七年級(jí)規(guī)律探索題規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案

1、前言:七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試，主要考察書(shū)本前2章，想要考試取得好的成績(jī)，首先應(yīng)一般能力：基 本知識(shí)、基本技能：計(jì)算能力：其次要想獲得高分必須具備高分能力：觀察、猜想、推理、驗(yàn)證的能 力；數(shù)形結(jié)合思想的建立：分類討論思想的建立：方程思想的建立：對(duì)于重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生，尤為重要。 高分能力是今后學(xué)習(xí)領(lǐng)先的有力保障，需要大量練習(xí)、總結(jié)、體會(huì)，七年級(jí)涉及的僅僅是一部分。一、規(guī)律探索類題型規(guī)律探索型問(wèn)題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問(wèn)題，它往往 給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形等條件，要求學(xué)生通過(guò)：讀題觀察分析猜想驗(yàn)證，來(lái) 探索對(duì)象的規(guī)律。它體現(xiàn)了 “特殊到一般”、“數(shù)形結(jié)合”

2、等數(shù)學(xué)思想方法，考察學(xué)生的分析、解決問(wèn)題 能力。題型可涉及填空、選擇或解答?！绢}型分類】【1、數(shù)字問(wèn)題】最好具備數(shù)列的有關(guān)知識(shí)（小學(xué)奧數(shù)有涉及），實(shí)際考察的是：經(jīng)歷探索事物間的數(shù)量關(guān)系，用字母表示數(shù)和代數(shù)式表示的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思 維，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)到代數(shù)式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。如：1、正整數(shù)規(guī)律1、2、3、4、5、可以表示為n （其中n為正整數(shù)）2、奇數(shù)規(guī)律1、3、5、7、9、可以表示為2一1 （其中n為正整數(shù)）3、偶數(shù)規(guī)律2、4、6、8、10、可以表示為2n （其中n為正整數(shù)）4、正、負(fù)交替規(guī)律變化一組數(shù)，不看他們的絕對(duì)值，只看其性質(zhì)，為正負(fù)交替（1）、-、+、-

3、、+、-、+、-、+ 可以表不為（-1）”（2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表不為（1）""5、平方數(shù)規(guī)律1、4、9、16、可以表示為，J （其中n為正整數(shù)），能看得出：上面的規(guī)律數(shù)+1、+2、-1、-26、等差數(shù)列常識(shí)按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如：（1） 1，2，3, 4. 5，6，.（2） 1. 2. 4. 8. 16. 32：A、一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。如，數(shù)列（1）的第3項(xiàng)是3,數(shù)列（2） 的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項(xiàng)記作an =B、數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列（2）（4），也可以是無(wú)限多個(gè)，如數(shù)列（1）3

4、）（帶省略號(hào)）。概念：干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)（記作：）,最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)（記作：an ）。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差 （記作：d）。其中：4=4+（-1"， =42+ 1,數(shù)列的和二（"""" （記得住就記，記不住就推理） d2方法說(shuō)明：掌握3個(gè)原則：數(shù)據(jù)表面上看來(lái)排列無(wú)序，且形式不一致，那么要進(jìn)行數(shù)據(jù)變形，使之形式一致:一組數(shù)中的每個(gè)數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分解，有時(shí)可快速得出規(guī)律；對(duì)數(shù)據(jù)做一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算看出規(guī)律，如：加 一加、減一減，乘一乘、除一除3 57 911例1 觀察

5、一列數(shù)：1, 一一,一,，,，根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出第io個(gè)數(shù)是o49 16 25 36例2 古希臘數(shù)學(xué)家把1, 3, 6, 10, 15, 21.叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個(gè)與第98個(gè)的差為練習(xí)：123456（1）觀察一列數(shù)：一，一一，一，根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出第10個(gè)數(shù)是？2510172637（2）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為一,，一-，【-,一-一，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中2 3 10 15 26 35第七個(gè)數(shù)是（3）某種細(xì)胞開(kāi)始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，按此規(guī)律，5小時(shí)后細(xì)胞存活數(shù)是, n小時(shí)后細(xì)胞存活數(shù)是【

