高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)(四十六)　空間向量及其運算 (3)

1、1 / 5 課時作業(yè)(四十六) 空間向量及其運算 基礎(chǔ)過關(guān)組 一、單項選擇題 1若直線 l1，l2的方向向量分別為 a(1,2，2)，b(2，3,2)，則 l1與 l2的位置關(guān)系是( ) al1l2 bl1l2 cl1與 l2相交但不垂直 d不能確定 解析 a b2640，所以 l1l2。故選 a。 答案 a 2.(2021 河北鹿泉一中月考)如圖，在四面體 o- abc 中，oaa，obb，occ，且om2ma，bnnc，則mn( ) a.23a23b12c b.23a23b12c c23a12b12c d.12a23b12c 解析 連接 on(圖略)，因為bnnc，所以on12(oboc)

2、，因為om2ma，所以om23oa，所以mnonom12(oboc)23oa23a12b12c。故選 c。 答案 c 3已知空間四邊形 abcd 的每條邊和對角線的長都等于 a，e，f 分別是 bc，ad 的中點，則ae af的值為( ) a.a2 b.12a2 c.14a2 d.34a2 解析 ae af12(abac)12ad14(ab adac ad)14(a2cos 60 a2cos 60 )14a2。故選 c。 答案 c 4.如圖所示，在平行六面體 abcd- a1b1c1d1中，am12mc，a1n2nd。設(shè)aba，adb，aa1c，mnxaybzc，則 xyz( ) a.34 b

3、.14 c.23 d.13 解析 mnmaaa1a1n13acaa123a1d13(abad)aa123(adaa1)13a13bc23b23c13a13b13c，所以 x13，yz13，故 xyz13。故選 d。 答案 d 5若平面 ， 的法向量分別為 n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則( ) a b c與 相交但不垂直 d以上均不正確 解析 因為 n1 n22(3)(3)15(4)0，所以 n1與 n2不垂直，又 n1與 n2不平行，所以 與 相交但不垂直。故選 c。 答案 c 6.如圖，在長方體 abcd- a1b1c1d1中，aa1ab2，ad1，e，f，g 分別是 dc，ab

4、，cc1的中點，則異面直線 a1e 與 gf 所成角的余弦值是( ) 2 / 5 a0 b.33 c.55 d.155 解析 a1e gf(a1aadde) (gccbbf)aa1ad12dc12aa1ad12dc12aa12ad214dc212411440，故a1egf，故異面直線 a1e 與 gf 所成角的余弦值為 0。故選 a。 答案 a 二、多項選擇題 7(2021 葫蘆島期末)若 a(1，2)，b(2，1，1)，a 與 b 的夾角為 120 ，則 的值為( ) a17 b17 c1 d1 解析 因為 a(1，2)，b(2，1,1)，a 與 b 的夾角為 120 ，所以 cos 120

5、 a b|a|b|2252 6，解得 1 或 17。故選 ac。 答案 ac 8已知向量 a(1,2,3)，b(3,0，1)，c(1,5，3)，下列等式中正確的是( ) a(a b)cb c b(ab) ca (bc) c(abc)2a2b2c2 d|abc|abc| 解析 a 項，左邊為向量，右邊為實數(shù)，顯然不相等，錯誤。b 項，左邊(4,2,2) (1,5，3)0，右邊(1,2,3) (2,5，4)210120，所以左邊右邊，因此正確。c 項，abc(3,7，1)，左邊3272(1)259，右邊122232320(1)2(1)252(3)259，所以左邊右邊，因此正確。d 項，由 c 可得

6、|abc| 59，因為 abc(1，3，7)，所以|abc| 59，所以左邊右邊，因此正確。故選 bcd。 答案 bcd 三、填空題 9已知向量 a(2,0,1)，b(1,2，x)，若 ab，則 x_；若 2ab(3,2,5)，則|ab|_。 解析 若 ab，則 a b2x0，解得 x2。若 2ab(3,2,2x)(3,2,5)，則 2x5，解得x3，則 b(1,2,3)，所以 ab(1,2,4)，于是|ab| (1)22242 21。 答案 2 21 10已知在長方體 abcd- a1b1c1d1中，dadd11，dc 2，e 是 b1c1的中點，建立空間直角坐標(biāo)系 dxyz 如圖所示，則|

7、ae|_。 解析 在長方體 abcd- a1b1c1d1中，dadd11，dc 2，e 是 b1c1的中點，則 a(1，0,0)，e12， 2，1 ，所以ae12， 2，1 ，所以|ae|122( 2)212132。 答案 132 11已知平面 內(nèi)的三點 a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面 的一個法向量 n(1，1，1)，則不重合的兩個平面 與 的位置關(guān)系是_。 解析 由已知得，ab(0,1，1)，ac(1,0，1)，設(shè)平面 的一個法向量為 m(x，y，z)，則 m ab0，m ac0，得 yz0，xz0。得 xz，yz，令 z1，得 m(1,1,1)。又 n(1，1，

