小學數(shù)學30種典型應用題分類講解附帶例題和解題過程

1、小學數(shù)學 30 種典型應用題講解應用題可分為一般應用題與典型應用題。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。題目中有特殊的數(shù)量關系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題.以下主要研究 30 類典型應用題：1、歸一問題11、行船問題21、方陣問題2、歸總問題12、列車問題22、商品利潤問題3、和差問題13、時鐘問題23、存款利率問題4、和倍問題14、盈虧問題24、溶液濃度問題5、差倍問題15、工程問題256、倍比問題16、正反比例問題、構圖布數(shù)問題7、相遇問題17、按比例分配26、幻方問題8、追及問題18、百分數(shù)問題27、抽屜原則問題9、植樹問題19、“牛吃草”

2、問題28、公約公倍問題10、年齡問題20、雞兔同籠問題29、最值問題30、列方程問題1 歸一問題【含義】 在解題時，先求出一份是多少（即單一量） ，然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關系】總量÷份數(shù) 1 份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另一總量÷（總量÷份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。例 1 買 5 支鉛筆要 0.6 元錢，買同樣的鉛筆 16 支，需要多少錢？解（ 1）買 1 支鉛筆多少錢？ 0.6 ÷50.12 （元）（2）買 16 支鉛筆需要多少錢？ 0

3、.12 ×16 1.92 （元）列成綜合算式 0.6 ÷5×160.12 ×161.92 （元）答：需要 1.92 元。例 2 3 臺拖拉機 3 天耕地 90 公頃，照這樣計算， 5 臺拖拉機 6 天耕地多少公頃？解（ 1）1 臺拖拉機 1 天耕地多少公頃？ 90 ÷3÷310（公頃）（2）5 臺拖拉機 6 天耕地多少公頃？ 10 ×5×6300（公頃）列成綜合算式 90 ÷ 3÷ 3× 5× 6 10×30 300（公頃）答： 5 臺拖拉機 6 天耕地 300 公

4、頃。例 3 5 輛汽車 4 次可以運送 100 噸鋼材，如果用同樣的 7 輛汽車運送 105 噸鋼材，需要運幾次？解 （1） 1 輛汽車 1 次能運多少噸鋼材？ 100 ÷ 5÷ 4 5（噸）（2） 7 輛汽車 1 次能運多少噸鋼材？ 5 ×735（噸）（3） 105 噸鋼材 7 輛汽車需要運幾次？ 105 ÷35 3（次）列成綜合算式 105 ÷（ 100÷5÷4×7） 3（次）答：需要運 3 次。2 歸總問題【含義】 解題時，常常先找出“總數(shù)量” ，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是

5、指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等?！緮?shù)量關系】 1 份數(shù)量×份數(shù)總量總量÷ 1 份數(shù)量份數(shù)總量÷另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例 1 服裝廠原來做一套衣服用布 3.2 米，改進裁剪方法后， 每套衣服用布 2.8 米。原來做 791 套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解 （1）這批布總共有多少米？ 3.2 ×7912531.2 （米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.2 ÷2.8 904（套）列成綜合算式 3.2 ×791÷ 2.8 90

6、4（套）答：現(xiàn)在可以做904 套。例 2 小華每天讀 24 頁書， 12 天讀完了紅巖一書。小明每天讀36 頁書，幾天可以讀完紅巖？解 （1）紅巖這本書總共多少頁？24 ×12288（頁）（2）小明幾天可以讀完紅巖？288 ÷ 368（天）列成綜合算式 24 × 12÷368（天）答：小明 8 天可以讀完紅巖 。例 3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃 50 千克， 30 天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃 10 千克，這批蔬菜可以吃多少天？解 （1）這批蔬菜共有多少千克？ 50 ×301500（千克）（2）這批蔬菜可以吃

