小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：加乘原理之?dāng)?shù)字問題(二)-帶答案解析

1、 加乘原理之?dāng)?shù)字問題（二）教學(xué)目標(biāo)1. 復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；2. 培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用加法原理和乘法原理的能力3. 讓學(xué)生懂得并運(yùn)用加法、乘法原理來解決問題，掌握常見的計(jì)數(shù)方法，會(huì)使用這些方法解決問題在分類討論中結(jié)合分步分析，在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)該明確并強(qiáng)調(diào)哪些是分類，哪些是分 步并了解與加、乘原理相關(guān)的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組合知識(shí)要點(diǎn)一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，在具體做的時(shí)候，只要采用其中某一類中 的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加 法原理來解決還有這樣的一種情況：

2、就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同的方 法要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：1 加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的 不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和2 乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘 積3 在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運(yùn)用好這兩大原理， 綜合分析，正確作出分類和分步加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能

3、完成任務(wù)，這樣的問 題可以使用加法原理解決我們可以簡記為：“加法分類，類類獨(dú)立”乘法原理運(yùn)用的范圍：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不 可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關(guān)”例題精講【例 1】 用數(shù)字 1，2 組成一個(gè)八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是 1 的有多少個(gè)？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 將 4 個(gè) 1 看成一個(gè)整體，其余 4 個(gè)數(shù)有 5 種情況：4 個(gè) 2、3 個(gè) 2、2 個(gè) 2、1 個(gè) 2 和沒有 2； 4 個(gè) 2 時(shí)，4 個(gè) 1 可以有 5 種插法；2 3 個(gè) 2 時(shí)，3 個(gè)

4、2 和 1 個(gè) 1 共有 4 種排法，每一種排法有 4 種插法，共有 4 ´4 =16 種；3 2 個(gè) 2 時(shí)，2 個(gè) 2 和 2 個(gè) 1 共有 6 種排法，每一種排法有 3 種插法，共有 6 ´3 =18 種；4 1 個(gè) 2 時(shí)，1 個(gè) 2 和 3 個(gè) 1 共有 4 種排法，每一種排法有 2 種插法，共有 4 ´2 =8 種；5 沒有 2 時(shí)，只有 1 種；所以，總共有： 5 +16 +18 +8 +1 =48 個(gè)答：至少連續(xù)四位都是 1 的有 48 個(gè)【答案】 48【例 2】 七位數(shù)的各位數(shù)字之和為 60 ，這樣的七位數(shù)一共有多少個(gè)？1【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)

5、用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 七位數(shù)數(shù)字之和最多可以為 9 ´7 =63 63 -60 =3 七位數(shù)的可能數(shù)字組合為：9，9，9，9，9，9，6第一種情況只需要確定 6 的位置即可所以有 6 種情況9，9，9，9，9，8，7第二種情況只需要確定 8 和 7 的位置，數(shù)字即確定8 有 7 個(gè)位置，7 有 6 個(gè)位置所以第二種情況 可以組成的 7 位數(shù)有 7 ´6 =42 個(gè)9，9，9，9，8，8，8，第三種情況，3 個(gè) 8 的位置確定即 7 位數(shù)也確定三個(gè) 8 的位置放置共有 7 ´6 ´5 =210 種 三個(gè)相同的 8 放置會(huì)產(chǎn)生 3

6、80;2 ´1 =6 種重復(fù)的放置方式所以 3 個(gè) 8 和 4 個(gè) 9 組成的不同的七位數(shù)共有 210 ¸6 =35 種所以數(shù)字和為 60 的七位數(shù)共有 35 +42 +7 =84 【答案】 84【例 3】 從自然數(shù) 140 中任意選取兩個(gè)數(shù)，使得所選取的兩個(gè)數(shù)的和能被 4 整除，有多少種取法？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 2 個(gè)數(shù)的和能被 4 整除，可以根據(jù)被 4 除的余數(shù)分為兩類：第一類：余數(shù)分別為 0，0140 中能被 4 整除的數(shù)共有 10 ´9 ¸2 =45（種）取法；40 ¸4 =10（個(gè)），1

