周期信號(hào)的頻譜分析

1、 12.2 2.2 周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)的頻譜分析 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 2.2.1 2.2.1 正交函數(shù)正交函數(shù)1 1、正交矢量、正交矢量垂直投影垂直投影x y斜投影斜投影xx y y 當(dāng)當(dāng) =90 ，稱，稱x與與y相互垂直的矢量為正交矢量。相互垂直的矢量為正交矢量。 將一個(gè)平面中的任意矢量在直角坐標(biāo)中分解為兩個(gè)將一個(gè)平面中的任意矢量在直角坐標(biāo)中分解為兩個(gè)正交矢量的組合。把相互正交的兩個(gè)矢量組成一個(gè)二維正交矢量的組合。把相互正交的兩個(gè)矢量組成一個(gè)二維的的“正交矢量集正交矢量集”。在此平面上的任意分量都可用二維。在此平面上的任意分量都可用二維正交矢量集的分量組合來表示。正交矢量集的分量組

2、合來表示。 可推廣應(yīng)用于可推廣應(yīng)用于n維信號(hào)矢量空間。維信號(hào)矢量空間。 v 22正交函數(shù)正交函數(shù) 假定，要在區(qū)間假定，要在區(qū)間t1，t2內(nèi)用函數(shù)內(nèi)用函數(shù)x2(t)近似表示近似表示x1(t) x1(t) c12x2 t) 這里的系數(shù)怎樣選擇才能得到最佳的近似？我們選擇這里的系數(shù)怎樣選擇才能得到最佳的近似？我們選擇誤差的方均值（或均方值）最小，這時(shí)，可以認(rèn)定已誤差的方均值（或均方值）最小，這時(shí)，可以認(rèn)定已經(jīng)得到了最好的近似。均方誤差定義為經(jīng)得到了最好的近似。均方誤差定義為 2122121122)()(1ttdttxctxtt 0122 dcd 0)()(121221211212 ttdttxctx

3、ttdcd0)()()( 21212212112 ttdttxtxctxtt 3 2121)()()(222112ttttdttxdttxtxc上式表示上式表示x1(t)有有x2(t)的分量，此分量的系數(shù)是的分量，此分量的系數(shù)是c12。如。如果果c12等于零，則等于零，則x1(t)不包含不包含x2(t)的分量，這種情況稱的分量，這種情況稱為：為：x1(t)與與x2(t)在區(qū)間在區(qū)間 t1，t2 內(nèi)正交。得出內(nèi)正交。得出兩函數(shù)在兩函數(shù)在區(qū)間區(qū)間 t1，t2 內(nèi)正交的條件是內(nèi)正交的條件是0)()(2121 ttdttxtx 【例【例2-2】 試用正弦函數(shù)試用正弦函數(shù)sint在區(qū)間在區(qū)間 0，2 內(nèi)

4、來內(nèi)來近似表示余弦函數(shù)近似表示余弦函數(shù)cost。 解：顯然，由于解：顯然，由于0sincos20 tdttcost與與sint兩函數(shù)正交。兩函數(shù)正交。 4 【例【例2-3】設(shè)矩形脈沖設(shè)矩形脈沖x (t)有如下定義有如下定義波形如圖，試用正弦波波形如圖，試用正弦波sint在區(qū)間在區(qū)間 0，2 內(nèi)近似表內(nèi)近似表示此函數(shù)，使均方誤差最小。示此函數(shù)，使均方誤差最小。 2101)(tttx 解：函數(shù)解：函數(shù)x(t)在區(qū)間在區(qū)間 0，2 內(nèi)近似為內(nèi)近似為x(t) = c12 sin t為使均方誤差最小，為使均方誤差最小，c12應(yīng)滿足應(yīng)滿足 2022012sinsin)(tdttdttxc 4)sin(si

5、n120 dtttdtttxsin4)( 5 6 3. 正交函數(shù)集正交函數(shù)集 定義：定義：假設(shè)有假設(shè)有n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù)g1(t)，g2(t)，gn(t)構(gòu)成的構(gòu)成的一個(gè)函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間一個(gè)函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間 t1，t2 內(nèi)滿足如下的正交內(nèi)滿足如下的正交特性特性其中其中ki為常數(shù)，則函數(shù)序列為常數(shù)，則函數(shù)序列g(shù)1(t), g2(t), g3(t), , gn(t)是是 t1，t2 區(qū)間上的正交函數(shù)集。區(qū)間上的正交函數(shù)集。 三角函數(shù)序列三角函數(shù)序列cos 1t , cos2 1t , cos3 1t , , cosn 1t , ， sin 1t , sin2 1t , sin3 1t ,