7、多少天？ 1500 ÷（ 50 10） 25（天）列成綜合算式 50 × 30÷（ 5010） 1500÷60 25（天）答：這批蔬菜可以吃 25 天。3 和差問題【含義】已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題。【數(shù)量關系】大數(shù)（和差）÷2小數(shù)（和差）÷2【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例 1 甲乙兩班共有學生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求兩班各有多少人？解 甲班人數(shù)（ 986）÷ 252（人）乙班人數(shù)（ 986）÷ 246（人）答：甲班有 5

8、2 人，乙班有 46 人。例 2 長方形的長和寬之和為 18 厘米，長比寬多 2 厘米，求長方形的面積。解 長（ 182）÷ 210（厘米）寬（ 182）÷ 28（厘米）長方形的面積 10×880（平方厘米）答：長方形的面積為 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重 32 千克，乙丙兩袋共重 30 千克，甲丙兩袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230） 2 千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量（ 22 2）÷ 212（千克）丙袋化肥重量（ 22 2）÷

9、 210（千克）乙袋化肥重量 321220（千克）答：甲袋化肥重12 千克，乙袋化肥重20 千克，丙袋化肥重10 千克。例 4 甲乙兩車原來共裝蘋果97 筐，從甲車取下 14 筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3 筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？解 “從甲車取下14 筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多的差是（ 14×23），甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)（ 9714× 2 3）÷ 264（筐）乙車筐數(shù) 97 6433（筐）答：甲車原來裝蘋果64 筐，乙車原來裝蘋果33 筐。3 筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙4 和倍問題【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（

10、或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關系】總和 ÷（幾倍 1）較小的數(shù)總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例 1 果園里有杏樹和桃樹共 248 棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3 倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解 （1）杏樹有多少棵？ 248 ÷（ 31） 62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 62 ×3186（棵）答：杏樹有 62 棵，桃樹有 186 棵。例 2 東西兩個倉庫共存糧 480 噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的 1.4 倍，求兩庫各存糧多少噸

11、？解 （1）西庫存糧數(shù) 480÷（ 1.4 1） 200（噸）（2）東庫存糧數(shù) 480200280（噸）答：東庫存糧 280 噸，西庫存糧 200 噸。例 3 甲站原有車 52 輛，乙站原有車 32 輛，若每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的 2 倍？解 每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，相當于每天從甲站開往乙站（ 2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當作 1 倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是 2 倍量，兩站的車輛總數(shù)（ 5232）就相當于（ 2 1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（5232）÷（ 2 1）

12、28（輛）所求天數(shù)為（52 28）÷（ 28 24） 6（天）答： 6 天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2 倍。例 4 甲乙丙三數(shù)之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三數(shù)各是多少？解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關系，因此把甲數(shù)作為 1 倍量。因為乙比甲的 2 倍少 4，所以給乙加上 4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的 2 倍；又因為丙比甲的 3 倍多 6，所以丙數(shù)減去 6 就變?yōu)榧讛?shù)的 3 倍；這時（ 170 4 6）就相當于（ 123）倍。那么，甲數(shù)（ 17046）÷（ 1 2 3） 28乙數(shù) 28×2452丙數(shù) 28×3690答：甲數(shù)是 28，乙

13、數(shù)是 52，丙數(shù)是 90。5 差倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾） ，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關系】兩個數(shù)的差÷（幾倍 1）較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例 1 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3 倍，而且桃樹比杏樹多 124 棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解 （1）杏樹有多少棵？ 124 ÷（ 31） 62（棵）（2）桃樹有多少棵？62 ×3186（棵）答：果園里杏樹是62 棵，桃樹是 186 棵。例 2 爸爸比兒子大27 歲，

14、今年，爸爸的年齡是兒子年齡的解 （1）兒子年齡 27÷（ 41） 9（歲）（2）爸爸年齡 9×436（歲）答：父子二人今年的年齡分別是36歲和 9歲。4 倍，求父子二人今年各是多少歲？例 3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2 倍還多 12 萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解 如果把上月盈利作為 1 倍量，則（ 30 12）萬元就相當于上月盈利的（ 21）倍，因此上月盈利（ 3012）÷（ 21） 18（萬元）本月盈利 18 3048（萬元）答：上月盈利是18 萬元，本月盈利是48 萬元。例 4 糧庫有 94 噸小麥

