2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(天津卷)文 (2)

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(文史類(lèi))本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時(shí)120分鐘.第卷參考公式:·如果事件a,b互斥,那么p(ab)=p(a)+p(b).·圓柱的體積公式v=sh.其中s表示圓柱的底面面積,h表示圓柱的高.·圓錐的體積公式v=13sh.其中s表示圓錐的底面面積,h表示圓錐的高.一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014天津,文1)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)7+i3+4i=().a.1-ib.-1+ic.1725+3125id.-177+257i答案:a解析:7

2、+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=21-28i+3i+425=1-i.2.(2014天津,文2)設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件x+y-20,x-y-20,y1,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為().a.2b.3c.4d.5答案:b解析:作出約束條件的可行域如圖中陰影所示.z=x+2y,y=-12x+12z.直線y=-12x+12z在y軸上的截距越小,z就越小.作直線l0:x+2y=0,平移l0,當(dāng)過(guò)a點(diǎn)時(shí),直線y=-12x+12z在y軸上的截距最小.由y=1,x+y-2=0,解得a(1,1),zmin=1+2×1=3.3.(2014天津,文3)已知命題p:x&g

3、t;0,總有(x+1)ex>1,則􀱑p為().a.x00,使得(x0+1)ex01b.x0>0,使得(x0+1)ex01c.x>0,總有(x+1)ex1d.x0,總有(x+1)ex1答案:b解析:由全稱(chēng)命題xm,p(x)的否定為x0m,􀱑p(x),可得􀱑p:x0>0,使得(x0+1)ex01.故選b.4.(2014天津,文4)設(shè)a=log2,b=log12,c=-2,則().a.a>b>cb.b>a>cc.a>c>bd.c>b>a答案:c解析:a=log2>log

4、22=1,b=log12<log121=0,c=-2=12(0,1),a>c>b.故選c.5.(2014天津,文5)設(shè)an是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,sn為其前n項(xiàng)和.若s1,s2,s4成等比數(shù)列,則a1=().a.2b.-2c.12d.-12答案:d解析:由題意知s22=s1·s4,則(a1+a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-12.故選d.6.(2014天津,文6)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上,則雙曲線的方程為().a.x25-y220=1b.

5、x220-y25=1c.3x225-3y2100=1d.3x2100-3y225=1答案:a解析:由雙曲線方程可得其漸近線方程為y=±bax.一條漸近線平行于直線y=2x+10,ba=2.對(duì)直線y=2x+10,令y=0,解得x=-5.由題意知c=5.又a2+b2=c2,聯(lián)立,解得a2=5,b2=20,所求雙曲線的方程為x25-y220=1.故選a.7.(2014天津,文7)如圖,abc是圓的內(nèi)接三角形,bac的平分線交圓于點(diǎn)d,交bc于點(diǎn)e,過(guò)點(diǎn)b的圓的切線與ad的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)f.在上述條件下,給出下列四個(gè)結(jié)論:bd平分cbf;fb2=fd·fa;ae·ce=be

6、·de;af·bd=ab·bf.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是().a.b.c.d.答案:d解析:如右圖,在圓中,1與3所對(duì)的弧相同,1=3.又bf為圓的切線,則2=4.又ad為bac的平分線,1=2.3=4.bd平分cbf.故正確.在bfd和afb中,f為公共角,且4=2,bfdafb.bfaf=dfbf=bdab.bf2=af·df,bf·ab=bd·af.故正確,正確.由相交弦定理可知不正確,故選d.8.(2014天津,文8)已知函數(shù)f(x)=3sin x+cos x(>0),xr.在曲線y=f(x)與直線y=1的交點(diǎn)中,若相鄰交

7、點(diǎn)距離的最小值為3,則f(x)的最小正周期為().a.2b.23c.d.2答案:c解析:f(x)=3sin x+cos x=2sinx+6.設(shè)距離最小的相鄰兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1<x2,則x2-x1=3.x1+6=2k+6,kz或x2+6=2k+56,kz.(x2-x1)=56-6=23.3=23.=2.t=22=.第卷二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.(2014天津,文9)某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向,擬采用分層抽樣的方法,從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生

8、人數(shù)之比為4556,則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取名學(xué)生. 答案:60解析:300×44+5+5+6=60(名).10.(2014天津,文10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3. 答案:203解析:由三視圖知該幾何體上面為圓錐,下面為圓柱.v=13×22×2+×12×4=203.11.(2014天津,文11)閱讀下邊的框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出s的值為. 答案:-4解析:初始時(shí),s=0,n=3;第1次運(yùn)作,s=0+(-2)3=-8,n=3-1=2;第2次運(yùn)作,s=-8+(-2)2=-4,n=

