2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(湖北卷)理

1、1 / 20 2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷湖北卷) 數(shù)學數(shù)學(理工類理工類) 本試題卷共 6頁,22 題,其中第 15、16 題為選考題.全卷滿分 150 分.考試用時 120 分鐘. 注意事項: 1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.用統(tǒng)一提供的 2b鉛筆將答題卡上試卷類型 a 后的方框涂黑. 2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用統(tǒng)一提供的 2b 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號.答在試題卷、草稿紙上無效. 3.填空題和解

2、答題的作答:用統(tǒng)一提供的簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.答在試題卷、草稿紙上無效. 4.選考題的作答:先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用統(tǒng)一提供的 2b鉛筆涂黑.考生應根據(jù)自己選做的題目準確填涂題號,不得多選.答題答在答題卡上對應的答題區(qū)域內,答在試題卷、草稿紙上無效. 5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后,請將本試題卷和答題卡一并上交. 一、選擇題:本大題共 10小題,每小題 5分,共 50 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2013 湖北,理 1)在復平面內,復數(shù) z=2i1+i(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于( ). a.第一象限 b

3、.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:d 解析:z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=i(1-i)=1+i, 復數(shù) z=2i1+i的共軛復數(shù)=1-i,其在復平面內對應的點(1,-1)位于第四象限. 2 / 20 2.(2013 湖北,理 2)已知全集為 r,集合 a=x|(12)x 1,b=x|x2-6x+80,則 arb=( ). a.x|x0 b.x|2x4 c.x|0 x4 d.x|0 x2或 x4 答案:c 解析:由題意知集合 a=x|(12)x 1=x|x0, 集合 b=x|x2-6x+80=x|2x4, rb=x|x4. 因此 a(rb)=x|0 x4. 3.

4、(2013 湖北,理 3)在一次跳傘訓練中,甲、乙兩位學員各跳一次.設命題 p是“甲降落在指定范圍”,q 是“乙降落在指定范圍”,則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為( ). a.(p)(q) b.p(q) c.(p)(q) d.pq 答案:a 解析:“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”包括甲或乙沒有落在指定范圍或者兩人均沒有落在指定范圍,因此應為(p)(q). 4.(2013 湖北,理 4)將函數(shù) y=3cos x+sin x(xr)的圖象向左平移 m(m0)個單位長度后,所得到的圖象關于 y軸對稱,則 m的最小值是( ). a.12 b.6 c.3 d.56 答案:b 解析:

5、y=3cos x+sin x=2sin(x +3),函數(shù) y=3cos x+sin x(xr)的圖象向左平移 m(m0)個單位長度后,變?yōu)楹瘮?shù) y=2sin(x +3+ m)的圖象. 3 / 20 又所得到的圖象關于 y軸對稱,則有 3+m=k+2,kz, m=k+6,kz. m0,當 k=0時,m的最小值為6. 5.(2013 湖北,理 5)已知 04,則雙曲線 c1:x22y22=1 與 c2:y22x222=1的( ). a.實軸長相等 b.虛軸長相等 c.焦距相等 d.離心率相等 答案:d 解析:對于雙曲線 c1:x22y22=1,12=cos2,b12=sin2,c12=1; 對于雙

6、曲線 c2:y22x222=1,22=sin2,b22=sin2tan2,c22=sin2+sin2tan2=sin2(1+tan2)=sin2(1 +22) =22=tan2. 只有當 =k+4(kz)時,a12= a22或b12= b22或c12= c22, 而 04,排除 a,b,c. 設雙曲線 c1,c2的離心率分別為 e1,e2,則e12=12,22=22=12. 故 e1=e2,即兩雙曲線的離心率相等. 6.(2013 湖北,理 6)已知點 a(-1,1),b(1,2),c(-2,-1),d(3,4),則向量ab 在cd 方向上的投影為( ). a.322 b.3152 c.-32

7、2 d.-3152 答案:a 解析:由題意可知ab =(2,1),cd =(5,5),故ab 在cd 方向上的投影為ab cd |cd |=1550=322. 4 / 20 7.(2013 湖北,理 7)一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度 v(t)=7-3t+251+t(t的單位:s,v 的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位:m)是( ). a.1+25ln 5 b.8+25ln 113 c.4+25ln 5 d.4+50ln 2 答案:c 解析:由于 v(t)=7-3t+251+t,且汽車停止時速度為 0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4,

