高中數(shù)學講義微專題75幾何問題的轉換

1、- 1 - / 17 微專題 75 幾何問題的轉換 一、基礎知識： 在圓錐曲線問題中，經(jīng)常會遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉化，合理的進行幾何條件的轉化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡化運算的復雜程度，在本節(jié)中，將列舉常見的一些幾何條件的轉化。 1、在幾何問題的轉化中，向量是一個重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€段后可以承載向量；另一方面，向量在坐標系中能夠坐標化，從而將幾何圖形的要素轉化為坐標的運算，與方程和變量找到聯(lián)系 2、常見幾何問題的轉化： （1）角度問題： 若與直線傾斜角有關，則可以考慮轉化為斜率k 若需要判斷角是銳角還是鈍角，則可將此角作為向量的夾角，從而利用向

2、量數(shù)量積的符號進行判定 （2）點與圓的位置關系 可以利用圓的定義，轉化為點到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些題目中計算量較大 若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點與直徑端點連線的夾角進行判定：若點在圓內(nèi)，acb為鈍角（再轉為向量：0ca cb；若點在圓上，則acb為直角（0ca cb=）；若點在圓外，則acb為銳角（0ca cb） （3）三點共線問題 通過斜率：任取兩點求出斜率，若斜率相等，則三點共線 通過向量：任取兩點確定向量，若向量共線，則三點共線 （4）直線的平行垂直關系：可轉化為對應向量的平行與垂直問題，從而轉為坐標運算： ()()1122,ax ybxy=，則, a b共

3、線1221x yx y=；ab12120 x xy y+= （5）平行（共線）線段的比例問題：可轉化為向量的數(shù)乘關系 （6）平行（共線）線段的乘積問題：可將線段變?yōu)橄蛄?，從而轉化為向量數(shù)量積問題（注意向量的方向是同向還是反向） - 2 - / 17 3、常見幾何圖形問題的轉化 （1）三角形的“重心”：設不共線的三點()()()112233,a x yb xyc x y，則abc的重心123123,33xxxyyyg+ （2）三角形的“垂心”：伴隨著垂直關系，即頂點與垂心的連線與底邊垂直，從而可轉化為向量數(shù)量積為零 （3）三角形的“內(nèi)心”：伴隨著角平分線，由角平分線性質可知（如圖）：,ipac

4、iqaq i在bac的角平分線上ai acai abapaqacab= （4）p是以,da db為鄰邊的平行四邊形的頂點dpdadb=+ （5）p是以,da db為鄰邊的菱形的頂點：p在ab垂直平分線上 （6）共線線段長度的乘積：若, ,a b c共線，則線段的乘積可轉化為向量的數(shù)量積，從而簡化運算，(要注意向量的夾角）例如：acabac ab=，acbcac bc= bcaiqpapdbapdbabc- 3 - / 17 二、典型例題： 例 1：如圖：,a b分別是橢圓()2222:10 xycabab+=的左右頂點，f為其右焦點，2是,affb的等差中項，3是,affb的等比中項 （1）求

5、橢圓c的方程 （2）已知p是橢圓c上異于,a b的動點，直線l過點a且垂直于x軸，若過f作直線fqap，并交直線l于點q。證明：, ,q p b三點共線 解：（1）依題意可得：()()(),0 ,0 ,0aab af c ,afca bfac=+= 2是,affb的等差中項 42affbacaca=+=+= 2a= 3是,affb的等比中項 ()()()22223affbacacacb=+= 23b= 橢圓方程為：22143xy+= （2）由（1）可得：()()()2,0 ,2,0 ,1,0abf 設():2ap yk x=+，設()11,p x y ，聯(lián)立直線與橢圓方程可得： ()()222

6、22234124316161202xykxk xkyk x+=+=+ 2211221612684343akkx xxkk=+ ()11212243kyk xk=+=+ 2226812,43 43kkpkk+ 另一方面，因為fqap 1fqkk= - 4 - / 17 ()1:1fq yxk= ，聯(lián)立方程：()1132,2yxqkkx= = ()2,0b ()303224bqkkk= 22221201234368164243bpkkkkkkkk+= + bqbpkk= ,b q p三點共線 例 2：已知橢圓)0( 12222=+babyax的右焦點為f，m為上頂點，o為坐標原點，若omf的面積為