15、和 138 噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是 9 噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的 3 倍？解 由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等， 所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差 （13894）。把幾天后剩下的小麥看作 1 倍量，則幾天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（13894）就相當于（ 31）倍，因此剩下的小麥數(shù)量（ 138 94）÷（ 31） 22（噸）運出的小麥數(shù)量 94 2272（噸）運糧的天數(shù) 72÷98（天）答： 8 天以后剩下的玉米是小麥的3 倍。6 倍比問題【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)

16、，這類應用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關系】總量÷一個數(shù)量倍數(shù)另一個數(shù)量×倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關系求出要求的數(shù)。例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，現(xiàn)在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？解 （1） 3700 千克是 100 千克的多少倍？ 3700 ÷10037（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40 ×371480（千克）列成綜合算式 40 ×（ 3700÷100） 1480（千克）答：可以榨油 1480 千克。例 2 今年植樹節(jié)這天，某小學 300 名師生共植樹 400 棵，照這樣計算，全縣

17、48000 名師生共植樹多少棵？解 （1） 48000 名是 300 名的多少倍？ 48000 ÷ 300160（倍）（2）共植樹多少棵？ 400 ×16064000（棵）列成綜合算式 400 ×（ 48000÷300） 64000（棵）答：全縣 48000 名師生共植樹 64000 棵。例 3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家 4 畝果園收入 11111 元，照這樣計算，全鄉(xiāng) 800 畝果園共收入多少元？全縣 16000 畝果園共收入多少元？解 （1） 800 畝是 4 畝的幾倍？ 800 ÷ 4 200（倍）（2） 800 畝收入多少元

18、？ 11111 × 2002222200（元）（3） 16000 畝是 800 畝的幾倍？ 16000 ÷800 20（倍）（4） 16000 畝收入多少元？ 2222200 ×20 44444000（元）答：全鄉(xiāng) 800 畝果園共收入 2222200 元，全縣 16000 畝果園共收入 44444000元。7 相遇問題【含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。【數(shù)量關系】 相遇時間總路程÷（甲速乙速）總路程（甲速乙速）×相遇時間【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。例

19、 1 南京到上海的水路長 392 千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行 28 千米，從上海開出的船每小時行 21 千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？解 392 ÷（ 28 21） 8（小時）答：經(jīng)過 8 小時兩船相遇。例 2 小李和小劉在周長為 400 米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑 5 米，小劉每秒鐘跑 3 米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為 400×2相遇時間（ 400× 2）÷（ 53） 100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需10

20、0 秒時間。例 3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15 千米，乙每小時行13 千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解 “兩人在距中點 3 千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點 3 千米，乙距中點 3 千米，就是說甲比乙多走的路程是（ 3×2）千米，因此，相遇時間（ 3×2）÷（ 15 13） 3（小時）兩地距離（ 1513）× 384（千米）答：兩地距離是84 千米。8 追及問題【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發(fā) （或者在同一地點而不是同時出發(fā)， 或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同

21、向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關系】追及時間追及路程÷（快速慢速）追及路程（快速慢速）×追及時間【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例 1 好馬每天走 120 千米，劣馬每天走 75 千米，劣馬先走 12 天，好馬幾天能追上劣馬？解 （1）劣馬先走 12 天能走多少千米？ 75 × 12900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？ 900 ÷（ 12075） 20（天）列成綜合算式 75 × 12÷（ 1207

22、5） 900÷45 20（天）答：好馬 20 天能追上劣馬。例 2 小明和小亮在 200 米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40 秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即 200 米，此時小亮跑了（ 500200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑 500 米所用的時間。又知小明跑 200 米用 40 秒，則跑 500 米用 40×（500÷ 200）秒，所以小亮的速度是（500200）÷ 40×（ 500÷200） 300