7、0 個(gè)中選 2 個(gè)，有第二類：余數(shù)分別為 1，3140 中被 4 除余 1，余 3 的數(shù)也分別都有 10 個(gè)，有 取法；第三類：余數(shù)分別為 2，2同第一類，有 45 種取法根據(jù)加法原理，共有 45 +100 +45 =190 （種）取法10 ´10 =100（種）【答案】 190【例 4】 從 1， 3 ， 5 ， 7 中任取 3 個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這些三位數(shù)中能被 3 整除的有 個(gè)?！究键c(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 9 題【解析】 一個(gè)數(shù)能被 3 整除，它的各位數(shù)之和就能夠被 3 整除。從 1，3，5，7 中任

8、選 3 個(gè)數(shù)可以是 1，3，5； 1，3，7；1，5，7；3，5，7。和能被 3 整除的有：1，3，5 和 3，5，7，共能組成 3！×212 個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?12 個(gè)數(shù)【例 5】 從 1,2,3,4,5,6 中選取若干個(gè)數(shù)，使得它們的和是 3 的倍數(shù)，但不是 5 的倍數(shù)那么共有 不同的選取方法【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初賽，5 題【解析】 從1 6 這些數(shù)中選取的數(shù)的和小于 21 ，滿足條件的和數(shù)有 3 、 6 、 9 、 12 、18 、 21 分別有 2 、 4 、 5 、 5 、 2 、 1 種選取方法，共 2 +4 +

9、5 +5 +2 +1 =19 種選取方法【答案】 19 種【例 1】 在 1 至 300 的全部自然數(shù)中，是 3 的倍數(shù)或 5 的倍數(shù)的數(shù)共有( )個(gè)。 A、139 B、140 C、141 D、142種【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級(jí)，初賽【解析】 3 的倍有 100 個(gè)，5 的倍數(shù)有 60 個(gè)，既是 3 又是 5 的倍數(shù)有 20 個(gè)，則是 3 或者 5 的倍數(shù)的數(shù)共有 100+60-20=140 個(gè)?！敬鸢浮?B【例 6】 在 110 這 10 個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是 3 的倍數(shù)，共有 取法。2種不同的【考點(diǎn)】加乘原理之

10、綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3 年級(jí)，決賽，第 11 題，5 年級(jí)，第 7 題【解析】 兩個(gè)數(shù)的和是 3 的倍數(shù)有兩種情況，或者兩個(gè)數(shù)都是 3 的倍數(shù)，或有 1 個(gè)除以 3 余 1，另一個(gè)除以 3 余 2。110 中能被 3 整除的有 3 個(gè)數(shù)，取兩個(gè)有 3 種取法；除以 3 余 1 的有 4 個(gè)數(shù)，除以 3 余 2 的 有 3 個(gè)數(shù)，各取 1 個(gè)有 12 種取法。所以共有取法 3+12=15(種)?！敬鸢浮?15 種【鞏固】 從 1 到 20 中，最多能取_個(gè)數(shù)，使任意兩個(gè)數(shù)不是 3 倍關(guān)系?！究键c(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思

11、杯，4 年級(jí)，第 13 題【解析】 1 和 3 共存， 2 和 6 不能共存， 3 和 9 不能共存， 4 和12 不能共存，5 和15 不能共存， 6 和18 不能共 存。要破壞這些組合，至少要去掉 4 個(gè)數(shù)，例如 3,4,5,6【答案】16 個(gè)【鞏固】 從 1 25 個(gè)自然數(shù)這 25 個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是 4 的倍數(shù)，共有 中不同的取法?！究键c(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6 年級(jí)，決賽，第 8 題【解析】 1 到 25 中，除以 4 ，余數(shù)是1 的數(shù)有 7 個(gè)，余數(shù)是 2 的數(shù)有 6 個(gè)，余數(shù)是3 的數(shù)有 6 個(gè)，余數(shù)是 0