7、21，且橢圓的離心率為22 （1）求橢圓的方程； （2）是否存在直線l交橢圓于p，q兩點， 且使點f為pqm的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由 解：（1）111222omfsomofbc= 2:2 :1:12cea b ca= 1bc= 2222abc=+= 橢圓方程為：2212xy+= （2）設),(11yxp，),(22yxq由（1）可得：()()0,1 ,1,0mf 1mfk= f為pqm的垂心 mfpq 11pqmfkk= = 設:pq yxm=+ - 5 - / 17 由f為pqm的垂心可得：mpfq ()()1122,1 ,1,mpx yfqxy= ()()12

8、12110mp fqxxyy=+= 因為,p q在直線yxm=+上 1122yxmyxm=+=+，代入可得： ()()()1212110 xxxmxm+= 即0) 1)(222121=+mmmxxxx 考慮聯(lián)立方程： 2222yxmxy=+= 得0224322=+mmxx ()2221612 2203mmm = 1243mxx+= ,322221=mxx代入可得： ()2222421033mmmmm+ += 解得：43m = 或1m = 當1=m時，pqm不存在，故舍去 當34=m時，所求直線l存在，直線l的方程為34= xy 小煉有話說：在高中階段涉及到三角形垂心的性質，為垂心與三角形頂點的

9、連線垂直底邊，所以對垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉化為向量的坐標運算（或是斜率關系） 例 3：如圖，橢圓)0( 12222=+babyax的一個焦點是()1,0f ，o為坐標原點. （1）若橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，- 6 - / 17 求橢圓的方程； （2）設過點f且不垂直x軸的直線l交橢圓于,a b兩點，若直線l繞點f任意轉動，恒有222oaobab+, 求a的取值范圍. 解：（1）由圖可得：10,3mb 由正三角形性質可得：3,63mfmfok= 1033013mfbk= 3b= 2224abc=+= 橢圓方程為：22143xy+= （2）設():1

10、lyk x=，()()1122,a x yb xy 222oaobab+ 222cos02oaobabaoboa ob+= aob為鈍角 12120oa obx xy y=+ 聯(lián)立直線與橢圓方程：()()222222222222211yk xb xa kxa bb xa ya b=+=+=，整理可得： ()222222222220a kbxa k xa ka b+= 22222212122222222,a ka ka bxxx xa kba kb+=+ ()()()22221212121211y ykxxk x xkxxk=+ 2222222222222222222222a ka ba kk

11、ba b kkkka kba kba=+=+= 22222222212122220a ka bk ba b kx xy ya kb+=+ 2222222220a ka bk ba b k+恒成立 - 7 - / 17 即()2222222kaba ba b+恒成立 22220aba b+ 221ba= ()2222110aaa 解得：152a+ a的取值范圍是15,2+ 例 4：設,a b分別為橢圓()222210 xyabab+=的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且橢圓上的點到右焦點距離的最小值為1 （1）求橢圓的方程； （2）設p為直線4x =上不同于點()4,0的任意一點， 若直線,

12、ap bp分別與橢圓相交于異于,a b的點,m n，證明：點b在以mn為直徑的圓內(nèi) 解：（1）依題意可得2ac=，且到 右焦點距離的最小值為1ac= 可解得：2,1ac= 3b= 橢圓方程為22143xy+= （2）思路：若要證b在以mn為直徑的圓內(nèi)，只需證明mbn為鈍角，即mbp為銳角，從而只需證明0bm bp，因為,a b坐標可求，所以只要設出am直線（斜率為k） ，聯(lián)立方程利用韋達定理即可用k表示出m的坐標，從而bm bp可用1k表示。即可判斷bm bp的符號，進而完成證明 解：由（1）可得()()2,0 ,2,0ab，設直線,am bn的斜率分別為k，()11,m x y ，則 ():