23、47; 1003（米）答：小亮的速度是每秒3 米。例 3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午 16 點開始從甲地以每小時 10 千米的速度逃跑，解放軍在晚上 22 點接到命令，以每小時 30 千米的速度開始從乙地追擊。 已知甲乙兩地相距 60 千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是 （22 16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是 10×（ 2216）千米，甲乙兩地相距 60 千米。由此推知追及時間 10×（ 2216） 60÷（ 30 10） 120÷20 6（小時）答：解放軍在 6 小時后可以追上敵人。例 4

24、 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48 千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40 千米，兩車在距兩站中點16 千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16× 2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為 16 ×2÷（ 4840） 4（小時）所以兩站間的距離為（4840）× 4352（千米）列成綜合算式（4840）× 16×2÷（ 48 40） 88×4352（千米）答：甲乙兩站的距離是352 千米。例 5 兄妹二人同時由家上學，

25、 哥哥每分鐘走 90 米，妹妹每分鐘走 60 米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校 180 米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？解 要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（ 180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（ 9060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180×2÷（ 90 60） 12（分鐘）家離學校的距離為90 ×12180900（米）答：家離學校有900 米遠。例 6 孫亮打算上課前 5 分鐘到學校，他以每小時 4 千米的速度從家步行去學校，當他

26、走了 1 千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了 10 分鐘，因此立即跑步前進， 到學校恰好準時上課。 后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早 9 分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解 手表慢了 10 分鐘，就等于晚出發(fā)10 分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校， 說明后段路程跑比走少用了 （ 105）分鐘。如果從家一開始就跑步， 可比步行少 9 分鐘，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用 9（ 105）分鐘。所以 步行 1 千米所用時間為1 ÷ 9（ 10 5） 0.25 （小時） 15（分鐘）跑步 1 千米所用時間為15 9（ 105） 11（分鐘

27、）跑步速度為每小時1 ÷ 11605.5 （千米）答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。9 植樹問題【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。【數(shù)量關系】線形植樹棵數(shù)距離÷棵距 1圓形植樹棵樹 =圓形周長÷棵距閉合環(huán)形植樹棵數(shù)距離÷棵距方形植樹棵數(shù)方形周長÷棵距三角形棵樹 =三角形周長÷棵距面積植樹棵數(shù)面積÷（棵距×行距）【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例 1 一條河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，頭尾都栽，

28、一共要栽多少棵垂柳？解 136 ÷ 2 1 68169（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一個圓形池塘周長為 400 米，在岸邊每隔 4 米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解 400 ÷ 4 100（棵）答：一共能栽 100 棵白楊樹。例 3 一個正方形的運動場，每邊長 220 米，每隔 8 米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？解 220 × 4÷ 8 106（個）答：一共可以安裝 106 個照明燈。例 4 給一個面積為 96 平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60 厘米和 40 厘米，問至少需要多少塊地板磚？解 96 &

29、#247;（ 0.6 × 0.4 ） 96÷0.24 400（塊）答：至少需要 400 塊地板磚。例 5 一座大橋長 500 米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50 米有一個電桿，每個電桿上安裝2 盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解 （1）橋的一邊有多少個電桿？500 ÷50 1 11（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？11 ×222（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×244（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44 盞路燈。10 年齡問題【含義】 這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著

30、年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?！窘忸}思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。兩個數(shù)的差÷（幾倍 1）較小的數(shù)例 1 爸爸今年 35 歲，亮亮今年 5 歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解 35 ÷57（倍）（35+1）÷（ 5+1） 6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年齡是亮亮的 6 倍。例 2 母親今年 37 歲，女兒今年 7 歲，幾年后母親的年齡是女兒的4 倍？解 （1）母親比女兒的年齡大多少歲？37 73