6、2、圖形規(guī)律】根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律。解決圖形規(guī)律問(wèn)題的方法有兩種：一種是數(shù)形結(jié)合，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，用數(shù)字規(guī)律的解決問(wèn)題：一種是通過(guò)圖形的直觀性，觀察圖形 的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成部分的相對(duì)位置入手，從中找出變化規(guī)律。例3 觀察圖給出的四個(gè)點(diǎn)陣，s表示每個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，按照?qǐng)D形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化規(guī)律，猜想第n個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)s為（）A、3-2 B、3/-1 C、4 + 1 D、4-3. 會(huì)第;個(gè)第;個(gè)S= 1 s=5第3個(gè)第4個(gè)S.=95=13例4若按下圖方式擺放餐桌和椅子，請(qǐng)?zhí)剿饕?guī)律并填表:a oq凸a a(a1)D D

7、D D D DD D D D D D餐桌張數(shù)123410n可坐人數(shù)練習(xí):（1）觀察下列圖形，則第個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）第2個(gè) 第3個(gè)C、477-4 D、40A、2+ 2第1個(gè)B、4+ 4<2）如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成,第8個(gè)圖案由 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第（。是正整數(shù)）個(gè)圖案中由 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成。(2)(3)（3）下列圖案是晉商大院窗格的一部分，其中代表窗紙上所貼的剪紙，則第個(gè)圖中所貼剪紙S-正方形正方形正方形正方形【3、循環(huán)排列規(guī)律】循環(huán)排列規(guī)律是運(yùn)動(dòng)者的規(guī)律，我們只要根據(jù)題目的已知部分分析出圖案或數(shù)據(jù)每隔幾個(gè)就會(huì)循環(huán)出現(xiàn)，看看最

8、后所求的與循環(huán)的第幾個(gè)一致即可，關(guān)鍵是找出“循環(huán)節(jié)數(shù)”。其次，就是利用“余數(shù)工例5 如圖所示，數(shù)軸被折成90。，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0, 1. 2, 3。先讓圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，數(shù)軸固定，圓緊貼數(shù)軸沿著數(shù)軸重合。的正方向滾動(dòng)，那么數(shù)軸上的數(shù)2009將與圓周上的數(shù)字例6 手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A、B、C、D.請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向（即A-B-C-D-Cf B-Af的方式）從A開(kāi)始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2, 3, 4，當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是：當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是；當(dāng)字母C第2n + l次出現(xiàn)時(shí)（n為正整數(shù)），

9、恰好數(shù)到的數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）.練習(xí)，（1）如圖所示，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0,1,2,3。先讓圓周上數(shù)字。所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)一 1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较蚶@在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)2006將與圓周上的數(shù)字重合。.5-4 -3-2-10<2）觀察下圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2011應(yīng)標(biāo)在（）A、第502個(gè)正方形的左下角B、第502個(gè)正方形的右下角C、第503個(gè)正方形的左上角D、第503個(gè)正方形的右下角（3）觀察下列圖形排列規(guī)律（其中是三角形，口是正方形，。是圓），OAddOAdOAodOAd-若第一個(gè)圖形是正方形，則第2008

10、個(gè)圖形是 （填圖形名稱）【4、算式規(guī)律】應(yīng)對(duì)的一般原則：找出等式中的各個(gè)部分；找出等式中的各個(gè)部分中不變的部分：找出等式中的 各個(gè)部分中變化的部分、并尋找他們的變化規(guī)律。例7 1+2+3+.+ 100 = ?經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1 + 2 + 3 +. + = 。： D ,其中n是正整數(shù)?，F(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：Ix2 + 2x3 +（n+l） = ?觀察下面三個(gè)特殊的等式:1x2 = ； (1x2x3 - 0x1x2)2x3 = 1(2x3x4-lx2x3)3x4 = 1(3x4x5-2x3x4)將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到1x2+2x3+3x4=1x3x4x5 = 2

