高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題09 基本不等式的應(yīng)用(原卷版)

1、1 / 7 專題專題 09 基本不等式的應(yīng)用 1、【2019 年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，p是曲線4(0)yxxx=+上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) p到直線 x+y=0 的距離的最小值是_. 2、【2019 年高考天津卷文數(shù)】設(shè)0,0,24xyxy+=，則(1)(21)xyxy+的最小值為_. 3、【2019年高考浙江卷】若0,0ab，則“4ab+”是 “4ab ”的（ ） a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充分必要條件 d 既不充分也不必要條件 4、【2018 年高考天津卷文數(shù)】（2018 天津文科）已知,a br，且360ab+=，則128ab+的最小值為 . 5、【2018 年

2、高考江蘇卷】在abc中，角, ,a b c所對(duì)的邊分別為, ,a b c，120abc=，abc的平分線交ac于點(diǎn) d，且1bd =，則4ac+的最小值為_ 6、【2017 年高考江蘇卷】某公司一年購(gòu)買某種貨物 600 噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為 6 萬(wàn)元/次，2 / 7 一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是_ 一、三個(gè)不等式關(guān)系： (1)a，br，a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào) (2)a，br，ab2 ab，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào) (3)a，br，a2b22(ab2)2，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào) 上述三個(gè)不等關(guān)系揭示了 a2b2 ，ab ，ab

3、 三者間的不等關(guān)系 其中，基本不等式及其變形：a，br，ab2 ab(或 ab(ab2)2)，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)和為定值時(shí)，可求積的最值；當(dāng)積為定值是，可求和的最值 二、.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為ab2，幾何平均數(shù)為ab，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 三、.利用基本不等式求最值問(wèn)題 已知x0，y0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是 2p.(簡(jiǎn)記：積定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是p24.(簡(jiǎn)記：和定積最大) 四、對(duì)于 f(x)xax， 當(dāng)

4、a0 時(shí)，f(x)在(，0)，(0，)為增函數(shù)； 當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在(， a)，( a，)為增函數(shù)；在( a，0)，(0， a)為減函數(shù) 3 / 7 注意 在解答題中利用函數(shù) f(x)xax的單調(diào)性時(shí)，需要利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明 五、利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路： (1)對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解常用的方法有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等 (2)條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值 在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不

5、等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 六、對(duì)于多元問(wèn)題的不等式的基本解題思路就是把多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題。 題型一 運(yùn)用消參法解決基本不等式中的最值問(wèn)題 消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！ 例 1、(2019 常州期末）已知正數(shù) x，y滿足 xyx1，則1xxy的最小值為_ 例 2、(2017 蘇北四市期末） 若實(shí)數(shù) x，y滿足 xy3x30 x12，則3x1y3的最小值為_ 題型二、運(yùn)用 1 的代換解決基本不等式中的最值問(wèn)題 1 的代換就

6、是指湊出 1，使不等式通過(guò)變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過(guò)程中要特別注意等價(jià)變形。 4 / 7 例 3、(2019 揚(yáng)州期末）已知正實(shí)數(shù) x，y 滿足 x4yxy0，若 xym恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為_ 例 4、（2019 年蘇州學(xué)情調(diào)研）若正實(shí)數(shù)x y，滿足1xy+=，則4yxy+的最小值是 例 5、（2013 徐州、宿遷三檢）若0,0ab，且11121abb=+，則2ab+的最小值為 題型三 、運(yùn)用雙換元解決基本不等式中的最值問(wèn)題 若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系