31、0（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4 倍？ 30÷（ 41） 7 3（年）列成綜合算式（377）÷（ 4 1） 7 3（年）答： 3 年后母親的年齡是女兒的4 倍。例 3 3 年前父子的年齡和是49 歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4 倍，父子今年各多少歲？解 今年父子的年齡和應該比3 年前增加（ 3× 2）歲，今年二人的年齡和為49 3× 2 55（歲）把今年兒子年齡作為1 倍量，則今年父子年齡和相當于（41）倍，因此，今年兒子年齡為55 ÷（ 4 1）11（歲）今年父親年齡為 11 ×444（歲）答：今年父親年齡是44 歲，兒子

32、年齡是 11 歲。例 4 甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4 歲”。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61 歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？（可用方程解）解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：過去某一年今 年將來某一年甲歲歲61 歲乙4 歲歲歲表中兩個“”表示同一個數(shù)，兩個“”表示同一個數(shù)。因為兩個人的年齡差總相等： 4 61，也就是 4， 61 成等差數(shù)列，所以， 61 應該比 4 大 3 個年齡差，因此二人年齡差為（61 4）÷ 319（歲）甲今年的歲數(shù)為 61 1942（歲）乙今年的歲數(shù)為 42 1923（歲）答：甲今年的歲

33、數(shù)是42 歲，乙今年的歲數(shù)是23 歲。11 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關的問題。 解答這類問題要弄清船速與水速， 船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關系】（順水速度逆水速度）÷2船速（順水速度逆水速度）÷2水速順水速船速 +水速逆水速水速× 2逆水速船速 - 水速順水速水速× 2【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例 1 一只船順水行 320 千米需用 8 小時，水流速度為每小時 15 千米，這只船逆水行

34、這段路程需用幾小時？解 由條件知，順水速船速水速 320÷8，而水速為每小時 15 千米，所以，船速為每小時 320 ÷81525（千米）船的逆水速為 25 1510（千米）船逆水行這段路程的時間為 320 ÷1032（小時）答：這只船逆水行這段路程需用 32 小時。例 2 甲船逆水行 360 千米需地需多少時間？解由題意得甲船速水速18 小時，返回原地需360÷103610 小時；乙船逆水行同樣一段距離需15 小時，返回原甲船速水速360÷1820可見 （36 20）相當于水速的2 倍，所以， 水速為每小時（36 20）÷ 28（千

35、米）又因為，乙船速水速 360÷15，所以， 乙船速為 360 ÷15832（千米）乙船順水速為 32 8 40（千米）所以， 乙船順水航行 360 千米需要 360 ÷ 409（小時）答：乙船返回原地需要9 小時。例 3 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576 千米，風速為每小時24 千米，飛機逆風飛行 3 小時到達，順風飛回需要幾小時？解 這道題可以按照流水問題來解答。（1）兩城相距多少千米？（57624）× 31656（千米）（2）順風飛回需要多少小時？1656 ÷（ 576 24） 2.76 （小時）列成綜合算式（ 576

36、 24）× 3÷（ 576 24） 2.76 （小時）答：飛機順風飛回需要2.76 小時。12 列車問題【含義】這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。【數(shù)量關系】火車過橋：過橋時間（車長橋長）÷車速火車追及：追及時間（甲車長乙車長距離）÷（甲車速乙車速）火車相遇：相遇時間（甲車長乙車長距離）÷（甲車速乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例 1 一座大橋長 2400 米，一列火車以每分鐘 900 米的速度通過大橋， 從車頭開上橋到車尾離開橋共需要 3 分鐘。這列火車長多少米？解 火車 3 分鐘所行的

37、路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車 3 分鐘行多少米？900 ×32700（米）（2）這列火車長多少米？2700 2400300（米）列成綜合算式 900 ×32400300（米）答：這列火車長300 米。例 2 一列長 200 米的火車以每秒 8 米的速度通過一座大橋， 用了 2 分 5 秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解 火車過橋所用的時間是 2 分 5 秒 125 秒，所走的路程是（ 8× 125）米，這段路程就是 （200 米橋長），所以，橋長為8× 125 200800（米）答：大橋的長度是800 米。例 3 一列長 225 米的慢車