11、03讀完這段材料，請(qǐng)你思考后回答:Ix2 + 2x3 +100x101 =觀察下列三行數(shù):(1)第行數(shù)按什么規(guī)律排列？(2)第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系？-1,2,4,8, 16,32, ；-2,4,一8,16,-32,64,;0,6,-6,18,-30,66, ；（3）取每行數(shù)的第n個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和能否等于一 1278,如果能，指出是每行的第幾個(gè)數(shù)，并求出這三個(gè)數(shù):如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。練習(xí):，請(qǐng)你在（1）觀察下列算式：lx5 + 4 = 3? , 2x6 + 4 = 4 3x7 + 4 = 5t 4x8 + 4 = 62觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空： X+= 50二，第n個(gè)式子呢？

12、（2）觀察下列各式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3x5 = 15,而 15=甲-15x7 = 35,而 35=611x13 = 143,而 143=12"將你猜想到的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示出來(lái)：（3）下列圖是由同型號(hào)黑白兩種顏色的三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形。仔細(xì)觀察圖形可知:金（8（D） （圖）（圖）圖有1塊黑色的瓷磚，可表示為12圖有3塊黑色的瓷磚，可表示為1 + 2= 0 +：2圖有3塊黑色的瓷磚，可表示為1 + 2 + 3=2實(shí)踐探索：<1）請(qǐng)?jiān)趫D的虛線框內(nèi)畫(huà)出第4個(gè)圖形（只須畫(huà)出草圖）（2）第10個(gè)圖形有 塊黑色的瓷磚（宜接填寫(xiě)結(jié)果）<3）第n個(gè)圖形有多少塊黑色的

13、瓷磚？（用含n的代數(shù)式表示）數(shù)表規(guī)律】例9 將1,一一 2第1行第2行第3行第4行第5行兼具數(shù)字規(guī)律和圖形規(guī)律的特點(diǎn)，難度加大。, 一、一一，一、一一，按一定規(guī)律排列如下:3 4 5 61_j_£23_£1_£請(qǐng)你寫(xiě)出第20行從左至右第10個(gè)數(shù)是。-45"6例10（1）在2008年10月的月歷中（見(jiàn)圖1）,任意圈出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為。，則用含。的整式表示這三個(gè)數(shù)（從小到大排列）分別是日 一四五六123456712348910111213145678910111516171819202112131415161718222324252627

14、2819202122232425293031323334352627282930313637383940414243444546474849圖1 1996199719981999200020012002200320042005200620072008（2）現(xiàn)將連續(xù)H然數(shù)1至2008按圖中的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形的數(shù)陣，用一個(gè)正方形框出9個(gè)數(shù)（見(jiàn)圖 2）圖中框出的這9個(gè)數(shù)的和是； 在圖中，能否使一個(gè)正方形框出的9個(gè)數(shù)之和等于2007 ?若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由：若有可能，請(qǐng)求出該正方形框出的9個(gè)數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)。（寫(xiě) 出詳細(xì)的解題過(guò)程）練習(xí)，<1）已知一列數(shù)：1, 一2, 3, 4, 5. 6

15、. 7,.將這列數(shù)排成如下所示的形式：按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)等于第1行 1第2行-23第3行-456第4行7-89-10第5行11-1213-1415<2）將正偶數(shù)排成5歹ij,如下表:第1列第2列第3列第 4iJ第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224 2826根據(jù)上面排列規(guī)律，則2000應(yīng)在（）A、第25行，第1列 B、第125行，第2列 C、第250行，第1列 D、第250行，第2列<3）觀察一列數(shù)表:第四列第三列第二列第一列1234.第一行2345 第二行3456 第三行4567 第四行根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6

16、列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為多少？第n行與第n列交叉點(diǎn)上的 數(shù)應(yīng)為多少？（用n表示）【5、其它規(guī)律】等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母夕表示（qHO） o等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)主要有以下幾種形式：（1）分母為兩個(gè)相鄰臼然數(shù)時(shí)：=1- -J+ 1）祝 祝+1（2）分母為不相鄰自然數(shù)時(shí)（差為a） ： 一?一-=（ 1-）x 1渾+以）抬 融+ da（3）分母為三個(gè)相鄰h然數(shù)時(shí)： 5=2x（ 一5一 5）M 盟 +1）（« + 2） 2 與缶 + 1）5 +1）5 + 2）例11 我國(guó)著名