8、 即汽車從剎車到停止共用 4 s. 該汽車在此期間所行駛的距離 s= 40(7-3t +251+t)dt =7t-322+ 25(t + 1)|04 =4+25ln 5(m). 8.(2013 湖北,理 8)一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成,其體積分別記為 v1,v2,v3,v4,上面兩個簡單幾何體均為旋轉體,下面兩個簡單幾何體均為多面體,則有( ). a.v1v2v4v3 b.v1v3v2v4 5 / 20 c.v2v1v3v4 d.v2v3v1v4 答案:c 解析:由三視圖可知,四個幾何體自上而下分別為圓臺,圓柱,四棱柱,四棱臺.結合題中所給數(shù)據(jù)可得: v1

9、=13(4+2)=73,v2=2, v3=23=8,v4=13(16+4+8)=283. 故 v2v1v3v4. 9.(2013 湖北,理 9)如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為 125 個同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為 x,則 x 的均值 e(x)=( ). a.126125 b.65 c.168125 d.75 答案:b 解析:由題意可知涂漆面數(shù) x的可能取值為 0,1,2,3. 由于 p(x=0)=27125,p(x=1)=54125,p(x=2)=36125,p(x=3)=8125, 故 e(x)=027125+154125+23612

10、5+38125=150125=65. 10.(2013 湖北,理 10)已知 a為常數(shù),函數(shù) f(x)=x(ln x-ax)有兩個極值點 x1,x2(x10,f(x2)-12 b.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)-12 6 / 20 d.f(x1)-12 答案:d 解析:由題意知,函數(shù) f(x)=x(ln x-ax)=xln x-ax2有兩個極值點, 即 f(x)=ln x+1-2ax=0在區(qū)間(0,+)上有兩個根. 令 h(x)=ln x+1-2ax,則 h(x)=1x-2a=-2ax+1x,當 a0 時 h(x)0,f(x)在區(qū)間(0,+)上遞增,f(x)=0不可能有兩個正根, a0

11、.由 h(x)=0,可得 x=12a,從而可知 h(x)在區(qū)間(0,12a)上遞增,在區(qū)間(12a, + )上遞減.因此需h(12a)=ln 12a+1-1=ln 12a0,即12a1 時滿足條件,故當 0a12時,h(x)=0 有兩個根 x1,x2,且 x112a0, x1112ax2,從而可知函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,x1)上遞減,在區(qū)間(x1,x2)上遞增,在區(qū)間(x2,+)上遞減. f(x1)f(1)=-af(1)=-a-12.故選 d. 二、填空題:本大題共 6小題,考生共需作答 5小題,每小題 5分,共 25分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上,答錯位置,書寫不清,模棱兩可均不得

12、分. 11.(2013 湖北,理 11)從某小區(qū)抽取 100 戶居民進行月用電量調查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在 50至 350 度之間,頻率分布直方圖如圖所示. (1)直方圖中 x 的值為 ; (2)在這些用戶中,用電量落在區(qū)間100,250)內的戶數(shù)為 . 答案:(1)0.004 4 (2)70 7 / 20 解析:(1)由頻率分布直方圖知200,250)小組的頻率為 1-(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2) 50=0.22, 于是 x=0.2250=0.004 4. (2)數(shù)據(jù)落在100,250)內的頻率為(0.003 6+0.006 0+0.004

13、4) 50=0.7, 所求戶數(shù)為 0.7 100=70. 12.(2013 湖北,理 12)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,輸出的結果 i= . 答案:5 解析:第一次執(zhí)行循環(huán)體后:a=5,i=2;第二次執(zhí)行循環(huán)體后:a=16,i=3;第三次執(zhí)行循環(huán)體后:a=8,i=4;第四次執(zhí)行循環(huán)體后:a=4,i=5,滿足條件,循環(huán)結束.輸出 i=5. 13.(2013 湖北,理 13)設 x,y,zr,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,則 x+y+z= . 答案:3147 解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)(x+2y+3z)2當且僅當x1=y2=z3時

14、等號成立,此時y=2x,z=3x. x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14, x=1414,y=21414,z=31414. x+y+z=61414=3147. 8 / 20 14.(2013 湖北,理 14)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù) 1,3,6,10,第n 個三角形數(shù)為n(n+1)2=12n2+12n.記第 n 個 k邊形數(shù)為 n(n,k)(k3),以下列出了部分 k 邊形數(shù)中第 n個數(shù)的表達式: 三角形數(shù) n(n,3)=12n2+12n, 正方形數(shù) n(n,4)=n2, 五邊形數(shù) n(n,5)=32n2-12n, 六邊形數(shù) n(n,6)=2n2-n,