7、。 例 6、(2017 蘇州期末） 已知正數(shù) x，y 滿足 xy1，則4x21y1的最小值為_ 例 7、(2015 蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào)）已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 xy0，且 xy2，則2x3y1xy的最小值為_ 題型四、基本不等式中多元問(wèn)題的處理 多元最值問(wèn)題是最典型的代數(shù)問(wèn)題，代數(shù)問(wèn)題要注重結(jié)構(gòu)的觀察和變形，變形恰當(dāng)后，直接可以構(gòu)造幾何意義也可以使問(wèn)題明朗化，具體歸納如下：(1)多元最值首選消元：三元問(wèn)題二元問(wèn)題一元問(wèn)5 / 7 題(2)二元最值考查頻率高，解決策略如下：策略一：消元策略二：不好消元用基本不等式及其變形式，線性規(guī)劃，三角換元（3）多元問(wèn)題不好消元的時(shí)候可以減元，常見(jiàn)的減元策略：

8、策略一：齊次式同除減元策略二：整體思想代入消元或者減元 例 8、(2019 南京、鹽城一模） 若正實(shí)數(shù) a，b，c 滿足 aba2b，abca2bc，則 c 的最大值為_ 例 9、(2018 南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)） 已知 a，b，c 均為正數(shù)，且 abc4(ab)，則 abc的最小值為_ 題型五 基本不等式的綜合運(yùn)用 多變量式子的最值的求解的基本處理策略是“減元”或應(yīng)用基本不等式，其中“減元策略”的常見(jiàn)方法有：通過(guò)消元以達(dá)到減少變量的個(gè)數(shù)，從而利用函數(shù)法或方程有解的條件來(lái)研究問(wèn)題；通過(guò)“合并變?cè)币源鷵Q的方式來(lái)達(dá)到“減元”，一般地，關(guān)于多變?cè)摹褒R次式”多用此法而應(yīng)用基本

9、不等式求最值時(shí)，要緊緊抓住“和”與“積”的關(guān)系來(lái)進(jìn)行處理，為了凸現(xiàn)“和”與“積”的關(guān)系，可以通過(guò)換元的方法來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的表現(xiàn)形式，從而達(dá)到更易處理的目的， 例 10、(2018 揚(yáng)州期末） 已知正實(shí)數(shù) x，y滿足 5x24xyy21，則 12x28xyy2的最小值為_ 例 11、(2018 南京、鹽城一模）若不等式 ksin2bsinasinc19sinbsinc對(duì)任意abc都成立，則實(shí)數(shù) k的最小值為_ 1、(2018 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研） 已知 a0, b0，且2a3b ab，則 ab的最小值是_ 6 / 7 2、(2017 蘇北四市一模） 已知正數(shù) a，b 滿足1a9b ab5，則 ab的最小值

10、為_ 3、(2019 鎮(zhèn)江期末） 已知 x0，y0，xy1x4y，則 xy 的最小值為_ 4、(2019 蘇北三市期末） 已知 a0，b0，且 a3b1b1a，則 b 的最大值為_ 5、(2018 蘇州期末） 已知正實(shí)數(shù) a，b，c 滿足1a1b1，1ab1c1，則 c的取值范圍是_ 6、(2019 蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）已知關(guān)于 x 的不等式 ax2bxc0(a，b，cr)的解集為x|3x4，則c25ab的最小值為_ 7、(2019 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二）已知正實(shí)數(shù) a，b 滿足 ab1，則bbaa421222+的最小值為 8、(2018 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二） 已知ab，為正實(shí)數(shù)，且()234()abab=，則11ab+的最小值為 9、(2017 無(wú)錫期末） 已知 a0，b0，c2，且 ab2，則acbcabc25c2的最小值為_ 7 / 7 10、(2017 蘇州期末）已知正數(shù) x，y滿足 xy1，則4x21y1的最小值為_ 11、（2016蘇州期末） 已知 ab14，a，b(0,1)，則11a21b的最小值為_ 12、(2016 徐州、連云港、宿遷三檢）已知對(duì)滿足 xy42xy 的任意正實(shí)數(shù) x，y，都有 x22xyy2axay10，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 13、（2016 蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）若實(shí)數(shù) x，y 滿足 x24xy4y24x2y24，則當(dāng) x