17、數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙版上，依次貼上面積為-，-的矩形彩色紙片（n為大于1的整數(shù)）。請(qǐng)你用“數(shù) 2 4 822形結(jié)合”的思想，依數(shù)形變化的規(guī)律，計(jì)算! +1+ +-a -11111例 12 計(jì)算：111F 'I1x2x3 2x3x4 3x4x5 4x5x62000x2001x2002（1）有一列數(shù)：第一個(gè)數(shù)為七=1,第二個(gè)數(shù)為工=3,第三個(gè)數(shù)開(kāi)始依次記為用,匕,.工：從第二個(gè)Xi +X, 數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)是它相鄰兩個(gè)數(shù)和的一半。（如：X2=）2求第三、第四、第五個(gè)數(shù)，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程：根據(jù)（1）的結(jié)果，推測(cè)X8 =；探索這一列數(shù)的

18、規(guī)律，猜想第k個(gè)數(shù)Xk=o （k是大于2的整數(shù)）（2）將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線）.繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得到7條折痕，那么對(duì)折四次可以得到 條折痕。如果對(duì)折。次，可以得到 條折痕-第一次對(duì)折第二次對(duì)折第三次對(duì)折（3）（、卓 +）+ （空 + 2 + .，） + （。+ .+2 3 4203 4 5204 5口+.+四+竺）+2019 2019201、數(shù)字問(wèn)題】3 57 911例1 觀察一列數(shù)：L 一一，一, ,根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出第10個(gè)數(shù)是 o49 16 25 3613 5 7解：正負(fù)控制：（-ir1 形式一致：，分子規(guī)

19、律：2/z-l分母規(guī)律：/14 9 16則該數(shù)列的規(guī)律為：（2T）（T片,令廿10,第10個(gè)數(shù)為：-色 獷100例2 古希臘數(shù)學(xué)家把1, 3, 6, 10, 15, 21,.叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個(gè)與第98個(gè)的差為解：第1個(gè)數(shù)：1第2個(gè)數(shù)：1+2=3第3個(gè)數(shù)：1+2+3=6第 4 個(gè)數(shù)：1+2+3+4 = 10依次類推。第98個(gè)數(shù)：1+2+3+98第 100 個(gè)數(shù)：1+2+3+100則第100個(gè)與第98個(gè)的差為：100+99=199練習(xí)I123456（1）觀察一列數(shù)：一，一一，一，-根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出第10個(gè)數(shù)是？2510172637解：正負(fù)控制：（-1）R+1 分子規(guī)律：n分

20、母規(guī)律2 = F+1, 5 = 2二+1，10 = 3二+1，以此類推則該數(shù)列的規(guī)律為：“一1） ,令n=10,第10個(gè)數(shù)為：四zr+1101（2）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為一工,工，一-，【-,一-L,-L,，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中2 3 10 15 26 35第七個(gè)數(shù)是解：正負(fù)控制：（-1）" 分子規(guī)律：1 分母：2,3,10,15.分母規(guī)律：2 =+1,3 = 2二-1,10 = 3二+1,15 = 4二一1,以此類推：二一 （一則該數(shù)列的規(guī)律為： 尸 .，令n=7,第7個(gè)數(shù)為：50（3）某種細(xì)胞開(kāi)始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)

21、后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，按此規(guī)律，5小時(shí)后細(xì)胞存活數(shù)是, n小時(shí)后細(xì)胞存活數(shù)是解：讀題該數(shù)列為：3. 5, 9, 17（一般一個(gè)數(shù)列知道前3個(gè)可推出規(guī)律，再知道第4個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證）不難發(fā)現(xiàn)：3 = 21+1,5 = 22+1,9 = 25 + 1，故該數(shù)列規(guī)律：2"+1令 n=5,第 5 個(gè)數(shù)為：2$+1 = 32 + 1 = 33【2、圖形規(guī)律】例3 觀察圖給出的四個(gè)點(diǎn)陣，s表示每個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù),按照?qǐng)D形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化規(guī)律，猜想第n個(gè)點(diǎn)陣中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)s為（）A、3-2 B、3-1 C、4/1 + 1 D、4-3解：第1個(gè)圖：l = l+4x0第 2 個(gè)圖：l+4=l+4xl第

