2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(湖南卷)文

1、1 / 13 2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷湖南卷) 數(shù) 學(xué)(文史卷) 本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分,共 5頁,時(shí)量 120 分鐘,滿分 150分. 一、選擇題:本大題共 9 小題,每小題 5分,共 45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2013 湖南,文 1)復(fù)數(shù) z=i (1+i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ). a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:b 解析:z=i(1+i)=i-1=-1+i,故選 b. 2.(2013 湖南,文 2)“1x2”是“x2”成立的(

2、 ). a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 答案:a 解析:“1x2”能推出“x2”成立,但“x2”不能推出“1x8,故 a=3;a=3不滿足 a8,故 a=5;a=5 不滿足 a8,故 a=7;a=7不滿足 a8,故 a=9,滿足 a8,終止循環(huán).輸出 a=9. 13.(2013 湖南,文 13)若變量 x,y 滿足約束條件x + 2y 8,0 x 4,0 y 3,則 x+y 的最大值為 . 答案:6 解析:畫出可行域,令 z=x+y,易知 z 在 a(4,2)處取得最大值 6. 14.(2013 湖南,文 14)設(shè) f1,f2是雙曲線 c:x

3、2a2y2b2=1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn).若在 c 上存在一點(diǎn) p,使pf1pf2,且pf1f2=30 ,則 c 的離心率為 . 答案:3+1 解析:如圖所示, pf1pf2,pf1f2=30 , 可得|pf2|=c. 由雙曲線定義知, |pf1|=2a+c, 6 / 13 由|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2得 4c2=(2a+c)2+c2,即 2c2-4ac-4a2=0, 即 e2-2e-2=0, e=2232,e=1+3. 15.(2013 湖南,文 15)對(duì)于 e=a1,a2,a100的子集 x=ai1,ai2,aik,定義 x的“特征數(shù)列”為x1,x2,x100,其中xi1

4、= xi2=xik=1,其余項(xiàng)均為 0.例如:子集a2,a3的“特征數(shù)列”為 0,1,1,0,0,0. (1)子集a1,a3,a5的“特征數(shù)列”的前 3項(xiàng)和等于 ; (2)若 e 的子集 p 的“特征數(shù)列”p1,p2,p100滿足 p1=1,pi+pi+1=1,1i99;e 的子集 q 的“特征數(shù)列”q1,q2,q100滿足 q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1j98,則 pq 的元素個(gè)數(shù)為 . 答案:(1)2 (2)17 解析:(1)a1,a3,a5的特征數(shù)列為 1,0,1,0,1,0,0,前 3 項(xiàng)和為 2. (2)根據(jù)題意知,p的特征數(shù)列為 1,0,1,0,1,0, 則 p=a1,

5、a3,a5,a99有 50個(gè)元素,q 的特征數(shù)列為 1,0,0,1,0,0,1, 則 q=a1,a4,a7,a10,a100有 34 個(gè)元素, pq=a1,a7,a13,a97, 共有 1+97-16=17 個(gè). 三、解答題:本大題共 6 小題,共 75 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.(2013 湖南,文 16)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f(x)=cos x cos(x-3). (1)求 f(23)的值; (2)求使 f(x)14成立的 x 的取值集合. 解:(1)f(23)=cos23cos3 =-cos3cos3 7 / 13 =-(12)2=-14. (2)

6、f(x)=cos xcos(x-3) =cos x(12x +32x) =12cos2x+32sin xcos x =14(1+cos 2x)+34sin 2x =12cos(2x-3) +14. f(x)14等價(jià)于12cos(2x-3) +1414, 即 cos(2x-3)0. 于是 2k+22x-32k+32,kz. 解得 k+512xk+1112,kz. 故使 f(x)14成立的 x 的取值集合為x|k +512 x k +1112,k. 17.(2013 湖南,文 17)(本小題滿分 12 分)如圖,在直棱柱 abc-a1b1c1中,bac=90 ,ab=ac=2,aa1=3,d是 b

7、c的中點(diǎn),點(diǎn) e在棱 bb1上運(yùn)動(dòng). (1)證明:adc1e; (2)當(dāng)異面直線 ac,c1e 所成的角為 60 時(shí),求三棱錐 c1-a1b1e的體積. 8 / 13 (1)證明:因?yàn)?ab=ac,d是 bc 的中點(diǎn), 所以 adbc. 又在直三棱柱 abc-a1b1c1中,bb1平面 abc,而 ad平面 abc,所以 adbb1. 由,得 ad平面 bb1c1c. 由點(diǎn) e在棱 bb1上運(yùn)動(dòng),得 c1e平面 bb1c1c,所以 adc1e. (2)解:因?yàn)?aca1c1,所以a1c1e 是異面直線 ac,c1e 所成的角,由題設(shè),a1c1e=60 , 因?yàn)閎1a1c1=bac=90 ,所以

8、 a1c1a1b1,又 aa1a1c1,從而 a1c1平面 a1abb1,于是 a1c1a1e. 故 c1e=1160=22, 又 b1c1=a1c12+ a1b12=2, 所以 b1e=c1e2-b1c12=2, 從而v三棱錐c1-a1b1e=13sa1b1e a1c1=1312 2 2 2 =23. 18.(2013 湖南,文 18)(本小題滿分 12 分)某人在如圖所示的直角邊長為 4 米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量 y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù) x之間的關(guān)系如下表所示: x

