高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題45 直線與圓（知識梳理）（文）（原卷版）

1、1 / 7 專題專題 45 直線與圓直線與圓（知識梳理）（知識梳理） 一、直線一、直線的的方程方程 1、直線的傾斜角、斜率與兩直線的位置關(guān)系、直線的傾斜角、斜率與兩直線的位置關(guān)系 (1)直線的傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角。直線l傾斜角的范圍是)0，。 (2)斜率公式：定義式：直線l的傾斜角為2，則斜率= tank。 兩點式：)(111yxp，、)(222yxp，在直線l上，且21xx ，則l的斜率1212xxyyk=。 對于上面的斜率公式要注意下面四點： (1)當(dāng)21xx =時公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角90=

2、，直線與x軸垂直； (2)k與1p、2p的順序無關(guān)，即1y、2y和1x、2x在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換； (3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得； (4)當(dāng)21yy =時，斜率0=k，直線的傾斜角0=，直線與x軸平行或重合。 (3)兩條直線平行的判定 對于兩條不重合的直線1l、2l，若其斜率分別為1k、2k，則有21/ll21kk =。 當(dāng)直線1l、2l不重合且斜率都不存在時，21/ll。 (4)兩條直線垂直的判定 如果兩條直線1l、2l的斜率存在，設(shè)為1k、2k，則有21ll 121=kk。 當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，2

3、1ll 。 (5)直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關(guān)系具體如下： 斜率k 0tan=k 0=k 0tan=k 不存在 傾斜角 銳角 0 鈍角 90 在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時，要根據(jù)正切函數(shù)= tank的單調(diào)性，如圖所示： 當(dāng))20，時，由0增大到2(2)時，k由0增大并趨向于正無窮大； 當(dāng))2(，時，由2(2)增大到()時，k由負(fù)無窮大增大并趨近于0。 解決此類問題，常采用數(shù)形結(jié)合思想。 例 1-1直線02sin=+yx的傾斜角的取值范圍是( )。 a、)0， b、)4340， 2 / 7 c、40， d、)240， 例 1-2若直線l過點)21(，m，且與以) 131(，p、

4、)03( ，q為端點的線段恒相交，則直線l的斜率的范圍是( )。 a、)321(+， b、 121()211， c、31， d、2121， 2、直線方程的五種形式、直線方程的五種形式 形式 幾何條件 方程 適用范圍及使用情況 一般式 0=+cbyax (022+ ba) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直線； 寫答案用公式； 點斜式 過一點)(00yx ，斜率k )(00 xxkyy= 與x軸不垂直的直線； 給一點及斜率； 與圓或圓錐曲線有關(guān)； 斜截式 縱截距b，斜率k bkxy+= 與y軸不垂直的直線； 給與y軸的交點及斜率； 兩點式 過兩點)(11yx，)(22yx ， 121121xxxxyyyy=

5、 與x軸、y軸均不垂直的直線； 給兩點； 截距式 橫截距a，縱截距b 1=+byax 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線； 給與x、y軸的交點； 例 1-3求滿足下列條件的直線方程 (1)斜率為2，經(jīng)過點)43( ，； (2)斜率為3，在y軸上的截距是2； (3)經(jīng)過兩點) 12( ，和)51(，； (4)經(jīng)過兩點)04(，和)20( ，。 3 / 7 3、直線的交點、距離與對稱問題、直線的交點、距離與對稱問題 (1)兩條直線的交點 (2)三種距離 類型 條件 距離公式 兩點間距離 點)(111yxp，、)(222yxp，之間的距離 21221221)()(|yyxxpp+= 點到直線距離 點)(

6、000yxp，到直線l：0=+cbyax的距離 2200bacbyaxd+= 兩平行直線間距離 兩平行線1l：01=+cbyax 與2l：02=+cbyax間距離 2221baccd+= 例 1-4已知直線012=+ ayx與直線02)2(=+ayxa平行，則a的值是( )。 a、32 b、32或0 c、0或23 d、23 例 1-5若p、q分別為直線01243=+yx與0586=+ yx上任意一點，則| pq的最小值為( )。 a、59 b、1029 c、518 d、529 例 1-6已知)34(，a，) 12(，b和直線l：0234=+ yx，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點p，使|pbpa =，且

7、點p到直線l的距離為2，則p點坐標(biāo)為( )。 a、)3132(，或)41 ( ， b、)41 ( ，或)561 ( ， c、)41 ( ，或)78727(， 4 / 7 d、)561 ( ，或)78727(， 4、中心對稱問題的兩種類型及求解方法：中心對稱問題的兩種類型及求解方法： (1)點關(guān)于點對稱：若點)(111yxp，及點)(222yxp，關(guān)于點)(000yxp，對稱， 則由中點坐標(biāo)公式得=1122ybyxax，進(jìn)而求解。 (2)直線關(guān)于點對稱，主要求解方法是： 在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程； 求出一個對稱點，再利用兩對稱直

