萬有引力與航天綜合知識點(diǎn)

1、1 21 2萬有引力與航天【基礎(chǔ)梳理】提示：橢圓 一個焦點(diǎn) 面積 半長軸 公轉(zhuǎn)周期 質(zhì)量 m 和 m 的乘積 它們之間距離m mr 的二次方 G 質(zhì)量分布均勻r2GMRgR【自我診斷】判一判(1) 所有物體之間都存在萬有引力( )(2) 地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心( )(3) 兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大( ) (4)第一宇宙速度的大小與地球質(zhì)量有關(guān)( )(5) 同步衛(wèi)星可以定點(diǎn)在北京市的正上方( )(6) 同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度( )提示：(1) (2) 做一做(3)× (4) (5)×(6)(2020·吉林

2、長春高三質(zhì)檢)2016 年 2 月 11 日，美國科學(xué)家宣布探測到引力波，證實了愛因 斯坦 100 年前的預(yù)測，彌補(bǔ)了愛因斯坦廣義相對論中最后一塊缺失的“拼圖”雙星的運(yùn)動 是產(chǎn)生引力波的來源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由 a、b 兩顆星體組成，這兩顆星繞它們 連線的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動，測得 a 星的周期為 T，a、b 兩顆星的距離aa ba babbaa ba a b bb a為 l，a、b 兩顆星的軌道半徑之差為 r(a 星的軌道半徑大于 b 星的)，則( )lrAb 星的周期為 Tlr（lr）Ba 星的線速度大小為TlCa、b 兩顆星的軌道半徑之比為lrlrDa、b 兩顆

3、星的質(zhì)量之比為lr提示：選 B.a、b 兩顆星體是圍繞同一點(diǎn)繞行的雙星系統(tǒng)，故周期 T 相同，選項 A 錯誤；lr lr r lr由 r r r，r r l 得 r ，r ，所以 ，選項 C 錯誤；a 星的線速度2 2 r lr2r （lr） m r lrv ，選項 B 正確；由 m 2r m 2r ，得 ，選項 D 錯誤 T T m r lr對萬有引力定律的理解及應(yīng)用【知識提煉】天體質(zhì)量和密度的計算(1)自力更生法：利用天體表面的重力加速度 g 和天體半徑 R.Mm gR2由 G mg 得天體質(zhì)量 M .R2 GM M 3g天體密度： .V 4 4GRR33(2)借助外援法：測出衛(wèi)星繞天體做

4、勻速圓周運(yùn)動的半徑 r 和周期 T.Mm 42r 42r3由 G m 得天體的質(zhì)量為 M .r2 T2 GT2若已知天體的半徑 R，則天體的密度M M 3r3 .V 4 GT 2R3R333若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時，可認(rèn)為軌道半徑 r 等于天體半徑 R，則天體密度 ，GT2可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)行的周期 T，就可估算出中心天體的密度【典題例析】(2018·11 月浙江選考)20 世紀(jì)人類最偉大的創(chuàng)舉之一是開拓了太空的全新領(lǐng)域現(xiàn) 有一艘遠(yuǎn)離星球在太空中直線飛行的宇宙飛船，為了測量自身質(zhì)量，啟動推進(jìn)器，測出飛船 在短時間t 內(nèi)速度的改變?yōu)関，和飛船受到的推力 F(其他星球?qū)λ囊?/p>

5、力可忽略)飛船在vB.C.hh某次航行中，當(dāng)它飛近一個孤立的星球時，飛船能以速度v，在離星球的較高軌道上繞星球做 周期為 T 的勻速圓周運(yùn)動，已知星球的半徑為 R，引力常量用 G 表示則宇宙飛船和星球的 質(zhì)量分別是( )Fv v2R A. ，t G Ft v2RC. ，v GFv v3T B. ，t 2G Ft v3TD. ，v 2Gv Ft解析 根據(jù)牛頓第二定律可知 Fmam ，所以飛船質(zhì)量為 m .飛船做圓周運(yùn)t v2r Tv Mm v2動的周期 T ，得半徑為 r ，根據(jù)萬有引力提供向心力可得 G m ，得星球質(zhì)量2 r2 rv2r v3TM ，故選項 D 正確G 2G答案 D【題組過關(guān)

