高一數(shù)學(xué)必修一課件3.1.1方程的根與函數(shù)的零點

1、 在人類用智慧架設(shè)的無數(shù)座從未知通向已知在人類用智慧架設(shè)的無數(shù)座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座，雖然的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座，雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的歲月法，但這一切卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的歲月. . 我國古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方我國古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程的求解的問題程的求解的問題. .如約公元如約公元5050年年100100年編成的年編成的九章算術(shù)九章算術(shù)，就給出了求一次方程、二次方程，就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法和三次方程根的

2、具體方法求下列方程的根：求下列方程的根：(1)2x-1=0 ； (2)x2-2x-3=0.方程方程x-x=0的根怎么求？的根怎么求？回顧舊知，發(fā)現(xiàn)問題回顧舊知，發(fā)現(xiàn)問題:問題問題1問題問題23.1.1 方程的根方程的根與函數(shù)的零點與函數(shù)的零點知識與能力知識與能力 掌握函數(shù)零點的概念；了解函數(shù)零點方掌握函數(shù)零點的概念；了解函數(shù)零點方程根的關(guān)系；會判斷函數(shù)是否存在零點程根的關(guān)系；會判斷函數(shù)是否存在零點. .過程與方法過程與方法 由二次函數(shù)的圖象與由二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)軸的交點的橫坐標(biāo)和對應(yīng)的一元二次方程為突破口，探究方程和對應(yīng)的一元二次方程為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系，以

3、探究的方法發(fā)的根與函數(shù)的零點的關(guān)系，以探究的方法發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點存在的條件；在課堂探究中體會現(xiàn)函數(shù)零點存在的條件；在課堂探究中體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般的歸納數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般的歸納思想思想.情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀 在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學(xué)中的在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價值在教學(xué)中讓學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的意義和價值在教學(xué)中讓學(xué)生體驗探究的過程、發(fā)現(xiàn)的樂趣，在數(shù)學(xué)教體驗探究的過程、發(fā)現(xiàn)的樂趣，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維能力，以及分析學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維能力，以及分析問題解決問題的能力問題解決問題的能力重點重點 函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系；函數(shù)

4、在函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系；函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法某區(qū)間上存在零點的判定方法. .難點難點 發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法. . 下列一元二次方程及其相應(yīng)的二次函數(shù)圖下列一元二次方程及其相應(yīng)的二次函數(shù)圖象有什么關(guān)系？象有什么關(guān)系？2y = x -2x-32x -2x-3 = 0與函數(shù)與函數(shù)（1）（2）2y = x - 2x +12x - 2x +1 = 0與函數(shù)與函數(shù)2y = x - 2x + 32x - 2x + 3 = 0與函數(shù)與函數(shù)（3）探究探究1 函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與x x軸交

5、點軸交點方程方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象方程的實數(shù)根方程的實數(shù)根x1=1,x2=3x1=x2=1無實數(shù)根無實數(shù)根(1,0)、(3,0)(1,0)無交點無交點x2-2x-3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x2-2x+3 對于一般的一元二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)的對于一般的一元二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與圖象與x軸交點的關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？軸交點的關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？探究探究2動腦思考一下動腦思考一下方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函數(shù)

6、函數(shù)y= ax2 +bx+c(a0)的圖象的圖象判別式判別式 =b24ac0=00函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與 x 軸的交點軸的交點有兩個相等的有兩個相等的實數(shù)根實數(shù)根x1 = x2沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)沒有交點沒有交點兩個不相等兩個不相等的實數(shù)根的實數(shù)根x1 、x2 對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(x),使使f(x)=0的實數(shù)的實數(shù)x叫做叫做函數(shù)函數(shù)y=f(x)的零點的零點.零點指的是一個實數(shù)零點指的是一個實數(shù).零點是一個點嗎零點是一個點嗎?知識要點知識要點注意：注意：二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象與x軸的交點與相應(yīng)的一軸的交點與

7、相應(yīng)的一元二次方程的根有什么關(guān)系元二次方程的根有什么關(guān)系?2:y = ax +bx+c(a0)即即 函函數(shù)數(shù)的零點即為方程的零點即為方程2ax +bx+c = 0(a1)的根的根2y = ax + bx + c(a0)函函數(shù)數(shù)的圖像與的圖像與x軸軸的的2ax + bx + c = 0(a1)的根的根交點的橫坐標(biāo)即為方程交點的橫坐標(biāo)即為方程知識要點知識要點方程方程f(x)=0有實數(shù)根有實數(shù)根函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點有零點代數(shù)法代數(shù)法圖像法圖像法 或幾何法或幾何法1.通過求方程的根來找出函數(shù)的零點通過求方程的根來找出函數(shù)的零點2.利用函數(shù)圖像