13、2amyk x=+ 聯(lián)立am與橢圓方程可得： ()2223412yk xxy=+=，消去y可得：()2222431616120kxk xk+= 2211221612684343akkx xxkk=+ ab(4,0)mnpoyx- 8 - / 17 11212243kykxkk=+=+，即2226812,43 43kkmkk+ 設()04,py，因為p在直線am上，所以()0426ykk=+=，即()4,6pk ()22216122,6,43 43kkbpkbmkk=+ 2222232124060434343kkkbp bmkkkk=+=+ mbp為銳角， mbn為鈍角 m在以mn為直徑的圓內(nèi)

14、例 5：如圖所示，已知過拋物線24xy=的焦點f的直線l與拋物線相交于,a b兩點，與橢圓2233142yx+=的交點為,c d，是否存在直線l使得afcfbfdf=？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由 解：依題意可知拋物線焦點()0,1f，設:1lykx=+ afcfbfdf= afdfbfcf=，不妨設afdfbfcf= 則,affb dffc= 設()()()()11223344,a x yb xyc x yd xy ()()1122,1,1afxyfbxy= = ()()3344,1,1cfxyfdxy= = 1234xxxx= 考慮聯(lián)立直線與拋物線方程：2214404yk

15、xxkxxy=+= ()1222122144xxxkx xx+= = = ，消去2x可得：()2214k= - 9 - / 17 聯(lián)立直線與橢圓方程：()222216314634ykxxkxxy=+=+=，整理可得： ()2236610kxkx+ = ()3442234426136136kxxxkx xxk+= += = + ()22213636kk= + 由可得： 22236436kkk= +，解得：211kk= = 所以存在滿足條件的直線，其方程為：1yx= + 例 6：在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線()220 xpy p=的準線方程為12y = ，過點()4,0m作拋物線的切線ma

16、，切點為a（異于點o），直線l過點m與拋物線交于兩點,p q，與直線oa交于點n （1）求拋物線的方程 （2）試問mnmnmpmq+的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由 解：（1）由準線方程可得：1122pp= = 拋物線方程：22xy= （2）設切點()00,a xy，拋物線為212yx= yx= 切線斜率為0kx= 切線方程為：()000yyxxx=，代入()4,0m及20012yx= 可得：()2000142xxx=，解得：00 x =（舍）或08x = - 10 - / 17 ()8,32a :4oa yx= 設:4pq xmy=+ , ,m p n q共線且m在x軸上

17、11pqnnnnpqpqpqyymnmnyyyympmqyyyyy y+=+=+= 聯(lián)立pq和拋物線方程：()222424xymyyxmy=+=+，整理可得： ()2282160m ymy+= 222816,pqpqmyyyymm+= 再聯(lián)立,oa pq直線方程：416414nyxyxmym=+ 22281621614pqnpqmyymnmnmympmqy ymm+= 例 7：在abc中，,a b的坐標分別是() ()2,0 ,2,0，點g是abc的重心，y軸上一點m滿足gmab，且mcmb= （1）求abc的頂點c的軌跡e的方程 （2）直線: lykxm=+與軌跡e相交于,p q兩點，若在軌

18、跡e上存在點r，使得四邊形oprq為平行四邊形（其中o為坐標原點），求m的取值范圍 解：（1）設(),c x y 由g是abc的重心可得： ,3 3x yg 由y軸上一點m滿足平行關系，可得0,3ym 由mcmb=可得：()22221023xyyy+=+ 化簡可得：()221026xyy+= - 11 - / 17 c的軌跡e的方程為：()221026xyy+= （2） 四邊形oprq為平行四邊形 oropoq=+ 設()()1122,p x yq xy ()1212,r xxyy+ r在橢圓上 ()()22121236xxyy+= () ()22221122121233626xyxyx xy

19、 y+= 因為,p q在橢圓上，所以221122223636xyxy+=+=，代入可得： 121212126212633x xy yx xy y+=+= 聯(lián)立方程可得： ()22222326036ykxmkxkmxmxy=+=+= 212122226,33kmmxxx xkk+= =+ ()()()2222121212122363mky ykxmkxmk x xkm xxmk=+=+=+ 代入可得： 2222222636332333mmkmkkk+= =+ ()2223260kxkmxm+=有兩不等實根可得： ()()222244360k mkm =+，即2236180mk+，代入2223km

