2022版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析（精編版）

1、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考試要求 1. 能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2. 能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3. 初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想1. 直線與圓的位置關(guān)系及常用的兩種判斷方法(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離(2)兩種判斷方法：9聯(lián)立方程得方程組消去x 或y2 代數(shù)法 得一元二次方程， b 4ac 0? 相交 0? 相切 0? 相離圓心到直線的距離為d 幾何法半徑為 rd r ? 相交d r ? 相切d r ? 相離2. 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 o1： (xa1)2 (y b1)2 r21>0)，圓

2、o2： (x a2)2 (y b2)2 r 22>0) 1 (r2(r位置幾何法：圓心距d 與 r 1， r 2 的關(guān)系關(guān)系代數(shù)法： 兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1 r 2無(wú)解外切d r1 r 2一組實(shí)數(shù)解相交|r1 r2|<d<r1 r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d |r1 r2 |(r 1 r 2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0 d<|r1 r2|(r 1 r 2)無(wú)解常用結(jié)論 1. 當(dāng)兩圓相交 (切)時(shí)，兩圓方程(x2， y2 項(xiàng)的系數(shù)相同 )相減便可得公共弦(公切線 )所在的直線方程2. 直線與圓相交時(shí)，弦心距 d，半徑 r ，弦長(zhǎng)的一半12l 滿足關(guān)系式3.

3、圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓 x2y2 r2 上一點(diǎn) p(x0 ， y0)的圓的切線方程為x0x y0y r2.(2)過(guò)圓 (x a) 2 (y b)2 r2 上一點(diǎn) p(x0，y0)的圓的切線方程為(x0 a)(x a) (y0 b)( yb) r2.(3)過(guò)圓 x2y2 r2 外一點(diǎn) m(x0，y0 )作圓的兩條切線， 則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0 xy0yr 2.一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切() (2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，那么兩圓相交()(3) 從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一

4、次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程 ()(4) 過(guò)圓 o： x2 y2 r2 外一點(diǎn) p( x0， y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為a， b，則 o，p， a， b 四點(diǎn)共圓且直線ab 的方程是x0x y0y r 2.()答案 (1)×(2) ×(3) ×(4) 二、教材習(xí)題衍生1若直線x y 1 0 與圓 (x a)2 y2 2 有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是()a 3， 1b 1,3c 3,1d (， 3 1 ， ) c由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為2，|a 01|12 1 22，即 |a 1|2，解得 3 a 1.2圓 (x 2)2 y2 4 與

5、圓 (x 2) 2 (y 1)2 9 的位置關(guān)系為() a 內(nèi)切b 相交c外切d 相離b兩圓圓心分別為( 2,0)， (2,1) ，半徑分別為2 和 3，圓心距d42 12 17.3 2< d<32，兩圓相交 3. 圓 q： x2 y2 4x 0 在點(diǎn) p(1，3)處的切線方程為 x3y 2 0因?yàn)辄c(diǎn) p(1，3) 是圓 q：x2 y2 4x 0 上的一點(diǎn)，所以點(diǎn)p 為切點(diǎn)，從而圓心與p 的連線與切線垂直又圓心(2,0)，所以033·k 1，解得 k.2 13故在點(diǎn) p 處的切線方程為x3y 2 0.4. 直線 x2y 0 被圓 c： x2 y26x 2y 150 所截得

6、的弦長(zhǎng)等于 45由題意知圓心c(3,1) ，半徑 r 5.又圓心 c 到直線 l 的距離 d|3 2|5，則弦5長(zhǎng)為 2r2 d2 45.考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1) 幾何法：利用d 與 r 的關(guān)系(2) 代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷(3) 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題典例 1(1) 直線 l：mx y1 m 0 與圓 c： x2 (y 1)2 5 的位置關(guān)系是()a 相交b 相切c相離d 不確定(2)圓(x 3)2 (y 3)2 9 上到直線3x4y 11 0

7、 的距離等于1 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為() a 1b 2c 3d 4(1)a(2)c(1) 法一： (代數(shù)法 )由mx y 1 m 0， x2 y 1 2 5，消去 y，整理得 (1 m2)x2 2m2x m25 0， 因?yàn)?16m2 20>0，所以直線l 與圓相交法二： (幾何法 ) 圓心(0,1)到直線 l 的距離 d|m|<1<5.故直線 l 與圓相交m2 1法三： (點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法)直線 l： mx y 1m0 過(guò)定點(diǎn) (1,1)，點(diǎn)(1,1)在圓 c： x2 (y 1)2 5 的內(nèi)部，直線 l 與圓 c 相交(2)如圖所示，因?yàn)閳A心到直線的距離為|9 12 11|5 2，