6、sinn 1t , 為為區(qū)間區(qū)間 0, 2 / 1 上的正交函數(shù)集。上的正交函數(shù)集。 2121)(0)()(2ttiittjikdttgjidttgtg 7令任一函數(shù)令任一函數(shù)x(t)在區(qū)間在區(qū)間 t1，t2 內(nèi)由這內(nèi)由這n個(gè)互相正交的函個(gè)互相正交的函數(shù)線性組合所近似，表示式為數(shù)線性組合所近似，表示式為x(t) = c1 g1(t) + c2 g2(t) + + cn gn(t)為滿足最佳近似的要求，可利用均方誤差最小的條件為滿足最佳近似的要求，可利用均方誤差最小的條件求系數(shù)求系數(shù)c1，c2，cn。均方誤差表示式為。均方誤差表示式為 2121122)()(1ttniiidttgctxtt 02

7、 idcd 0 21)()()(21ttiniiidttgtgctx 0 21)()()(2ttiiidttgctgtx 8 4 4、完備正交函數(shù)集、完備正交函數(shù)集 定義一定義一 :如果用正交函數(shù)集如果用正交函數(shù)集 gi(t)在區(qū)間在區(qū)間 t1，t2 內(nèi)近內(nèi)近似表達(dá)函數(shù)似表達(dá)函數(shù)x(t)，即，即x(t) = c1 g1(t) + c2 g2(t) + + cn gn(t)若令若令n，其均方誤差其均方誤差的極限等于零的極限等于零則此正交函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。則此正交函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。0lim2 n 2121)()()(2ttittiidttgdttgtxc 21)()(1ttiidttg

8、txk如果對(duì)某一正交函數(shù)集如果對(duì)某一正交函數(shù)集ki = 1，稱此正交函數(shù)集為，稱此正交函數(shù)集為“歸歸一化正交函數(shù)集一化正交函數(shù)集”。 9 定義二定義二 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集g1(t)，g2(t)，gn(t)之外，之外，不存在函數(shù)不存在函數(shù)f(t)滿足等式滿足等式0)()(21 ttidttgtf 21)(02ttdttf 則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。常用的完備正交函數(shù)集有常用的完備正交函數(shù)集有（1）三角函數(shù)）三角函數(shù) 1，cos 1t， cos2 1t， ，cosn 1t sin 1t，sin2 1t， ，sinn 1t （2）復(fù)指數(shù)函數(shù)）復(fù)指數(shù)函數(shù)

9、 e jn 1, n=0, 1, 2, （3）沃爾什函數(shù)）沃爾什函數(shù) wal(k, t) 10 數(shù)學(xué)上可以證明，當(dāng)函數(shù)數(shù)學(xué)上可以證明，當(dāng)函數(shù)x(t)在區(qū)間在區(qū)間 t1 t2 內(nèi)具有連內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和逐段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和逐段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，x(t)可以用完備的可以用完備的正交函數(shù)集來表示，這就是所謂的函數(shù)正交函數(shù)集來表示，這就是所謂的函數(shù)“正交分解正交分解”。 對(duì)于任意周期信號(hào)對(duì)于任意周期信號(hào)x(t) = x(t + nt1) ，在滿足狄里赫，在滿足狄里赫利條件下，可展成傅里葉級(jí)數(shù)。狄里赫利條件：利條件下，可展成傅里葉級(jí)數(shù)。狄里赫利條件： 1）在一個(gè)周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，

10、則間斷點(diǎn)的）在一個(gè)周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)； 2）在一個(gè)周期內(nèi)，極大值與極小值的數(shù)目應(yīng)是有限）在一個(gè)周期內(nèi)，極大值與極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；個(gè)； 3）在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即）在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即 100)(tttdttx 11 三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，即將周期信號(hào)展成不同頻三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，即將周期信號(hào)展成不同頻率的正弦或余弦三角函數(shù)的線性組合。即率的正弦或余弦三角函數(shù)的線性組合。即 x(t) = a0 + a1cos 1t + b1sin 1t + a2cos2 1t + b2sin2 1t + + ancosn 1t +