22、3 個(gè)圖:l+4+4=l+4x2以此類推 第n個(gè)圖：l+4x （n-1） =4n-3第;個(gè)第2個(gè)S= 1 s=5第3個(gè)第4個(gè)S.=95=13例4若按下圖方式擺放餐桌和椅子，請(qǐng)?zhí)剿饕?guī)律并填表： !n n (2) D 餐桌張數(shù)123410n可坐人數(shù)6+4x06+4x1=106+4x2=1418424 + 2練習(xí)，<1）觀察下列圖形，則第個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）0第1個(gè)A、2+ 2 B、4+ 4解：第1個(gè)圖：4個(gè)第2個(gè)圖：8個(gè)第2個(gè)C、47? - 4第3個(gè)圖：12個(gè)第3個(gè)D、4/7規(guī)律：4n<2）如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案例7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成,第8個(gè)

23、圖案由 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第(。是正整數(shù))個(gè)圖案中由 個(gè)基礎(chǔ)圖形組成。(1)(2)(3)解：第1個(gè)圖：4=4+3x0第 2 個(gè)圖：44-3=4+3x1第 3 個(gè)圖：44-3+3=4+3x2以此類推，第n個(gè)圖：4+3x (n-1) =3n+l,令n=8,第8個(gè)圖：3x8+1=25(3)下列圖案是晉商大院窗格的一部分，其中代表窗紙上所貼的剪紙，則第個(gè)圖中所貼剪紙解：第1個(gè)圖：5=54-3x0第 2 個(gè)圖：5+3=5+3xl第 3 個(gè)圖：54-3+3 = 5+3x2以此類推,第n個(gè)圖:5+3x (n-1) =3n+2【3、循環(huán)排列規(guī)律】 例5 如圖所示，數(shù)軸被折成90。，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的

24、4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0, 1. 2, 3。先讓圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，數(shù)軸固定，圓緊貼數(shù)軸沿著數(shù)軸 的正方向滾動(dòng)，那么數(shù)軸上的數(shù)2009將與圓周上的數(shù)字 重合。8-3456 7-11解：2與3重合，1與4重合，0與5重合，3月6重合，接著2與7重合，1與8重合，0與9重合，3與10重合，以此類推.發(fā)現(xiàn)：數(shù)軸上的數(shù)只能與2、1、0、3這4個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)重合，這4個(gè)數(shù)(2,1,0,3,2,1,0,3)反復(fù)的在數(shù)軸上循環(huán)出現(xiàn),而 3 至ij 2009 間有：2009 3 + 1=2007 個(gè)數(shù)，20074 = 501 余數(shù) 3也就是說(shuō)2、1、0、3這4個(gè)數(shù)循環(huán)了 501次，

25、還要多走3個(gè)。當(dāng)余數(shù)為0,說(shuō)明正好循環(huán)，對(duì)應(yīng) 數(shù)與3重合。余數(shù)為1則與2重合，余數(shù)為2則與1重合，余數(shù)為3則與0重合。本題與數(shù)字0重合。例6 手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母A、B、C、D.請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向（即A-B-CfD-CB-Af B-C的方式）從A開(kāi)始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2. 3, 4.,當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是；當(dāng)字母C第2n + l次出現(xiàn)時(shí)<n為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是 （用含n的代數(shù)式表示）.解：由題知：A-BfCD-Cf對(duì)應(yīng)數(shù)：1 2 3 45 6也就是說(shuō)字母循環(huán)節(jié)數(shù)為“6，每數(shù)6個(gè)數(shù)后，字母將循環(huán)出現(xiàn)12+6=2余數(shù)0說(shuō)明