38、以每秒 17 米的速度行駛，一列長 140 米的快車以每秒 22 米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解 從追上到追過，快車比慢車要多行（ 225 140）米，而快車比慢車每秒多行（ 2217）米，因此，所求的時間為（225140）÷（ 22 17） 73（秒）答：需要 73 秒。例 4 一列長 150 米的列車以每秒22 米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒火車從工人身旁駛過需要多少時間？解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。150÷（ 22 3） 6（秒）3 米的速度迎面走來，那么，答：火車從工人身旁駛過需要6 秒鐘。例 5 一

39、列火車穿越一條長 2000 米的隧道用了 88 秒，以同樣的速度通過一條長 1250 米的大橋用了 58 秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解 車速和車長都沒有變， 但通過隧道和大橋所用的時間不同， 是因為隧道比大橋長。 可知火車在（ 8858）秒的時間內(nèi)行駛了（ 20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（2000 1250）÷（ 8858） 25（米）進而可知，車長和橋長的和為（25× 58）米，因此，車長為 25 × 581250200（米）答：這列火車的車速是每秒25 米，車身長 200 米。13 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關

40、系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。【數(shù)量關系】分針的速度是時針的12 倍，二者的速度差為11/12 。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例 1 從時針指向 4 點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解 鐘面的一周分為60 格，分針每分鐘走一格， 每小時走 60 格；時針每小時走 5 格，每分鐘走 5/60 1/12格。每分鐘分針比時針多走（11/12 ） 11/12格。 4 點整，時針在前，分針在后，兩針相距20 格。所以分針追上時針的時間為20 ÷（

41、11/12 ）22 （分）答：再經(jīng)過 22 分鐘時針正好與分針重合。例 2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解 鐘面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而兩針成直角的時候相差15 格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（ 5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （ 5× 4 15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（ 5× 4 15）格。再根據(jù) 1 分鐘分針比時針多走（ 1 1/12 ）格就可以求出二針成直角的時間。（5×4 15）÷（ 11/12

42、 ） 6 （分）（5×4 15）÷（ 11/12 ） 38 （分）答： 4 點 06 分及 4 點 38 分時兩針成直角。例 3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解 六點整的時候，分針在時針后（ 5× 6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（5×6）÷（ 11/12 ） 33 （分）答： 6 點 33 分的時候分針與時針重合。14 盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈） ，一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關系】一般地

43、說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總人數(shù)（盈虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總人數(shù)（大盈小盈）÷分配差參加分配總人數(shù)（大虧小虧）÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例 1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分 3 個就余 11 個；若每人分 4 個就少 1 個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解 按照“參加分配的總人數(shù)（盈虧）÷分配差”的數(shù)量關系：（1）有小朋友多少人？ （111）÷（ 43） 12（人）（2）有多少個蘋果？ 3 × 121147（個）答：有小朋友 12 人，有 47

44、 個蘋果。例 2 修一條公路，如果每天修260 米，修完全長就得延長8 天；如果每天修300 米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解 題中原定完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總人數(shù)”，按照“參加分配的總人數(shù)（大虧小虧）÷分配差”的數(shù)量關系，可以得知原定完成任務的天數(shù)為（260×8300×4）÷（ 300260） 22（天）這條路全長為 300 ×（ 224） 7800（米）答：這條路全長7800 米。例 3 學校組織春游， 如果每輛車坐 40 人，就余下 30 人；如果每輛車坐 45 人，就剛好坐完。 問有多少車？多少人？解 本題中

