廣東高考數(shù)學(xué)(理)《平面向量》

1、廣東省2015屆高考數(shù)學(xué)（理科）第一輪復(fù)習(xí)材料 配套人教版A版第五章平面向量§5.1平面向量的概念及線性運算1了解向量的實際背景2理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義；理解兩個向量共線的含義6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義此部分難度不大，但高考中與之結(jié)合的考題難度往往不低，對建立在概念基礎(chǔ)上的綜合運用及創(chuàng)新意識的考查正成為熱點1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的_(或稱模).的模記作_(2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的(3)單位向

2、量：長度等于_的向量叫做單位向量.是一個與a同向的_是一個與a_的單位向量(4)平行向量：方向_或_的_向量叫做平行向量平行向量又叫_，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：0與任一向量_(5)相等向量：長度_且方向_的向量叫做相等向量(6)相反向量：長度_且方向_的向量叫做相反向量(7)向量的表示方法：用_表示；用_表示；用_表示2向量的加法和減法(1)向量的加法三角形法則：以第一個向量a的終點A為起點作第二個向量b，則以第一個向量a的起點O為_以第二個向量b的終點B為_的向量就是a與b的_(如圖1)推廣：_.圖1圖2平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作ABCD，則

3、以A為起點的_就是a與b的和(如圖2)在圖2中，b，因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式加法的運算性質(zhì)：ab_(交換律)；(ab)c_(結(jié)合律)；a0_a.(2)向量的減法已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點O，作a，b，則_，即ab表示從向量b的終點指向向量a(被減向量)的終點的向量(如圖)3向量的數(shù)乘及其幾何意義(1)定義：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作_，它的長度與方向規(guī)定如下：_；當(dāng)>0時，a與a的方向_；當(dāng)<0時，a與a的方向_；當(dāng)0時，a_.(2)運算律：設(shè)，R，則：(a)_；()a_；(ab)_.4兩個向量共線定理向量a(a0)與b共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)

4、，使得_【自查自糾】1(1)大小方向長度(2)長度為0任意(3)1個單位長度單位向量方向相反(4)相同相反非零共線向量平行(5)相等相同(6)相等相反(7)字母有向線段坐標(biāo)2(1)起點終點和對角線baa(bc)0a(2)ab3(1)a|a|相同相反0(2)(a)aaab4ba如果a，b是兩個單位向量，則a與b一定()A相等 B平行C方向相同 D長度相等解：|a|b|1，故選D.如圖，正六邊形ABCDEF中，()A0 BC D解：，故選D.()設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|解：由題意表示與向量a和向量b同向的單位向量相等，故

5、a與b同向共線故選C.()在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，則_解：由向量加法的平行四邊形法則得2，2.故填2.如圖，已知B30°，AOB90°，點C在AB上，OCAB，用和來表示向量，則等于_解：().故填.類型一向量的基本概念下列五個命題：溫度有零上和零下之分，所以溫度是向量；向量ab，則a與b的方向必不相同；|a|b|，則ab；向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線；方向為北偏西50°的向量與方向為東偏南40°的向量一定是平行向量其中正確的是()A B C D解：溫度雖有大小卻無方向，故不是向量，錯；ab，a與b的方向可以相同，

6、錯；向量的長度可以比較大小，但向量不能比較大小，錯；正方形ABCD中與共線，但A，B，C，D四點不共線，錯；作圖易得正確故選C.【評析】(1)與向量相關(guān)的概念比較多，為了不致混淆，應(yīng)牢記各概念的內(nèi)涵與外延，緊緊抓住各概念的本質(zhì)；(2)概念是學(xué)習(xí)新理論的基礎(chǔ)，概念又衍生出公式、定理、性質(zhì)、新概念甚至新理論體系，因此應(yīng)重視對概念的學(xué)習(xí)；(3)課本上給出的概念(定義)都是非常準(zhǔn)確、簡潔的，熟記這些概念(定義)并逐步熟練應(yīng)用是學(xué)習(xí)新知識的好習(xí)慣給出下列命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若，則ab；若，則ABCD為平行四邊形；在ABCD中，一定有；若mn，np，則mp.其中不正確的個數(shù)是(