26、正好循環(huán)完畢，對(duì)應(yīng)字母B,即：當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是B字母C第1次出現(xiàn)對(duì)應(yīng)數(shù)為：3,第2次出現(xiàn)對(duì)應(yīng)數(shù)為:：5, 一個(gè)循環(huán)內(nèi)出現(xiàn)了 2次字母C第201次出現(xiàn)時(shí)，說(shuō)明：循環(huán)節(jié)循環(huán)了 100次+3,即，數(shù)到的數(shù)是：100x6+3=603循環(huán)節(jié)循環(huán)n次，字母C將出現(xiàn)2n次，字母C第2n+l次出現(xiàn)，說(shuō)明繼續(xù)走了 3對(duì)應(yīng)數(shù)字是：6n+3練習(xí):<1）如圖所示，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0,1,2,3。先讓圓周上數(shù)字。所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)一1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较蚶@在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)-2006將與圓周上的數(shù)字重合。解：按照0,2,3,1的順序循環(huán)，4個(gè)數(shù)一

27、個(gè)''循環(huán)節(jié)"一數(shù)一 1 到一2006 之間有：（-1） - （-2006） +1=2006 個(gè)數(shù)20064=501余數(shù)2,余數(shù)1與0對(duì)應(yīng)，余數(shù)2與2對(duì)應(yīng)，余數(shù)3與3對(duì)應(yīng)，余數(shù)0與1對(duì)應(yīng)故一2006與圓周上的數(shù)字2重合。正方形正方形正方形正方形八、 JU-./JI / ij=、i乂，i i /ij（2）觀察下圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2011應(yīng)標(biāo)在（）C、第503個(gè)正方形的左上角D、第503個(gè)正方形的右下角解：2011+3 = 502余數(shù)3那么2011必須在第503個(gè)正方形中的左上角出現(xiàn)，答案C（3）觀察下列圖形排列規(guī)律（其中是三角形，口是正方形，。是圓

28、），OAddOAdOAodOAd-若第一個(gè)圖形是正方形，則第2008個(gè)圖形是 （填圖形名稱）解：看昏了吧，o（n_n）o哈！ 是三角形記作1, 口是正方形記作2,。是圓記作3換個(gè)方式看：231223123122312看出什么？ “2312231”這7個(gè)數(shù)為一個(gè)“循環(huán)節(jié)2008+7=286余數(shù)6,余數(shù)6對(duì)應(yīng)循環(huán)節(jié)中的第6個(gè)數(shù)：3, 3對(duì)應(yīng)的是。，也就是圓【4、算式規(guī)律】例7 1+2+3+.+ 100 = ?經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1 + 2 + 3 +. +,其中n是正整數(shù)。現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：1x24-2x3 +（n+l） = ?觀察下面三個(gè)特殊的等式:Ix2 = 1(lx2

29、x3-Oxlx2) 2x3 = ；(2 x3x4-lx2x3) 3x4 = 1(3x4x5-2x3x4)將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到Ix2+2x3+3x4=3 x 4x 5 = 203讀完這段材料，請(qǐng)你思考后回答:Ix2 + 2x3+- +100x101 =解：Ix2 = i(lx2x3-Oxlx2)2x3 = 1(2x3x4-lx2x3)3x4 = 1(3x4x5-2x3x4)以此類推99xl00 = 1(99xl00xl01-98x99xl00)100x101 = 1(100x101x102-99x100x101)這些式子加起來(lái)，左邊=1x2+2x3 + -+100x1011x100x

30、101x102 =343400 (原理：裂項(xiàng)相消) 3如果此題改為：求1x2x3+2x3x4+3x4x54-+98 x 99x100的值？提示：Ix2x3 = l(lx2x3x4-Oxlx2x3) 4例8 觀察下列三行數(shù)：（武珞路期中考試壓軸題，來(lái)自某年某月某日的中考題，超綱了）64（1）第行數(shù)按什么規(guī)律排列？解：有個(gè)常識(shí) 4° = 1（。0），= """（a H 0）, -” =0 0）an七年級(jí)學(xué)生還沒(méi)學(xué)，先記著吧，名校喜歡這么搞超前不看符號(hào):1, 2, 4, 8的規(guī)律就是2'i 第1項(xiàng)n=l時(shí),2°=1符號(hào)控制：（-1）"