11、 bnsinn 1t + 根據(jù)三角函數(shù)的正交性，滿足如下關(guān)系：根據(jù)三角函數(shù)的正交性，滿足如下關(guān)系：0)sin()cos(11100 dttmtnttt （所有的（所有的m,n） )( 2)( 0)cos()cos(111100nmtnmdttmtnttt sincos1110tnbtnaannn 2.2.2 周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 1. 1. 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)2 /t1= 1 12直流分量直流分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量積分區(qū)間積分區(qū)間 t0 ，t0+t1 ，可取為可取為 0，t1 或或 t1/2，t1/2 。也可寫成另

12、一種形式也可寫成另一種形式: :或或 )( 2)( 0)sin()sin(111100nmtnmdttmtnttt dttxtattt 100)(110dttntxtatttn 10011cos)(2 dttntxtbtttn 10011sin)(2 110)cos()(nnntncctx 110)sin()(nnntnddtx 13兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系: : a0 = c0 = d0 cn = dn = (an2 + bn2 )1/2 an = cn cos n = dn sin n bn = cn sin n = dn cos n nnnabarctan nnnbaarctan 14傅里葉

13、級(jí)數(shù)的公式表明：傅里葉級(jí)數(shù)的公式表明： （1 1）等式左端為一復(fù)雜信號(hào)的時(shí)域表示，右端則是）等式左端為一復(fù)雜信號(hào)的時(shí)域表示，右端則是簡(jiǎn)單的正弦信號(hào)的線性組合，利用傅里葉級(jí)數(shù)的變換，簡(jiǎn)單的正弦信號(hào)的線性組合，利用傅里葉級(jí)數(shù)的變換，可以把可以把復(fù)雜的問題分解成為簡(jiǎn)單問題進(jìn)行分析處理復(fù)雜的問題分解成為簡(jiǎn)單問題進(jìn)行分析處理。 （2 2）雖然左端是信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式，右端是信號(hào)的）雖然左端是信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式，右端是信號(hào)的頻域表示，但表示的是同一信號(hào)，是完全等效的。頻域表示，但表示的是同一信號(hào)，是完全等效的。 （3 3）任意周期信號(hào)可以分解為直流分量和一系列交）任意周期信號(hào)可以分解為直流分量和一系列交變分量

14、的相加。變分量的相加。 1 1為信號(hào)的基頻，相應(yīng)的分量為基波，為信號(hào)的基頻，相應(yīng)的分量為基波，其他交變分量則為諧波，其頻率必定是基頻的整數(shù)倍。其他交變分量則為諧波，其頻率必定是基頻的整數(shù)倍。 （4 4）直流分量的幅度）直流分量的幅度c c0 0( (d d0 0) )與基波、諧波的幅度與基波、諧波的幅度cn(dn) )以及相位以及相位 n( n) )的大小取決于信號(hào)的時(shí)域波形，而的大小取決于信號(hào)的時(shí)域波形，而且是頻率且是頻率n 1 1的函數(shù)，把這種函數(shù)關(guān)系繪成線圖表示，的函數(shù)，把這種函數(shù)關(guān)系繪成線圖表示，就是所謂的就是所謂的“頻譜頻譜”。 110)cos()(nnntncctx 15| cn

15、|n 1 10 1 1 2 1 1 nn 1 10 1 1 2 1 1 16 由三角形式可以導(dǎo)出指數(shù)形式由三角形式可以導(dǎo)出指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式根據(jù)歐拉公式 cosn1t = e jn1t + e jn1t /2 sinn1t = e jn1t e jn1t /2j令令因?yàn)橐驗(yàn)?an是是n的偶函數(shù)，即的偶函數(shù)，即an = a n bn是是n的奇函數(shù)，即的奇函數(shù)，即bn = b n2. 2. 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 101122)(ntjnnntjnnnejbaejbaatx 2)(1nnnjbaxnx 22)(1nnnnnjbajbaxnx 17令令: :x(0) = a0式中

