二章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析PPT課件

1、)sin()cos()(:則其中)(tjKetKeKetfjsKetfttstst歐拉公式歐拉公式:)(21)cos()(21)sin(:則有)sin()cos()sin()cos(tjtjtjtjtjtjeeteejttjtetjte3、復(fù)指數(shù)信號第1頁/共93頁一個一個復(fù)指數(shù)信號可分解為實、虛兩部分.討論:S=0, S=, S=j,s= + j四種情況.雖然不能產(chǎn)生實際的復(fù)指數(shù)信號,但它概括了多種情況,利用它可使許多運算和分析得以簡化,是一種重要的基本信號.4、 Sa(t)信號(抽樣信號)tsin(t)Sa(t)定義:第2頁/共93頁Sa(t)函數(shù)性質(zhì): 1. Sa(t)為偶函數(shù)第3頁/共

2、93頁1)sin(lim)(lim00tttSatt3. 2)()(0dttSadttSa2. 0)sin(lim)(limtttSatt4. 0)(,2tSan、t5. 第4頁/共93頁5、鐘形信號(高斯信號)2)(t)tEef第5頁/共93頁二、信號的基本運算信號的基本運算 1 1、信號的、信號的、運算運算 兩信號f1() 和f2 ()的相+、指同一時刻兩信號之值對應(yīng)相加減乘。如第6頁/共93頁例2-1 （P21）第7頁/共93頁2、微分與積分)()(t)()1(tfdttdffty微分:積分:tdftf)()()1(第8頁/共93頁3、平移平移 將f (t) f (t t0) ， f (

3、n) f (t n0)稱為對信號f ()的平移或移位。若t0 (或n0) 0，則將f ()右移；否則左移。 如函數(shù)的平移？第9頁/共93頁 4、 反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) 將f (t) f ( t) ， f (n) f ( n) 稱為對信號f ()的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f ()以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如函數(shù)的反轉(zhuǎn)？第10頁/共93頁平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合 已知f(t)如下圖所示，請畫出f(2-t)方法一：先平移f (t) f (t +2), 再反轉(zhuǎn)f (t +2) f ( t +2)第11頁/共93頁 方法二：先反轉(zhuǎn) f (t) f ( t)再平移f ( t) f ( t +2)= f (t

4、 2)第12頁/共93頁5、尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）尺度變換（橫坐標(biāo)展縮） 將f (t) f (a t) ， 稱為對信號f (t)的尺度變換。 若a 1 ，則波形沿橫坐標(biāo)向原點壓縮；若0 a 0例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=U U(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。注意此時系數(shù)C的求法！第46頁/共93頁 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6U U(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等號右端含有(t)，故

5、yzs”(t)含有(t)，從而yzs(t)躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0連續(xù)，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得（2）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) 滿足因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2對t0時，有yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6不難求得其齊次解為Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解為常數(shù)3，于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3代入初始值求得yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0第47頁/共93頁全響應(yīng) 如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，在激勵f(t)的

6、作用下，LTI系統(tǒng)的響應(yīng)稱為全響應(yīng)，它是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t) 零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)強迫響應(yīng)自由響應(yīng))()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj第48頁/共93頁ttfdiCdttdiLtRi)()(1)()()()()(2)(tftititi 1, 0122120,)()(21tetCCtitxVuVLuiAiiiLLxLxx12)0(,12)0()0(1)0()0()0(例2-12 寫出右圖示電路的微分方程，uc(0-)=10,iL(0-)=1A,求ix(t)。解：根據(jù)KVL有Us(t)LR+ - +-u

7、c(t)C1H21Fi(t)第49頁/共93頁2.4 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù)(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T0,(t)沖激響應(yīng)示意圖沖激響應(yīng)示意圖 x(0)=0第50頁/共93頁)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnn nititUeCthi1)()()()(2)()(2)(3)(tftftytyty 當(dāng)t0+時，且n m時當(dāng)n nm m時h h（t t）表示式中還應(yīng)含有（t t）及其各階導(dǎo)數(shù)例2-14 求 的沖激

8、響應(yīng)。0)()()()(01)1(1)( thathathathnnn第51頁/共93頁NoImage)(2)()(2)(3)(ttththth )()()(0)(2)(3)(221tUeCeCththththtt 當(dāng)t0+時)()43()(4, 312)( 32221212121tUeethCCCCCCCCtt第52頁/共93頁)(2)()()2()()(2)() 1 (tftititftyty)(2)()()2()()(2)() 1 (tththtthth求下列系統(tǒng)的沖激響應(yīng))()()()2()()() 1 (212tCtUeCthtUCethtt解：則第53頁/共93頁例1 描述某系統(tǒng)的

9、微分方程為y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求其沖激響應(yīng)h(t)。解：根據(jù)h(t)的定義有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t)h(0-) = h(0-) = 0先求h(0+)和h(0+)。因方程右端有(t)，故利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含U U(t)，h(0+)h(0-)，第54頁/共93頁 h(t)在t=0連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對t0時，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。

10、微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)U U(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)U U(t)第55頁/共93頁 解解根據(jù)h(t)的定義有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含(t) 故令h(t) = a(t) + p1(t) p1(t) 為不含(t) 的某函數(shù) h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) +

11、 b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式(1)，有例例2 描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。第56頁/共93頁 整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)= ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用(t) 系數(shù)匹配，得a =1 ，b = - 3，c = 12 所以h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+

