測(cè)量萬(wàn)有引力常數(shù)G之自由落體法

1、測(cè)量萬(wàn)有引力常數(shù)G之自由落體法摘要：引力常數(shù)G是一種最基本的物理常量，雖然經(jīng)過(guò)了兩個(gè)多世紀(jì)科學(xué)家的努力實(shí)踐，其仍是測(cè)量精度最差的基本物理常量。本著和天體物理、理論物理等緊密相關(guān)的原則，其測(cè)量的準(zhǔn)確性甚至在物理實(shí)驗(yàn)都占據(jù)了重要的地位。通過(guò)說(shuō)明測(cè)量萬(wàn)有引力常數(shù)的歷史，介紹實(shí)驗(yàn)室測(cè)量的引力常數(shù)，本實(shí)驗(yàn)利用高精度絕對(duì)重力儀測(cè)量擾動(dòng)質(zhì)量所產(chǎn)生的重力變化，再運(yùn)用具有強(qiáng)大可重復(fù)性和大量重復(fù)觀測(cè)的自由落體方法，整個(gè)實(shí)驗(yàn)要嚴(yán)格控制誤差，測(cè)得了精度較高的引力常數(shù)是 (6.6665±0.0554)×/(kg·) 關(guān)鍵詞：絕對(duì)重力儀；引力常數(shù)G；自由落體；重力目 錄1 測(cè)量萬(wàn)有引力常數(shù)G

2、的過(guò)去與現(xiàn)在11.1 測(cè)G 的過(guò)去11.2 測(cè)G 的現(xiàn)在12 簡(jiǎn)述測(cè)量引力常數(shù)的實(shí)驗(yàn)室方法23 用自由落體法測(cè)量G33.1 自由落體法原理33.2 測(cè)量53.2.1 擾動(dòng)質(zhì)量形狀及位置的確定53.2.2 重力加速度的測(cè)量53.3 計(jì)算過(guò)程63.4 計(jì)算結(jié)果63.5 誤差分析74 實(shí)驗(yàn)結(jié)論85 結(jié)束語(yǔ)8參考文獻(xiàn)91 測(cè)量萬(wàn)有引力常數(shù)G的過(guò)去與現(xiàn)在1.1 測(cè)G 的過(guò)去 天體物理學(xué)、理論物理等緊密關(guān)注一個(gè)基本的物理常數(shù)，即萬(wàn)有引力常數(shù)G。它測(cè)量的準(zhǔn)確性非常重要，明確了引力相互作用對(duì)天體物理學(xué)和理論物理精確的測(cè)量具有重要的意義。兩個(gè)多世紀(jì)以前,科學(xué)家是識(shí)別和測(cè)量引力常數(shù)G，隨著時(shí)間的推移和社會(huì)的進(jìn)步，

3、盡管有些許進(jìn)步，但G仍是測(cè)量精度最差的基本物理常量。牛頓猜想兩個(gè)測(cè)試方法：一個(gè)是利用引力公式求G值，前提是要測(cè)出兩物體間的引力；另一個(gè)是使用附近山里的單擺偏角測(cè)量G值。因?yàn)楫?dāng)時(shí)條件有限,這兩個(gè)猜想都沒(méi)有實(shí)踐。直到后來(lái)，天文學(xué)家馬斯基林測(cè)引力常數(shù)是使用了山脈吸引物體的方法，但其結(jié)果誤差很大而且不是很穩(wěn)定。這是因?yàn)樯胶茈y準(zhǔn)確確定其質(zhì)量。英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許(Cavendish)首次對(duì)G值做出了精確測(cè)量，但他最初的想法是計(jì)劃明確地球的質(zhì)量，他測(cè)出的質(zhì)量值約為6.6×T，水的密度約為其的，G的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值為(6.754±0.041)×/(kg·)，這是用扭稱發(fā)測(cè)出