9、2-1=1,此時(shí)滿(mǎn)足n1,輸出-4.12.(2014天津,文12)函數(shù)f(x)=lg x2的單調(diào)遞減區(qū)間是. 答案:(-,0)解析:函數(shù)f(x)=lg x2的定義域?yàn)?-,0)(0,+).f(x)=lg x在(0,+)上為增函數(shù),y=x2在0,+)上為增函數(shù),在(-,0上為減函數(shù),f(x)=lg x2的單調(diào)減區(qū)間為(-,0).13.(2014天津,文13)已知菱形abcd的邊長(zhǎng)為2,bad=120°,點(diǎn)e,f分別在邊bc,dc上,bc=3be,dc=df,若ae·af=1,則的值為. 答案:2解析:四邊形abcd為菱形,且邊長(zhǎng)為2,bad=120

10、6;,bc=ad,dc=ab.由題意得ae=ab+be=ab+13ad,af=ad+df=ad+1ab.ae·af=ab+13ad·1ab+ad=1×4+ab·ad+13ab·ad+13×4=4+1+13×2×2×-12+43=1.4-2-23+43=1.14-23=3-43.=2.14.(2014天津,文14)已知函數(shù)f(x)=|x2+5x+4|,x0,2|x-2|,x>0,若函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 答案:(1,2)解析:分別作出函數(shù)y=f(x)與

11、y=a|x|的圖象,由圖知,a<0時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=a|x|無(wú)交點(diǎn);a=0時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=a|x|有三個(gè)交點(diǎn),故a>0.當(dāng)x>0,a2時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=a|x|有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)x>0,0<a<2時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=a|x|有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)x<0時(shí),若y=-ax與y=-x2-5x-4(-4<x<-1)相切,則由=0得a=1或a=9(舍).因此當(dāng)x<0,a>1時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=a|x|有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)x<0,a=1時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=a|x|有三個(gè)交點(diǎn);當(dāng)x<0,0<a<

12、;1時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=a|x|有四個(gè)交點(diǎn).所以當(dāng)且僅當(dāng)1<a<2時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn).三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿(mǎn)分13分)(2014天津,文15)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)a,b,c和3名女同學(xué)x,y,z,其年級(jí)情況如下表:一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)abc女同學(xué)xyz現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;(2)設(shè)m為事件“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件m發(fā)生的概率.分析:(1)用列舉法寫(xiě)出從

13、6人中選2人的所有結(jié)果.(2)先寫(xiě)出事件m發(fā)生時(shí)所含的所有結(jié)果,再運(yùn)用古典概型概率公式求解.解:(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為a,b,a,c,a,x,a,y,a,z,b,c,b,x,b,y,b,z,c,x,c,y,c,z,x,y,x,z,y,z,共15種.(2)選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為a,y,a,z,b,x,b,z,c,x,c,y,共6種.因此,事件m發(fā)生的概率p(m)=615=25.16.(本小題滿(mǎn)分13分)(2014天津,文16)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a-c=66b,sin b=6sin

14、 c.(1)求cos a的值;(2)求cos2a-6的值.分析:(1)利用條件中角的關(guān)系,利用正弦定理化為邊的形式,結(jié)合已知,用c表示出a,b,運(yùn)用余弦定理求解cos a.(2)由(1)可先求sin a,再用二倍角公式求sin 2a,cos 2a的值,利用兩角差的余弦公式求解.解:(1)在abc中,由bsinb=csinc,及sin b=6sin c,可得b=6c.又由a-c=66b,有a=2c.所以,cos a=b2+c2-a22bc=6c2+c2-4c226c2=64.(2)在abc中,由cos a=64,可得sin a=104.于是cos 2a=2cos2a-1=-14,sin 2a=2

15、sin a·cos a=154.所以,cos2a-6=cos 2a·cos6+sin 2a·sin6=15-38.17.(本小題滿(mǎn)分13分)(2014天津,文17)如圖,四棱錐p-abcd的底面abcd是平行四邊形,ba=bd=2,ad=2,pa=pd=5,e,f分別是棱ad,pc的中點(diǎn).(1)證明:ef平面pab;(2)若二面角p-ad-b為60°.證明:平面pbc平面abcd;求直線ef與平面pbc所成角的正弦值.分析:(1)由線線平行證明線面平行.從而在平面pab中,尋求過(guò)a點(diǎn)與ef平行的直線即可.可借助于中位線構(gòu)造平行四邊形求證.(2)由線面垂直

16、可證面面垂直.先由二面角定義找出二面角p-ad-b的平面角,結(jié)合長(zhǎng)度在peb中,運(yùn)用勾股定理,證明bepb.再證明bebc,進(jìn)而證明be平面pbc,再證得平面pbc平面abcd.由易知efb為所求角.再在ebf中,利用ef與be的邊長(zhǎng)求正弦值.(1)證明:如圖,取pb中點(diǎn)m,連接mf,am.因?yàn)閒為pc中點(diǎn),故mfbc且mf=12bc.由已知有bcad,bc=ad.又由于e為ad中點(diǎn),因而mfae,且mf=ae,故四邊形amfe為平行四邊形,所以efam.又am平面pab,而ef平面pab.所以ef平面pab.(2)證明:連接pe,be.因?yàn)閜a=pd,ba=bd,而e為ad中點(diǎn),故pead,