12、 的數(shù) 有 6 個(gè)，所以共有 6 ´7 +6 ´5 ¸2 ´2 =72 （種）?！敬鸢浮?72 種【例 7】 在1100 的自然數(shù)中取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，其和是3 的倍數(shù)的共有多少種不同的取法？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 將 1100 按照除以 3 的余數(shù)分為 3 類：第一類，余數(shù)為 1 的有 1，4，7，100，一共有 34 個(gè)；第 二類，余數(shù)為 2 的一共有 33 個(gè)；第三類，可以被 3 整除的一共有 33 個(gè)取出兩個(gè)不同的數(shù)其和是 3 的倍數(shù)只有兩種情況：第一種，從第一、二類中各取一個(gè)數(shù)，有 34 ´

13、33 =1122 種取法；第二種， 從第三類中取兩個(gè)數(shù)，有33 ´32 ¸2 =528 種取法根據(jù)加法原理，不同取法共有：1122 +528 =1650 種【答案】 1650【鞏固】 在 110 這 10 個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是 3 的倍數(shù)，共有多少種不同的取 法？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 兩個(gè)數(shù)的和是 3 的倍數(shù)有兩種情況，或者兩個(gè)數(shù)都是 3 的倍數(shù)，或有 1 個(gè)除以 3 余 1，另一個(gè)除以 3 余 2110 中能被 3 整除的有 3 個(gè)數(shù)，取兩個(gè)有 3 種取法；除以 3 余 1 的有 4 個(gè)數(shù)，除以 3 余

14、 2 的 有 3 個(gè)數(shù)，各取 1 個(gè)有 3 ´4 =12 種取法根據(jù)加法原理，共有取法： 3 +12 =15 種【答案】 15【鞏固】 在110 這 10 個(gè)自然數(shù)中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是3 的倍數(shù)有多少種不同的取法？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 三個(gè)不同的數(shù)和為 3 的倍數(shù)有四種情況：三個(gè)數(shù)同余 1，三個(gè)數(shù)同余 2，三個(gè)數(shù)都被 3 整除，余 1 余 2 余 0 的數(shù)各有 1 個(gè)，四類情況分別有 4 種、1 種、1 種、4 ´3 ´3 =36 種，所以一共有 4 +1 +1 +36 =42 種【答案】 42【鞏固

15、】 從 7，8，9， ，76，77 這 71 個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和為3 的倍數(shù)的選法總數(shù)是多少? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 兩個(gè)數(shù)和為 3 的倍數(shù)情況有兩種：兩個(gè)被 3 整除的數(shù)和是 3 的倍數(shù)，一個(gè)被 3 除余 1 的數(shù)和一個(gè)被 3 除余 2 的數(shù)相加也能被 3 整除.這 71 個(gè)數(shù)中被 3 整除，被 3 除余 1，被 3 除余 2 的數(shù)分別有 23、24、 24 個(gè)，選取兩個(gè)數(shù)只要是符合之前所說的兩種情況就可以了，選取兩個(gè)被 3 整除的數(shù)的方法有 23 ´22 ¸（2´1）=253種，從被 3 除余 1 和被

16、 3 除余 2 的數(shù)中各取 1 個(gè)的方法共有 24 ´24 =576 種，所 以一共有 253 +576 =829 種選取方法【答案】 8293【例 8】 從這些數(shù)中選取兩個(gè)數(shù)，使其和被3 除余 1 的選取方法有多少種？被3 除余 2 的選取方法有多少種？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 兩個(gè)數(shù)的和被 3 除余 1 的情況有兩種：兩個(gè)被 3 除余 2 的數(shù)相加，和一個(gè)被 3 整除的數(shù)和一個(gè)被 3 除余 1 的數(shù)相加，所以選取方法有 24 ´23 ¸（2´1）+24´23=828 種同樣的也可以求出被 3 除余