7、)A2 B3 C4 D5解：兩個向量的起點相同，終點相同，則這兩個向量相等，但兩個相等向量不一定有相同的起點和終點，故不正確；，由于a與b方向不確定，所以a，b不一定相等，故不正確；，可能有A，B，C，D在一條直線上的情況，所以不正確，正確的是.故選B.類型二向量的線性運算如圖所示，下列結(jié)論正確的是()ab；ab；ab；ab.A B C D解：由ab，知ab，正確；由ab，從而錯誤；b，故ab，正確；2bab，錯誤故正確的為，故選C.【評析】向量的加法、減法及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算，有了向量的線性運算，平面中的點、線段(直線)就可以利用向量表示，為用向量法解決幾何問題(或用幾何法解決向量問題

8、)奠定了基礎(chǔ)對于用已知向量表示未知向量的問題，找準(zhǔn)待求向量所在三角形然后利用條件進(jìn)行等量代換是關(guān)鍵，這一過程需要從“數(shù)”與“形”兩方面來把握()如圖，在ABC中，BD2DC.若a，b，則()A.abB.abC.abD.ab解：2，又aa(ba)ab.故選C.類型三向量共線的充要條件及其應(yīng)用已知A，B，C是平面內(nèi)三個不相同的點，O是平面內(nèi)任意一點，求證：向量，的終點A，B，C共線的充要條件是存在實數(shù)，使得，且1.證明：(1)先證必要性若，的終點A，B，C共線，則，存在實數(shù)m使得m，即m()，m(1m).令m，1m，則m1m1，即存在實數(shù)，使得，且1.(2)再證充分性若，且1，則(1)，()，即，

9、又BC與BA有公共點B，A，B，C三點共線綜合(1)(2)可知，原命題成立【評析】證明三點A，B，C共線，借助向量，只需證明由這三點A，B，C所組成的向量中有兩個向量共線，即證明存在一個實數(shù)，使.但證明兩條直線ABCD，除了證明存在一個實數(shù)，使外，還要說明兩直線不重合注意：本例的結(jié)論可作定理使用(1)如圖，在ABC中，P是BN上的一點，若m，則實數(shù)m的值為()A. B.C. D.解：注意到N，P，B三點共線，因此我們有mm，從而m1m.故選B.(2)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D解：(5a6b)(7a2

10、b)2a4b2(a2b)2，A，B，D三點共線故選A.(3)()已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma3b與a(2m)b共線，則實數(shù)m的值為()A1或3 B.C1或4 D3或4解：向量ma3b與a(2m)b共線，ma3b解得m1或m3.故選A.1要準(zhǔn)確理解向量的概念，須特別注意以下幾點：(1)ab，有a與b方向相同或相反兩種情形；(2)向量的模與數(shù)的絕對值有所不同，如|a|b|a±b；(3)零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行；(4)對于任意非零向量a，是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法；(5)向量平行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上

11、；(6)只要不改變向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量與a相等2向量具有大小和方向兩個要素，既能像實數(shù)一樣進(jìn)行某些運算，又有直觀的幾何意義，是數(shù)與形的完美結(jié)合向量是一個幾何量，因此，在研究向量的有關(guān)問題時，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧3平面向量的三種線性運算的結(jié)果仍為向量，在三種線性運算中，加法是最基本、最重要的運算，減法運算與數(shù)乘運算都以加法運算為基礎(chǔ)，都可以歸結(jié)為加法運算，在學(xué)習(xí)的時候要注意它們的聯(lián)系與區(qū)別4對于兩個向量共線定理(a(a0)與b共線存在唯一實數(shù)使得ba)中條件“a0”的理解：(1)當(dāng)a0時，a與任一向量b都是共線的；(2

12、)當(dāng)a0且b0時，ba是不成立的，但a與b共線因此為了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我們要求a0.換句話說，如果不加條件“a0”，“a與b共線”是“存在唯一實數(shù)使得ba”的必要不充分條件而本節(jié)例3所講述的充要條件，其本質(zhì)與此定理是一致的，只是表達(dá)的方式不一樣而已，請仔細(xì)體會其中聯(lián)系1下列命題中正確的是()A若ab，bc，則acB若|a|b|，則ab或abC對于任意向量a，b，有|ab|ab|D對于任意向量a，b，有|a|b|ab|解：對于選項A，若b0，結(jié)論不一定成立，A錯；對于選項B，模相等方向不一定相同或相反，B錯；對于選項C，若非零向量a與b方向相反，則|ab|ab|，C錯；D正

