2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(福建卷)理 (2)

1、1 / 15 數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類理工農(nóng)醫(yī)類)(福建卷福建卷) 第卷(選擇題 共 50 分) 一、選擇題:本大題共 10小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2013 福建,理 1)已知復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)=1+2i(i為虛數(shù)單位),則 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( ). a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:d 解析:由=1+2i,得 z=1-2i,故復(fù)數(shù) z對應(yīng)的點(1,-2)在第四象限. 2.(2013 福建,理 2)已知集合 a=1,a,b=1,2,3,則“a=3”是“ab”的( ). a.充分而

2、不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 答案:a 解析:若 a=3,則 a=1,3b,故 a=3 是 ab的充分條件;而若 ab,則 a不一定為 3,當(dāng) a=2 時,也有ab.故 a=3不是 ab 的必要條件.故選 a. 3.(2013 福建,理 3)雙曲線24-y2=1 的頂點到其漸近線的距離等于( ). a.25 b.45 c.255 d.455 答案:c 解析:雙曲線24-y2=1 的頂點為( 2,0),漸近線方程為 y=12x,即 x-2y=0和 x+2y=0.故其頂點到漸近線的距離 d=|2|1+4=25=255. 4.(2013 福建,理 4)

3、某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測試成績分成 6組:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知高一年級共有學(xué)生 600 名,據(jù)此估計,該模塊測試成績不少于 60分的學(xué)生人數(shù)為( ). 2 / 15 a.588 b.480 c.450 d.120 答案:b 解析:由頻率分布直方圖知 4060分的頻率為(0.005+0.015)10=0.2,故估計不少于 60 分的學(xué)生人數(shù)為 600(1-0.2)=480. 5.(2013 福建,理 5)滿足 a,b-1,0,1,2,且關(guān)于 x的方程 ax2+2x

4、+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為( ). a.14 b.13 c.12 d.10 答案:b 解析:a=0 時,方程變?yōu)?2x+b=0,則 b 為-1,0,1,2都有解;a0 時,若方程 ax2+2x+b=0 有實數(shù)解,則 =22-4ab0,即 ab1.當(dāng) a=-1 時,b 可取-1,0,1,2.當(dāng) a=1 時,b可取-1,0,1.當(dāng) a=2時,b 可取-1,0,故滿足條件的有序?qū)?a,b)的個數(shù)為 4+4+3+2=13. 6.(2013 福建,理 6)閱讀如圖所示的程序框圖,若輸入的 k=10,則該算法的功能是( ). a.計算數(shù)列2n-1的前 10項和 b.計算數(shù)列2n-1的前

5、9項和 c.計算數(shù)列2n-1的前 10項和 d.計算數(shù)列2n-1的前 9 項和 答案:a 解析:當(dāng) k=10時,執(zhí)行程序框圖如下: s=0,i=1; s=1,i=2; s=1+2,i=3; s=1+2+22,i=4; 3 / 15 s=1+2+22+28,i=10; s=1+2+22+29,i=11. 7.(2013 福建,理 7)在四邊形 abcd中, =(1,2), =(-4,2),則該四邊形的面積為( ). a.5 b.25 c.5 d.10 答案:c 解析: =1(-4)+22=0, .又| |=1 + 22= 5,| |=(-4)2+ 22= 16 + 4=25,s四邊形abcd=1

6、2| | |=5. 8.(2013 福建,理 8)設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 r,x0(x00)是 f(x)的極大值點,以下結(jié)論一定正確的是( ). a.xr,f(x)f(x0) b.-x0是 f(-x)的極小值點 c.-x0是-f(x)的極小值點 d.-x0是-f(-x)的極小值點 答案:d 解析:選項 a,由極大值的定義知錯誤;對于選項 b,函數(shù) f(x)與 f(-x)的圖象關(guān)于 y軸對稱,-x0應(yīng)是 f(-x)的極大值點,故不正確;對于 c 選項,函數(shù) f(x)與-f(x)圖象關(guān)于 x 軸對稱,x0應(yīng)是-f(x)的極小值點,故不正確;而對于選項 d,函數(shù) f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于