15、可以推測 n(n,k)的表達式,由此計算 n(10,24)= . 答案:1 000 解析:由題中數(shù)據(jù)可猜想:含 n2項的系數(shù)為首項是12,公差是12的等差數(shù)列,含 n 項的系數(shù)為首項是12,公差是-12的等差數(shù)列,因此 n(n,k)=12+ (k-3)12n2+12+ (k-3)(-12)n=k-22n2+4-k2n.故 n(10,24)=11n2-10n=11 102-10 10=1 000. (二)選考題(請考生在第 15、16兩題中任選一題作答,請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用 2b鉛筆涂黑.如果全選,則按第 15題作答結果計分.) 15.(2013 湖北,理 15)(選

16、修 41:幾何證明選講) 如圖,圓 o 上一點 c 在直徑 ab上的射影為 d,點 d在半徑 oc上的射影為 e.若 ab=3ad,則ceeo的值為 . 答案:8 9 / 20 解析:設 ad=2,則 ab=6, 于是 bd=4,od=1. 如圖,由射影定理得 cd2=adbd=8, 則 cd=22. 在 rtocd中,de=odcdoc=1223=223. 則 ce=dc2-de2= 8-89=83,eo=oc-ce=3-83=13. 因此ceeo=8313=8. 16.(2013 湖北,理 16)(選修 44:坐標系與參數(shù)方程) 在直角坐標系 xoy 中,橢圓 c的參數(shù)方程為x = a,y

17、 = b( 為參數(shù),ab0).在極坐標系(與直角坐標系xoy 取相同的長度單位,且以原點 o 為極點,以 x 軸正半軸為極軸)中,直線 l與圓 o 的極坐標方程分別為 sin( +4) =22m(m 為非零常數(shù))與 =b.若直線 l經(jīng)過橢圓 c的焦點,且與圓 o 相切,則橢圓 c 的離心率為 . 答案:63 解析:將橢圓 c的參數(shù)方程x = a,y = b( 為參數(shù),ab0)化為標準方程為x2a2+y2b2=1(ab0).又直線 l的極坐標方程為 sin( +4) =22m(m為非零常數(shù)),即 (22+ 22) =22m,則該直線的一般式為 y+x-m=0.圓的極坐標方程為 =b,其標準方程為

18、 x2+y2=b2.直線與圓 o相切,|m|2=b,|m|=2b.又直線 l經(jīng)過橢圓 c的焦點,|m|=c.c=2b,c2=2b2.a2=b2+c2=3b2,e2=c2a2=23.e=63. 10 / 20 三、解答題:本大題共 6小題,共 75 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(2013 湖北,理 17)(本小題滿分 12 分)在abc中,角 a,b,c對應的邊分別是 a,b,c.已知 cos 2a-3cos(b+c)=1. (1)求角 a的大小; (2)若abc的面積 s=53,b=5,求 sin bsin c 的值. 解:(1)由 cos 2a-3cos(b+c)=1

19、, 得 2cos2a+3cos a-2=0, 即(2cos a-1)(cos a+2)=0, 解得 cos a=12或 cos a=-2(舍去). 因為 0a,所以 a=3. (2)由 s=12bcsin a=12bc32=34bc=53,得 bc=20.又 b=5,知 c=4. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos a=25+16-20=21,故 a=21. 又由正弦定理得 sin bsin c=basin acasin a=bca2sin2a=202134=57. 18.(2013 湖北,理 18)(本小題滿分 12 分)已知等比數(shù)列an滿足:|a2-a3|=10,a1a2a3=1

20、25. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)是否存在正整數(shù) m,使得1a1+1a2+1am1?若存在,求 m的最小值;若不存在,說明理由. 解:(1)設等比數(shù)列an的公比為 q,則由已知可得a13q3= 125,|a1q-a1q2| = 10, 解得a1=53,q = 3,或a1= -5,q = -1. 故 an=533n-1,或 an=-5(-1)n-1. 11 / 20 (2)若 an=533n-1,則1an=35(13)n-1,故1an是首項為35,公比為13的等比數(shù)列, 從而n=1m1an=351-(13)m1-13 =9101-(13)m 9101. 若 an=(-5)(-1)n-1