13、確故選D.2如圖所示的方格紙中，有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則()A. B. C. D.解：如圖，取點M，由向量加法的平行四邊形法則有，故選C.3已知O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且20，那么()A. B.2C. D.2解：由D是BC邊中點可得：2，故220，A正確，故選A.4如圖，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，a, b，則()AabBabCabDab解：連接OD，CD，顯然BODCAO60°，則ACOD，且ACOD，即四邊形CAOD為菱形，故ab，故選D.5()設(shè)D，E，F(xiàn)分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且2，2，2，則與()A平

14、行且方向相反 B平行且方向相同C互相垂直 D既不平行也不垂直解：由題意得，則.故選A.6ABC中，點D在邊AB上，CD平分ACB，若a，b，|a|1，|b|2，則()A.ab B.abC.ab D.ab解：CD為ACB的角平分線，ab，ab，babab，故選B.7如圖，在ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若，則_解：由B，H，C三點共線，可令x(1x).又M是AH的中點，所以x(1x).又，所以x(1x).故填.8直角三角形ABC中，斜邊BC長為2，O是平面ABC內(nèi)一點，點P滿足()，則|_.解：如圖，取BC邊中點D，連接AD，則()，()，因此|1，故填1.9()如圖，

15、在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分別是DC和AB的中點，若a，b，試用a，b表示和.解：ababa.a(b)aab.10已知線段AB和AB外一點O，求證：(1)若M是線段AB的中點，則()；(2)若t(tR)，則(1t)t.證明：(1)如圖甲，由三角形法則可得，圖甲2 .M是AB的中點，0.于是2，故()圖乙(2)如圖乙，t，tt()tt(1t)t.11如圖所示，在ABC中，E是線段AC的中點，2BDDC，BE與AD相交于點F，試?yán)孟蛄孔C明：F是線段BE的中點證明：A，F(xiàn)，D三點共線，B，F(xiàn)，E三點共線，設(shè)，則，又×()，因此有 解之得.，即F為線段BE的中點 設(shè)A

16、1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若(R)，(R)，且2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B，則下面說法正確的是()AC可能是線段AB的中點BD可能是線段AB的中點CC，D可能同時在線段AB上DC，D不可能同時在線段AB的延長線上解：若C，D調(diào)和分割點A，B，則(R)，(R)，且2.對于選項A，若C是線段AB的中點，則0，故A選項錯誤；同理B選項錯誤；對于選項C，若C，D同時在線段AB上，則01，012，C選項錯誤；對于選項D，若C，D同時在線段AB的延長線上，則1，12，故C，D不可能同時在線段AB的延長線上，D選項正確故選D.

17、7;5.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1了解平面向量的基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件向量引入坐標(biāo)表示后，向量的工具性作用得到了質(zhì)的提升，向量運算代數(shù)化，因而在與幾何相關(guān)的考題中，向量常常作為條件的載體出現(xiàn)；而對于平面向量的基本定理及坐標(biāo)運算的考查，在近年高考中也常出現(xiàn)，如利用相關(guān)性質(zhì)和定理求與向量坐標(biāo)有關(guān)的未知量等1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使_我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組

18、_2向量的夾角(1)已知兩個_向量a和b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角(如圖)(2)向量夾角的范圍是_a與b同向時，夾角_；a與b反向時，夾角_.(3)如果向量a與b的夾角是_，我們就說a與b垂直，記作_3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示(1)平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個_的向量，叫做向量的正交分解(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得axiyj.則實數(shù)對_叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a_，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，該式叫做向量的坐標(biāo)表示與a相

19、等的向量的坐標(biāo)也為_顯然，i ， j ，0 .4平面向量的坐標(biāo)運算(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a±b_.(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則_.(3)若a(x，y)，則a_.(4)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，則ab的充要條件是_5.線段的分點坐標(biāo)設(shè)點P是線段P1P2上的一點，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)當(dāng)時，點P的坐標(biāo)(x，y).特別地：當(dāng)1時，點P為線段P1P2的中點，其坐標(biāo)為P.G(x，y)為ABC的重心，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則AB中點D的坐標(biāo)為.再由2，我們便得到了