7、原點成中心對稱,故正確. 9.(2013 福建,理 9)已知等比數(shù)列an的公比為 q,記 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1 am(n-1)+2 am(n-1)+m(m,nn*),則以下結(jié)論一定正確的是( ). a.數(shù)列bn為等差數(shù)列,公差為 qm b.數(shù)列bn為等比數(shù)列,公比為 q2m c.數(shù)列cn為等比數(shù)列,公比為qm2 d.數(shù)列cn為等比數(shù)列,公比為qmm 答案:c 解析:an是等比數(shù)列, amn+mam(n-1)+m=qmn+m-m(n-1)-m=qm, cn+1cn=amn+1amn+2amn+mam(n-1)+1am(n-1)

8、+2am(n-1)+m=(qm)m=qm2. 4 / 15 10.(2013 福建,理 10)設(shè) s,t是 r 的兩個非空子集,如果存在一個從 s到 t 的函數(shù) y=f(x)滿足:(1)t=f(x)|xs;(2)對任意 x1,x2s,當(dāng) x1x2時,恒有 f(x1)f(x2),那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是( ). a.a=n*,b=n b.a=x|-1x3,b=x|x=-8或 0 x10 c.a=x|0 x1,b=r d.a=z,b=q 答案:d 解析:由題意(1)可知,s為函數(shù) y=f(x)的定義域,t為函數(shù) y=f(x)的值域. 由(2)可知,函數(shù) y=f(

9、x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,對于 a,可構(gòu)造函數(shù) y=x-1,xn*,yn,滿足條件; 對于 b,構(gòu)造函數(shù) y=-8,x = -1,52(x + 1),-1 0”發(fā)生的概率為 . 答案:23 解析:由 3a-10得 a13,由幾何概型知 p=1-131=23. 12.(2013 福建,理 12)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為 2的正方形,則該球的表面積是 . 答案:12 解析:由題意知該幾何體是一個正方體內(nèi)接于球構(gòu)成的組合體,球的直徑 2r=22+ 22+ 22= 12,所以 r=3,故該球的表面積為 s球=4r2=

10、4 3=12. 5 / 15 13.(2013 福建,理 13)如圖,在abc中,已知點 d在 bc邊上,adac,sinbac=223,ab=32,ad=3,則bd 的長為 . 答案:3 解析:adac,dac=2. sinbac=223,sin(bad +2) =223, cosbad=223. 由余弦定理得 bd2=ab2+ad2-2abadcosbad=(32)2+32-2 32 3223=3. bd=3. 14.(2013 福建,理 14)橢圓 :x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為 f1,f2,焦距為 2c.若直線 y=3(x+c)與橢圓 的一個交點 m 滿足mf1f

11、2=2mf2f1,則該橢圓的離心率等于 . 答案:3-1 解析:由直線 y=3(x+c)知其傾斜角為 60 , 由題意知mf1f2=60 ,則mf2f1=30 ,f1mf2=90 . 故|mf1|=c,|mf2|=3c. 又|mf1|+|mf2|=2a,(3+1)c=2a, 即 e=23+1= 3-1. 15.(2013 福建,理 15)當(dāng) xr,|x|e(3x2), 7 / 15 所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大. 解法二:(1)由已知得,小明中獎的概率為23,小紅中獎的概率為25,且兩人中獎與否互不影響. 記“這 2 人的累計得分 x3”的事件為 a, 則事件 a 包

12、含有“x=0”,“x=2”,“x=3”三個兩兩互斥的事件, 因為 p(x=0)=(1-23) (1-25) =15,p(x=2)=23 (1-25) =25,p(x=3)=(1-23) 25=215, 所以 p(a)=p(x=0)+p(x=2)+p(x=3)=1115, 即這 2 人的累計得分 x3的概率為1115. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為 x1,都選擇方案乙所獲得的累計得分為 x2,則 x1,x2的分布列如下: x1 0 2 4 p 19 49 49 x2 0 3 6 p 925 1225 425 所以 e(x1)=019+249+449=83,e(x2)=0925

13、+31225+6425=125. 因為 e(x1)e(x2), 所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大. 17.(2013 福建,理 17)(本小題滿分 13 分)已知函數(shù) f(x)=x-aln x(ar). (1)當(dāng) a=2時,求曲線 y=f(x)在點 a(1,f(1)處的切線方程; (2)求函數(shù) f(x)的極值. 解:函數(shù) f(x)的定義域為(0,+),f(x)=1-ax. (1)當(dāng) a=2時,f(x)=x-2ln x,f(x)=1-2x(x0), 因而 f(1)=1,f(1)=-1, 所以曲線 y=f(x)在點 a(1,f(1)處的切線方程為 y-1=-(x-1), 即