31、;.因此該數(shù)列規(guī)律：（1）" 2"T（2）第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系？解：第行數(shù)是第行數(shù)的2倍，第行數(shù)規(guī)律是：（-1/ - 2"-1 x2 = （-1/ - 2H-1+1 = （-1/ - 2"第行數(shù)比第行數(shù)，每個(gè)數(shù)大2,所以第行數(shù)是第行數(shù)的2倍加2第行數(shù)規(guī)律是：（一1）。2" + 2（3）取每行數(shù)的第n個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和能否等于一1278,如果能，指出是每行的第幾個(gè)數(shù)，并求出這 三個(gè)數(shù)：如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：每行的第n個(gè)數(shù)符號(hào)都是一樣的（同為正或負(fù)），要使得這3個(gè)數(shù)的和為負(fù)數(shù)，則3個(gè)數(shù)都必須為負(fù)數(shù)，即n應(yīng)該是奇數(shù)，所以：取每行數(shù)的第n個(gè)

32、數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和可表示為：（一2"力 + （2"） + （2" + 2）,由題知：-2'1 - 2" - 2"+2 = -1278 （移項(xiàng)）整理：2'i+2"+2”=1280, 2" 2】+2 2" =1280,1-2"+2-2" = 12802上2 =1280 .即2" =512,解得n=9,即每行的第9個(gè)數(shù)之和為一 12782則 3 個(gè)數(shù)為：-256, -512, -510練習(xí)：（1）觀察下列算式：lx5 + 4 = 3- , 2x6 + 4 = 4*, 3x7 +

33、 4 = 5, 4x8 + 4 = 62,請(qǐng)你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空：48x52 + 4 = 50）第n個(gè)式子呢？ 解：第 n 個(gè)式子：/?（/? +4） +4 = （/ + 2）2 （2）觀察下列各式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3x5=15,而 15=4一一15x7 = 35,而 35=6"11x13 = 143,而 143= 12將你猜想到的規(guī)律用只含一個(gè)字母的式子表示出來(lái):（3）下列圖是由同型號(hào)黑白兩種顏色的三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形。（武珞路期中考，也是中號(hào)題）仔細(xì)觀察圖形可知:（田）（困）（圖）（圖）圖有1塊黑色的瓷磚，可表示為12,-（1 + 2）2圖有3塊黑色的

34、瓷磚，可表示為1 + 2 = ：2圖有3塊黑色的瓷磚，可表示為1 + 2 + 3=2實(shí)踐探索：（1）請(qǐng)?jiān)趫D的虛線框內(nèi)畫(huà)出第4個(gè)圖形（只須畫(huà)出草圖）自己畫(huà)吧<2）第10個(gè)圖形有 塊黑色的瓷磚（宜接填寫(xiě)結(jié)果）（3）第n個(gè)圖形有多少塊黑色的瓷磚？（用含n的代數(shù)式表示）解：第n個(gè)圖形中有1+2+3+4+n個(gè)黑色的瓷磚（其實(shí)就是“高斯求和”）這是等差數(shù)"J 1+2+3+4+ n= " + ”）2當(dāng)n = 10時(shí)，第10個(gè)圖形有：55塊黑色的瓷磚【5、數(shù)表規(guī)律】兼具數(shù)字規(guī)律和圖形規(guī)律的特點(diǎn)，難度加大。例9 將1,一一，一,一一，一,一一，一按一定規(guī)律排列如下: 2 3 4 5 6

35、第1行第2行第3行第4行第5行£ J.456£ _1_J_7 "89"1011-1213"1415請(qǐng)你寫(xiě)出第20行從左至右第10個(gè)數(shù)是。解：首先找出1,一，,一，,一，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律：（-ir1- 2 3 4 56n那第20行從左至右第10個(gè)數(shù)，是數(shù)列1,一一,1 _ 51 - 4 -1 _ 3一一，中的第多少個(gè)數(shù)?6第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，以此類推，應(yīng)該是：(1+2+3+19) +10= +10 = 200 ,那么數(shù)列 1,一，一，,22 3 4 5 6中的第200個(gè)數(shù)：就是我們要找的 200例10（1）在2008年10月的