20、三角形的重心坐標(biāo)G(，)【自查自糾】1a1e12e2基底2(1)非零(2)0°180°0°180°(3)90°ab3(1)互相垂直(2)(x，y)(x，y)(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)4(1)(x1±x2，y1±y2)(2)(x2x1，y2y1)(3)(x，y)(4)x1y2x2y10()已知點A(1，3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()A. B.C. D.解：(3，4)，|5，.故選A.如果e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么以下表述正確的是()A若實數(shù)1，2使1e12e20，則120B空間

21、任一向量a可以表示為a1e12e2，這里1，2是實數(shù)C對實數(shù)1，2，1e12e2不一定在平面內(nèi)D對平面內(nèi)的任一向量a，使a1e12e2的實數(shù)1，2有無數(shù)對解：依平面向量基本定理，選項B，C，D都錯，只有A的表述是正確的，故選A.已知點A(1，1)，點B(2，y)，向量a(1，2)，若a，則實數(shù)y的值為()A5 B6 C7 D8解：(3，y1)，a(1，2)，a，則2×31×(y1)，解得y7，故選C.()已知向量a(1，3)，b(2，1)，c(3，2)若向量c與向量kab共線，則實數(shù)k_.解：kabk(1，3)(2，1)(k2，3k1)，因為向量c與向量kab共線，所以2(

22、k2)3(3k1)0，解得k1.故填1.()已知O是坐標(biāo)原點，A(2，1)，B(4，8)，且30，則向量的坐標(biāo)是_解：設(shè)C(x，y)，由題意有(6，9)3(x4，y8)(0，0)，解得x2，y5，即(2，5)，故填(2，5)類型一向量共線充要條件的坐標(biāo)表示(1)()已知向量a(1，2)，b(2，0)，若向量ab與向量c(1，2)共線，則實數(shù)等于()A2 B C1 D解：ab(2，2)，向量ab與向量c(1，2)共線，(2)×(2)2×10，1，故選C.(2)()已知向量a(3，1)，b(1，m)，若2ab與a3b共線，則m _解：2ab (5，2m)，a3b(6，13m)，

23、由2ab與a3b共線得5(13m)6(2m)0，解得m.故填 .【評析】此類題目在近幾年高考中多次出現(xiàn)，既考查了向量的線性運算及向量的坐標(biāo)表示，又考查了學(xué)生對向量共線充要條件的理解及計算能力解決此類題目，我們只需要牢記向量共線充要條件的坐標(biāo)表示形式：a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，abx1y2x2y10即可(1)已知向量a(1，2)，b(1，0)，c(3，4)若為實數(shù)，(ab)c，則()A. B. C.1 D.2解：因為ab(1，2)(1，0)(1，2)，又因為(ab)c，所以(1)×42×30，解得.故選B.(2)設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2，1)，且a與

24、b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_解：由于a與b的方向相反，且b(2，1)，不妨設(shè)a(2m，m)，m0，則由|a|2可得2，解得m2，故填(4，2)類型二平面向量基本定理的應(yīng)用在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為a，b，則()Aab BabCab Dab解：設(shè)，.而bb，.因此，b.由于a，b不共線，因此由平面向量的基本定理有 解之得故ab.故選B.【評析】結(jié)合平面向量基本定理我們發(fā)現(xiàn)，一個平面向量方程相當(dāng)于兩個普通方程若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2使a1e12e2，簡單地說，就是平面內(nèi)任一向量均可由該平面

25、內(nèi)的兩個不共線向量線性表示，且表示方式惟一特別地，當(dāng)a0即1e12e20時，必有120.此題利用的是“基底方式”，即用a，b作為基底，選擇兩個參數(shù)，然后將同一向量作兩種表示，由平面向量基本定理知系數(shù)對應(yīng)相等，即可得關(guān)于，的方程組應(yīng)注意這種題型及相應(yīng)的解法，它在近幾年各地模擬題中頻繁出現(xiàn)()向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab(，R)，則_.解：設(shè)i，j分別為水平方向 和豎直方向上的正方向單位向量，則aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，即i3j(6)i(2)j，根據(jù)平面向量基本定理得 解得 所以4.故填4.類型三求向量的坐標(biāo)設(shè)向量a(1，3)，b(2，4)