8、線平行，由點斜式得到所求直線方程。 5、軸對稱問題的兩種類型及求解方法：軸對稱問題的兩種類型及求解方法： (1)點關(guān)于直線對稱：若點)(111yxp，與點)(222yxp，關(guān)于直線l：0=+cbyax對稱， 則由=+1)(0)2()2(12122121baxxyycyybxxa得1p關(guān)于l對稱的2p坐標(biāo))(22yx ，(0b，21xx )。 (2)直線關(guān)于直線的對稱： 若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關(guān)于軸的對稱點，然后用點斜式求解。 若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關(guān)于軸的對稱點，最后由兩點式求解。 例 1-7點)23( ，p關(guān)于點)41 ( ，q的

9、對稱點m為( )。 a、)61 ( ， b、) 16( ， c、)61 ( ， d、)61(， 例 1-8直線032=+ yx關(guān)于直線02 =+ yx對稱的直線方程是( )。 a、032=+yx b、032=yx c、012=+yx d、012=+yx 例 1-9已知入射光線經(jīng)過點)43(，m，被直線l：03=+ yx反射，反射光線經(jīng)過點)62( ，n，則反射光線所在直線的方程為 。 5 / 7 二、圓的方程二、圓的方程 1、圓的定義及方程、圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 標(biāo)準(zhǔn)方程 222)()(rbyax=+(0r) 圓心)(ba，半徑r 一般方程 022=

10、+feydxyx (0422+fed) 圓心)22(fd，半徑2422fedr+= 2、點與圓的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系 點)(00yxm，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程222)()(rbyax=+。 理論依據(jù) 點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系 三種情況 22020)()(rbyax=+點在圓上 22020)()(rbyax+點在圓外 22020)()(rbyax+點在圓內(nèi) 3、與圓有關(guān)的對稱問、與圓有關(guān)的對稱問題題 (1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱。 (2)圓關(guān)于點對稱：求已知圓關(guān)于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置； 兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點。 (3)圓關(guān)于直線對稱：求已

11、知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置； 兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線。 例 2-1已知圓1c：1) 1() 1(22=+yx，圓2c與圓1c關(guān)于直線01= yx對稱，則圓2c的方程為( )。 a、1)2()2(22=+yx b、1)2()2(22=+yx c、1)2()2(22=+yx d、1)2()2(22=+yx 4、直線與、直線與圓的位置關(guān)系圓的位置關(guān)系 (1)直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離。 (2)兩種研究方法： 5、弦長問題、弦長問題 圓的弦長問題在高考中多次出現(xiàn)，考查角度主要有兩個：已知直線與圓的方程求圓的弦長；已知圓的弦長求解直

12、線或圓的方程中的參數(shù)等。 解決圓的弦長問題的方法： 幾何法 如圖所示，設(shè)直線150+ k被圓c截得的弦為ab， 圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d， 則有關(guān)系式：222|drab= 6 / 7 代數(shù)法 若斜率為k的直線與圓相交于)(11yxa，、)(22yxb，兩點， 則|114)(1|212212212yykxxxxkab+=+=(其中0k)。 特別地，當(dāng)0=k時，|21xxab=；當(dāng)斜率不存在時，|21yyab=。 當(dāng)直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距所構(gòu)成的直角三角形(如圖中的adcrt)，在解題時要注意把它和點到直線的距離公式結(jié)合起來使用。 例 2-2若2222cba=+(0c)，則直

13、線0=+cbyax被圓122=+ yx所截得的弦長為( )。 a、21 b、22 c、1 d、2 例 2-3已知直線023=+ yx及直線0103= yx截圓c所得的弦長均為8，則圓c的面積是 。 6、切線問題、切線問題 求過圓上一點)(00yx ，的切線方程的方法：先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為0yy =；若0=k，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為0 xx =；若k存在且0k，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為k1，由點斜式可寫出切線方程。 求過圓外一點)(00yx ，的圓的切線方程的方法 幾何法 當(dāng)斜率存在時設(shè)為k，則切線方程為)(00 xxkyy=，即000

14、=+kxyykx。 由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程 代數(shù)法 當(dāng)斜率存在時設(shè)為k，則切線方程為)(00 xxkyy=，即00ykxkxy+=，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由0=，求得k，切線方程即可求出。 7、圓與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系 (1)設(shè)圓1c：212121)()(rbyax=+(01r)，圓2c：222222)()(rbyax=+(02r)， 方法 位置關(guān)系 幾何法： 圓心距d與1r、2r的關(guān)系 代數(shù)法： 兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 外離 21rrd+ 無解 外切 21rrd+= 一組實數(shù)解 相交 2121|rrdrr+ 兩組不同的實數(shù)解 內(nèi)切 |21rrd=(21rr ) 一組實數(shù)解 內(nèi)含 |021rrd(21rr ) 無解 7 / 7 (2)圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用 設(shè)圓1c：011122=+fyexdyx，；圓2c：022222=+fyexdyx， 若兩圓相交，則有一條公共弦，由-，得0)()()(212121=+ffyeexdd， 方程表示圓1c與2c的公共弦所在直線的方程。 (1)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結(jié)論的前提是兩圓相交，如果不