4、的結(jié)果。隨后部分人認(rèn)為，萬(wàn)有引力常數(shù)G有可能是距離的函數(shù)，在小于1000 km的距離范圍內(nèi)。引力常數(shù)G的測(cè)量常用的有地球物理測(cè)量、實(shí)驗(yàn)室測(cè)量和空間測(cè)量三類構(gòu)成?？臻g測(cè)量方法面臨著許多新的技術(shù)問(wèn)題，尚在探索中。測(cè)量G通過(guò)測(cè)量重力的變化，是地球物理學(xué)的主要方法。雖然引力明顯，但低于扭力天平實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)室測(cè)量高分辨G值的主要手段，常用的工具是一個(gè)精密扭力天平。直接傾斜法、循環(huán)法和共振法是扭秤測(cè)量萬(wàn)有引力常數(shù)的幾種方法。扭秤周期法是一種運(yùn)用最多的理想的測(cè)量方法。扭秤裝置雖然無(wú)法進(jìn)行重復(fù)測(cè)量、測(cè)試幾何形狀，但是外部引力的干擾和噪聲卻可以有效地被消除，但還是導(dǎo)致了許多實(shí)驗(yàn)誤差上的影響因素。1.2 測(cè)

5、G 的現(xiàn)在Boer等于1987年通過(guò)扭秤法測(cè)得的萬(wàn)有引力常數(shù)G值為(6.667±0.0007)×/(kg·)。1995年，Walesch 等利用鐘擺共鳴法測(cè)得G為(6.6719±0.0008)×/(kg·)。1998年，Schumacher等利用改進(jìn)過(guò)的實(shí)驗(yàn)，得到了新的結(jié)果 (6.6637±0.0004 ±0.0044)×/(kg·)。Fitzgerald和Arms- trong以及Michaelis分別利用扭秤法在1995年測(cè)得G為(6.6656± 0.00063)×/(k

6、g·)和 (6.7154±0.00055)×/(kg·)。Schurr 在1998年測(cè)得萬(wàn)有引力常數(shù)G為(6.6754±0.0015)×/(kg·)。羅俊使用長(zhǎng)周期，高Q值扭力天平在一個(gè)恒定的溫度、振動(dòng)隔離、以及外部的引力干擾較小的環(huán)境中，嚴(yán)格控制諸多影響因素，最后測(cè)出的G值的相對(duì)精度有105 ppm （1ppm=1×），其值為(6.6699±0.0007)×/(kg·) 。近年來(lái), Gundlach、Merkowitz和Quinn等、Schlamminger 等以及Armstrong

7、和Fitzgerald先后測(cè)量出相對(duì)測(cè)量精度高于50 ppm的G值。2005年，在 HUST-99工作中，結(jié)果進(jìn)行了一次修正，其原因是因?yàn)橘|(zhì)量密度的不均勻性，修正結(jié)果為(6.6723±0.0009)×/(kg·)，這是Hu等人最早發(fā)現(xiàn)的。 2 簡(jiǎn)述測(cè)量引力常數(shù)的實(shí)驗(yàn)室方法由上文可知，地球物理方法、空間以及實(shí)驗(yàn)室測(cè)量為引力常數(shù)G的主要測(cè)量方法。地球物理方法是使用大型自然對(duì)象(如形狀規(guī)則的礦山等)以吸引質(zhì)量,這種方法的優(yōu)勢(shì)是引力效應(yīng)是顯著的。因?yàn)槲|(zhì)量規(guī)則物體大，故其吸引質(zhì)量、密度和分布的規(guī)模不能精確測(cè)量，從而精度低。地面實(shí)驗(yàn)室出現(xiàn)了兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是易受到地面振動(dòng)噪

8、聲的影響；第二個(gè)是地面實(shí)驗(yàn)室易受到背景引力場(chǎng)的影響。為了有效避免這兩個(gè)問(wèn)題，空間測(cè)量被投入大量期望。但依現(xiàn)狀來(lái)看，空間測(cè)量方法面臨許多新的技術(shù)挑戰(zhàn)，尚在探索。 精密扭秤比地球物理方法優(yōu)越，表現(xiàn)在它能夠使吸引質(zhì)量與即將檢測(cè)的檢驗(yàn)質(zhì)量間的相互作用的萬(wàn)有引力放置在水平面垂直的方向地球重力場(chǎng)。這使得實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，大大降低了重力和波動(dòng)影響。進(jìn)而精密扭秤成為常見(jiàn)的實(shí)驗(yàn)室測(cè)量工具，主要的測(cè)量方法：傾斜法、共振法、補(bǔ)償法和自由落體，下面的討論在自由落體測(cè)量G上進(jìn)行。3 用自由落體法測(cè)量G自由落體測(cè)G是一種測(cè)量精度低于扭秤的方法，而扭秤測(cè)定引力常數(shù)G是容易受到外界干擾的影響，但是二者系統(tǒng)誤差有差異，所以可以充分利用