9、 1 2 3 4 y 51 48 45 42 這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過 1米. (1)完成下表,并求所種作物的平均年收獲量; y 51 48 45 42 頻數(shù) 4 9 / 13 (2)在所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量至少為 48 kg的概率. 解:(1)所種作物的總株數(shù)為 1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株數(shù)為 1的作物有 2株,“相近”作物株數(shù)為 2的作物有 4株,“相近”作物株數(shù)為 3的作物有 6株,“相近”作物株數(shù)為 4的作物有 3株.列表如下: y 51 48 45 42 頻數(shù) 2 4 6 3 所種作物的平均年收獲量為 51 2 + 48 4

10、 + 45 6 + 42 315 =102+192+270+12615=69015=46. (2)由(1)知, p(y=51)=215,p(y=48)=415. 故在所種作物中隨機(jī)選取一株,它的年收獲量至少為 48 kg的概率為 p(y48)=p(y=51)+p(y=48)=215+415=25. 19.(2013 湖南,文 19)(本小題滿分 13 分)設(shè) sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,已知 a10,2an-a1=s1 sn,nn*. (1)求 a1,a2,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列nan的前 n項(xiàng)和. 解:(1)令 n=1,得 2a1-a1=a12,即 a1=a12. 因?yàn)?a

11、10,所以 a1=1. 令 n=2,得 2a2-1=s2=1+a2. 解得 a2=2. 當(dāng) n2時(shí),由 2an-1=sn,2an-1-1=sn-1兩式相減得 2an-2an-1=an. 即 an=2an-1. 10 / 13 于是數(shù)列an是首項(xiàng)為 1,公比為 2的等比數(shù)列. 因此,an=2n-1. 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=2n-1. (2)由(1)知,nan=n2n-1. 記數(shù)列n2n-1的前 n 項(xiàng)和為 bn,于是 bn=1+2 2+3 22+n2n-1, 2bn=1 2+2 22+3 23+n2n. -得 -bn=1+2+22+2n-1-n2n =2n-1-n2n. 從而 bn=1

12、+(n-1)2n. 20.(2013 湖南,文 20)(本小題滿分 13 分)已知 f1,f2分別是橢圓 e:x25+y2=1的左、右焦點(diǎn),f1,f2關(guān)于直線 x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓 c的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn). (1)求圓 c的方程; (2)設(shè)過點(diǎn) f2的直線 l被橢圓 e 和圓 c 所截得的弦長分別為 a,b,當(dāng) ab 最大時(shí),求直線 l的方程. 解:(1)由題設(shè)知,f1,f2的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),圓 c的半徑為 2,圓心為原點(diǎn) o關(guān)于直線 x+y-2=0 的對(duì)稱點(diǎn). 設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x0,y0),由y0 x0= 1,x02+y02-2 = 0解得x0= 2,y0= 2.

13、所以圓 c 的方程為(x-2)2+(y-2)2=4. (2)由題意,可設(shè)直線 l 的方程為 x=my+2,則圓心到直線 l的距離 d=|2m|1+m2. 所以 b=222-d2=41+m2. 由x = my + 2,x25+ y2= 1得(m2+5)y2+4my-1=0. 11 / 13 設(shè) l與 e的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則 y1+y2=-4mm2+5,y1y2=-1m2+5. 于是 a=(x1-x2)2+ (y1-y2)2 =(1 + m2)(y1-y2)2 =(1 + m2)(y1+ y2)2-4y1y2 =(1 + m2)16m2(m2+5)2+4m2+5

14、=25(m2+1)m2+5. 從而 ab=85m2+1m2+5=85m2+1(m2+1)+4 =85m2+1+4m2+1 852m2+14m2+1=25. 當(dāng)且僅當(dāng)m2+ 1 =4m2+1,即 m= 3時(shí)等號(hào)成立. 故當(dāng) m= 3時(shí),ab最大,此時(shí),直線 l的方程為 x=3y+2 或 x=-3y+2, 即 x-3y-2=0,或 x+3y-2=0. 21.(2013 湖南,文 21)(本小題滿分 13 分)已知函數(shù) f(x)=1-x1+x2ex. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:當(dāng) f(x1)=f(x2)(x1x2)時(shí),x1+x20.(1)解:函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?-,+). f(x)=(1-x1+x2)ex+1-x1+x2ex 12 / 13 =x2-2x-1(1+x2)2+1-x1+x2ex =-x(x-1)2+2(1+x2)2ex. 當(dāng) x0;當(dāng) x0 時(shí),f(x)0. 所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+). (2)證明:當(dāng) x0,ex0, 故 f(x)0; 同理,當(dāng) x1時(shí),f(x)0. 當(dāng) f(x1)=f(x2)(x1x2)時(shí),不妨設(shè) x1x2, 由(1)知 x1(-,0),x2(0,1). 下面證明:x(0,1),f(x)f(-x),即證 1-x1+x2ex1+x1+x2e-x. 此不等式