21、,則1an=-15(-1)n-1,故1an是首項為-15,公比為-1的等比數(shù)列,從而n=1m1an=-15,m = 2k-1(k+),0,m = 2k(k+),故n=1m1an1. 綜上,對任何正整數(shù) m,總有n=1m1an1. 故不存在正整數(shù) m,使得1a1+1a2+1am1成立. 19.(2013 湖北,理 19)(本小題滿分 12 分)如圖,ab 是圓 o 的直徑,點 c是圓 o上異于 a,b 的點,直線pc平面 abc,e,f分別是 pa,pc 的中點. (1)記平面 bef 與平面 abc的交線為 l,試判斷直線 l與平面 pac 的位置關系,并加以證明; (2)設(1)中的直線 l

22、與圓 o 的另一個交點為 d,且點 q滿足dq =12cp ,記直線 pq與平面 abc所成的角為 ,異面直線 pq與 ef所成的角為 ,二面角 e-l-c的大小為 ,求證:sin =sin sin . (1)解:直線 l平面 pac,證明如下: 連接 ef,因為 e,f 分別是 pa,pc的中點, 所以 efac. 又 ef平面 abc,且 ac平面 abc, 所以 ef平面 abc. 12 / 20 而 ef平面 bef,且平面 bef平面 abc=l,所以 efl. 因為 l平面 pac,ef平面 pac, 所以直線 l平面 pac. 圖 1 (2)證明:(綜合法)如圖 1,連接 bd,

23、由(1)可知交線 l即為直線 bd,且 lac. 因為 ab是o的直徑, 所以 acbc, 于是 lbc. 已知 pc平面 abc,而 l平面 abc,所以 pcl. 而 pcbc=c,所以 l平面 pbc. 連接 be,bf,因為 bf平面 pbc, 所以 lbf. 故cbf就是二面角 e-l-c的平面角, 即cbf=. 由dq =12cp ,作 dqcp,且 dq=12cp. 連接 pq,df,因為 f 是 cp的中點,cp=2pf, 所以 dq=pf, 從而四邊形 dqpf是平行四邊形,pqfd. 連接 cd,因為 pc平面 abc,所以 cd是 fd在平面 abc內的射影, 故cdf就

24、是直線 pq 與平面 abc 所成的角,即cdf=. 又 bd平面 pbc,有 bdbf,知bdf為銳角, 13 / 20 故bdf為異面直線 pq與 ef 所成的角,即bdf=, 于是在 rtdcf,rtfbd,rtbcf 中,分別可得 sin =cfdf,sin =bfdf,sin =cfbf, 從而 sin sin =cfbfbfdf=cfdf=sin , 即 sin =sin sin . 圖 2 (向量法)如圖 2,由dq =12cp ,作 dqcp,且 dq=12cp. 連接 pq,ef,be,bf,bd,由(1)可知交線 l即為直線 bd. 以點 c為原點,向量ca ,cb ,cp

25、 所在直線分別為 x、y、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設ca=a,cb=b,cp=2c,則有 c(0,0,0),a(a,0,0),b(0,b,0),p(0,0,2c),q(a,b,c),e(12a,0,c),f(0,0,c). 于是fe = (12a,0,0),qp =(-a,-b,c),bf =(0,-b,c), 所以 cos =|fe qp |fe |qp |=aa2+b2+c2,從而 sin =1-2 =b2+c2a2+b2+c2. 又取平面 abc 的一個法向量為 m=(0,0,1),可得 sin =|m |m| |=ca2+b2+c2, 設平面 bef 的一個法向量為 n=(

26、x,y,z), 所以由n = 0,n = 0,可得12ax = 0,-by + cz = 0.取 n=(0,c,b). 14 / 20 于是|cos |=|mn|m|n|=bb2+c2, 從而 sin =1-2 =cb2+c2. 故 sin sin =b2+c2a2+b2+c2cb2+c2=ca2+b2+c2=sin ,即 sin =sin sin . 20.(2013 湖北,理 20)(本小題滿分 12 分)假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù) x是服從正態(tài)分布n(800,502)的橢機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過 900的概率為 p0. (1)求 p0的值; (參考數(shù)據(jù):若 xn(

27、,2),有 p(-x+)=0.682 6,p(-2x+2)=0.954 4,p(-3x+3)=0.997 4.) (2)某客運公司用 a,b兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務,每車每天往返一次.a,b兩種車輛的載客量分別為 36人和 60人,從甲地去乙地的營運成本分別為 1 600元/輛和 2 400 元/輛.公司擬組建一個不超過 21 輛車的客運車隊,并要求 b 型車不多于 a型車 7輛.若每天要以不小于 p0的概率運完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的營運成本最小,那么應配備 a型車、b 型車各多少輛? 解:(1)由于隨機變量 x服從正態(tài)分布 n(800,502), 故有

