高中數(shù)學(xué)必修一第五章 5.1.2

1、1 / 11 5.1.2 弧度制弧度制 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.理解“1 弧度的角”的定義，掌握弧度與角度的換算、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，熟悉特殊角的弧度數(shù) 知識(shí)點(diǎn)一 度量角的兩種單位制 1角度制： (1)定義：用度作為單位來(lái)度量角的單位制 (2)1 度的角：周角的1360. 2弧度制： (1)定義：以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制 (2)1 弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角 知識(shí)點(diǎn)二 弧度數(shù)的計(jì)算 思考 比值lr與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？ 答案 一定大小的圓心角 所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無(wú)關(guān) 知識(shí)點(diǎn)三 角度與弧度

2、的互化 角度化弧度 弧度化角度 360 2 rad 2 rad360 180 rad rad180 1 180 rad0.017 45 rad 1 rad180 57.30 度數(shù)180弧度數(shù) 弧度數(shù)180 度數(shù) 2 / 11 知識(shí)點(diǎn)四 弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式 設(shè)扇形的半徑為 r，弧長(zhǎng)為 l，(02)為其圓心角，則 (1)弧長(zhǎng)公式：lr. (2)扇形面積公式：s12lr12r2. 思考 扇形的面積公式與哪個(gè)平面圖形的面積公式類似？對(duì)應(yīng)的圖形是否也類似？ 答案 扇形的面積公式與三角形的面積公式類似實(shí)際上，扇形可看作是一曲邊三角形，弧是底，半徑是底上的高 預(yù)習(xí)小測(cè) 自我檢驗(yàn) 118 _ rad

3、. 答案 10 2.310_. 答案 54 3若 4，則 是第_象限角 答案 一 4圓心角為3弧度，半徑為 6的扇形的面積為_(kāi) 答案 6 解析 扇形的面積為126236. 一、弧度制的概念 例 1 下列說(shuō)法正確的是( ) a1 弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑 b大圓中 1弧度的圓心角比小圓中 1 弧度的圓心角大 c所有圓心角為 1 弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等 d用弧度表示的角都是正角 考點(diǎn) 弧度制 題點(diǎn) 弧度制定義 答案 a 解析 對(duì)于 a，根據(jù)弧度的定義知，“1 弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑”，故 a 正確；對(duì)于 b，大圓中 1弧度的圓心角與小圓中 1弧度的圓心角相等，故 b錯(cuò)誤；對(duì)于 c，

4、不在同3 / 11 圓或等圓中，1 弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是不等的，故 c 錯(cuò)誤；對(duì)于 d，用弧度表示的角也可以不是正角，故 d錯(cuò)誤 反思感悟 對(duì)弧度制定義的三點(diǎn)說(shuō)明 (1)不管是以弧度還是度為單位的角的大小，都是一個(gè)與半徑的大小無(wú)關(guān)的定值 (2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫，如 2 rad 可簡(jiǎn)寫為 2. (3)用弧度與度去度量同一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的數(shù)量是不同的 跟蹤訓(xùn)練 1 下列各說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是( ) a“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位 b1 弧度的角是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角 c根據(jù)弧度的定義，180 一定等于 弧度 d不論用角度制還是

5、用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān) 答案 d 解析 根據(jù)角度和弧度的定義，可知無(wú)論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，而是與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，所以 d 是錯(cuò)誤的，其他 a，b，c 正確 二、角度制與弧度制的互化 例 2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72 ；(2)300 ；(3)2；(4)29. 解 (1)72 7218025； (2)300 30018053； (3)22180 360 ； (4)2929180 40 . 反思感悟 角度與弧度互化技巧 在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式 rad180 是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)180弧度數(shù)，弧度數(shù)180 度

6、數(shù) 跟蹤訓(xùn)練 2 已知 15 ，10，1，105 ，712，試比較 ， 的大小 解 . 三、與扇形的弧長(zhǎng)、面積有關(guān)的計(jì)算 例 3 已知扇形的周長(zhǎng)為 10 cm，面積為 4 cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù) 4 / 11 解 設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為 (02 rad 舍去 當(dāng) r4時(shí)，l2，此時(shí)，2412(rad) 綜上可知，扇形圓心角的弧度數(shù)為12 rad. 延伸探究 1已知一扇形的圓心角是 72 ，半徑為 20，求扇形的面積 解 設(shè)扇形弧長(zhǎng)為 l，因?yàn)閳A心角 72 7218025 rad， 所以扇形弧長(zhǎng) l| r25208， 于是，扇形的面積 s12l r1282080. 2已知一扇形的周長(zhǎng)為 4

7、，當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時(shí)，扇形的面積最大？最大值是多少？ 解 設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為 (02)，弧長(zhǎng)為 l，半徑為 r，面積為 s， 則 l2r4，所以 l42r21r2， 所以 s12l r12(42r)rr22r(r1)21， 所以當(dāng) r1 時(shí)，s最大，且 smax1， 因此，lr42112(rad) 反思感悟 扇形的弧長(zhǎng)和面積的求解策略 (1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是 s12lr12r2(其中 l 是扇形的弧長(zhǎng)，r 是扇形的半徑，是扇形圓心角的弧度數(shù)，02) (2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用

8、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解 跟蹤訓(xùn)練 3 已知扇形的半徑為 10 cm，圓心角為 60 ，求扇形的弧長(zhǎng)和面積 解 已知扇形的圓心角 60 3，半徑 r10 cm， 5 / 11 則弧長(zhǎng) l r310103(cm)， 于是面積 s12lr1210310503(cm2) 1下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是( ) a半圓所對(duì)的圓心角是 rad b周角的大小等于 2 c1 弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑 d長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是 1弧度 答案 d 解析 根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算知 a，b，c 均正確，d 錯(cuò)誤 2若 2 rad，則 的終邊在( ) a第一象限 b第