6、】考向 1 星球附近重力加速度的求解1宇航員王亞平在“天宮 1 號”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重 狀態(tài)下的物理現(xiàn)象若飛船質(zhì)量為 m，距地面高度為 h，地球質(zhì)量為 M，半徑為 R，引力常量 為 G，則飛船所在處的重力加速度大小為( )A0GMm （Rh）2GM （Rh）2GMD.h2Mm解析：選 B.飛船所受的萬有引力等于在該處所受的重力，即 G mg ，得 g （Rh）2GM，選項 B 正確（Rh）2考向 2 天體質(zhì)量和密度的計算2(2018·4 月浙江選考)土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”(如圖)，每 16 天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)軌道半徑約為 1.2×106 k

7、m.已知引力常量 G6.67×1011 N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為( )A5×1017 kg C7×1033 kgB5×1026 kg D4×1036 kgMm 42R 42R3解析：選 B.根據(jù)萬有引力提供向心力可知 G m ，得 M ，代入數(shù)據(jù)可得R2 T2 GT2M5×1026 kg，能估算出數(shù)量級即可mM GM(1)計算星球表面(附近)的重力加速度 g(不考慮星球自轉(zhuǎn))：mgG ，得 g .R2 R2(2)計算星球上空距離星體中心 rR h 處的重力加速度 g：mg GM.（Rh）2g （Rh）2由上述式可得

8、 .g R2(3)萬有引力與重力的關(guān)系在赤道上 F F mg，萬 向Mm即 mgG m2R；R2Mm在兩極 F mg，即 mgG ；萬 R2在一般位置，萬有引力等于 mg 與 F 的矢量和向衛(wèi)星運(yùn)行規(guī)律【知識提煉】GmM （Rh）2，得 g1衛(wèi)星的軌道(1) 赤道軌道：衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi)，同步衛(wèi)星就是其中的一種(2) 極地軌道：衛(wèi)星的軌道過南北兩極，即在垂直于赤道的平面內(nèi)，如極地氣象衛(wèi)星 (3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道，且軌道平面一定通過地球的球心2地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)(1) 軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合(2) 周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即 T24 h86 400 s

9、.(3) 角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同3nMm 42 GMT2(4)高度一定：據(jù) G m r 得 r 4.23×104 km，衛(wèi)星離地面高度 hrr2 T2 4 2R6R(為恒量)(5)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致3衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律4衛(wèi)星運(yùn)動中的機(jī)械能(1) 只在萬有引力作用下衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動和沿橢圓軌道運(yùn)動，機(jī)械能均守 恒，這里的機(jī)械能包括衛(wèi)星的動能和衛(wèi)星(與中心天體)的引力勢能(2) 質(zhì)量相同的衛(wèi)星，圓軌道半徑越大，動能越小，勢能越大，機(jī)械能越大【典題例析】(2020·1 月浙江選考)如圖所示，衛(wèi)星 a、b、c 沿圓形軌道繞地球

10、運(yùn)行a是極地軌道衛(wèi)星，在地球兩極上空約 1 000 km 處運(yùn)行；b 是低軌道衛(wèi)星，距地球表面高度與 a 相等；c 是地球同步衛(wèi)星，則( )A a、b 的周期比 c 大B a、b 的向心力一定相等C a、b 的速度大小相等D a、b 的向心加速度比 c 小答案：C解決天體圓周運(yùn)動問題的兩條思路Mm(1)在中心天體表面或附近而又不涉及中心天體自轉(zhuǎn)運(yùn)動時，萬有引力等于重力，即GR2mg，整理得 GMgR2，稱為黃金代換(g 表示天體表面的重力加速度)Mm v2 42r(2)天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即 G m mr2m ma .r2 r T2【題組過關(guān)】考向 1 對同步衛(wèi)星的考查n