17、2 的選取方法有 24 ´23 ¸（2´1）+24´23=828 種.【答案】 828【例 9】 1 到 60 這 60 個(gè)自然數(shù)中，選取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積是被 5 除余 2 的偶數(shù)，問，一共有多少種選 法？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 兩個(gè)數(shù)的乘積被 5 除余 2 有兩類情況，一類是兩個(gè)數(shù)被 5 除分別余 1 和 2，另一類是兩個(gè)數(shù)被 5 除 分別余 3 和 4，只要兩個(gè)乘數(shù)中有一個(gè)是偶數(shù)就能使乘積也為偶數(shù).1 到 60 這 60 個(gè)自然數(shù)中，被 5 除余 1、2、3、4 的偶數(shù)各有 6 個(gè)，被 5 除余 1、2、

18、3、4 的奇數(shù)也各有 6 個(gè)，所以符合條件的選取 方式一共有（6 ´6 +6 ´6 +6 ´6 +6 ´6）+（6´6+6´6）=216 種【答案】 216【例 10】 一個(gè)自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”例如 1331，7，202 都是回文數(shù)，而 220 則不是回文數(shù)問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個(gè)?其中的第 1996 個(gè)數(shù) 是多少?【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、六位來逐組計(jì)算所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有 9 個(gè)；在二位數(shù)

19、中，必須為aa形式的，即有 9 個(gè)(因?yàn)槭孜徊荒転?0，下同)；在三位數(shù)中，必須為aba(a、b可相同，在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同)形式的，即有 9×10=90 個(gè)；在四位數(shù)中，必須為 abba 形式的，即有 9×10 個(gè)；在五位數(shù)中，必須為abcba形式的，即有 9×10×10=900 個(gè)；在六位數(shù)中，必須為 abccba 形式的，即有 9×10×10=900 個(gè)所以共有 9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998 個(gè)，最大的為 999999，其次為 998899，再次為 997799 而第 19

20、96 個(gè)數(shù)為倒數(shù)第 3 個(gè)數(shù)，即為 997799所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有 1998 個(gè)，其中的第 1996 個(gè)數(shù)是 997799【答案】997799【例 11】 如圖，將 1，2，3，4，5 分別填入圖中 1 ´5 的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大共 有 種不同的填法【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，6 年級(jí)，決賽，第 5 題【解析】 因?yàn)橐蟆疤钤诤诟窭锏臄?shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大 ”，所以填入黑格中的數(shù)不能夠太小，否則就不滿 足條件通過枚舉法可知填入黑格里的數(shù)只有兩類：第一類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 4；第二類， 填在

21、黑格里的數(shù)是 5 和 3接下來就根據(jù)這兩類進(jìn)行計(jì)數(shù)：第一類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 4 時(shí)，分為以下幾步：第一步，第一個(gè)黑格可從5 和 4 中任選一個(gè)， 有 2 種選法；第二步，第二個(gè)黑格可從 5 和 4 中剩下的一個(gè)數(shù)選擇，只有 1 種選法；第三步，第一 個(gè)白格可從 1，2，3 中任意選一個(gè)，有 3 種選法第四步，第二個(gè)白格從 1，2，3 剩下的兩個(gè)數(shù)中 任選一個(gè)，有 2 種選法；第五步，最后一個(gè)白格只有 1 種選法根據(jù)乘法原理，一共有 (2 ´1) ´(3 ´2 ´1) =12 種第二類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 3 時(shí)，黑格中有兩種填法，此時(shí)白格

22、也有兩種填法，根據(jù)乘法原理， 不同的填法有 2 ´2 =4 種4所以，根據(jù)加法原理，不同的填法共有12 +4 =16 種【答案】 16【鞏固】 在如圖所示 1×5 的格子中填入 1，2，3，4，5，6，7，8 中的五個(gè)數(shù)，要求填入的數(shù)各不相同，并 且填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大共有 種不同的填法【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 如果取出來的五個(gè)數(shù)是 1、2、3、4、5，則共有不同填法 16 種從 8 個(gè)數(shù)中選出 5 個(gè)數(shù)，共有 8×7×6÷(3×2×1)=56 中選法，所以共 16