26、，c(1，2)，若表示向量4a，4b2c，2(ac)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A(2，6) B(2，6)C(2，6) D(2，6)解：設(shè)d(x，y)因為4a(4，12)，4b2c(6，20)，2(ac)(4，2)，依題意，有4a(4b2c)2(ac)d0，解得x2，y6.故選D.【評析】將三角形法則推廣后，便可得：在如圖所示的n邊形A0A1An中，有，0.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，(2，4)，(1，3)，則()A(2，4) B(3，5)C(3，5) D(2，4)解：如圖，()2(1，3)2(2，4)(3，5)故選C.1對平面向量基本定理的理解(1)平面向

27、量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)(2)平面向量的一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組(3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a1e12e2(1，2R，e1，e2為同一平面內(nèi)不共線的兩個向量)的形式，它是向量線性運算知識的延伸(4)如果e1，e2是同一平面內(nèi)的一組基底，且1e12e20(1，2R)，那么120.2向量的坐標(biāo)表示向量用坐標(biāo)表示后，向量的計算和證明都?xì)w結(jié)為數(shù)的運算，這使問題大大簡化一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點為原點時，向量的坐標(biāo)才等于其終點的坐標(biāo)

28、兩個向量相等，當(dāng)且僅當(dāng)其坐標(biāo)相同1下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()Aa(1，2)，b(0，0) Ba(1，2)，b(3，5)Ca(3，2)，b(9，6) Da， b(3，2)解：在平面內(nèi)，根據(jù)向量基底的定義知，兩個向量不共線即可作為基底故選B.2()已知向量a(1，m)，b(m，2)，若ab，則實數(shù)m等于()A B.C或 D0解：由ab知1×2m20，m±.故選C.3已知平面向量a(x，1)，b(x，x2)，x為實數(shù)，則向量ab()A平行于x軸B平行于第一、三象限的角平分線C平行于y軸D平行于第二、四象限的角平分線解：ab(0，1x2)，1x

29、21，可知C正確故選C.4()在ABC中，已知a，b，c分別為A，B，C所對的邊，S為ABC的面積若向量p(4，a2b2c2)，q(，S)，且滿足pq，則C()A. B. C. D.解：由pq得4S(a2b2c2)2absinC，結(jié)合余弦定理得tanC，C.故選B.5()在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，點C在第二象限內(nèi)，AOC，且|OC|2，若，則，的值是()A.，1 B1, C1, D，1解：因為AOC，所以，.依題意，(，)，|OC|cos，|OC|sin1.故選D.6定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面說法

30、錯誤的是()A若a與b共線，則ab0BabbaC對任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(a·b)2|a|2|b|2解：若a與b共線，則有ab0，故A正確；因為bapnqm，而abmqnp，所以abba，故B錯誤，易驗證C，D皆正確故選B.7已知點A(2，1)，B(0，2)，C(2，1)，O(0，0)給出下列結(jié)論：； ； 2.其中正確的結(jié)論是_解：(2，1)，(2，1) ，正確；·(2，1)·(2，1)30，錯誤；(2，1)(2，1)(0，2)，正確；(4，0)，2(0，2)2(2，1)(4，0)，正確故填.8()設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADA

31、B，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_解：()，12.故填.9設(shè)a(6，3a)，b(2，x22x)，如果存在實數(shù)x使ab，求實數(shù)a的取值范圍解：由ab得6(x22x)3a×20，即x22xa0，根據(jù)題意，該方程有實數(shù)解，44a0，即a1.所以a的取值范圍為a|a110已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t，試問：(1)當(dāng)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第三象限內(nèi)？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由解：(1)依題意，得(3，3)，t(13t，23t)，即P(13t，23t)若P在x軸上，則23t0，t；若P在y