9、扭秤的方法的結(jié)果，以測(cè)量引力常數(shù)G。在施瓦茨實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，從不同的區(qū)域和不同的時(shí)間上來(lái)使用絕對(duì)重力儀，測(cè)量萬(wàn)有引力常數(shù)G，從而提高其準(zhǔn)確性。3.1 自由落體法原理重力加速度g與位移z對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為 （1）（1）式的解為：Z（t）= （2）為初始位移，為初始速度。假若與重力梯度的影響有關(guān)，重力加速度g與位移z對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ：+z (3) 其中式中為梯度。絕對(duì)重力儀的理論計(jì)算公式是Z（t）= (4)(4)式是(3)式的解，測(cè)定出位移Z（t），該位移是自由落體質(zhì)量在時(shí)間t上所對(duì)應(yīng)的，再用最小二乘法解得局部重力加速度和擾動(dòng)重力加速度之和。 若考慮到擾動(dòng)質(zhì)量，則 (3)式變?yōu)槎A常微

10、分方程： + z+ P(z, G) （5）P(z, G) 為擾動(dòng)加速度，由上式解得不同時(shí)間t對(duì)應(yīng)不同位移z(t)，重力加速度 作用的結(jié)果就是此時(shí)的位移時(shí)間數(shù)據(jù)對(duì)。（6）式可求得擾動(dòng)加速度: P(z, G)= (6)為落體質(zhì)量， 為落體密度，為擾動(dòng)質(zhì)量密度， 為落體體積，為擾動(dòng)質(zhì)量體積，G為萬(wàn)有引力常數(shù)。如果擾動(dòng)質(zhì)量和落體質(zhì)量都是圓柱體，且前者為空心的，則在柱坐標(biāo)下則有：P(z,G)= （7）假定值給定的前提下，落體的上下兩個(gè)位置放置的擾動(dòng)質(zhì)量所得到的差值，就是此時(shí)的理論值。絕對(duì)重力儀測(cè)得實(shí)測(cè)，又G與g是線性關(guān)系，則由（8）式可得實(shí)測(cè)的精確的G值： （8）為什么不使用一個(gè)位置處重力值而要使用上下

11、兩個(gè)不等處的引力差異值呢？一是因?yàn)闇y(cè)量信噪比由此提升，二是因?yàn)橥饨缬绊懣梢栽诙痰臅r(shí)間內(nèi)消除。測(cè)量原理圖如下圖1所示。 圖1 測(cè)量原理圖3.2 測(cè)量3.2.1 擾動(dòng)質(zhì)量形狀及位置的確定空心圓環(huán)形用來(lái)提高對(duì)稱性。擾動(dòng)質(zhì)量的設(shè)計(jì)就用這種樣式，絕對(duì)重力儀可以放置在空心部分。這樣設(shè)計(jì)形狀是根據(jù)相等的高度和直徑的原理，因?yàn)?，同樣質(zhì)量的前提下，當(dāng)幾乎相等的高度和直徑，生成最大擾動(dòng)加速度。擾動(dòng)質(zhì)量的材料選擇鉛，一是由于鉛的密度大，二是由于金屬如鉛、鎢相比更經(jīng)濟(jì)。在實(shí)驗(yàn)前測(cè)量鉛塊的質(zhì)量、密度、形狀以及大小的量。在同一時(shí)間，確定使用非磁性的材料。重力儀擾動(dòng)加速度計(jì)算表明，有兩個(gè)極端值（如圖2所示)，鉛塊處于這兩個(gè)