12、p3(t) （4） 對式(3)從0-到0+積分得h(0+) h(0-) = 3 對式(4)從0-到0+積分得h(0+) h(0-) =12a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)第57頁/共93頁 微分方程的特征根為 2， 3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0 代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12 求得C1=3，C2= 6, 所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0 結(jié)合式(2)得 h(t)=(t) + (3e

13、2t 6e3t)(t)對t0時，有h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0故h(0+) = 3， h(0+) =12第58頁/共93頁二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)示意圖階躍響應(yīng)示意圖* *階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù)階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù) (t)(t)時，系統(tǒng)的零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如下圖所示。狀態(tài)響應(yīng)，如下圖所示。線性非時變系統(tǒng)g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用g(t)表示階躍響應(yīng)第59頁/共93頁 如果描述系統(tǒng)的微分方程是式如果描述系統(tǒng)的微分方程是式 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t

14、)= f(t) ， 當(dāng)當(dāng)f(t)=f(t)=U U(t)(t)時，有時，有01)(atgp式（式（1 1）的）的特解為特解為) 1 ()()()()()(01)1(1)(tUtgatgatgatgnnn其初始值為其初始值為:0)0()0( )0()0()2()1(ggggnn注：除g(n)(t)外？第60頁/共93頁y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)若微分方程的特征根i i(i=1(i=1，2 2，n)n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(nm)(nm)為 )

15、()1()(01tUaectgnitii若描述系統(tǒng)的微分方程是式可根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微積分特性求出階躍響應(yīng)：dttdUt)()(tdxxtU)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()(第61頁/共93頁 解：系統(tǒng)的微分方程 設(shè)圖中右端積分器的輸出為x(t)，則其輸入為x(t)，左端積分器的輸入為x(t)。左端加法器的輸出為 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t) 即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)例2.2-3 如圖2.2-3 所示的LTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng) y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)第62頁/共93頁右端加法器

16、的輸出為 y(t)=- x(t)+2 x(t)x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t); （1）y(t)=- x(t)+2 x(t) （2）階躍響應(yīng)若設(shè)（1）式所述系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為gx(t),則有 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)第63頁/共93頁 gx(t)滿足方程 gx(t) +3 gx(t)+2 gx(t) (t) gx(0_) = gx(0_) =0 其特征根 11； 22，其特解為0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5) (t) 初始值為gx(0) = gx(0) =0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0; gx(0) =- C1-2

17、C2=0解得 C1-1；C20.5第64頁/共93頁 所以， gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5) (t) 求出 gx(t)，代入g(t)=- gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1) (t) 解法二：由（1）、（2）式求得系統(tǒng)的微分方程為： y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)當(dāng)f(t)= (t)時，有)3()(2)( )(2)( 3)( ttththth0)0()0( hh先求h(0+)和h(0+)第65頁/共93頁 令：)6()()()5()()()( )4()()()( )( 210trthtrt

18、athtrtbtath由（4）式從0-到0+積分得5)0( )0( hh將上三式代入（3）式得)(2)( )(2)(3)(3)()()( 210tttrtrtatrtbta23 ; 1baa5; 1ba5)0( h由（5）式從0-到0+積分得1)0(h第66頁/共93頁可以求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(3e-t-4e-2t) (t) 0)(2)( 3)( ththth當(dāng)t0,有所以ttececth221)(5)0( h1)0(h由)()123()()(2teedxxhtgttt第67頁/共93頁2.5 卷積積分卷積積分 一、信號的時域分解與卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分 1 .信號的

19、時域分解信號的時域分解f(t)f(0)f1f2f3fk02kt0f(t)t2k有始信號分解為沖激信號的疊加f（t）f f1 1(t)+f(t)+f2 2(t)+f(t)+fk k(t)+(t)+第68頁/共93頁)()()()()()(lim)() 1()()()(0000ttfdtfktkftfktUktUkftfkk)()()()()(ttfdtftf) 1()()()()2()()()()()()0()(21ktUktUkftftUtUftftUtUftfk第69頁/共93頁2 .任意任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義：(t) h(t)由時不變

20、性：由時不變性： (t -) h(t -)由齊次性：由齊次性：f ()(t -) f () h(t -)由疊加性：由疊加性：第70頁/共93頁 解： yzs(t) = f (t) * h(t)例：f (t) = e t,（-t)，h(t) = (6e-2t 1)U(t)，求yzs(t)。當(dāng)t t時，U(t -) = 0第71頁/共93頁二、卷積積分的定義卷積積分的定義 已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設(shè)的變量下進行的，為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為t 的

21、函數(shù)。)(*)()()()(thtfdthftyzs例2-16 (P36)第72頁/共93頁 求解卷積的方法可歸納為： （1）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項式函數(shù)等。 （2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。 （3）利用性質(zhì)。比較靈活。 三者常常結(jié)合起來使用。第73頁/共93頁第74頁/共93頁第75頁/共93頁第76頁/共93頁第77頁/共93頁第78頁/共93頁結(jié)論1、積分上下限是兩信號重疊部分的邊界，下限為兩信號左邊界的最大者，上限為兩信號右邊界的最小者。2、卷積后信號的時限等于兩信號時限之和。3、卷積后的起點=起點+起點 卷積后的終點=終點+終點 卷積后的寬度=寬度+寬度第79頁/共93頁練習(xí)1：U(t) U(t)練習(xí)2：計算y(t) = f(t)