8、的性質(zhì)找出函數(shù)的零點利用函數(shù)圖像的性質(zhì)找出函數(shù)的零點 1.前面問題前面問題2：方程：方程-x-x=0的根怎么求？的根怎么求？解：令解：令f(x)= -x-x，做出函數(shù)，做出函數(shù)f(x)的圖像，如下：的圖像，如下：o12-1-2246-2-4可知函數(shù)圖像與可知函數(shù)圖像與x軸有軸有交點，所以說方程的交點，所以說方程的-x-x=0的根是的根是x=1.例例題題x23x5, 作出函數(shù)作出函數(shù)的圖象，如下：的圖象，如下：它與它與x軸有兩個交點，所以軸有兩個交點，所以方程方程x23x50有兩有兩個不相等的實數(shù)根個不相等的實數(shù)根.xy013214862242.方程方程x23x50有根嗎？有幾個；有根嗎？有幾個

9、；分析：求方程的根就是看其相應(yīng)函數(shù)與分析：求方程的根就是看其相應(yīng)函數(shù)與x x軸的交點軸的交點. . 解：解：2x(x2)3可化為可化為2x24x30，令令f(x)= 2x24x3 , 作出作出函數(shù)函數(shù)的圖象的圖象,如下：它與如下：它與x軸沒有交點，所以方程軸沒有交點，所以方程2x(x2)3無實數(shù)根無實數(shù)根.xy0132112543. 3.方程方程2x(x2)3有根嗎？有幾個；有根嗎？有幾個；分析：看方程有根否就是看其相應(yīng)函數(shù)與分析：看方程有根否就是看其相應(yīng)函數(shù)與x x軸的有無交點軸的有無交點. .解：解：x2 4x4可化可化為為x24x40，令令f(x)= x24x4，作出函數(shù)作出函數(shù)的圖象，

10、的圖象，如下：它與如下：它與x軸只有軸只有一個交點，所以方一個交點，所以方程程x2 4x4有兩個有兩個相等的實根相等的實根. xy013211254364 4.方程方程 x2 4x4有根嗎？有幾個有根嗎？有幾個. 函數(shù)函數(shù) f(x)=x2 -4x+4有零點嗎？有幾個有零點嗎？有幾個. 函數(shù)函數(shù)f(x)=2x(x2)+3有零點嗎？有幾個；有零點嗎？有幾個；函數(shù)函數(shù)f(x)=x23x5有零點嗎？有幾個；有零點嗎？有幾個；其實就是考慮其實就是考慮f(x)=0的根的情況；的根的情況；回顧思考回顧思考求函數(shù)零點的步驟：求函數(shù)零點的步驟： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)

11、寫出零點寫出零點. 下面函數(shù)下面函數(shù)y = f(x)的圖象的圖象 1 在區(qū)間在區(qū)間,ba上上_(有有/無無)零點；零點；)(af)(bf_0（或）（或）,cb上上_(有有/無無)零點；零點；)(bf)(cf_0（或）（或）2 在區(qū)間在區(qū)間,da上上_(有有/無無)零點；零點；)(af)(df_0（或）（或）3在區(qū)間在區(qū)間有有有有有有觀察觀察10123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy觀察觀察2觀察二次函數(shù)觀察二次函數(shù) 的圖像的圖像2f(x) = x -2x-31. 在區(qū)間在區(qū)間 2,1上上_(有有/無無)零點；零點；f(-2)f(1)_0（或）（或）有有2. 在區(qū)間在區(qū)間2,4上上

12、_（有（有/無）零點；無）零點；f(2) f(4)_0()或或有有 若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線斷的一條曲線,且且f(a)f(b)0,則函數(shù)則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點內(nèi)有零點. 即存在即存在c(a,b),使得使得f(c)=0,這個這個c就是方程就是方程f(x)=0的根的根.知識要點知識要點勘根定理勘根定理思考思考（1）若只給條件）若只給條件f(a)f(b)0，是否在，是否在(a,b)內(nèi)內(nèi)函數(shù)就沒有零點？函數(shù)就沒有零點？看以下圖像看以下圖像abxy0ab0yxab0yxab0yx 若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間