12、值時(shí)，擾動(dòng)重力差最大。 圖2高度的變化對(duì)擾動(dòng)重力加速度影響的走勢(shì)圖3.2.2 重力加速度的測(cè)量在實(shí)驗(yàn)進(jìn)行時(shí)，為了進(jìn)行校正，就得用重力儀測(cè)定相對(duì)重力。擾動(dòng)質(zhì)量重力值的測(cè)量，必須測(cè)量其在最佳位置的上部和下部時(shí)的值，并利用FG5絕對(duì)重力儀。重復(fù)測(cè)量一定的時(shí)間，可以通過(guò)以下方式獲得一定數(shù)量的重力值。此實(shí)驗(yàn)共進(jìn)行了兩次測(cè)量，第一次測(cè)量進(jìn)行了12h 20min，總計(jì)有3800次落體，共測(cè)得38個(gè)重力數(shù)據(jù)(如圖3(a)。第二次測(cè)量進(jìn)行了26h 50min，共計(jì)有3780次落體，共測(cè)得54個(gè)重力數(shù)據(jù)(如圖3(b)。 圖3 實(shí)測(cè)重力數(shù)據(jù)3.3 計(jì)算過(guò)程（i）因?yàn)镕G5重力儀只能測(cè)量絕對(duì)重力值，所以要修改儀表的測(cè)

13、量軟件。要得到微分方程(5)式的解，就要先明確落體質(zhì)量初始位移、速度以及初始和結(jié)束時(shí)間。 （ii）根據(jù)(5)式，采用四階Runge-Kutta法解二階常微分方程，從而得到不同時(shí)間所對(duì)應(yīng)的位移。為了獲得一組位移時(shí)間數(shù)據(jù)對(duì)的理論值，重力儀記錄了落體質(zhì)量自由下落時(shí)的150個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)。因?yàn)橄侣溥^(guò)程中位移的變化，所以每個(gè)位移均要利用(2)式進(jìn)行數(shù)值積分。 （iii）理論重力加速度的計(jì)算，可以由(3)式所得的位移時(shí)間數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)合(4)式的最小二乘法計(jì)算求得。在給定G值條件下，擾動(dòng)重力差的理論值是擾動(dòng)質(zhì)量分別置于上下最佳位置時(shí)的重力差值。 （iv）FG5測(cè)得的絕對(duì)重力值的改正要用重力儀記錄的相對(duì)重力值來(lái)進(jìn)行，消

14、除極地運(yùn)動(dòng)、地球潮汐、氣壓等影響。采用三段重力差分法，實(shí)測(cè)重力數(shù)據(jù)。擾動(dòng)重力差測(cè)量值需要使用正確的數(shù)據(jù)。 （v）計(jì)算實(shí)測(cè)萬(wàn)有引力常數(shù)G可用關(guān)系式：3.4 計(jì)算結(jié)果在第一次測(cè)量中，其特征在于，一組的重力差大于兩倍，因錯(cuò)誤而丟棄，并最終為18套重力差，圖4所示的（a）中的引力常數(shù)G平均值計(jì)算，可以通過(guò)以下方式獲得6.6771×/(kg·)在第二次測(cè)量，丟棄7個(gè)重力差誤差較大的組，20個(gè)組的重力差，通過(guò)以下計(jì)算方式獲得引力常數(shù)G的值，如圖4（b）所示，其平均值6.6558×/(kg·)。 兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中得到的最終值6.6665×/(kg·)圖4

15、 實(shí)測(cè)G的結(jié)果3.5 誤差分析影響G值的誤差主要由重力測(cè)量誤差和理論計(jì)算誤差兩部分構(gòu)成。FG5重力儀誤差、干涉條紋的選擇對(duì)結(jié)果的影響以及對(duì)測(cè)量結(jié)果等的外部干擾構(gòu)成了重力測(cè)量誤差。該儀器的偏差主要是由垂直校正的激光束、干涉儀相位偏差以及時(shí)鐘頻率偏差產(chǎn)生。干涉激光控制反饋電路也由開(kāi)始的落體聲諧振脈沖進(jìn)一步刺激導(dǎo)致干涉儀系統(tǒng)偏差，除去儀器本身的偏差造成的，外部干擾將產(chǎn)生一定的影響。在FG5重力儀內(nèi)的電動(dòng)馬達(dá)下落時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)磁場(chǎng)信號(hào)的干擾，置于下部時(shí)，就會(huì)屏蔽磁場(chǎng)擾動(dòng)質(zhì)量的導(dǎo)通特性，當(dāng)置于上部時(shí)，該屏蔽消失，因此，會(huì)產(chǎn)生不同的系統(tǒng)誤差。擾動(dòng)質(zhì)量的測(cè)量和定位誤差、不含有擾動(dòng)質(zhì)量實(shí)驗(yàn)點(diǎn)之前背景場(chǎng)的重力、有

