高一數(shù)學(xué)人教A版必修2課件：4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用

1、第1頁(yè) 共 45 頁(yè)4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用直線與圓的方程的應(yīng)用 第2頁(yè) 共 45 頁(yè)1.掌握直線方程掌握直線方程 圓的方程圓的方程,進(jìn)一步提高知識(shí)運(yùn)用能力進(jìn)一步提高知識(shí)運(yùn)用能力.2.掌握用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想及其解題過程掌握用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想及其解題過程.第3頁(yè) 共 45 頁(yè)在掌握直線方程與圓方程的基礎(chǔ)上在掌握直線方程與圓方程的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提高知識(shí)運(yùn)用能力進(jìn)一步提高知識(shí)運(yùn)用能力,領(lǐng)會(huì)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的過程領(lǐng)會(huì)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的過程,即由坐標(biāo)方法解即由坐標(biāo)方法解決平面幾何問題決平面幾何問題.一般來說此類問題分為如下三步一般來說此類問題分為如下三步:

2、第一步第一步:_,用坐標(biāo)和方程表示問題用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.第二步第二步:通過通過_,解決代數(shù)問題解決代數(shù)問題.第三步第三步:把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何結(jié)論成幾何結(jié)論.注意注意:_方法的靈活運(yùn)用方法的靈活運(yùn)用. 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系 代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想第4頁(yè) 共 45 頁(yè)1.用坐標(biāo)法解決幾何問題的方法步驟用坐標(biāo)法解決幾何問題的方法步驟:(俗稱俗稱“三步曲三步曲”)第一步第一步:根據(jù)題目的特點(diǎn)根據(jù)題目的特點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,一般

3、坐標(biāo)原一般坐標(biāo)原點(diǎn)選在線段的中點(diǎn)點(diǎn)選在線段的中點(diǎn),幾何圖形的對(duì)稱中心等幾何圖形的對(duì)稱中心等.建立坐標(biāo)系適建立坐標(biāo)系適當(dāng)當(dāng),可使問題簡(jiǎn)化可使問題簡(jiǎn)化.用坐標(biāo)和方程表示幾何問題中的元素用坐標(biāo)和方程表示幾何問題中的元素.將將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.第二步第二步:用代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題用代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題.第三步第三步:把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何結(jié)論成幾何結(jié)論.2.要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.對(duì)于一些代數(shù)問題對(duì)于一些代數(shù)問題,根據(jù)其幾何意義根據(jù)其幾何意義,可用幾何方法解決可用幾何方法解決.第5頁(yè) 共 45 頁(yè)題型一題型一 數(shù)

4、形結(jié)合思想方法的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用例例1:(1)方程方程 表示的曲線是什么表示的曲線是什么?(2)若方程若方程 有解有解,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)b的取值范圍的取值范圍.解解:(1) 等價(jià)于等價(jià)于x2+y2=9(y0), 表示半圓表示半圓,即以原點(diǎn)為圓心即以原點(diǎn)為圓心,3為半徑的圓在為半徑的圓在x軸上方的半圓軸上方的半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn)包括兩個(gè)端點(diǎn)).29yx29xxb29yx29yx第6頁(yè) 共 45 頁(yè) (2)方程方程 有解有解,即半圓即半圓 與直線與直線y=x+b有交點(diǎn)有交點(diǎn)(如下圖如下圖).易求出易求出,當(dāng)當(dāng)-3b3 時(shí)時(shí),方程方程 有解有解.29xxb29yx229xxb第7頁(yè) 共 45 頁(yè)

