高中數(shù)學必修一第三章 3.2.1 第1課時 (2)

1、1 / 15 32 函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì) 32.1 單調(diào)性與最大單調(diào)性與最大(小小)值值 第第 1 課時課時 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 學習目標 1.了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念.2.會劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性.3.會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性 知識點一 增函數(shù)與減函數(shù)的定義 一般地，設函數(shù) f(x)的定義域為 i，區(qū)間 di： (1)如果x1，x2d，當 x1x2時，都有 f(x1)f(x2)，那么就稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 d 上單調(diào)遞增，特別地，當函數(shù) f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們稱它是增函數(shù) (2)如果x1，x2d，當 x1f(x2)，那么就稱函數(shù) f(x)在區(qū)間

2、 d 上單調(diào)遞減，特別地，當函數(shù) f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們稱它是減函數(shù) 思考 (1)所有的函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性嗎？ (2)在增函數(shù)和減函數(shù)定義中，能否把“任意 x1，x2d”改為“存在 x1，x2d”？ 答案 (1)不是；(2)不能 知識點二 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間 d 上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù) yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間 d 叫做 yf(x)的單調(diào)區(qū)間 特別提醒：(1)函數(shù)單調(diào)性關注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點若屬于定義域，則該點處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開 (2)單

3、調(diào)區(qū)間 d定義域 i. 2 / 15 (3)遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應盡可能大 1如果 f(x)在區(qū)間a，b和(b，c上都是增函數(shù)，則 f(x)在區(qū)間a，c上是增函數(shù)( ) 2函數(shù) f(x)為 r 上的減函數(shù)，則 f(3)f(3)( ) 3若函數(shù) yf(x)在定義域上有 f(1)f(2)，則函數(shù) yf(x)是增函數(shù)( ) 4若函數(shù) yf(x)在區(qū)間 d上是增函數(shù)，則函數(shù) yf(x)在區(qū)間 d 上是減函數(shù)( ) 一、函數(shù)單調(diào)性的判定與證明 例 1 根據(jù)定義，研究函數(shù) f(x)axx1在 x(1,1)上的單調(diào)性 解 當 a0時，f(x)0，在(1,1)上不具有單調(diào)性， 當 a0時，設 x1，x2為(

4、1,1)上的任意兩個數(shù)，且 x1x2， 所以 f(x1)f(x2)ax1x11ax2x21 ax1(x21)ax2(x11)(x11)(x21) a(x2x1)(x11)(x21) 因為 x1，x2(1,1)且 x10，x110，x210， 當 a0時，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減， 3 / 15 當 a0時，f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)0時，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減； 當 a0時，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增 反思感悟 利用定義判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 跟蹤訓練 1 求證：函數(shù) f(x)1x2在(0，)上是減函

5、數(shù)，在(，0)上是增函數(shù) 證明 對于任意的 x1，x2(，0)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2)1x211x22x22x21x21x22(x2x1)(x2x1)x21x22. x1x20，x1x20. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函數(shù) f(x)1x2在(，0)上是增函數(shù) 對于任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x1)x21x22. 0 x10，x2x10，x21x220. 4 / 15 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函數(shù) f(x)1x2在(0，)上是減函數(shù) 二、求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性 例 2 (1)

6、如圖是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù) yf(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 考點 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 題點 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解 yf(x)的單調(diào)區(qū)間有5，2)，2,1)，1,3)，3,5，其中 yf(x)在區(qū)間5，2)，1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間2,1)，3,5上是增函數(shù) (2)作出函數(shù) f(x) x3，x1，(x2)23，x1的圖象，并指出函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間 解 f(x) x3，x1，(x2)23，x1的圖象如圖所示， 由圖可知，函數(shù) f(x) x3，x1，(x2)23，x1的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1和(1,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為2，) 反思感悟 (