32、軸上，則13t0，t；若P在第三象限內(nèi)，則t.(2)(1，2)，(33t，33t)，若OABP是平行四邊形，則，此方程無解故四邊形OABP不可能成為平行四邊形11如圖所示，已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，試?yán)孟蛄糠椒ㄇ驛C和OB交點P的坐標(biāo)解：設(shè)tt(4，4)(4t，4t)，(4t4，4t)，(2，6)(4，0)(2，6)與共線，(4t4)×64t×(2)0，得t.(4t，4t)(3，3)，即P點坐標(biāo)為(3，3) ()在平面直角坐標(biāo)系中，點O(0，0)，P(6，8)，將向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得向量，則點Q的坐標(biāo)是()A(7，) B(7，)C(4，2)

33、 D(4，2)解法一：將向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得向量，則向量與向量的模相等，夾角為，設(shè)(x，y)，由·6x8y50，10，解得x7，y，或x，y7，結(jié)合圖形知Q點在第三象限則A正確解法二：設(shè)(10cos，10sin) cos，sin，則(7，)故選A.§5.3平面向量的數(shù)量積1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系從近幾年高考試題來看，有關(guān)平面向量數(shù)量積的問題一直是高考的熱點，主要考查平面向量數(shù)量積的運算、幾何意

34、義、模與夾角、垂直問題等常與函數(shù)、三角、解析幾何等綜合在一起命題1數(shù)量積的概念已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量_叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作 ，其中是a與b的夾角，cos叫向量b在a方向上的 ，即.a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于_2數(shù)量積的運算律及常用結(jié)論(1)數(shù)量積的運算律交換律：_；數(shù)乘結(jié)合律：_；分配律：_(2)常用結(jié)論(a±b)2_；(ab)·(ab)_； a2b20_；|_.3數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則 e·a_. ab_.當(dāng)a與b同向時，a·b_；當(dāng)a與b反

35、向時，a·b_.特別地，a·a_或_. cos_._.4數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·b_；a2_；_. ab_._.【自查自糾】1.cosa·b投影a的長度與b在a的方向上的投影cos的乘積2(1)a·bb·a(a)·b(a·b)a·(b)(ab)·ca·cb·c(2)a2±2a·bb2a2b2a0且b03|a|cosa·b0|a|b|a|b|a|2|a|b|4x1x2y1y2xyx1x2y1y20()已知向量a(

36、1，1)，b(2，x)若a·b1，則x()A1 B C D1解：a·b1×2(1)×x2x1，x1.故選D.()若·20，則ABC必定是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形解：·20·()0·0.則ABC必定是直角三角形故選B.()若向量a，b滿足|a|b|ab|1，則a·b的值為()A B C1 D1解：|a|b|ab|1，|ab|2(ab)2a22a·bb2|a|22a·b|b|21，2a·b1，故a·b.故選A.若非零向量a，b滿足，(

37、2ab)·b0，則a與b的夾角為_解：(2ab)·b0，2cosb20.由可得cos.故填120°.()已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·_解：設(shè)a，b，則2.且a·b0.··(ba)b2a24×42.故填2.類型一數(shù)量積的定義及幾何意義(1)若a，b，c均為非零向量，則下列說法正確的是_(填寫序號即可)a·b±·ab；aba·b0；a·cb·cab；(a·b)·ca·(b·c)解：a·bc

38、os，為a，b的夾角，則cos±1，正確；顯然正確；錯誤，如ab，ac，則a·cb·c0，但ab；錯誤，因為數(shù)量積的運算結(jié)果是一個數(shù)，即等式左邊為c的倍數(shù)，等式右邊為a的倍數(shù)故填.(2)()ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若2，且，則向量在向量方向上的投影為()A B C3 D解：由已知可以知道，ABC的外接圓的圓心在線段BC的中點O處，因此ABC是直角三角形且A，又因為，C，B，AB，AC1，故在方向上的投影為cos.故選A.【評析】數(shù)量積a·b|a|b|cosx1x2y1y2(其中兩向量夾角為，a(x1，y1)，b(x2，y2)其幾何意義是：a&

39、#183;b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積在理解數(shù)量積與投影概念的基礎(chǔ)上，利用二者的關(guān)系解題(1)()用向量證明：對任意實數(shù)x1，x2，y1，y2有x1x2y1y2·.證明：設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夾角為，則，x1x2y1y2a·b，又a·bcos·.x1x2y1y2·.(2)()已知點A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為 ()A BC D解：(2，1)，(5，5)，由向量數(shù)量積的幾何意義知向量在方向上的投影為|cos，.故選A.類型二數(shù)量積的基本運

40、算已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，則實數(shù)k的值為_解：因為a·b(e12e2)·(ke1e2)ke(12k)(e1·e2)2e，且|e1|e2|1，e1·e2，所以k(12k)·20，解得k.故填.【評析】實數(shù)與數(shù)量積的運算雖有諸多相似之處，但應(yīng)明確二者的區(qū)別，如a·b0a或b為0，a·ba·cbc，(a·b)·ca·(b·c)等已知|a|6，|b|4，a與b的夾角60°，則(a2b)·(a3b)_.