5、變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1:若直線若直線與圓與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)有公共點(diǎn),則則( )a.a2+b21 b.a2+b211xyab22221111.1.1cdabab第8頁(yè) 共 45 頁(yè)答案答案:d第9頁(yè) 共 45 頁(yè)題型二題型二 用坐標(biāo)法求圓的方程用坐標(biāo)法求圓的方程例例2:如下圖所示如下圖所示,點(diǎn)點(diǎn)m是弓形弧是弓形弧 的中點(diǎn)的中點(diǎn),弦弦|oa|=8,弓弓形的高為形的高為2 m,求此弧所在圓的方程求此弧所在圓的方程.分析分析:只需要求圓心坐標(biāo)及半徑即可只需要求圓心坐標(biāo)及半徑即可.oma第10頁(yè) 共 45 頁(yè)解解:設(shè)圓心坐標(biāo)為設(shè)圓心坐標(biāo)為(4,b),圓的半徑為圓的半徑為r,那么圓的方程是那么圓的方程

6、是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原點(diǎn)由于原點(diǎn)o(0,0)和圓弧最高點(diǎn)和圓弧最高點(diǎn)m(4,2)也在圓上也在圓上解得解得:b=-3,r2=25.所以圓的方程是所以圓的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.第11頁(yè) 共 45 頁(yè) 規(guī)律技巧規(guī)律技巧:本題也可以選取弦本題也可以選取弦oa的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)坐標(biāo),可求得此弧所在圓的方程為可求得此弧所在圓的方程為x2+(y+3)2=25.由此看來由此看來,建建立的坐標(biāo)系不同立的坐標(biāo)系不同,所求得的方程不同所求得的方程不同.第12頁(yè) 共 45 頁(yè)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2:如圖如圖,圓圓o1和圓和圓o2的半徑都等于的半徑都等

7、于1,o1o2=4,過動(dòng)點(diǎn)過動(dòng)點(diǎn)p分別作圓分別作圓o1,圓圓o2的切線的切線pm pn(m,n分別為切點(diǎn)分別為切點(diǎn)),使得使得 ,建立平面直角坐標(biāo)系建立平面直角坐標(biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)并求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程的軌跡方程.2pmpn第13頁(yè) 共 45 頁(yè)解解:以以o1o2的中點(diǎn)的中點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),o1o2所在直線為所在直線為x軸軸,建立直建立直角坐標(biāo)系如圖所示角坐標(biāo)系如圖所示,則則o1(-2,0),o2(2,0).第14頁(yè) 共 45 頁(yè)由已知由已知 得得pm2=2pn2,因?yàn)閳A的半徑為因?yàn)閳A的半徑為1,所以所以:po21-1=2(po22-1),設(shè)設(shè)p(x,y),則則(x+2)2+y2-1=2(x

8、-2)2+y2-1,即即(x-6)2+y2=33.故所求動(dòng)點(diǎn)故所求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.2,pmpn第15頁(yè) 共 45 頁(yè)題型三題型三 與圓有關(guān)的綜合問題與圓有關(guān)的綜合問題例例3:已知已知aob中中,|ob|=3,|oa|=4,|ab|=5,點(diǎn)點(diǎn)p是是abo內(nèi)內(nèi)切圓上一點(diǎn)切圓上一點(diǎn),求以求以|pa| |pb| |po|為直徑的三個(gè)圓面積之為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值與最小值和的最大值與最小值.分析分析:三個(gè)圓面積之和的最值問題實(shí)質(zhì)上是求三個(gè)圓面積之和的最值問題實(shí)質(zhì)上是求|pa|2+|pb|2+|po|2的最值的最值.由于由于p是是abo內(nèi)切圓上的點(diǎn)內(nèi)切圓上的

9、點(diǎn),若想找到若想找到p點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo),必須先從必須先從abo內(nèi)切圓的方程入手內(nèi)切圓的方程入手.第16頁(yè) 共 45 頁(yè)解解:如下圖如下圖,建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系,使使a b o三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(4,0) b(0,3) o(0,0).第17頁(yè) 共 45 頁(yè)易求得易求得abo的內(nèi)切點(diǎn)半徑的內(nèi)切點(diǎn)半徑r=1,圓心圓心(1,1).故內(nèi)切圓的方程是故內(nèi)切圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為x2+y2-2x-2y+1=0,設(shè)設(shè)p(x,y),則則|pa|2+|pb|2+|po|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.第1