8、又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交， 故圓上到直線的距離為1 的點(diǎn)有 3 個(gè)點(diǎn)評(píng)： (1) 已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)值或取值范圍，就是利用 d r ，d>r 或 d<r 建立關(guān)于參數(shù)的等式或不等式求解；(2) 圓上的點(diǎn)到直線距離為定值的動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題多借助圖形，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解如圖 ，若圓上恰有一點(diǎn)到直線的距離為t，則需滿足d r t.如圖 ，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為t，則需滿足d r t.由圖 可知，若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為t，則需滿足r td r t.若圓上恰有四點(diǎn)到直線的距離為t，則需滿足d r t. 跟進(jìn)訓(xùn)練 1. 已知點(diǎn) m (a，b)在圓 o：x2

9、 y2 1 外，則直線 ax by 1 與圓 o 的位置關(guān)系是() a 相切b 相交c相離d 不確定b因?yàn)?m(a， b)在圓 o： x2 y2 1 外，所以a2 b2 1，而圓心o 到直線 ax by 1的距離 d1 1，所以直線與圓相交a2 b22. 若直線 l ：x y m 與曲線 c：y1x2 有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m 的取值范圍是 1 ，2)畫(huà)出圖象如圖，當(dāng)直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a， b 時(shí)， m 1，此時(shí)直線 l 與曲線 y1 x2有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)直線 l 與曲線相切時(shí)， m2，因此當(dāng) 1m<2時(shí)，直線l： x y m 與曲線 y1 x2有且只有兩個(gè)公共點(diǎn) 考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系

10、幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟(1) 確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)(2) 利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d 和 r 1 r 2， |r1 r2|的值(3) 比較 d， r1 r2， |r 1 r2|的大小，寫(xiě)出結(jié)論典例 2已知兩圓x2 y22x 6y 10 和 x2 y2 10x12y m 0.求(1)m 取何值時(shí)兩圓外切？(2) m 取何值時(shí)兩圓內(nèi)切，此時(shí)公切線方程是什么？(3) 求 m 45 時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng) 解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為( x1) 2 (y3) 2 11，(x 5)2 (y 6)2 61m， 圓心分別為m (1,3) ，n(5,6)，半徑分別為11

11、和61 m. (1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，5 1 2 6 3 21161 m.解得 m25 1011.(2) 法一： (作差法 )由x2 y2 2x 6y 10， x2 y2 10x 12y m 0，兩式相減得8x 6y 1 m 0.又兩圓相內(nèi)切，61 m11 5，m 25 1011.所求公切線方程為4x 3y 511 130.法二： (直接法 ) 當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓圓心間距離等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值 故有61m11 5，解得 m25 1011.因?yàn)?kmn 6 33 ，5 14.所以兩圓公切線的斜率是43設(shè)切線方程為y43x b，4× 13 b 3則有11.4 2 1313 5解得 b3

12、±311.135容易驗(yàn)證，當(dāng)b11時(shí)，直線與圓x2 y2 10x 12y m0 相交，舍去3 3故所求公切線方程為y 4x 13 511，即 4x 3y 511 13 0.333(3) 兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2 y2 2x 6y 1) (x2 y2 10x 12y45) 0，即 4x 3y 23 0.由圓的半徑、弦長(zhǎng)、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長(zhǎng)為2×11 2|4 3× 323|42 322 27.2點(diǎn)評(píng)： 求兩圓的公共弦長(zhǎng)，常選其中一圓，由弦心距d，弦長(zhǎng)的一半l ，半徑 r 構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解跟進(jìn)訓(xùn)練 1已知圓m：x2y2 2ay