17、bead.所以peb為二面角p-ad-b的平面角.在pad中,由pa=pd=5,ad=2,可解得pe=2.在abd中,由ba=bd=2,ad=2,可解得be=1.在peb中,pe=2,be=1,peb=60°.由余弦定理,可解得pb=3,從而pbe=90°,即bepb.又bcad,bead,從而bebc,因此be平面pbc.又be平面abcd,所以,平面pbc平面abcd.解:連接bf.由知,be平面pbc,所以efb為直線ef與平面pbc所成的角.由pb=3及已知,得abp為直角.而mb=12pb=32,可得am=112,故ef=112.又be=1,故在直角三角形ebf中

18、,sinefb=beef=21111.所以,直線ef與平面pbc所成角的正弦值為21111.18.(本小題滿(mǎn)分13分)(2014天津,文18)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,右頂點(diǎn)為a,上頂點(diǎn)為b.已知|ab|=32|f1f2|.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)p為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段pb為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)f1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)f2的直線l與該圓相切于點(diǎn)m,|mf2|=22.求橢圓的方程.分析:(1)由條件求出|ab|,|f1f2|,用a,b,c表示,結(jié)合平方關(guān)系,求出離心率e=ca的值.(2)利用(1)中離心率的值,可將橢圓方程中a2,b2用c

19、2表示,設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0),表示出f1p,f1b,利用以線段pb為直徑的圓過(guò)點(diǎn)f1,可得f1p·f1b=0,得出x0,y0的關(guān)系,結(jié)合p在橢圓上,解出x0,y0用c表示.從而求出圓心、半徑,并用c表示,再利用l與圓相切及|mf2|=22,結(jié)合勾股定理求出c,得橢圓方程.解:(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)f2的坐標(biāo)為(c,0).由|ab|=32|f1f2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則c2a2=12.所以,橢圓的離心率e=22.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為x22c2+y2c2=1.設(shè)p(x0,y0).由f1(-c,0),b(0,c),有f1p=(

20、x0+c,y0),f1b=(c,c).由已知,有f1p·f1b=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.因?yàn)辄c(diǎn)p在橢圓上,故x022c2+y02c2=1.由和可得3x02+4cx0=0.而點(diǎn)p不是橢圓的頂點(diǎn),故x0=-43c,代入得y0=c3,即點(diǎn)p的坐標(biāo)為-4c3,c3.設(shè)圓的圓心為t(x1,y1),則x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,進(jìn)而圓的半徑r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.由已知,有|tf2|2=|mf2|2+r2,又|mf2|=22,故有c+23c2+0-23c2=8+59c2,解得c2=3.所以,所求橢圓的方程

21、為x26+y23=1.19.(本小題滿(mǎn)分14分)(2014天津,文19)已知函數(shù)f(x)=x2-23ax3(a>0),xr.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若對(duì)于任意的x1(2,+),都存在x2(1,+),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范圍.分析:(1)第一步:求導(dǎo),解f'(x)=0的根,第二步:列表,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性求出極值,第三步:結(jié)論.(2)設(shè)集合a=f(x)|x(2,+),b=1f(x)x(1,+),f(x)0,則可將已知條件轉(zhuǎn)化為ab的問(wèn)題.由(1)知f(x)=0的根為x=32a,再討論32a與1,2的大小關(guān)系,進(jìn)而分三種情況分別討

22、論“ab”是否成立,求出a的范圍.解:(1)由已知,有f'(x)=2x-2ax2(a>0).令f'(x)=0,解得x=0或x=1a.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-,0)00,1a1a1a,+f'(x)-0+0-f(x)013a2所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是0,1a;單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),1a,+.當(dāng)x=0時(shí),f(x)有極小值,且極小值f(0)=0;當(dāng)x=1a時(shí),f(x)有極大值,且極大值f1a=13a2.(2)由f(0)=f32a=0及(1)知,當(dāng)x0,32a時(shí),f(x)>0;當(dāng)x32a,+時(shí),f(x)<0.設(shè)集合a=f(x)|x(2,+),集合b=1f(x)|x(1,+),f(x)0.則“對(duì)于任意的x1(2,+),都存在x2(1,+),使得f(x1)·f(x2)=1”等價(jià)于ab,顯然,0b.下面分三種情況討論:當(dāng)32a>2,即0<a<34時(shí),由f32a=0可知,0a,而0b,所以a不是b的子集.當(dāng)132a2,即34a32時(shí),有f(2)0,