16、式中傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)畫出信號(hào)頻譜畫出信號(hào)頻譜: :因?yàn)橐驗(yàn)閤n一般為復(fù)數(shù)，故稱復(fù)數(shù)頻譜。一般為復(fù)數(shù)，故稱復(fù)數(shù)頻譜。 xn = | xn |e j n | xn | n 1 1圖稱復(fù)數(shù)幅度譜圖稱復(fù)數(shù)幅度譜 n n 1 1圖稱復(fù)數(shù)相位譜圖稱復(fù)數(shù)相位譜 1011)(ntjnntjnnexexatx 1111ntjnnntjnnexex ntjnnextx1)( dtetxtxnxttttjnn 1001)(1)(11 18x0 = a0 = c0 = d0xn = | xn |e j n =(an jbn)/2x n = (an + jbn)/2| xn | = | x n | = cn/2 =

17、 dn/2 偶對(duì)稱偶對(duì)稱 nnnabarctan nnnabarctan n = n 奇對(duì)稱奇對(duì)稱 19|xn|n 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 nn 1 1 20 指數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)說明一個(gè)任意周期函數(shù)也可指數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)說明一個(gè)任意周期函數(shù)也可以分解為直流分量及一系列不同頻率的復(fù)指數(shù)分量之以分解為直流分量及一系列不同頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。三角形式和指數(shù)形式相比和。三角形式和指數(shù)形式相比, ,具有下列特點(diǎn)具有下列特點(diǎn): : 1 1、復(fù)數(shù)幅度譜的譜線長(zhǎng)度為實(shí)數(shù)譜的一半且偶對(duì)、復(fù)數(shù)幅度譜的譜線長(zhǎng)度為實(shí)數(shù)譜的一半且偶對(duì)稱于縱軸。稱于縱軸。 2 2、復(fù)數(shù)相位譜與實(shí)頻譜中相同，

18、且奇對(duì)稱于原點(diǎn)。、復(fù)數(shù)相位譜與實(shí)頻譜中相同，且奇對(duì)稱于原點(diǎn)。 3 3、復(fù)數(shù)譜在正負(fù)頻率處均有值，負(fù)頻率的出現(xiàn)是、復(fù)數(shù)譜在正負(fù)頻率處均有值，負(fù)頻率的出現(xiàn)是由于將正弦、余弦寫成指數(shù)形式得來的，是數(shù)學(xué)運(yùn)算由于將正弦、余弦寫成指數(shù)形式得來的，是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，而無物理意義。在實(shí)際中，只有將對(duì)應(yīng)正負(fù)的結(jié)果，而無物理意義。在實(shí)際中，只有將對(duì)應(yīng)正負(fù)頻率項(xiàng)成對(duì)合并，才能合成一個(gè)實(shí)際的諧波分量，所頻率項(xiàng)成對(duì)合并，才能合成一個(gè)實(shí)際的諧波分量，所以三角形式具有明確的物理意義，而指數(shù)形式用于理以三角形式具有明確的物理意義，而指數(shù)形式用于理論分析或運(yùn)算比較方便。論分析或運(yùn)算比較方便。 21 如果如果x(t)是實(shí)函數(shù)而且

19、他的波形滿足某種對(duì)稱性，則是實(shí)函數(shù)而且他的波形滿足某種對(duì)稱性，則在其傅在其傅里里葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留下的各項(xiàng)系數(shù)的葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示式也變得比較簡(jiǎn)單。表示式也變得比較簡(jiǎn)單。 波形的對(duì)稱性有兩類，一類是整周期對(duì)稱，如偶對(duì)波形的對(duì)稱性有兩類，一類是整周期對(duì)稱，如偶對(duì)稱和奇對(duì)稱；另一類是半周期對(duì)稱，如奇諧函數(shù)。稱和奇對(duì)稱；另一類是半周期對(duì)稱，如奇諧函數(shù)。 前者決定級(jí)數(shù)中只可能含有余弦項(xiàng)或正弦項(xiàng)；后者前者決定級(jí)數(shù)中只可能含有余弦項(xiàng)或正弦項(xiàng)；后者決定級(jí)數(shù)中只可能含有偶次或奇次項(xiàng)。決定級(jí)數(shù)中只可能含有偶次或奇次項(xiàng)。（1 1）偶函數(shù)）偶函數(shù) x(t) = x( t)相對(duì)與縱軸