13、a,b上的圖上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：且函數(shù)象是連續(xù)不斷的一條曲線：且函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，是否內(nèi)有零點，是否一定有一定有f(a)f(b)0？abbbb bbbbb bbbxy0 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：斷的一條曲線：（2）函數(shù)）函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點內(nèi)有零點 f(a)f(b)0.結(jié)論結(jié)論（1） f(a)f(b)0 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點；內(nèi)有零點； 如果函數(shù)如果函數(shù) y=f(x) y=f(x) 在在a,ba,b上上, ,圖象是連續(xù)圖象是連續(xù)的，并且在閉

14、區(qū)間的兩個端點上的函數(shù)值互異的，并且在閉區(qū)間的兩個端點上的函數(shù)值互異即即f(a)f(b)f(a)f(b)0,0,且是單調(diào)函數(shù)那么，這個函數(shù)且是單調(diào)函數(shù)那么，這個函數(shù)在在(a,b)(a,b)內(nèi)必有惟一的一個零點內(nèi)必有惟一的一個零點. .解：用計算器或計算機作出解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應(yīng)的對應(yīng)值表（表值表（表3-1）和圖象（圖）和圖象（圖3.13） 例例1 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點個數(shù)的零點個數(shù),并指并指出零點所在的大概區(qū)間出零點所在的大概區(qū)間.4 1.30691.0986 3.3863 5.6094 7.79189.9459 12.0794 14.1972123

15、456789x0246105y241086121487643219 由表由表3-1和圖和圖3.13可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，表表3-1圖圖3.13 由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)在定義在定義(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所以內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點它僅有一個零點.說明這個函數(shù)在區(qū)間說明這個函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點內(nèi)有零點.例例2 如圖是一個二次函數(shù)如圖是一個二次函數(shù)y=f(x)的圖像的圖像（1）寫出這個二次函數(shù)的零點；）寫出這個二次函數(shù)的零點；（2）寫出這個二次函數(shù)的解析式；）寫出這個二次函數(shù)的解析式；（3）試比較）試比較f(-4)f(-1),f(0)f(2)與與0的大小關(guān)系的大

16、小關(guān)系. 分析分析:先觀察圖像找出零點先觀察圖像找出零點,然后把零然后把零點代入二次函數(shù)的一般式求得這個函數(shù)點代入二次函數(shù)的一般式求得這個函數(shù)的解析式的解析式. 1 12 2解解1 1 由由圖圖象象可可知知此此函函數(shù)數(shù)的的零零點點是是x x = = - -3 3, ,x x = = 1 1. . 21f x = a x+3x-1 ,這個數(shù)為由由可可知知二二次次函函解解析析式式 f -1 = 4a = -1,fx= - x + 3x -1 ,由由可可知知故故 2f x = -x -2x+3.這個數(shù)為即即二二次次函函的的解解析析式式 3f -4 = -5,f -1 = 4,f 0 = 3,f 2

17、= -5,為因因 f-4 f-1= -20 0,f0 f2= -15 0)3y = f(x) ( )1a.,1 ,(1,e)e1,1(1,e)e1,1(1,e)e1,1(1,e)e（）（）,1 1. .（ 2 20 00 09 9 天天 津津 ） 設(shè)設(shè) 函函 數(shù)數(shù)在在 區(qū)區(qū) 間間內(nèi)內(nèi) 均均 有有 零零 點點b b. .在在 區(qū)區(qū) 間間內(nèi)內(nèi) 均均 無無 零零 點點c c. .在在 區(qū)區(qū) 間間 （） 內(nèi)內(nèi) 有有 零零 點點 , ,內(nèi)內(nèi) 無無 零零 點點d d. .在在 區(qū)區(qū) 間間 （） 內(nèi)內(nèi) 無無 零零 點點 , ,內(nèi)內(nèi) 有有 零零 點點則則答答案案d d解解析析：本本題題考考查查連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)

18、的的零零點點定定理理1111及及其其應(yīng)應(yīng)用用. .由由于于f( )=+1 0f( )=+1 0e3ee3e1111f(1)= 0,f(e)=e-1 0,f(e)=e-1 0,所所以以33331 1函函數(shù)數(shù)y =(x)y =(x)在在區(qū)區(qū)間間（,1,1）內(nèi)內(nèi)無無零零點點，e e在在區(qū)區(qū)間間（1 1，e e）內(nèi)內(nèi)有有零零點點. .故故選選d d2af(x) = 2ax +2x-3-ay = f(x)-11a2.2.（2007 2007 廣廣東東）已已知知 是是實實數(shù)數(shù)，函函數(shù)數(shù), ,如如果果函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間，上上有有零零點點，求求 的的取取值值范范圍圍. .af(-1)0,af101a5=4+