16、關(guān)參數(shù)的計(jì)算誤差和重力梯度值測(cè)量誤差共同導(dǎo)致理論計(jì)算誤差。重力測(cè)量結(jié)果之間的不同是由選擇開(kāi)始干涉條紋的差異所導(dǎo)致的。在實(shí)際測(cè)量中，在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中重力測(cè)量偏差是0.451×m/，從而使得實(shí)測(cè)G的偏差是0.0531× /(kg·)；g? )；第二個(gè)實(shí)驗(yàn)重力測(cè)量偏差是0.559×m/，G的偏差是0.0570×m/擾動(dòng)質(zhì)量的厚度、密度測(cè)量偏差、定位偏差、測(cè)量的內(nèi)徑和外徑偏差、擾動(dòng)質(zhì)量和落體質(zhì)量的軸線偏差所造成的偏差統(tǒng)稱擾動(dòng)質(zhì)量的測(cè)量和定位偏差。其中，擾動(dòng)質(zhì)量的定位偏差對(duì)結(jié)果的干擾占主要地位。 表1所列兩次實(shí)驗(yàn)的各項(xiàng)誤差及其產(chǎn)生的G值的誤差，誤差平方和的

17、平方根為總誤差，可通過(guò)以下方式獲得。由表一計(jì)算得平均總誤差是0.0554×/(kg·)，相對(duì)誤差是8310×，并可以得出，重力測(cè)量產(chǎn)生的誤差占總誤差的比重大。 此外，在觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)方面可以通過(guò)以下兩個(gè)方面來(lái)提高相對(duì)測(cè)量精度：一個(gè)方面是增加重力測(cè)量的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，若將重力差數(shù)據(jù)增加到2500組左右，那么重力測(cè)量誤差就會(huì)減小一個(gè)數(shù)量級(jí)；另一個(gè)方面是增加擾動(dòng)重力差。但只有在觀察和實(shí)驗(yàn)方面，來(lái)提高準(zhǔn)確度是有限的，考慮到現(xiàn)有的重力儀的精度和分辨率，G的測(cè)量精度可提高至約5倍。改善的絕對(duì)重力儀的精度和觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)量的G的測(cè)量精度可能會(huì)增加至100ppm表1 誤差統(tǒng)計(jì)4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論根

18、據(jù)以上兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，可測(cè)得G為(6.6665±0.0554)×/(kg·)本實(shí)驗(yàn)用FG5絕對(duì)重力儀，為了提高測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性，經(jīng)過(guò)了大量的重復(fù)精確測(cè)量。重力儀測(cè)量精度和分辨率也有望改善，需要嚴(yán)格控制實(shí)際測(cè)量中的眾多偏差。運(yùn)用自由落體的方法，為G的精確測(cè)量奠定了基礎(chǔ)。 5 結(jié)束語(yǔ)長(zhǎng)期以來(lái)，精確測(cè)量引力常數(shù)G以及深入研究引力基本特性是物理學(xué)最基礎(chǔ)的研究領(lǐng)域之一。就測(cè)G而言，G測(cè)量的準(zhǔn)確性對(duì)引力相互作用性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，甚至對(duì)地球物理學(xué)、天體物理等都具有重要意義。因此，G的測(cè)量過(guò)程是人們?nèi)?、系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)和研究各種實(shí)驗(yàn)工具的系統(tǒng)誤差過(guò)程。目前，引力常數(shù)G的實(shí)驗(yàn)精度仍是所有基本物理常

19、數(shù)中最差的，可能存在的原因是不同測(cè)G的方法中存在著較大的誤差。我們就應(yīng)該用多種方法來(lái)測(cè)量。這樣實(shí)驗(yàn)的動(dòng)機(jī)是在同一實(shí)驗(yàn)室采用多種不同方法進(jìn)行G的精確測(cè)量，尋找多種方法可能存在的誤差，并期待得到相同的G值。參考文獻(xiàn)1 Cavendish H. Experiments to determine the density of the Earth. Philos Trans Roy Soc Lon,1798, 88: 4695262 Boer H,Haars H,Michaelis W. A new experiment for the determination of the Newtonian gr

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