高中數(shù)學(xué)選修一專題強(qiáng)化練7　雙曲線的綜合運(yùn)用

1、1 / 9 專題強(qiáng)化練 7 雙曲線的綜合運(yùn)用 一、選擇題 1.()已知雙曲線 e:24-22=1(b0)的左頂點(diǎn)為 a,右焦點(diǎn)為 f.若 b 為雙曲線 e 的虛軸的一個(gè)端點(diǎn),且 =0,則 f 的坐標(biāo)為( ) a.(5-1,0) b.(3+1,0) c.(5+1,0) d.(4,0) 2.()已知雙曲線22-22=1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為 f,離心率為2,若經(jīng)過 f 和p(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( ) a.24-24=1 b.28-28=1 c.24-28=1 d.28-24=1 3.(2020 吉林長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,)如圖所示,雙曲線22-22=1

2、(a0,b0)的左,右焦點(diǎn)分別是 f1,f2,過 f1作傾斜角為 30的直線交雙曲線右支于點(diǎn) m,連接 mf2,若 mf2垂直于 x 軸,則雙曲線的離心率為(深度解析) a.6 b.3 c.2 d.5 2 / 9 4.()已知定點(diǎn) f1(-2,0),f2(2,0),n 是圓 o:x2+y2=1 上任意一點(diǎn),點(diǎn) f1關(guān)于點(diǎn) n 的對稱點(diǎn)為 m,線段 f1m 的中垂線與直線 f2m 相交于點(diǎn) p,則點(diǎn) p 的軌跡方程是( ) a.x2+23=1 b.x2-23=1 c.23+y2=1 d.23-y2=1 5.(多選)()已知 f1、f2分別為雙曲線22-22=1(a0,b0 且 ab)的左、右焦點(diǎn)

3、,p為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),o 為坐標(biāo)原點(diǎn).下面四個(gè)命題正確的是( ) a.pf1f2的內(nèi)切圓的圓心必在直線 x=a 上 b.pf1f2的內(nèi)切圓的圓心必在直線 x=b 上 c.pf1f2的內(nèi)切圓的圓心必在直線 op 上 d.pf1f2的內(nèi)切圓必經(jīng)過點(diǎn)(a,0) 二、填空題 6.(2018 天津和平期末,)已知橢圓26+22=1 與雙曲線23-y2=1 的公共焦點(diǎn)為 f1,f2,點(diǎn) p 是兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn),則 cosf1pf2的值為 . 7.()設(shè)過原點(diǎn)的直線與雙曲線 c:22-22=1(a0,b0)交于 p,q 兩個(gè)不同的點(diǎn),f 為c 的一個(gè)焦點(diǎn),若 tanpfq=43,|qf|

4、=5|pf|,則雙曲線 c 的離心率為 . 三、解答題 8.()已知雙曲線 e 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 f1(-2,0),f2(2,0),并且 e 經(jīng)過點(diǎn) p(2,3). (1)求雙曲線 e 的方程; (2)過點(diǎn) m(0,1)的直線 l 與雙曲線 e 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線 l 的方程. 3 / 9 易錯(cuò) 4 / 9 9.()已知雙曲線22-22=1(a0,b0)的實(shí)軸長為 43,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3. (1)求雙曲線的方程; (2)已知直線 y=33x-2 與雙曲線的右支交于 m,n 兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)d,使 + =t ,求 t 的值及點(diǎn) d 的坐標(biāo). 答案全解全析答案全解全析

5、一、選擇題 1.c 依題意得,a(-2,0),f(c,0),其中 c2=4+b2,設(shè) b(0,b),則 =(2,b), =(c,-b), =2c-b2=0,因此,c2-2c-4=0, 解得 c=1+5或 c=1-5(舍去). f(5+1,0),故選 c. 2.b 設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn) f(-c,0),由離心率 e=2,得 c=2a, 則雙曲線為等軸雙曲線,即 a=b, 5 / 9 雙曲線的漸近線方程為 y=x=x, 經(jīng)過 f(-c,0)和 p(0,4)兩點(diǎn)的直線的斜率 k=4-00+=4, 則4=1,解得 c=4,則 a=b=22, 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為28-28=1.故選 b. 3.b 解法一:在

6、 rtf1f2m 中,|f1f2|=2c,mf1f2=30, |mf1|=2cos30=433c,|mf2|=233c. 因此,2a=|mf1|-|mf2|=233c, e=3,故選 b. 解法二:依題意得 m(,2), tan 30=1m=2-0-(-)=22=33. 因此,2ac=3b2=3c2-3a2, 3e2-2e-3=0,解得 e=3或 e=-33(舍去).故選 b. 解題模板 解決雙曲線的幾何性質(zhì)問題,可用代數(shù)法,也可用幾何法.綜合運(yùn)用幾何性質(zhì)解題可簡化運(yùn)算,平時(shí)要多加積累. 4.b 如圖,當(dāng)點(diǎn) p 在 y 軸左側(cè)時(shí),連接 on,pf1,則|on|=12|f2m|=1,所以|f2m

7、|=2.結(jié)合 pn 為線段 mf1的垂直平分線,可得|pf1|=|pm|=|pf2|-|f2m|=|pf2|-2,所以|pf2|-|pf1|=2|f1f2|=4.同理,當(dāng)點(diǎn) p 在 y 軸右側(cè)時(shí),|pf1|-|pf2|=20,b0), 則 = 2,42-92= 1,2= 2+ 2,解得2= 1,2= 3, 所以雙曲線 e 的方程為 x2-23=1. (2)當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí),顯然不合題意, 所以可設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+1, 聯(lián)立 = + 1,2-23= 1, 得(3-k2)x2-2kx-4=0(*), 當(dāng) 3-k2=0,即 k=3或 k=-3時(shí),方程(*)只有一解,直線 l

8、與雙曲線 e 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn), 此時(shí),直線 l 的方程為 y=3x+1; 8 / 9 當(dāng) 3-k20,即 k3時(shí),要使直線 l 與雙曲線 e 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn), 則 =(-2k)2-4(3-k2)(-4)=0,解得 k=2,此時(shí),直線 l 的方程為 y=2x+1. 綜上所述,直線 l 的方程為 y=3x+1 或 y=2x+1. 解法二:(1)由已知可設(shè)雙曲線 e 的方程為22-22=1(a0,b0), 根據(jù)雙曲線定義得|pf1|-|pf2|=2a, 即2-(-2)2+ 32-(2-2)2+ 32=2a, 所以 a=1, 因?yàn)?c=2,所以 b2=c2-a2=3, 所以雙曲線 e 的方程為 x2-23=1. (2)同解法一. 易錯(cuò)警示 直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),有兩種情況,一是切線,二是平行于漸近線,解題時(shí)防止遺漏導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 9.解析 (1)由題意知 a=23, 所以一條漸近線為 y=23x,即 bx-23y=0,所以|2+12=3,所以 b2=3. 所以雙曲線的方程為212-23=1. (2)設(shè) m(x1,y1),n(x2,y2),d(x0,y0), 則 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 將直線方