11、1R2R1 (2019·4 月浙江選考 )某顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星 ( 即衛(wèi)星相對于地面靜 止)則此衛(wèi)星的( )A 線速度大于第一宇宙速度B 周期小于同步衛(wèi)星的周期C 角速度大于月球繞地球運(yùn)行的角速度D 向心加速度大于地面的重力加速度解析：選 C.第一宇宙速度 7.9 km/s 是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動的最大環(huán)繞速度，故此衛(wèi)星 的線速度小于第一宇宙速度，A 錯誤；根據(jù)題意，該衛(wèi)星是一顆同步衛(wèi)星，周期等于同步衛(wèi)星GMm的周期，B 錯誤；衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動時，萬有引力提供向心力，根據(jù) m2r 可知，r2繞行半徑越小，角速度越大，故此衛(wèi)星的角速度大于月球繞地球運(yùn)行的角速度，C

12、正確；根據(jù) GMa 可知，繞行半徑越大，向心加速度越小，此衛(wèi)星的向心加速度小于地面的重力加速度， r2D 錯誤考向 2 宇宙速度問題2(多選)據(jù)悉，2020 年我國將進(jìn)行第一次火星探測向火星發(fā)射軌道探測器和火星巡視1 1器已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的 ，火星的半徑約為地球半徑的 .下列關(guān)于火星探測器的9 2說法中正確的是( )A 發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B 發(fā)射速度只有達(dá)到第三宇宙速度才可以C 發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D火星探測器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的23解析：選 CD.要將火星探測器發(fā)射到火星上去，必須脫離地球引力，即發(fā)射速度要大于第 二宇

13、宙速度，火星探測器仍在太陽系內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)，因此從地球上發(fā)射時，發(fā)射速度要小于第三宇Mm v2宙速度，選項 A、B 錯誤，C 正確；由第一宇宙速度的概念，得 G m ，得 v1GMR，故火星探測器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度與地球的第一宇宙速度的比值約為 項 D 正確衛(wèi)星的變軌問題【知識提煉】1從低軌變高軌(如圖所示)(1) 在 P 點(diǎn)加速(短時)由圓軌道 1 進(jìn)入橢圓軌道 2；(2) 在橢圓軌道 2 上遠(yuǎn)地點(diǎn) Q 再短時加速進(jìn)入圓軌道 3.2 2 ，選9 3112èA 1 A1A A 1 3BA 1 3雖有兩次短時加速，但衛(wèi)星從近地點(diǎn) P 到遠(yuǎn)地點(diǎn) Q 的過程中引力做負(fù)功，由v 衛(wèi)星的速度減小(

14、動能減小、勢能增大)GMr知，2從高軌變低軌(如圖所示)(1) 在軌道 3 上 Q 點(diǎn)短時制動減速由圓軌道 3 進(jìn)入橢圓軌道 2；(2) 在軌道 2 上 P 點(diǎn)再短時制動減速進(jìn)入圓軌道 1.3 漸變轉(zhuǎn)軌：在衛(wèi)星受空氣阻力作用軌道變化問題中，“空氣阻力”是變軌的原因，一般分析過程為：衛(wèi)星在半徑為 r 的較高軌道上做圓周運(yùn)動，v GMr1空氣阻力做負(fù)功衛(wèi)Mm v2星動能(速度)減小致使 G m 衛(wèi)星做向心運(yùn)動軌道高度緩慢降低到半徑為 r 的圓r2 ræ軌道上重力做正功衛(wèi)星動能 速度v2GMör ø2增大實質(zhì)上，衛(wèi)星在稀薄空氣阻力作用下的運(yùn)動是機(jī)械能緩慢減小、軌道半徑緩