13、0(a0) 截直線 x y0 所得線段的長(zhǎng)度是22，則圓 m與圓 n：(x1)2 (y1) 2 1 的位置關(guān)系是()a 內(nèi)切b 相交c外切d 相離b由題意得圓m 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 (y a)2 a2，圓心 (0，a)到直線 x y 0 的距離 da2a2，所以 2a 2 2 22，解得 a 2，圓 m，圓 n 的圓心距 |mn |2小于兩圓半徑之和 3，大于兩圓半徑之差1，故兩圓相交2 (2020南·通模擬 )已知點(diǎn) a(0,2)，o(0,0)，若圓 c：( x a)2 (y a 2)2 1 上存在點(diǎn)ma ·mom，使 3，則圓心c 的橫坐標(biāo)a 的取值范圍為 0,3 設(shè) m

14、(x， y)，因?yàn)?a(0,2) ， o(0,0) ，ma ( x,2 y)， mo ( x， y)所以 因?yàn)?ma ·mo 3，所以( x)( x) (2 y)( y) 3， 化簡(jiǎn)得 x2 (y 1)2 4，所以 m 點(diǎn)的軌跡是以(0,1)為圓心， 2 為半徑的圓 因?yàn)?m 在 c： (x a)2 (y a 2)2 1 上，所以兩圓必須相交或相切所以 1a 0 2 a 2 1 2 3，解得 0a 3.所以圓心 c 的橫坐標(biāo)a 的取值范圍為 0,3 考點(diǎn)三直線、圓的綜合問(wèn)題幾何法解決直線與圓的綜合問(wèn)題(1) 處理直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形

15、(2) 圓的切線問(wèn)題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問(wèn)題 切線問(wèn)題典例 3 1已知點(diǎn) p(2 1,22)，點(diǎn) m (3,1)，圓 c： (x 1)2 (y 2)2 4.(1) 求過(guò)點(diǎn) p 的圓 c 的切線方程；(2) 求過(guò)點(diǎn) m 的圓 c 的切線方程，并求出切線長(zhǎng)解由題意得圓心c(1,2)，半徑 r 2. (1)(2 1 1)2 (22 2)2 4，點(diǎn)p 在圓 c 上又 kpc22 22 1 1 1，切線的斜率 k 1kpc 1.過(guò)點(diǎn)p 的圓 c 的切線方程是y (2 2) x(2 1)， 即 x y 122 0. (2)(3 1)2 (1 2)2 54，點(diǎn)m 在圓 c

16、外部當(dāng)過(guò)點(diǎn) m 的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x 3， 即 x 3 0.又點(diǎn) c(1,2)到直線 x 3 0 的距離 d 3 12 r， 即此時(shí)滿足題意，所以直線x3 是圓的切線當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y 1 k(x 3)， 即 kx y 13k 0，|k 2 1 3k |3則圓心 c 到切線的距離dk21 r 2，解得 k 4.4切線方程為 y 13(x 3)，即 3x 4y 5 0.綜上可得，過(guò)點(diǎn)m 的圓 c 的切線方程為x 3 0 或 3x 4y 5 0.|mc |3 1 2 1 2 25，過(guò)點(diǎn)m 的圓 c 的切線長(zhǎng)為|mc |2r 254 1.點(diǎn)評(píng)：(1)已知切點(diǎn)常用“圓心與切

17、點(diǎn)的連線垂直于切線” 這個(gè)條件求解，也可利用向量法求解如圖，o 是圓心， a 是切點(diǎn)， p 是切線 l 上任意一點(diǎn)，則 0.oa·ap(2)過(guò)圓外一點(diǎn) (x0， y0) 的圓的切線方程的求法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為yy0 k( x x0)，即 kx y y0 kx0 0，由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程 提醒： 過(guò)圓上一點(diǎn)有且只有一條切線，過(guò)圓外一點(diǎn)，一定有兩條切線弦長(zhǎng)問(wèn)題典例 3 2(1) 設(shè)圓 x2 y2 2x 2y2 0 的圓心為c，直線 l 過(guò) (0,3)，且與圓 c 交于a， b 兩點(diǎn)，若 |ab| 23，則直線l 的方程為 () a 3x4y 12

18、 0 或 4x 3y 9 0 b 3x 4y 12 0 或 x 0c 4x 3y 9 0 或 x 0d 3x4y 12 0 或 4x 3y 9 0(2)(2016全·國(guó)卷 )已知直線l ：mx y 3m3 0 與圓 x 2 y212 交于 a， b 兩點(diǎn)，過(guò) a， b 分別作 l 的垂線與x 軸交于 c， d 兩點(diǎn)若 |ab | 23，則 |cd | . (1)b(2) 4(1) 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線l 的方程為x 0，聯(lián)立方程得x 0， x2 y2 2x 2y 2 0，x 0，得y13x 0，或y 13，|ab| 23，符合題意當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l 的方程