14、x+y-2=0. (2)由 f(x)=1-ax=x-ax,x0知: 8 / 15 當(dāng) a0 時,f(x)0,函數(shù) f(x)為(0,+)上的增函數(shù),函數(shù) f(x)無極值; 當(dāng) a0 時,由 f(x)=0,解得 x=a. 又當(dāng) x(0,a)時,f(x)0, 從而函數(shù) f(x)在 x=a處取得極小值,且極小值為 f(a)=a-aln a,無極大值. 綜上,當(dāng) a0時,函數(shù) f(x)無極值; 當(dāng) a0時,函數(shù) f(x)在 x=a處取得極小值 a-aln a,無極大值. 18.(2013 福建,理 18)(本小題滿分 13 分)如圖,在正方形 oabc 中,o為坐標(biāo)原點,點 a 的坐標(biāo)為(10,0),點

15、 c 的坐標(biāo)為(0,10).分別將線段 oa和 ab 十等分,分點分別記為 a1,a2,a9和 b1,b2,b9.連結(jié) obi,過 ai作 x軸的垂線與 obi交于點 pi(in*,1i9). (1)求證:點 pi(in*,1i9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線 e的方程; (2)過點 c作直線 l與拋物線 e 交于不同的兩點 m,n,若ocm與ocn的面積比為 41,求直線 l的方程. 解法一:(1)依題意,過 ai(in*,1i9)且與 x軸垂直的直線方程為 x=i, bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線 obi的方程為 y=i10 x. 設(shè) pi的坐標(biāo)為(x,y),由x = i,y =i

16、10 x, 得 y=110 x2,即 x2=10y. 所以點 pi(in*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線 e 的方程為 x2=10y. (2)依題意,直線 l的斜率存在,設(shè)直線 l的方程為 y=kx+10. 由y = kx + 10,x2= 10y,得 x2-10kx-100=0, 此時 =100k2+4000,直線 l與拋物線 e恒有兩個不同的交點 m,n. 9 / 15 設(shè) m(x1,y1),n(x2,y2),則x1+ x2= 10k,x1x2= -100, 因為 socm=4socn,所以|x1|=4|x2|. 又 x1x20). (1)求證:cd平面 add1a1; (2)若直

17、線 aa1與平面 ab1c所成角的正弦值為67,求 k的值; (3)現(xiàn)將與四棱柱 abcd a1b1c1d1形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新的四棱柱.規(guī)定:若拼接成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問:共有幾種不同的拼接方案?在10 / 15 這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為 f(k),寫出 f(k)的解析式.(直接寫出答案,不必說明理由). 解:(1)取 cd的中點 e,連結(jié) be. abde,ab=de=3k, 四邊形 abed 為平行四邊形, bead且 be=ad=4k. 在bce中,be=4k,ce=3k,bc=5k, be2+ce2=bc2,

18、 bec=90 ,即 becd, 又bead,cdad. aa1平面 abcd,cd平面 abcd, aa1cd.又 aa1ad=a, cd平面 add1a1. (2)以 d 為原點,da ,dc ,dd1 的方向為 x,y,z 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則 a(4k,0,0),c(0,6k,0),b1(4k,3k,1),a1(4k,0,1), 所以ac =(-4k,6k,0),ab1 =(0,3k,1),aa1 =(0,0,1). 設(shè)平面 ab1c 的法向量 n=(x,y,z),則由 n = 0,1 n = 0, 11 / 15 得-4kx + 6ky = 0,3ky + z

19、 = 0. 取 y=2,得 n=(3,2,-6k). 設(shè) aa1與平面 ab1c所成角為 ,則 sin =|cos|=|1 n|1 |n| =6k36k2+13=67, 解得 k=1,故所求 k 的值為 1. (3)共有 4 種不同的方案. f(k)=72k2+ 26k,0 518. 20.(2013 福建,理 20)(本小題滿分 14 分)已知函數(shù) f(x)=sin(x+)(0,00,得 =2t=2. 又曲線 y=f(x)的一個對稱中心為(4,0),(0,), 故 f(4)=sin(2 4+ )=0,得 =2,所以 f(x)=cos 2x. 將函數(shù) f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的