15、慢減小、動能(速度)緩慢增大的運(yùn)動【典題例析】如圖所示，1、3 軌道均是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動的軌道示意圖，1 軌道的半徑為 R，2 軌 道是一顆衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動的軌道示意圖，3軌道與 2 軌道相切于 B 點(diǎn)，O點(diǎn)為地球球心， AB 為橢圓的長軸，三軌道和地心都在同一平面內(nèi)已知在 1、2 兩軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星的周期相 等，引力常量為 G，地球質(zhì)量為 M，三顆衛(wèi)星的質(zhì)量相等，則下列說法正確的是( )A 衛(wèi)星在 3 軌道上的機(jī)械能小于在 2 軌道上的機(jī)械能B 若衛(wèi)星在 1 軌道上的速率為 v ，衛(wèi)星在 2 軌道 A 點(diǎn)的速率為 v ，則 v vC 若衛(wèi)星在 1、3 軌道上的加速度大小分別為 a 、

16、a ，衛(wèi)星在 2 軌道 A 點(diǎn)的加速度大小1 3為 a ，則 a a aD若 OA0.4R，則衛(wèi)星在 2 軌道 B 點(diǎn)的速率 v 5GM8R審題指導(dǎo) 衛(wèi)星變軌過程中速度變化要從離心、向心的角度來分析，而加速度要從受力 的角度來分析解析 2、3 軌道在 B 點(diǎn)相切，衛(wèi)星在 3 軌道相對于 2 軌道是做離心運(yùn)動的，衛(wèi)星在 3 軌道上的線速度大于在 2 軌道上 B 點(diǎn)的線速度，因衛(wèi)星質(zhì)量相同，所以衛(wèi)星在 3 軌道上的機(jī) 械能大于在 2 軌道上的機(jī)械能，A 錯誤；以 OA 為半徑作一個圓軌道 4 與 2 軌道相切于 A 點(diǎn)， 則 v4vA，又因 v1v4，所以 v1vA，B 正確；加速度是萬有引力產(chǎn)生

17、的，只需要比較衛(wèi)星到地心的高度即可，應(yīng)是 a a a ，C 錯誤；由開普勒第三定律可知，2 軌道的半長軸為 R，321 2OB1.6R，3 軌道上的線速度 v 5GM8R，又因 vBv3，所以 vB5GM，D 錯誤 8R答案 B【題組過關(guān)】考向 1 運(yùn)動參量的變化分析1(多選)(2019·麗水高二質(zhì)檢)如圖為嫦娥三號登月軌跡示意圖圖中 M 點(diǎn)為環(huán)地球運(yùn)行 的近地點(diǎn)，N 點(diǎn)為環(huán)月球運(yùn)行的近月點(diǎn)a 為環(huán)月球運(yùn)行的圓軌道，b 為環(huán)月球運(yùn)行的橢圓軌 道，下列說法中正確的是( )A 嫦娥三號在環(huán)地球軌道上的運(yùn)行速度大于 11.2 km/sB 嫦娥三號在 M 點(diǎn)進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道時應(yīng)點(diǎn)火加速C 設(shè)

18、嫦娥三號在圓軌道 a 上經(jīng)過 N 點(diǎn)時的加速度為 a ，在橢圓軌道 b 上經(jīng)過 N 點(diǎn)時的1加速度為 a ，則 a aD嫦娥三號在圓軌道 a 上的機(jī)械能小于在橢圓軌道 b 上的機(jī)械能解析：選 BD.嫦娥三號在環(huán)地球軌道上運(yùn)行速度 v 滿足 7.9 km/sv11.2 km/s，則 A 錯GM誤；嫦娥三號要脫離地球需在 M 點(diǎn)點(diǎn)火加速讓其進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，則 B 正確；由 a ，r2知嫦娥三號在經(jīng)過圓軌道 a 上的 N 點(diǎn)和在橢圓軌道 b 上的 N 點(diǎn)時的加速度相等，則 C 錯誤； 嫦娥三號要從 b 軌道轉(zhuǎn)移到 a 軌道需要減速，機(jī)械能減小，則 D 正確考向 2 衛(wèi)星的追趕問題2假設(shè)“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)