36、月歷中（見(jiàn)圖1）,任意圈出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為。，則用含的整式表示這三個(gè)數(shù)（從小到大排列）分別是：1四五六123456712348910111213145678910111516171819202112131415161718222324252627281920212223242529303132333435262728293031 圖11996199719981999200020012002200320042005200620072008解： 一 7,a.a +7圖2（2）現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2008按圖中的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形的數(shù)陣，用一個(gè)正方形框出9個(gè)數(shù)(見(jiàn)圖2)圖中框出的這

37、9個(gè)數(shù)的和是： 在圖中，能否使一個(gè)正方形框出的9個(gè)數(shù)之和等于2007 ?若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若有可能，請(qǐng)求出該正方形框出的9個(gè)數(shù)中的最小數(shù)和111213181920252627a8 a 7 a 6a 1 a a + 1a + 6 a + 7 a + 8最大數(shù)。(寫(xiě)出詳細(xì)的解題過(guò)程)解：對(duì)于框中的9個(gè)數(shù)之和，你當(dāng)然可以宜接加加算出來(lái)，但不建議這么干，要為后面的問(wèn)題找到一個(gè)通用的方法。設(shè)正中間的數(shù)為a,如圖，這9個(gè)數(shù)之和可表示為：( 8) + ( 7) + 56) + ( 1) + 4 + (a +1) + (a + 6) + (白 + 7)+(a + 8)=9a當(dāng)a = 19,圖中框出的這9個(gè)

38、數(shù)的和是：19x9 = 171當(dāng)9a=2007時(shí),a=223 ，此時(shí)該正方形框出的9個(gè)數(shù)中最小數(shù)：a-8= 223-8=215 最大數(shù)：a+8=223+8 = 231練習(xí)，(1)已知一列數(shù)：1, -2, 3, -4, 5, -6, 7,.將這列數(shù)排成如下所示的形式：按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)等于.第1行 1第2行-23第3行-456第4行7-89-10第5行11-1213-1415解：首先找出1，一2, 3. 4. 5, -6, 7,.這個(gè)數(shù)列的規(guī)律：(-第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，以此類推，那第10行從左邊數(shù)第5個(gè)數(shù)，是數(shù)列L -2, 3, 4, 5, 6

39、, 7.中的第多少個(gè)數(shù)？應(yīng)該是：(1+2+3+,.+9) +5= L + 5 = 50,那么數(shù)列 1, 一2, 3, -4, 5, 6, 7, 2中的第50個(gè)數(shù)：一50，就是我們要找的(2)將正偶數(shù)排成5列,如下表:第I列第 2iJ第 3iJ第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224 32302826根據(jù)上面排列規(guī)律，則2000應(yīng)在（）A、第25行，第1列 B、第125行，第2列 C、第250行，第1列 D、第250行，第2列解：每行有4個(gè)數(shù)，奇數(shù)行第1列空缺，數(shù)由小到大排列；偶數(shù)行第5列空缺，數(shù)由大到小排列2、4、6、8.2000 是一個(gè)等差數(shù)列，公差為2,按照前

40、面所講項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)一首項(xiàng)）4公差+ 1，所以2到2000之間有：1000項(xiàng)那么2000位于：1000+4=250余數(shù)0即2000位于第250行末尾處，偶數(shù)行末尾列是第1列（3）觀察一列數(shù)表:第1列第2列第3列第4列第1行1234第2行2345第3行3456第4行4567根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為多少？第n行與第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為多少？（用n表示）解：第1行第1列是數(shù)字1,第2行第2列是數(shù)字3,第3行第3列是數(shù)字5,第4行第4列是數(shù)字7以此類推，發(fā)現(xiàn)第n行第n列的數(shù)字組成數(shù)列：1、3、5、7 2n-l易知，第6行與第6列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為：2x6-1 = 11【5、其它規(guī)律】例11 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙版上，依次貼上面積為-的矩形彩色紙片（n