41、解：(a2b)·(a3b)a·aa·b6b·b|a|2|a|b|cos6|b|2626×4×cos60°6×4272.故填72.類型三用數(shù)量積表示兩個平面向量的垂直關(guān)系(1)()已知向量a(x1，2)，b(2，1)，則ab的充要條件是()Ax Bx1 Cx5 Dx0解：由向量垂直的充要條件得2(x1)20，所以x0.故選D.(2)()已知兩個非零向量a，b滿足，則下面結(jié)論正確的是()Aab BabC. Dabab解法一：，a22a·bb2a22a·bb2，得a·b0，ab.解法二：ab

42、，ab分別是以a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線，平行四邊形的對角線相等該平行四邊形為矩形，ab.故選B.【評析】兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，即：a(x1，y1)，b(x2，y2)，則aba·b0x1x2y1y20.應(yīng)認(rèn)識到此充要條件對含零向量在內(nèi)的所有向量均成立，因為我們又可視零向量與任意向量垂直(1)()設(shè)向量a(1，2m)，b(m1，1)，c(2，m)，若(ac)b，則_.解：ac(3，3m)，(ac)·b3(m1)3m0m.故填.(2)()已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，則()A4 B3 C2 D1解：易知mn(23，3)，

43、mn(1，1)，(mn)(mn)，(mn)·(mn)0，2330，解得3.故選B.類型四向量的夾角與模(1)已知|a|b|2，(a2b)·(ab)2，則a與b的夾角為_解：設(shè)a與b的夾角為，由(a2b)·(ab)2得|a|2a·b2|b|242×2×cos2×42，解得cos，.故填.(2)()平面向量a與b的夾角為60°，a(2，0)，1，則()A. B. C3 D7解：a22a·bb27，故.故選B.【評析】由向量數(shù)量積的定義a·b|a|b|cos(為a，b的夾角)可知，數(shù)量積的值、模的乘積

44、、夾角知二可求一，再考慮到數(shù)量積還可以用坐標(biāo)表示，因此又可以借助坐標(biāo)進(jìn)行運算當(dāng)然，無論怎樣變化，其本質(zhì)都是對數(shù)量積定義的考查求解夾角與模的題目在近年高考中出現(xiàn)的頻率很高，應(yīng)熟練掌握其解法(1)若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則和的夾角的取值范圍是_解：由題意得，|sin，|1，|1，sin.又(0，)，.故填.(2)若a，b，c均為單位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B1 C. D2解：|abc|，由于a·b0，a，b，c為單位向量，所以上式，又由于(ac)·(bc)0，得(ab

45、)·cc21，所以|abc|1，故選B.類型五幾何圖形中向量的數(shù)量積(1)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)2，3，則·_.解法一：由題知，D為BC的中點，E為CA的三等分點，以D為原點，以BC所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，可得A，D(0，0)，B，E，故，所以·×.解法二：由··求解故填.(2)()已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點則·的值為_；·的最大值為_解：·()··1.·()··.當(dāng)E與B重合時該

46、式取最大值1.故填1；1.(3)()在ABC中，M是BC的中點，AM3，BC10，則·_解法一：·()·()2·()·2·92516.解法二：因為2，兩式分別平方、相減得4·4224×910064，故·16.故填16.【評析】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積及平面幾何知識，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實有其合理之處解決此類問題的常用方法是：利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；將條件通過向量的線性運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用求解(較難)；建系，借助向量的坐標(biāo)運算，此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果 (1)在正三角形ABC中，D是BC上的點，若AB3，BD1，則·_.解：如圖所示，··()93×cos120°，故填. (2)()如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·，則·的值是_解法一：