直接證明與間接證明教學(xué)教材

1、推推理理(tul)與與證證明明推理推理(tul)證明證明(zhngmng)合情推理合情推理演繹推理演繹推理直接證明直接證明間接證明間接證明 比較法比較法類比推理類比推理歸納推理歸納推理 分析法分析法 綜合法綜合法 反證法反證法知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)7.5直接證明與間接證明復(fù)習(xí)第一頁，共15頁。綜合法綜合法從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等, ,經(jīng)過一系列的推理論證經(jīng)過一系列的推理論證, ,最后推導(dǎo)最后推導(dǎo)(tudo)(tudo)出出所要證明的結(jié)論成立。所要證明的結(jié)論成立。用用P P表示已知條件表示已知條件(tiojin)(tiojin)、已有的定義、已有的定

2、義、公理、定理等公理、定理等,Q,Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論. .綜合法用框圖綜合法用框圖(kungt)(kungt)表表示為示為: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q特點(diǎn):“由因?qū)Ч蔽淖终Z言: 因?yàn)?，所以，或由，得第二頁，?5頁。分析法分析法 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步程中，使每一步(y b)(y b)結(jié)論成立的充分結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定

3、理、定義、公理等）。定理、定義、公理等）。特點(diǎn)特點(diǎn)(tdin)(tdin)：執(zhí)果索因：執(zhí)果索因. .用框圖用框圖(kungt)(kungt)表表示分析法示分析法1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論成立的結(jié)論文字語言: 要證，只需證，即證第三頁，共15頁?！痉治龇ǜ袷健痉治龇ǜ袷?g shi)】要證：要證：只要證：只要證：只需證：只需證：顯然成立顯然成立上述上述(shngsh)各各步均可逆步均可逆所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立要證：要證：所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立第四頁，共15頁。方方 法法 與與 技技 巧巧思想方法思想方法(fngf)(fngf)感悟提感

4、悟提高高第五頁，共15頁。失失 誤誤 與與 防防 范范思想思想(sxing)(sxing)方法方法感悟提感悟提高高第六頁，共15頁。 反證法：反證法： 要證明某一結(jié)論要證明某一結(jié)論Q Q是正確的，但不直接證是正確的，但不直接證明，而是先去假設(shè)明，而是先去假設(shè)Q Q不成立（即不成立（即Q Q的反面非的反面非Q Q是正確的），經(jīng)過正確的推理，最后得出是正確的），經(jīng)過正確的推理，最后得出(d ch)(d ch)矛盾，因此說明假設(shè)非矛盾，因此說明假設(shè)非Q Q是錯(cuò)誤的，是錯(cuò)誤的，從而斷定結(jié)論從而斷定結(jié)論Q Q是正確的，這種方法叫做反是正確的，這種方法叫做反證法。證法。反證法的思維反證法的思維(swi)方

5、法：方法：正難則反正難則反第七頁，共15頁。反證法的基本步驟：反證法的基本步驟：（1 1）分清命題的條件和結(jié)論）分清命題的條件和結(jié)論（2 2）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（3 3）由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理，直到）由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理，直到(zhdo)(zhdo)推出矛推出矛盾為止；盾為止； （4 4）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確歸繆矛盾：歸繆矛盾：（1 1）與已知條件矛盾；）與已知條件矛盾；（2 2）與已有公理、定理、定義）與已有公理、定理、定義(dngy)(dngy)矛

6、盾；矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。第八頁，共15頁。常見否定常見否定(fudng)用語用語是不是是不是 有沒有有沒有等不等等不等 成立不成立成立不成立都是不都是，即至少都是不都是，即至少(zhsho)有一個(gè)不是有一個(gè)不是都有不都有，即至少都有不都有，即至少(zhsho)有一個(gè)沒有有一個(gè)沒有都不是部分或全部是，即至少都不是部分或全部是，即至少(zhsho)有一個(gè)是有一個(gè)是唯一至少唯一至少(zhsho)有兩個(gè)有兩個(gè)至少至少(zhsho)有一個(gè)有（是）全部沒有（不是）有一個(gè)有（是）全部沒有（不是）至少至少(zhsho)有一個(gè)不全部都有一個(gè)不全部都第九頁，共15頁。應(yīng)用反證法的情形：應(yīng)用反證法的情形：(1)(1)直接證明困難直接證明困難; ;(2)(2)需分成很多類進(jìn)行討論需分成很多類進(jìn)行討論(3)(3)結(jié)論為結(jié)論為“至少至少”、“至多至多”、“有無有無窮窮(wqing)(wqing)多個(gè)多個(gè)” ” -類命題；類命題；（4 4）結(jié)論為）結(jié)論為 “ “唯一唯一”類命題；類