xué)生通過求導(dǎo)求函數(shù)最值和最值點(diǎn)的能力。 既然這里是考數(shù)學(xué)， 那么一以貫之， 通題就應(yīng)當(dāng)都按數(shù)學(xué)問題處理。 至少別人按數(shù)學(xué)問題做 了，不能算錯(cuò)。例如，有人這樣解答第 (2)小題 (ii):設(shè)對(duì)剩下的180件產(chǎn)品再抽檢r件(0< r< 180)，將此時(shí)的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記作Y,則有E(Y)=2r+25(180-r) 0.仁450-r/2，在r=180時(shí)，E(丫達(dá)到最小。所以應(yīng)對(duì)剩下的產(chǎn)品 “全檢”。這種求最小值的處理方式與第 (1)小題

7、的精神一致。都是用數(shù)學(xué)中的最值作為問題的解 答。既然(i)中可用最值點(diǎn)作為不合格率的估計(jì)，那么(ii)中也可以按最值的標(biāo)準(zhǔn)取舍檢驗(yàn)方案。更何況，這里還涉及到邏輯中的如何否定“全稱命題”的問題。無(wú)論怎么說,對(duì)“全檢”的否定是“不全檢” ，包括“部分檢”與“全不檢” 。正如不少中學(xué)教師指出的，這是中學(xué)數(shù)學(xué) 教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)的， 而且也是作為高考所要考核的內(nèi)容的。 不能在同一張卷子中體現(xiàn)不同的 要求。事實(shí)上，第(2)小題(ii)的官方解答中所采用的取舍標(biāo)準(zhǔn)只有具備產(chǎn)品檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的人才知 道，因?yàn)橹挥忻鎸?duì)在大批量產(chǎn)品時(shí)，才會(huì)只在“全檢”與“全不檢”之間進(jìn)行選擇。03在我國(guó)的本科專業(yè)分類中已經(jīng)把統(tǒng)計(jì)學(xué)獨(dú)立出

8、來， 作為與數(shù)學(xué)并列的一級(jí)學(xué)科， 就是因 為“統(tǒng)計(jì)不是數(shù)學(xué)” 。數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特是： “一個(gè)問題只有一個(gè)答案” ，統(tǒng)計(jì)學(xué)則不然，對(duì) 同一個(gè)問題，可以有不同的答案。例前面說到的， 對(duì)同一個(gè)參數(shù)， 可以用頻數(shù)估計(jì)， 也可以用極大似然估計(jì)，它們往往會(huì)有所不同。在當(dāng)前大數(shù)據(jù)時(shí)髦的今天，面對(duì)同樣的數(shù)據(jù)得出不同結(jié)論的情況就更為常見。 中學(xué)里既然把統(tǒng)計(jì)放到數(shù)學(xué)中來學(xué)，那就有一個(gè)如何教如何學(xué)如何考核的問題。尤其是在出高考題時(shí)， 更需要考慮周全。前些我在參與出高考安徽數(shù)學(xué)卷時(shí)， 一直把握一條原則， 就是 大題盡量考概率。因?yàn)楦怕适菙?shù)學(xué)，一是一二是二，不會(huì)遭遇尷尬。統(tǒng)計(jì)則不然，需要謹(jǐn)慎 而又謹(jǐn)慎。042018年全國(guó)數(shù)學(xué)卷I第20題不是錯(cuò)題，無(wú)論題目本身還是官方解答，都不存在問題。 它是一道關(guān)于產(chǎn)品檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)題， 面對(duì)的是大批量的產(chǎn)品， 考慮的是實(shí)際的需求。 在這類問 題中，對(duì)于已經(jīng)做了“部分抽檢”后的產(chǎn)品，在進(jìn)一步的行動(dòng)中只有兩個(gè)選項(xiàng)，即“全檢” 或“免檢”，不存在“部分檢”的情況。一些中學(xué)師生中所出現(xiàn)的問題主要原因就是過多地從數(shù)學(xué)角度來看待統(tǒng)計(jì)問題。我從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際可能遇到的情