19、為y kx 3，圓x2 y22x 2y 20，即( x1) 2 (y1) 2 4，其圓心為c(1,1)，圓的半徑r 2，圓心 c(1,1)到直線 y kx 3 的距離 d|k 1 3|k2 1|k 2|ab|k 2 233，d2k2 12 r 2，2k2 1 3 4，解得 k4，直線l 的方程為 y4x 3，即 3x 4y 12 0.綜上，直線 l 的方程為 3x 4y 12 0 或 x 0.故選 b. (2)由直線 l：mx y 3m 3 0 知其過(guò)定點(diǎn) ( 3， 3)，圓心 o 到直線 l 的距離為|3m3|d.m2 13m3由|ab |23得m2 12 (3)2 12，解得 m33.又直

20、線 l 的3斜率為 m 3 ，所以直線l 的傾斜角 .6畫(huà)出符合題意的圖形如圖所示，過(guò)點(diǎn) c 作 cebd，則dce 6.在 rtcde 中，可得 |cd |ab| cos 23×2 4.123點(diǎn)評(píng)： 求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為1 列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算提醒：對(duì)于已知弦長(zhǎng)求直線方程的問(wèn)題，若弦是直徑有且只有一條，否則一定有兩條 常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤，如本例(1)探索性問(wèn)題典例 3 3已知直線l：4x 3y 10 0，半徑為2 的圓 c 與 l 相切，圓心c 在 x 軸上且在直線l 的右上方(1) 求圓 c

21、 的方程；(2) 過(guò)點(diǎn) m (1,0)的直線與圓c 交于 a，b 兩點(diǎn) (a 在 x 軸上方 )，問(wèn)在 x 軸正半軸上是否存在定點(diǎn) n，使得 x 軸平分 anb？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)n 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5|4a 10|，則22解(1)設(shè)圓心 c(a,0) a> 25 2? a 0 或 a 5(舍)所以圓 c：x y4.(2)當(dāng)直線 abx 軸時(shí)， x 軸平分anb.當(dāng)直線 ab 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線ab 的方程為y k(x 1)， n(t,0)， a(x1， y1)， b(x2，y2)，x2 y2 4，由y k x 1 ，得(k2 1)x2 2k2x k2 4 0，所以 x1 x

22、22k2k12， x1x2k2 4k 12.若 x 軸平分anb，則 kan kbn?y1y2 0?k x1 1k x2 1 0? 2x1x2 (tx1 tx2 tx1 tx2 t1)( x1 x2) 2t 0?2 k2 4k2 12k2 t 1 2t 0? t 4，k2 1所以當(dāng)點(diǎn) n 為(4,0)時(shí)，能使得 anmbnm 總成立點(diǎn)評(píng)： 本例是探索性問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是把幾何問(wèn)題代數(shù)化，即先把條件“ x 軸平分anb” 等價(jià)轉(zhuǎn)化為 “ 直線斜率的關(guān)系kan kbn” ，然后借助方程思想求解跟進(jìn)訓(xùn)練1由直線()y x 1 上的動(dòng)點(diǎn)p 向圓c： (x 3)2y2 1 引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為a

23、1b 22c7d 3c 如圖，切線長(zhǎng)|pm |pc |2 1，顯然當(dāng) |pc |為 c 到直線yx 1 的距離即3 1 22時(shí)， |pm |最小為7，故選 c.22 (2020長(zhǎng)·春模擬 )已知在圓x2 y2 4x 2y 0 內(nèi)，過(guò)點(diǎn)e(1,0)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是ac 和 bd ，則四邊形abcd 的面積為 () a 35b 65c 415d 215d 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x 2)2 (y 1)2 5，圓心坐標(biāo)為 f (2， 1) ，半徑 r 5，如圖，顯然過(guò)點(diǎn)e 的最長(zhǎng)弦為過(guò)點(diǎn)e 的直徑，即 |ac| 25，而過(guò)點(diǎn)e 的最短弦為垂直于ef 的弦，|ef |2 1 2 1 0 22，|bd | 2r2