8、1)，所以 mn，即 mn，所以 。 答案 平行 四、解答題 12.如圖所示，已知空間四邊形 abcd 的每條邊和對角線長都等于 1，e，f，g 分別是 ab，ad，cd 的中點。計算： 3 / 5 (1)ef dc； (2)eg 的長； (3)異面直線 ag 與 ce 所成角的余弦值。 解 設(shè)aba，acb，adc， 則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60 ， (1)ef12bd12c12a， dcbc。 ef dc12c12a (bc)14。 (2)egebbccg12ab(acab)12(adac)12aba12c12b12a12b12c， 所以|eg|214a214b214c212

9、a b12b c12c a12， 則|eg|22。故 eg 的長為22。 (3)ag12b12c，cecaaeb12a， 所以 cosag，ceag ce|ag|ce|23。 因為異面直線所成角的范圍是0，2， 所以異面直線 ag 與 ce 所成角的余弦值為23。 13.如圖，在底面是矩形的四棱錐 p- abcd中，pa底面 abcd，e，f 分別是 pc，pd 的中點，paab1，bc2。求證： (1)ef平面 pab； (2)平面 pad平面 pdc。 證明 以 a 為原點，ab 所在直線為 x 軸，ad 所在直線為 y軸，ap所在直線為 z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 axyz，則

10、a(0,0,0)，b(1，0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)， 所以 e12，1，12，f0，1，12，ef12，0，0 ，pb(1,0，1)，pd(0,2，1)，ap(0,0,1)，ad(0,2,0)，dc(1,0,0)，ab(1,0,0)。 (1)因為ef12ab，所以efab，即 efab。 又 ab平面 pab，ef平面 pab， 所以 ef平面 pab。 (2)設(shè)平面 pdc 的一個法向量為 n(x，y，z)， 則 n pd0，n dc0，即 2yz0，x0， 令 y1，則 n(0,1,2)。 易知平面 pad 的一個法向量為ab(1,0,0)， 因為 n

11、 ab0，所以平面 pad平面 pdc。 素養(yǎng)提升組 14如圖所示，已知四棱錐 p- abcd 的底面是直角梯形，abcbcd90 ，abbcpbpc2cd，側(cè)面 pbc底面 abcd。證明： 4 / 5 (1)pabd； (2)平面 pad平面 pab。 證明 (1)取 bc 的中點 o，連接 po，由pbc 為等邊三角形，得 pobc， 因為平面 pbc底面 abcd，bc 為交線， po平面 pbc，所以 po底面 abcd。 以 bc 的中點 o 為坐標(biāo)原點，以 bc 所在直線為 x 軸，過點 o 與 ab平行的直線為 y 軸，op 所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。 不妨

12、設(shè) cd1，則 abbc2， po 3。 所以 a(1，2,0)，b(1,0,0)，d(1，1,0)，p(0,0， 3)。 所以bd(2，1,0)，pa(1，2， 3)。 因為bd pa(2)1(1)(2)0( 3)0， 所以pabd，所以 pabd。 (2)取 pa 的中點 m，連接 dm，則 m12，1，32。 因為dm32，0，32，pb(1,0， 3)， 所以dm pb3210032( 3)0， 所以dmpb，即 dmpb。 因為dm pa3210(2)32( 3)0， 所以dmpa，即 dmpa。 又因為 papbp，pa，pb平面 pab， 所以 dm平面 pab。 因為 dm平面

13、 pad， 所以平面 pad平面 pab。 15.如圖，在四棱錐 s- abcd 中，底面 abcd 為矩形。sa平面 abcd，e，f 分別為 ad，sc 的中點，ef 與平面 abcd所成的角為 45 。 (1)證明：ef 為異面直線 ad 與 sc 的公垂線； (2)若 ef12bc，求二面角 b- sc- d 的余弦值。 解 (1)證明：以 a 為坐標(biāo)原點，ab的方向為 x 軸正方向，|ab|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 axyz。 設(shè) d(0，b,0)，s(0,0，c)， 則 c(1，b,0)，e0，b2，0 ，f12，b2，c2， ef12，0，c2，as(0,0，c)，ad(0，b,0)。 因為 ef 與平面 abcd 所成的角為 45 ， 所以ef與平面 abcd的法向量as的夾角為 45 。 as ef|as|ef|cos 45 ， 5 / 5 即c2222c 14c24，解得 c1， 故ef12，0，12，sc(1，b，1)， 從而ef sc0，ef ad0， 所以 efsc，efad。 因此 ef 為異面直線 ad 與 sc 的公垂線。 (2)由 b(1,0,0)，bc(0，b,0)， |ef|12|bc|，得 b 2。 于是 f12，22，12