10、8頁(yè) 共 45 頁(yè)由可知由可知x2+y2-2y=2x-1,將其代入有將其代入有|pa|2+|pb|2+|po|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.x0,2,故故|pa|2+|pb|2+|po|2的最大值為的最大值為22,最小值為最小值為18,三個(gè)圓面積之和為三個(gè)圓面積之和為所求面積的最大值為所求面積的最大值為 最小值為最小值為222222|()()()(|2224| ).papbpopapbpo11,29.2第19頁(yè) 共 45 頁(yè) 規(guī)律技巧規(guī)律技巧:選定原點(diǎn)選定原點(diǎn),建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,可以簡(jiǎn)化幾何問可以簡(jiǎn)化幾何問題題,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題將幾何問題轉(zhuǎn)化為代

11、數(shù)問題.第20頁(yè) 共 45 頁(yè) 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3:一艘輪船沿直線返回港口的途中一艘輪船沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào),臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處處,受影響的范圍是受影響的范圍是半徑為半徑為30 km的圓形區(qū)域的圓形區(qū)域,已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心的正北已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心的正北40 km處處,如果這艘船不改變航線如果這艘船不改變航線,那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?第21頁(yè) 共 45 頁(yè)解解:如圖所示如圖所示:第22頁(yè) 共 45 頁(yè)以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn),以正東方向?yàn)橐哉龞|方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐軸

12、正方向建立直角坐標(biāo)系標(biāo)系,其中取其中取10 km為單位長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度,則受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所則受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的方程為對(duì)應(yīng)的方程為x2+y2=9,港口所在位置的坐標(biāo)港口所在位置的坐標(biāo)(0,4),輪船的位置輪船的位置坐標(biāo)坐標(biāo)(7,0),則輪船航線所在直線方程為則輪船航線所在直線方程為即即4x+7y-28=0,圓心到直線的距離圓心到直線的距離 而而r=3,dr,直線與圓相離直線與圓相離,所以輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響所以輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響.1,74xy22|28|283,6547d 第23頁(yè) 共 45 頁(yè)易錯(cuò)探究易錯(cuò)探究例例4:已知圓已知圓x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+

13、8y+9=0,求兩圓的求兩圓的位置關(guān)系位置關(guān)系.得得4x-3y-4=0,即即 代入代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得并整理得25x2+10 x+1=0.=100-425=0,兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn),故兩圓相切故兩圓相切.44.3xy第24頁(yè) 共 45 頁(yè)錯(cuò)因分析錯(cuò)因分析:兩圓方程聯(lián)立兩圓方程聯(lián)立,=0說明兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)說明兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)此時(shí)兩圓有可能外切兩圓有可能外切,也有可能內(nèi)切也有可能內(nèi)切.正解正解:把兩圓的方程分別配方把兩圓的方程分別配方,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,兩圓心坐標(biāo)兩圓心坐

14、標(biāo)c1(-1,-1),c2(3,-4),半徑半徑r1=1,r2=4.圓心距圓心距|c1c2|= =5=r1+r2.兩圓相外切兩圓相外切.22(3 1)( 4 1) 第25頁(yè) 共 45 頁(yè)基礎(chǔ)強(qiáng)化基礎(chǔ)強(qiáng)化1.已知直線已知直線ax-by+c=0(abc0),與圓與圓x2+y2=1相切相切,則三條邊長(zhǎng)則三條邊長(zhǎng)分別為分別為|a|,|b|,|c|的三角形的三角形( )a.是銳角三角形是銳角三角形 b.是直角三角形是直角三角形c.是鈍角三角形是鈍角三角形d.不存在不存在解析解析:直線與圓相切直線與圓相切,則則a2+b2=c2.答案答案:b22| |1.cdab第26頁(yè) 共 45 頁(yè)2.已知點(diǎn)已知點(diǎn)a b