20、= ()22236 231800mmm+ 另一方面：22230mk= 23622mm或62m - 12 - / 17 66,22m + 例 8：已知橢圓()2222:10 xycabab+=的離心率為12，直線l過點()()4,0 ,0,2ab，且與橢圓c相切于點p （1）求橢圓c的方程 （ 2 ） 是 否 存 在 過 點()4,0a的 直 線m與 橢 圓 交 于 不 同 的 兩 點,m n， 使 得23635apaman=？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由 解（1）12cea= :2:3:1a b c= 橢圓方程化為：22222221341243xyxyccc+= += l過(

21、)()4,0 ,0,2ab 設直線1:12422xylyx+= = + 聯(lián)立直線與橢圓方程：2223412122xycyx+= +消去y可得：2221342122xxc+= 整理可得：222430 xxc+= l與橢圓相切于p ()244 4301cc = 橢圓方程為：22143xy+=，且可解得31,2p （2）思路：設直線m為()4yk x=，()()1122,m x yn xy，由（1）可得：31,2p，再由()4,0a可知2454ap=，若要求得k（或證明不存在滿足條件的k），則可通過等式23635apaman=列出關于k的方程。對于aman，盡管可以用兩點間距離公式表示出,aman，

22、但運算較為復雜。觀察圖形特點可知,a m n共線，從而可想到利用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因為,am an同向，所以amanam an=。寫出- 13 - / 17 ,am an的坐標即可進行坐標運算，然后再聯(lián)立m與橢圓方程，運用韋達定理整體代入即可得到關于k的方程，求解即可 解：由題意可知直線m斜率存在，所以設直線()()()1122:4 ,m yk xm x yn xy= 由（1）可得：31,2p ()22234514024ap=+= ,a m n共線且,am an同向 amanam an= ()()11224,4,amxyanxy= ()()()121212121244416am anx

23、xy yx xy yxx=+=+ 聯(lián)立直線m與橢圓方程： ()2234124xyyk x+=消去y并整理可得：()2222433264120kxk xk+= 22121222326412,4343kkxxx xkk+=+ ()()2212122364443kyykxxk=+ ()222222223616412363241643434343kkkkam ankkkk+=+=+ 23635apaman=，代入2454ap=，()2236143kam ank+=+可得： ()22361453635443kk+=+ 可解得：21284kk= ，另一方面， 若方程()2222433264120kxk x

24、k+=有兩不等實根 則()()()2222324 4364120kkk =+ - 14 - / 17 解得:1122k 24k= 符合題意 直線m的方程為：()244yx= ，即： 224yx=或224yx= + 例 9：設橢圓()2222:10 xycabab+=的左，右焦點分別為12,f f，上頂點為a，過點a與2af垂直的直線交x軸負半軸與點q ，且12220fff q+= （1）求橢圓c的離心率 （2）若過2,a q f三點的圓恰好與直線:330l xy=相切，求橢圓c的方程 （3）在（2）的條件下，過右焦點2f作斜率為k的直線l與橢圓c交于,m n兩點，在x軸上是否存在點(),0p

25、m使得以,pm pn為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由 解：（1）依題意設()()()()1200,0 ,0 ,0abfcfcq x ()()12202 ,0 ,0ffcf qxc= 12220fff q+= 00403cxcxc+= ()3 ,0qc 2,3aqafbbkkcc= 由2aqaf可得： 22222133aqafbkkbcc= = = 2222234accac= 12e = （2）由（1）可得：:2:3:1a b c = 2aqaf - 15 - / 17 2,a q f的外接圓的直徑為2qf，半徑設為r ()()23 ,0 ,0qcfc

26、 2122rqfc = ，圓心(),0c 由圓與直線相切可得：32342cdccc =+= 解得：1c = 2,3ab= 橢圓方程為22143xy+= （3）由（2）得()()121,0 ,1,0ff：設直線():1lyk x= 設()()1122,m x yn xy，若,pm pn為鄰邊的平行四邊形是菱形 則p為mn垂直平分線上的點 ()()221122221212222234123403412xyxxyyxy+=+=+= ()()()()12121212340 xxxxyyyy+= 設,m n中點()00,xy 000033404xxkyyk+= mn的中垂線方程為：()001yyxxk= ，即000 xkykyx+= 代入(),0p m可得：