9、二象限 c第三象限 d第四象限 答案 c 3時(shí)鐘的分針在 1 點(diǎn)到 3點(diǎn) 20 分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為( ) a.143 b143 c.718 d718 答案 b 解析 顯然分針在 1 點(diǎn)到 3 點(diǎn) 20 分這段時(shí)間里，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了73周，轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為732143. 4在半徑為 10 的圓中，43的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為( ) a.403 b.203 c.2003 d.4003 答案 a 解析 由于 r10，43，所以弧長(zhǎng) lr 403. 5周長(zhǎng)為 9，圓心角為 1 rad 的扇形面積為_(kāi) 答案 92 6 / 11 解析 由題意可知 2rl9，lr，所以 r3，l3， 所以 s12lr92. 1知

10、識(shí)清單： (1)弧度制的概念 (2)弧度與角度的相互轉(zhuǎn)化 (3)扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算 2方法歸納：消元法解方程組 3常見(jiàn)誤區(qū)：弧度與角度混用 1120 化為弧度為( ) a56 b2 c23 d34 答案 c 解析 由于 1 180 rad， 所以120 12018023，故選 c. 2若圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的 2倍，而弧長(zhǎng)也增加到原來(lái)的 2倍，則( ) a扇形的面積不變 b扇形的圓心角不變 c扇形的面積增大到原來(lái)的 2倍 d扇形的圓心角增大到原來(lái)的 2倍 答案 b 解析 l|r，|lr. 當(dāng) r，l均變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍時(shí)，|不變 而 s12|r2中，不變，s變?yōu)樵瓉?lái)的 4倍 3用弧度制表示終邊

11、與 150 角相同的角的集合為( ) a. 562k，kz 7 / 11 b. 56k 360 ，kz c. 232k，kz d. 562k，kz 答案 d 解析 150 15018056，故終邊與角 150 相同的角的集合為 562k，kz.故選 d. 4圓的半徑為 r，該圓上長(zhǎng)為32r 的弧所對(duì)的圓心角是( ) a.23 rad b.32 rad c.23 d.32 答案 b 解析 由弧度數(shù)公式 lr，得 32rr32， 因此圓弧所對(duì)的圓心角是32 rad. 5集合 k4k2，kz中角所表示的范圍(陰影部分)是( ) 答案 c 解析 k 為偶數(shù)時(shí)，集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)直線 yx 左上

12、部分(包含邊界)，k 為奇數(shù)時(shí)集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榈谌笙迌?nèi)直線 yx 的右下部分(包含邊界)故選 c. 6.12 rad_度，_ rad480 . 答案 15 83 解析 121801215 ，480 48018083. 7把角690 化為 2k(02，kz)的形式為_(kāi) 答案 46 解析 方法一 690 690180236. 8 / 11 因?yàn)?3646，所以690 46. 方法二 690 2360 30 ， 則690 46. 8在扇形中，已知半徑為 8，弧長(zhǎng)為 12，則圓心角是_弧度，扇形面積是_ 答案 32 48 解析 |lr12832， s12l r1212848. 9將下列各角化成弧度制

13、下的角，并指出是第幾象限角 (1)1 725 ；(2)60 360 k(kz) 解 (1)1 725 75 5360 52512 11512，是第一象限角 (2)60 360 k180602k 32k(kz)，是第四象限角 10已知半徑為 10 的圓 o中，弦 ab的長(zhǎng)為 10. (1)求弦 ab 所對(duì)的圓心角 的大小； (2)求 所在的扇形的弧長(zhǎng) l及弧所在的弓形的面積 s. 解 (1)由o的半徑 r10ab， 知aob是等邊三角形， aob60 3. (2)由(1)可知 3，r10， 弧長(zhǎng) l r310103， s扇形12lr1210310503， 而 saob12 ab32ab12105

14、 325 3， s弓形s扇形saob2523 3 . 9 / 11 11下列表示中不正確的是( ) a終邊在 x軸上角的集合是|k，kz b終邊在 y軸上角的集合是 2k，kz c終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是 k2，kz d終邊在直線 yx上角的集合是 42k，kz 答案 d 解析 對(duì)于 a，終邊在 x軸上角的集合是|k，kz，故 a正確； 對(duì)于 b，終邊在 y軸上的角的集合是 2k，kz，故 b 正確； 對(duì)于 c，終邊在 x 軸上的角的集合為|k，kz，終邊在 y 軸上的角的集合為 2k，kz，其并集為 k2，kz，故 c 正確； 對(duì)于 d，終邊在直線 yx上的角的集合是 4k，kz，故 d 不

15、正確 12圓的一條弦的長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角的弧度數(shù)為( ) a1 b.12 c.6或56 d.3或53 答案 c 解析 設(shè)該弦所對(duì)的圓周角為 ， 則其圓心角為 2 或 22， 由于弦長(zhǎng)等于半徑， 所以可得 23或 223，解得 6或 56. 13設(shè)集合 m k23，kz，n|，則 mn_. 答案 56，3，6，23 解析 由k23，得43k83. 因?yàn)?kz，所以 k1,0,1,2，所以 mn56，3，6，23. 14已知一扇形的弧長(zhǎng)為29，面積為29，則其半徑 r_，圓心角為_(kāi) 答案 2 9 10 / 11 解析 設(shè)圓心角度數(shù)為 ，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)為29，面積為291229r， 解得 r2，由于扇形的弧長(zhǎng)為29r2，解得 9. 15扇形圓心角為3，半徑為 a，則扇形內(nèi)切圓的面積與扇形面積之比為_(kāi) 答案 23 解析 如圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 r， 則 r