7、1)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種求法 圖象法即先畫出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間 5 / 15 定義法即先求出定義域，再利用定義法進行判斷求解 (2)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當函數(shù)出現(xiàn)兩個以上單調(diào)區(qū)間時，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“”，可以用“和”來表示；在單調(diào)區(qū)間 d 上函數(shù)要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)，不能二者兼有 跟蹤訓練 2 (1)函數(shù) y1x1的單調(diào)遞減區(qū)間是_ 答案 (，1)，(1，) 解析 方法一 y1x1的圖象可由 y1x的圖象向右平移一個單位得到，如圖， 所以單調(diào)減區(qū)間是(，1)，(1，) 方法二 函數(shù) f(x)1x1的定義域為(，1)(1

8、，)， 設 x1，x2(，1)，且 x1x2，則 f(x1)f(x2)1x111x21 x2x1(x11)(x21). 因為 x1x20，x110，x210，即 f(x1)f(x2) 所以函數(shù) f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，同理函數(shù) f(x)在(1，)上單調(diào)遞減 綜上，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1)，(1，) (2)函數(shù) y|x22x3|的圖象如圖所示，試寫出它的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性 6 / 15 考點 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 題點 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解 y|x22x3|的單調(diào)區(qū)間有(，1，1,1，1,3，3，)，其中單調(diào)遞減區(qū)間是(，1，1,3；單調(diào)遞增區(qū)間是1,1，3，) 三、單調(diào)性的

9、應用 例 3 (1)已知函數(shù) f(x)x22(a1)x2 在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍為_ 答案 (，3 解析 f(x)x22(a1)x2的開口方向向上，對稱軸為 x1a， f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上是減函數(shù)， 41a， a3， a的取值范圍是(，3 (2)若函數(shù) yf(x)的定義域為 r，且為增函數(shù)，f(1a)f(2a1)，則 a 的取值范圍是_ 答案 23， 解析 因為 yf(x)的定義域為 r，且為增函數(shù)， f(1a)f(2a1)，所以 1a23， 所以所求 a 的取值范圍是23， . 延伸探究 7 / 15 在本例(2)中，若將定義域 r 改為(1,1)

10、，其他條件不變，則 a 的范圍又是什么？ 解 由題意可知 11a1，12a11. 解得 0a1. 因為 f(x)在(1,1)上是增函數(shù)， 且 f(1a)f(2a1)， 所以 1a23. 由可知，23a1， 即所求 a的取值范圍是23，1 . 反思感悟 函數(shù)單調(diào)性的應用 (1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍 (2)若一個函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的 跟蹤訓練 3 已知函數(shù) f(x)x22ax3 在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，求實數(shù) a的取值范圍 解 函數(shù) f(x)x2

11、2ax3的圖象開口向上， 對稱軸為直線 xa，畫出草圖如圖所示 由圖象可知函數(shù)在(，a和a，)上都具有單調(diào)性， 8 / 15 因此要使函數(shù) f(x)在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，只需 a1 或 a2， 從而 a(，12，) 1函數(shù) y6x的減區(qū)間是( ) a0，) b(，0 c(，0)，(0，) d(，0)(0，) 答案 c 2函數(shù) f(x)在 r 上是減函數(shù)，則有( ) af(3)f(5) df(3)f(5) 答案 c 解析 因為函數(shù) f(x)在 r 上是減函數(shù)，3f(5) 3函數(shù) y|x2|在區(qū)間3,0上( ) a遞減 b遞增 c先減后增 d先增后減 答案 c 解析 因為 y|x2| x2，x

12、2，x2，x2. 作出 y|x2|的圖象，如圖所示， 易知函數(shù)在3，2)上為減函數(shù)，在2，0上為增函數(shù) 9 / 15 4若 f(x)x22(a2)x2 的單調(diào)增區(qū)間為3，)，則 a 的值是_ 答案 1 解析 f(x)x22(a2)x2的單調(diào)增區(qū)間為2a，)， 2a3，a1. 5已知函數(shù) f(x)為定義在區(qū)間1,1上的增函數(shù)，則滿足 f(x)f 12的實數(shù) x 的取值范圍為_ 答案 1，12 解析 由題設得 1x1，x12， 解得1x12 bk12 ck12 dkf(2a) bf(a2)f(a) cf(a2a)f(a) df(a21)a2， 所以 f(a21)f(a2)故選 d. 5已知函數(shù) y