15、分別在兩圓分別在兩圓x2+(y-1)2=1與與(x-2)2+(y-5)2=9上上,則則a b兩點(diǎn)之間的最短距離為兩點(diǎn)之間的最短距離為( )解析解析:兩圓心之間的距離為兩圓心之間的距離為兩圓相離兩圓相離,a、b兩點(diǎn)之間的最短距離為兩點(diǎn)之間的最短距離為答案答案:c.2 5.2 52.2 54.2abcd2212(20)(5 1)2 54,rr2 54.第27頁(yè) 共 45 頁(yè)3.方程方程x(x2+y2-1)=0和和x2-(x2+y2-1)2=0表示的圖形是表示的圖形是( )a.都是兩個(gè)點(diǎn)都是兩個(gè)點(diǎn)b.一條直線和一個(gè)圓一條直線和一個(gè)圓c.前者是一條直線和一個(gè)圓前者是一條直線和一個(gè)圓,后者是兩個(gè)圓后者是

16、兩個(gè)圓d.前者為兩個(gè)點(diǎn)前者為兩個(gè)點(diǎn),后者是一條直線和一個(gè)圓后者是一條直線和一個(gè)圓第28頁(yè) 共 45 頁(yè)解析解析:x(x2+y2-1)=0 x=0或或x2+y2-1=0,則它表示一條直線則它表示一條直線x=0和一個(gè)圓和一個(gè)圓x2+y2=1;x2-(x2+y2-1)2=0 (x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,x+x2+y2-1=0或或x-x2-y2+1=0,即即它表示兩個(gè)圓它表示兩個(gè)圓.因此因此,選選c.答案答案:c22221515()(),2424xyxy或第29頁(yè) 共 45 頁(yè)4.過原點(diǎn)的直線與圓過原點(diǎn)的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切相切,若切點(diǎn)在第三象限若切點(diǎn)在第三象限,

17、則該直線的方程是則該直線的方程是( )解析解析:設(shè)切線方程為設(shè)切線方程為y=kx,圓的方程化為圓的方程化為(x+2)2+y2=1,而圓心而圓心(-2,0)到直線到直線y=kx的距離為的距離為1,又又切點(diǎn)在第三象限切點(diǎn)在第三象限,答案答案:c.3.333.33a yxb yxc yxd yx 2| 2 |31.31kkk3.3k 第30頁(yè) 共 45 頁(yè)5.若直線若直線y=kx+1與圓與圓x2+y2=1相交于相交于p q兩點(diǎn)兩點(diǎn),且且poq=120(其中其中o為原點(diǎn)為原點(diǎn)),則則k的值為的值為( )解析解析:poq=120,點(diǎn)點(diǎn)o到直線到直線y=kx+1的距離的距離又又答案答案:a.33. 3.2

18、2. 2abcd或或1,2d 2|00 1|1,321dkk第31頁(yè) 共 45 頁(yè)6.圓心為圓心為(1,1)且與直線且與直線x+y=4相切的圓的方程是相切的圓的方程是_.解析解析:半徑半徑則圓的方程為則圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.|1 1 4|22r (x-1)2+(y-1)2=2第32頁(yè) 共 45 頁(yè)7.兩圓兩圓x2+y2=1和和(x+4)2+(y-a)2=25相切相切,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a的值為的值為_.解析解析:當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)有當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)有 =4,a=0.當(dāng)兩圓外切時(shí)當(dāng)兩圓外切時(shí),有有 a=224a2246,a2 5.2 50或第33頁(yè) 共 45 頁(yè)8.與圓與圓x2+y2=4切于點(diǎn)切于點(diǎn) 的切線方程為的切線方程為_.解析解析:圓心圓心(0,0), 切線的斜率切線的斜率 又切點(diǎn)為又切點(diǎn)為切線方程為切線方程為即即( 1,