20、是對(duì)稱的相對(duì)與縱軸是對(duì)稱的。x(t)t t1/2 0 t1/2傅傅里里葉級(jí)數(shù)中只含有直流葉級(jí)數(shù)中只含有直流分量和余弦項(xiàng)。分量和余弦項(xiàng)。3. 函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 0cos)(42/0111ntnbdttntxta 22(2)(2)奇函數(shù)奇函數(shù) x(t) = x( t)相對(duì)于縱坐標(biāo)是反對(duì)稱的。相對(duì)于縱坐標(biāo)是反對(duì)稱的。 x(t) t0 t12 t12傅傅里里葉級(jí)數(shù)中只含有正弦項(xiàng)。葉級(jí)數(shù)中只含有正弦項(xiàng)。(3)(3)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) x(t) = x( t t1/2) 波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下翻轉(zhuǎn)，波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下翻轉(zhuǎn)，此

21、時(shí)，波形并不發(fā)生變化。此時(shí)，波形并不發(fā)生變化。dttntxtbtn 2/0111sin)(4 a0= an = 0 23 x(t)tt12t120 x(t)tt12t120 x(t)tt12t12 x(t)tt12t120 x(t)t 24 a0 = 0 a1 0 b1 0 a2 = 0 b2 = 0 傅傅里里葉級(jí)數(shù)中只含有奇次正弦項(xiàng)和奇次余弦項(xiàng)。葉級(jí)數(shù)中只含有奇次正弦項(xiàng)和奇次余弦項(xiàng)。當(dāng)為當(dāng)為n偶數(shù)時(shí)偶數(shù)時(shí) an= bn = 0 為為n奇數(shù)時(shí)奇數(shù)時(shí) dttntxtatn 2/0111cos)(4 dttntxtbtn 2/0111sin)(4 251. 1. 周期矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào)

22、解：解： (1)展成三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展成三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) x(t)t0 /2/2t1 t1t1/2e2.2.3 典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 122122101)(111tedtetdttxtatt 26dttnetan 2/2/11cos2 2sin22111 ntne 2222sin211111 nsatennte由于由于x(t)是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，則 bn = 0。從而，周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)為從而，周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)為 11111cos22)(ntnnsatetetx 由上式由上式 10tec 2211 nsat

23、ecn 000nnnaa 27 n n 1 10 1 1 2 1 1 4 / cnn 1 10 1 1 2 1 12 / 28(2)(2)展成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 21112211 nsatedteettjndtetxtxtttjnn 221111)(1 ntjnnextx1)( ntjnensate1211 294 / |xn|n 1 1 1 1 2 1 1 4 / 0 2 1 1 1 1 n n 1 10 1 1 2 1 1 2 / xn 1 1 2 1 1 4 / 0 2 1 1 1 1 4 / 30(3)(3)頻譜特點(diǎn)頻譜特點(diǎn) 由譜圖可以看出，周期矩形脈沖信號(hào)的

24、頻譜具有以由譜圖可以看出，周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜具有以下特點(diǎn)：下特點(diǎn)： 離散譜：離散譜：離散間隔等于基頻離散間隔等于基頻 1 1的量值，的量值， 1 1=2 /t1 。 頻譜有無窮多個(gè)分量頻譜有無窮多個(gè)分量，即有無窮多條譜線，其幅值，即有無窮多條譜線，其幅值 e /t1 ，呈抽樣函數(shù)狀衰減。，呈抽樣函數(shù)狀衰減。 帶寬：帶寬：譜圖中譜圖中| xn | = 0的點(diǎn)為譜零點(diǎn)，即的點(diǎn)為譜零點(diǎn)，即 n 1 1 /2 = m m=1時(shí)的零點(diǎn)為第一零點(diǎn)，位置在時(shí)的零點(diǎn)為第一零點(diǎn)，位置在 n 1 1 = 2 / 對(duì)于周期矩形脈沖信號(hào)，它的大部分能量（對(duì)于周期矩形脈沖信號(hào)，它的大部分能量（90%90%左右）集左