13、ax和 ybx在(0，)上都是減函數(shù)，則函數(shù) f(x)bxa在 r 上是( ) a減函數(shù)且 f(0)0 b增函數(shù)且 f(0)0 d增函數(shù)且 f(0)0 答案 a 解析 因為 yax和 ybx在(0，)上都是減函數(shù)， 所以 a0，b0，f(x)bxa為減函數(shù)且 f(0)a0，故選 a. 6已知函數(shù) f(x) 2x1，x1，5x，x1，則 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_ 答案 (，1) 解析 當 x1時，f(x)是增函數(shù)，當 x1時，f(x)是減函數(shù)， 所以 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1) 7如果二次函數(shù) f(x)x2(a1)x5 在區(qū)間12，1 上是增函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍為_ 答案 (，2

14、 解析 因為二次函數(shù) f(x)x2(a1)x5 的圖象的對稱軸為直線 xa12，又函數(shù) f(x)在區(qū)間12，1 上是增函數(shù)，所以a1212，解得 a2. 8已知 f(x)是定義在區(qū)間1,1上的增函數(shù)，且 f(x2)f(1x)，則 x 的取值范圍是_ 考點 函數(shù)單調(diào)性的應用 12 / 15 題點 利用單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式 答案 1，32 解析 由題意，得 1x21，11x1，x21x，解得 1x32， 故滿足條件的 x 的取值范圍是1，32. 9已知函數(shù) f(x)2xx1，證明：函數(shù) f(x)在(1，)上為減函數(shù) 證明 任取 x1，x2(1，)，且 x1x11， 所以 x2x10，(x11)(

15、x21)0， 因此 f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(1，)上為減函數(shù) 10畫出函數(shù) yx22|x|1 的圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解 y x22x1，x0，x22x1，x0， 即 y (x1)22，x0，(x1)22，x0的圖象如圖所示， 13 / 15 單調(diào)增區(qū)間為(，1和0,1，單調(diào)減區(qū)間為(1,0)和(1，) 11若函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，在區(qū)間(b，c)上也是增函數(shù)，則函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)(b，c)上( ) a必是增函數(shù) b必是減函數(shù) c是增函數(shù)或減函數(shù) d無法確定單調(diào)性 答案 d 解析 函數(shù)在區(qū)間(a，b)(b，c)

16、上無法確定單調(diào)性如 y1x在(0，)上是增函數(shù)， 在(，0)上也是增函數(shù)，但在(，0)(0，)上并不具有單調(diào)性 12定義在 r 上的函數(shù) f(x)，對任意 x1，x2r(x1x2)，有f(x2)f(x1)x2x10，則( ) af(3)f(2)f(1) bf(1)f(2)f(3) cf(2)f(1)f(3) df(3)f(1)f(2) 答案 a 解析 對任意 x1，x2r(x1x2)， 有f(x2)f(x1)x2x121，則 f(3)f(2)1，4a2x1，x1.若 f(x)是 r 上的增函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍為_ 答案 4,8) 14 / 15 解 因為 f(x)是 r 上的增函數(shù)，所以 4a20，4a211， 解得 4a8. 14函數(shù) f(x)ax2(a3)x1 在(1，)上單調(diào)遞減，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 答案 3,0 解析 a0時，f(x)3x1 在 r 上單調(diào)遞減， a0 滿足條件； a0 時，f(x)ax2(a3)x1， 對稱軸為 xa32a， a0，a32a1，解得3a0. 由得3a0，故 a的取值范圍是3,0 15已知函數(shù) f(x) x24x，x0，4xx2，xf(a)，則實數(shù) a 的取值范圍是(