19、8a(3+a)0,1-1,1a-3-7-3-7aa5aa122-3-7aa12a = 0f(x) = 2x - 3-1,1a0f(x) = 0-1,1f(-1)f(1)0（ ） ， 或或或或 或或 或或 所所以以實實數(shù)數(shù)a a的的取取值值范范圍圍是是解解析析：若若，, , ,顯顯然然在在上上沒沒有有零零點點，所所以以 ；方方程程在在上上有有解解 或或3x-2001y = xy = ( )2(x ,y )a.(0,1) b.(1,2) c.(2,3) d.(3,4)3.3.（2007 2007 山山東東）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)與與的的圖圖像像的的交交點點為為, ,則則所所在在的的區(qū)區(qū)間間是是 ( ) (

20、)32-xg(x) = x -2,g(0) 0g(1) 2,g(3) 0,g(4) 0g(x)(1,2).b.：，故故選選解解析析：令令可可求求得得易易知知函函數(shù)數(shù)的的零零點點所所在在區(qū)區(qū)間間為為x x2 2-x+20-x+20； (2)y=x(2)y=x3 3-2x-2x2 2 -x+2.-x+2.1.求下列函數(shù)的零點求下列函數(shù)的零點:求函數(shù)零點的步驟：求函數(shù)零點的步驟： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)寫出零點寫出零點解：解：（1）令令 x2-x+20=0，則解得方程的根，則解得方程的根 為為x=-5,x=4,所以此函數(shù)的有兩個零點所以此函數(shù)的有兩個零點

21、是是x=-5,x=4.（2）令）令x3-2x2 -x+2=0，則解得方程的根為，則解得方程的根為 x=2,x=1,x=-1,所以此函數(shù)有三個零點所以此函數(shù)有三個零點 分別是分別是x=2,x=1,x=-1.(3)y=lg(x-1)解：令解：令lg(x-1)=0,這個方程的根為這個方程的根為 x=2，所以說此函數(shù)的零點是，所以說此函數(shù)的零點是x=2.2.函數(shù)函數(shù)y= f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且不斷的曲線，且f(a) f(b)0，則函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（a,b）內(nèi)）內(nèi) （ ） a.至少有一個零點至少有一個零點 b.至多有一個零點至多有一個

22、零點 c.只有一個零點只有一個零點 d.有兩個零點有兩個零點a2210axx 0,1a3若方程若方程在在內(nèi)恰內(nèi)恰的取值范圍（的取值范圍（ ）有一解，則有一解，則a. a1 c. -1a1 d. 0a1b2( )21f xaxx0,1(0)(1)0ff分析：令分析：令在在內(nèi)恰有一解，則內(nèi)恰有一解，則 4.函數(shù)函數(shù)f(x)=lnx-2/xf(x)=lnx-2/x的零點所在的大致區(qū)的零點所在的大致區(qū)間（間（ ）a. (1,2) b. (2,3)c. (1,1/e)和和(3,4) d. (e,+)b 分析：判斷區(qū)間（分析：判斷區(qū)間（a,b）是否為）是否為f(x)零點所在的零點所在的區(qū)間，只要判斷區(qū)間，

23、只要判斷f(a).f(b)0是否成立是否成立.經(jīng)代入計算得經(jīng)代入計算得f(2)=ln2 -10所以所以f(2).f(3)0， f(1)f(2)f(4)0，則下列命題正確的是，則下列命題正確的是 （ ） a.函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點）內(nèi)有零點 b.函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（1，2）內(nèi)有零點）內(nèi)有零點 c.函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點）內(nèi)有零點 d.函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（0，4）內(nèi)有零點）內(nèi)有零點d6. 若二次函數(shù)若二次函數(shù)y= +kx-(k-8)與與x軸至多有一軸至多有一個交點個交點,求求k的取值范圍的取值范圍?7.函數(shù)函數(shù)y=| log2|x|-1|有幾個零點有幾個零點?解：令解：令| log2|x|-1|=0| log2|x|-1|=0，則方程有幾個，則方程有幾個根就有幾個零點由此得到方程有兩個根根就有幾個零點由此得