25、右）集中在第一零點(diǎn)內(nèi)的各頻率分量上。把中在第一零點(diǎn)內(nèi)的各頻率分量上。把 = 0 2 / 這一頻這一頻率范圍，稱為帶寬，以率范圍，稱為帶寬，以 b表示，帶寬表示，帶寬 b與脈沖寬度與脈沖寬度 成反成反比。比。 31 (4) (4)時(shí)域參數(shù)對(duì)頻譜的影響時(shí)域參數(shù)對(duì)頻譜的影響時(shí)域主要參數(shù)：信號(hào)幅度時(shí)域主要參數(shù)：信號(hào)幅度e，脈沖寬度，脈沖寬度 ，信號(hào)周期，信號(hào)周期t1。 e：對(duì)對(duì)頻譜頻譜的影響不太大。的影響不太大。 t1：由于譜間隔由于譜間隔 1 1=2 /t1，譜幅度譜幅度c cn e /t1，所以，所以t1 ，譜線變密，譜線變密， c cn 。 ： c cn b = 2 / 反映出一個(gè)普遍的規(guī)律：時(shí)

26、域、頻域變化時(shí)，時(shí)域反映出一個(gè)普遍的規(guī)律：時(shí)域、頻域變化時(shí)，時(shí)域上壓縮（上壓縮（ 減?。?，頻域上帶寬展寬（減小），頻域上帶寬展寬（ b增大），反之亦增大），反之亦然。上述結(jié)果，實(shí)際上由能量守恒定律決定的。然。上述結(jié)果，實(shí)際上由能量守恒定律決定的。極端情況：極端情況：若若t1，周期函數(shù)，周期函數(shù) 非周期函數(shù)非周期函數(shù) 1 1d 0，離散，離散頻頻譜譜 連續(xù)連續(xù)頻頻譜譜 t1，又，又 0，帶寬，帶寬 b ，即矩形脈沖，即矩形脈沖沖激函沖激函數(shù)，頻譜為數(shù)，頻譜為“白色譜白色譜”。 32 cnn 1 10 1 1 2 / 4 / x(t)et0t1 x(t)t0t12 / cnn 1 10 1 1 x

27、(t)et0t1 cnn 1 10 1 1 2 / 33具體參數(shù)如具體參數(shù)如 e=1， = 0.05，t1 = 0.25 1 1 = 2 /t1 = 8 2 / = 40 = 5 1 1 cnn 1 10 1 1 5 1 1 n n 1 10 1 1 5 1 1 342. 對(duì)稱方波對(duì)稱方波是一個(gè)正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量是一個(gè)正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量a0 = 0；脈寬等于周期的一半，即脈寬等于周期的一半，即 =t1/2；偶函數(shù)，又是奇諧函數(shù)偶函數(shù)，又是奇諧函數(shù)，bn = 0，an = 0(偶數(shù)偶數(shù))。 x(t)t0t1 t1t1 4e2 ann 1 10 1 1 2 1 13 1 1 4 1

28、 15 1 1 tttetx1115cos513cos31cos2)( 11cos2sin12ntnnne 35 3. 周期鋸齒脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)奇函數(shù)奇函數(shù) a0 = 0，an = 0 x(t) t0 t12 t12e2tnnetttetxnn111111sin1)1(.)3sin312sin21(sin)( 364. 周期三角脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)偶函數(shù)，去直流分量后是奇諧函數(shù)，偶函數(shù)，去直流分量后是奇諧函數(shù)， bn = 0 11222121212cos2sin142.)5cos513cos31(cos42)(ntnnneettteetx x(t)t t1/2 0 t1/2e 37

29、5. 周期半波余弦信號(hào)周期半波余弦信號(hào)偶函數(shù)，偶函數(shù)，bn = 0tnnneettteetxn112111cos2cos112.)4cos1542cos34(cos2)( x(t) t0 t14 t14t1 386. 周期全波余弦信號(hào)周期全波余弦信號(hào)令余弦信號(hào)令余弦信號(hào) x1(t) = cos 0 0t 全波余弦信號(hào)全波余弦信號(hào) x(t) = e | x1(t)| 1 1= 2 /t1 = 2 0 0 t1 = t0 /2偶函數(shù)，偶函數(shù)，bn = 0tnneeteteteetxnn01211112cos141)1(42.)3cos3542cos154cos342)( x(t) t0 t12 t12t1 392.2.4 吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象 任意周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)需要無窮多項(xiàng)才能完任意周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)需要無窮多項(xiàng)才能完全逼近。但實(shí)際中經(jīng)常采用有限項(xiàng)來近似代替無限多全逼近。但實(shí)際中經(jīng)常采用有限項(xiàng)來近似代替無限多項(xiàng)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)取得愈多，誤差愈小，通常以均方誤差來項(xiàng)，當(dāng)項(xiàng)