28、 =800,=50,p(700x900)=0.954 4. 由正態(tài)分布的對稱性,可得 p0=p(x900)=p(x800)+p(800x900) =12+12p(700n),過原點且不與 x 軸重合的直線 l與 c1,c2的四個交點按縱坐標從大到小依次為a,b,c,d.記 =mn,bdm 和abn的面積分別為 s1和 s2. (1)當直線 l與 y軸重合時,若 s1=s2,求 的值; (2)當 變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線 l,使得 s1=s2?并說明理由. 解:依題意可設橢圓 c1和 c2的方程分別為 c1:x2a2+y2m2=1,c2:x2a2+y2n2=1. 其中 amn0,=m

29、n1. 圖 1 16 / 20 (1)解法 1:如圖 1,若直線 l與 y軸重合,即直線 l的方程為 x=0,則s1=12|bd|om|=12a|bd|,s2=12|ab|on|=12a|ab|, 所以s1s2=|bd|ab|. 在 c1和 c2的方程中分別令 x=0,可得 ya=m,yb=n,yd=-m, 于是|bd|ab|=|yb-yd|ya-yb|=m+nm-n=+1-1. 若s1s2=,則+1-1=,化簡得 2-2-1=0. 由 1,可解得 =2+1. 故當直線 l與 y 軸重合時,若 s1=s2,則 =2+1. 解法 2:如圖 1,若直線 l與 y 軸重合,則 |bd|=|ob|+|

30、od|=m+n,|ab|=|oa|-|ob|=m-n; s1=12|bd|om|=12a|bd|, s2=12|ab|on|=12a|ab|. 所以s1s2=|bd|ab|=m+nm-n=+1-1. 若s1s2=,則+1-1=,化簡得 2-2-1=0. 由 1,可解得 =2+1. 故當直線 l與 y 軸重合時,若 s1=s2,則 =2+1. 圖 2 17 / 20 (2)解法 1:如圖 2,若存在與坐標軸不重合的直線 l,使得 s1=s2.根據(jù)對稱性,不妨設直線l:y=kx(k0),點 m(-a,0),n(a,0)到直線 l的距離分別為 d1,d2,則 d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k

31、2,d2=|ak-0|1+k2=ak1+k2,所以d1=d2. 又 s1=12|bd|d1,s2=12|ab|d2,所以s1s2=|bd|ab|=,即|bd|=|ab|. 由對稱性可知|ab|=|cd|,所以|bc|=|bd|-|ab|=(-1)|ab|, |ad|=|bd|+|ab|=(+1)|ab|,于是 |ad|bc|=+1-1. 將 l的方程分別與 c1,c2的方程聯(lián)立,可求得 xa=ama2k2+m2,xb=ana2k2+n2. 根據(jù)對稱性可知 xc=-xb,xd=-xa,于是 |ad|bc|=1 + k2|xa-xd|1 + k2|xb-xc|=2xa2xb =mna2k2+n2a

32、2k2+m2. 從而由和式可得 a2k2+n2a2k2+m2=+1(-1). 令 t=+1(-1),則由 mn,可得 t1,于是由可解得 k2=n2(2t2-1)a2(1-t2). 因為 k0,所以 k20.于是式關于 k 有解,當且僅當n2(2t2-1)a2(1-t2)0, 等價于(t2-1)(t2-12)1,可解得1t1, 即1+1(-1)1,解得 1+2,所以 18 / 20 當 11+2時,存在與坐標軸不重合的直線 l使得 s1=s2. 解法 2:如圖 2,若存在與坐標軸不重合的直線 l,使得 s1=s2.根據(jù)對稱性,不妨設直線 l:y=kx(k0), 點 m(-a,0),n(a,0)到直線 l的距離分別為 d1,d2, 則 d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2,d2=|ak-0|1+k2=ak1+k2,所以 d1=d2. 又 s1=12|bd|d1,s2=12|ab|d2,所以s1s2=|bd|ab|=. 因為|bd|ab|=1+k2|xb-xd|1+k2|xa-xb|=xa+xbxa-xb=,所以xaxb=+1-1. 由點 a(xa,kxa),b(xb,kxb)分別在 c1,c2上,可得xa2a2+k2xa2m2=1,xb2a2+k2xb2n2=1,兩式相減可得xa2-xb2a2+k2(xa2-2xb2)m2=0, 依題意 xax