23、15;56=896 種【答案】896【例 12】 從 112 中選出 7 個(gè)自然數(shù)，要求選出的數(shù)中不存在某個(gè)自然數(shù)是另一個(gè)自然數(shù)的 2 倍，那么一 共有 種選法【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于要求選出的數(shù)中不存在某個(gè)自然數(shù)是另一個(gè)自然數(shù)的 2 倍，可以先根據(jù) 2 倍關(guān)系將 112 進(jìn)行 如下分組：(1，2，4，8)；(3，4，12)；(5，10)；(7)；(9)；(11)由于第一組最多可選出 2 個(gè)數(shù)，第二組最多可選出 2 個(gè)數(shù)，其余四組最多各可選出 1 個(gè)數(shù)，所以最 多可選出 8 個(gè)數(shù)現(xiàn)在要求選出 7 個(gè)數(shù)，所以恰好有一組選出的數(shù)比它最多可選出的數(shù)少一個(gè)

24、 如果是第一組少一個(gè)，也就是說第一組選 1 個(gè)，第二組選 2 個(gè)，其余四組各選 1 個(gè)，此時(shí)有 4 ´1´2 ´1´1´1=8 種選法；2 如果是第二組少一個(gè)，也就是說第一組選 2 個(gè)，其余五組各選一個(gè)，此時(shí)第一組有 3 種選法，根 據(jù)乘法原理，有 3 ´3 ´2 ´1´1´1=18 種選法；3 如果是第三組少一個(gè)，也就是說第一組選 2 個(gè)，第二組選 2 個(gè)，第三組不選，其余三組各選 1 個(gè)， 有 3 ´1´1´1´1´1=3 種選法；4 如果是

25、第四、五、六組中的某一組少一個(gè)，由于這三組地位相同，所以各有3 ´1´2 ´1´1´1=6 種 選法根據(jù)加法原理，共有 8 +18 +3 +6 ´3 =47 種不同的選法【答案】 47【例 13】 從 1 到 999 這 999 個(gè)自然數(shù)中有 個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被 4 整除【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于在一個(gè)數(shù)的前面寫上幾個(gè) 0 不影響這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和，所以可以將 1 到 999 中的一位數(shù)和兩 位數(shù)的前面補(bǔ)上兩個(gè)或一個(gè) 0，使之成為一個(gè)三位數(shù)現(xiàn)在相當(dāng)于要求 001 到 999 中各位數(shù)字

26、之和 能被 4 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)除以 4 的余數(shù)可能為 0，1，2，3，09 中除以 4 余 0 的數(shù)有 3 個(gè)， 除以 4 余 1 的也有 3 個(gè)，除以 4 余 2 和 3 的各有 2 個(gè)三個(gè)數(shù)的和要能被 4 整除，必須要求它們除 以 4 的余數(shù)的和能被 4 整除，余數(shù)的情況有如下 5 種：0 +0 +0 ；0 +1 +3 ；0 +2 +2 ；1 +1 +2 ；2 +3 +3 如果是 0 +0 +0 ，即 3 個(gè)數(shù)除以 4 的余數(shù)都是 0，則每位上都有 3 種選擇，共有 3 ´3 ´3 =27 種可 能，但是注意到其中也包含了 000 這個(gè)數(shù)，應(yīng)予排除，所以此時(shí)共有

27、27 -1 =26 個(gè)；2 如果是 0 +1 +3 ，即 3 個(gè)數(shù)除以 4 的余數(shù)分別為 0，1，3，而在 3 個(gè)位置上的排列有 3! =6 種，所 以此時(shí)有 3 ´3 ´2 ´6 =108 個(gè)；3 如果是 0 +2 +2 ，即 3 個(gè)數(shù)除以 4 的余數(shù)分別為 0，2，2，在 3 個(gè)位置上的排列有 3 種，所以此時(shí) 有 3 ´2 ´2 ´3 =36 個(gè)；4 如果是1 +1 +2 ，即 3 個(gè)數(shù)除以 4 的余數(shù)分別為 1，1，2，在 3 個(gè)位置上的排列有 3 種，所以此時(shí) 有 3 ´3 ´2 ´3 =54