20、2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得 y=cos x的圖象,再將y=cos x的圖象向右平移2個單位長度后得到函數(shù) g(x)=cos(x-2)的圖象,所以 g(x)=sin x. (2)當(dāng) x(6,4)時,12sin x22,0cos 2xcos 2xsin xcos 2x. 問題轉(zhuǎn)化為方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在(6,4)內(nèi)是否有解. 設(shè) g(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x(6,4), 12 / 15 則 g(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). 因為 x(6,4),所以 g(x)0,g(x)在(6,4

21、)內(nèi)單調(diào)遞增. 又 g(6)=-140, 且函數(shù) g(x)的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù) g(x)在(6,4)內(nèi)存在唯一零點 x0, 即存在唯一的 x0(6,4)滿足題意. (3)依題意,f(x)=asin x+cos 2x,令 f(x)=asin x+cos 2x=0. 當(dāng) sin x=0,即 x=k(kz)時,cos 2x=1,從而 x=k(kz)不是方程 f(x)=0的解, 所以方程 f(x)=0 等價于關(guān)于 x的方程 a=-2xx,xk(kz).現(xiàn)研究 x(0,)(,2)時方程 a=-2xx的解的情況. 令 h(x)=-2xx,x(0,)(,2), 則問題轉(zhuǎn)化為研究直線 y=a 與曲線 y

22、=h(x),x(0,)(,2)的交點情況. h(x)=x(22x+1)2x,令 h(x)=0,得 x=2或 x=32. 當(dāng) x變化時,h(x),h(x)的變化情況如下表: x (0,2) 2 (2,) (,32) 32 (32,2) h(x) + 0 - - 0 + h(x) 1 -1 當(dāng) x0且 x 趨近于 0 時,h(x)趨向于-, 當(dāng) x且 x趨近于 時,h(x)趨向于+, 當(dāng) x1 時,直線 y=a 與曲線 y=h(x)在(0,)內(nèi)無交點,在(,2)內(nèi)有 2個交點; 當(dāng) a-1 時,直線 y=a與曲線 y=h(x)在(0,)內(nèi)有 2 個交點,在(,2)內(nèi)無交點; 當(dāng)-1a0,p(-1)

23、=-a-1,p(1)=a-1. 當(dāng) a1時,函數(shù) p(t)有一個零點 t1(-1,0)(另一個零點 t21,舍去),f(x)在(0,2上有兩個零點 x1,x2,且 x1,x2(,2); 當(dāng) a-1 時,函數(shù) p(t)有一個零點 t1(0,1)(另一個零點 t2-1,舍去),f(x)在(0,2上有兩個零點 x1,x2,且 x1,x2(0,); 當(dāng)-1a1 時,函數(shù) p(t)有一個零點 t1(-1,0),另一個零點 t2(0,1),f(x)在(0,)和(,2)分別有兩個零點. 由正弦函數(shù)的周期性,可知當(dāng) a 1時,函數(shù) f(x)在(0,n)內(nèi)總有偶數(shù)個零點,從而不存在正整數(shù) n滿足題意. 當(dāng) a=

24、1時,函數(shù) p(t)有一個零點 t1(-1,0),另一個零點 t2=1; 當(dāng) a=-1 時,函數(shù) p(t)有一個零點 t1=-1,另一個零點 t2(0,1), 從而當(dāng) a=1或 a=-1時,函數(shù) f(x)在(0,2有 3 個零點.由正弦函數(shù)的周期性,2 013=3 671,所以依題意得 n=671 2=1 342. 綜上,當(dāng) a=1,n=1 342或 a=-1,n=1 342 時,函數(shù) f(x)=f(x)+ag(x)在(0,n)內(nèi)恰有 2 013 個零點. 21.(2013 福建,理 21)本題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個選考題,每題 7 分,請考生任選 2 題作答,滿分 14分.如果多做,

25、則按所做的前兩題計分.作答時,先用 2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右邊的方框涂黑,并將所選題號填入括號中. (1)(本小題滿分 7分)選修 42:矩陣與變換 14 / 15 已知直線 l:ax+y=1在矩陣 a=(1 20 1)對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€ l:x+by=1. 求實數(shù) a,b的值; 若點 p(x0,y0)在直線 l上,且 a(x0y0) = (x0y0),求點 p的坐標(biāo). (2)(本小題滿分 7分)選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點 a 的極坐標(biāo)為(2,4),直線 l的極坐標(biāo)方程為 cos(-4)=a,且點 a在直線 l上. 求 a 的值及直線 l的直角坐標(biāo)方程; 圓 c的參數(shù)方程為x = 1 + ,y = ( 為參數(shù)),試判