45、的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總人數(shù)”，于是就有（1）有多少車？（300）÷（ 4540） 6（輛）（2）有多少人？ 40 × 6 30270（人）答：有 6 輛車，有 270 人。15 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程” 、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“ 1”表示工作總量?！緮?shù)量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“ 1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾） ，進而就可以根據(jù)工作量、

46、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。工作量工作效率×工作時間工作時間工作量÷工作效率工作時間總工作量÷（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。例 1 一項工程，甲隊單獨做需要 10 天完成，乙隊單獨做需要 15 天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解 題中的“一項工程” 是工作總量， 由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量， 因此，把此項工程看作單位 “1”。由于甲隊獨做需 10 天完成，那么每天完成這項工程的 1/10 ；乙隊單獨做需 15 天完成，每天完成這項工程的 1/15 ；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10 1/

47、15 ）。由此可以列出算式：1 ÷（ 1/10 1/15 ） 1÷1/6 6（天）答：兩隊合做需要6 天完成。例 2 一批零件，甲獨做6 小時完成，乙獨做8 小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24 個，求這批零件共有多少個？解 設總工作量為 1，則甲每小時完成1/6 ，乙每小時完成1/8 ，甲比乙每小時多完成（ 1/6 1/8 ），二人合做時每小時完成（ 1/6 1/8 ）。因為二人合做需要1÷（ 1/6 1/8 ）小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？24÷ 1÷（ 1/6 1/8 ） 7（個）

48、（2）這批零件共有多少個？7÷（ 1/6 1/8 ） 168（個）答：這批零件共有168 個。解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6 1/8 43由此可知，甲比乙多完成總工作量的43/4 3 1/7所以，這批零件共有24 ÷ 1/7 168（個）例 3 一件工作，甲獨做12 小時完成，乙獨做10 小時完成，丙獨做15 小時完成?，F(xiàn)在甲先做2 小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為 12、 10、和 15 的某一公倍數(shù)，

49、例如最小公倍數(shù) 60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60÷125 60 ÷106 60 ÷154因此余下的工作量由乙丙合做還需要（605×2）÷（ 64） 5（小時）答：還需要 5 小時才能完成。也可以用（1-1/12*2） / （ 1/10+1/15）例 4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4 個進水管時，需要 5 小時才能注滿水池； 當打開 2 個進水管時，需要 15 小時才能注滿水池； 現(xiàn)在要用 2 小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排

50、水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要 2 小時內(nèi)將水池注滿，即要使 2 小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水） 。只要設某一個量為單位 1，其余兩個量便可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為 1，則 4 個進水管 5 小時注水量為（ 1× 4× 5），2 個進水管 15 小時注水量為（ 1×2×15），從而可知每小時的排水量為 （1×2×15 1× 4×5）÷（ 15 5） 1即一個排水管與每個進水管

51、的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1 ×4×51×515又因為在 2 小時內(nèi)，每個進水管的注水量為1 ×2，所以， 2 小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？（ 151×2）÷（ 1× 2） 8.5 9（個）答：至少需要 9 個進水管。16 正反比例問題【含義】 兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化

52、，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關系】 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。 許多典型應用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應用比和比例的性質(zhì)去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例 1 修一條公路，已修的是未修的 1/3 ，再修 300 米后，已修的變成未修的 1/2 ，求這條公路總長是多少米？解 由條件知，公路總長不變。原已修長度總長度 1（ 13） 14312現(xiàn)已

53、修長度總長度 1（ 12） 13412比較以上兩式可知，把總長度當作 12 份，則 300 米相當于（ 43）份，從而知公路總長為 300 ÷（ 43）× 123600（米）答： 這條公路總長 3600 米。例 2 張晗做 4 道應用題用了 28 分鐘，照這樣計算， 91 分鐘可以做幾道應用題？解 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關系設 91 分鐘可以做 X 應用題 則有 28 491 X28X91×4 X91×4÷28 X13答： 91 分鐘可以做 13 道應用題。例 3 孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24 頁， 15 天看完，如果每天看36 頁，幾天就可以看完？解 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天