28、個(gè)；5 如果是 2 +3 +3 ，即 3 個(gè)數(shù)除以 4 的余數(shù)分別為 2，3，3，在 3 個(gè)位置上的排列有 3 種，此時(shí)有 2 ´2 ´2 ´3 =24 個(gè)根據(jù)加法原理，共有 26 +108 +36 +54 +24 =248 【答案】 248【鞏固】從 10 到 4999 這 4990 個(gè)自然數(shù)中，其數(shù)字和能被 4 整除的數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答5【解析】 分段計(jì)算：在 10004999 這 4000 個(gè)數(shù)中，數(shù)字和被 4 除余 0、1、2、3 的各有 1000 個(gè)；在 200999 這 800 個(gè)數(shù)中，數(shù)字和被 4 除

29、余 0、1、2、3 的各有 200 個(gè)；在 2099、120199 這 160 個(gè)數(shù)中，數(shù)字和被 4 除余 0、1、2、3 的各有 40 個(gè)；此外，1019、100119 種分別有 2 個(gè)和 4 個(gè)被 4 整除，所以，共有1000 +200 +40 +6 =1246 個(gè)【答案】 1246【鞏固】從 1 到 3998 這 3998 個(gè)自然數(shù)中，又多少個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被 4 整除？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 從 0 到 999 共有 1000 個(gè)數(shù)，它們除以 4 的余數(shù)為 0，1，2，3，這樣，這 1000 個(gè)數(shù)每一個(gè)加上千位 上對(duì)應(yīng)的 0，1，2，3，都

30、能被 4 整除，所以答案為 1000 個(gè)【答案】1000【例 14】 表中第 1 行是把1 100 的整數(shù)依次全部排列出來，然后從第 2 行起是根據(jù)規(guī)律一直排到最后的第 100 行.請(qǐng)問：這個(gè)表中一共有多少個(gè)數(shù)能被 77 整除？第1行 1 2 3 4 5 第2行 3 5 7 9 96 97 98 99 100 193 195 197 199第3行8 12 16 388 392 396第4行第5行第100行 .【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】日本小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽【解析】 在這個(gè)表里，有的數(shù)字的正下方寫著比它大 4 的數(shù).A-12A-1A+1A2A +14A

31、假如，某數(shù)字是不能被 77 整除的數(shù)字，那么不管它被 4 乘多少回，也不能被 77 整除.于是我們得知 不能被 77 整除的數(shù)字下面寫的數(shù)字都不能被 77 整除.那么，如果某數(shù)字是可以被 77 整除，不管乘 多少回 4，得出的數(shù)字都可以被 77 整除.可被 77 整除的數(shù)字下面都可以被 77 整除.題目的表中從左 右兩邊第 N 個(gè)的下面寫著 N 個(gè)整數(shù).表的第一行從右數(shù)第 24 個(gè)是 77，在它下面寫的 24 個(gè)整數(shù)都可 以被 77 整除.另外，從左數(shù)第二行第 38 個(gè)是 38 +39 =77 ，所以在它下面寫的 38 個(gè)整數(shù)都可以被 77 整除 . 在表的第一行和第二行里除此之外再?zèng)]有可以被

32、 77 整除的數(shù)了 . 從整個(gè)表來看，除了上述的 24 +38 =62 個(gè)以外，再也沒有可以被 77 整除的數(shù)了，所以答案為 62.【答案】 62【例 15】 有兩個(gè)不完全一樣的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字 1、2、3、4、5、6將兩個(gè)正 方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為 偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮第一類，兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn) 奇數(shù)有三種可能，即 1，3

33、，5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有 3 ´3 =9 種不同的情形第二類，兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有3 ´3 =9 種不同情形6最后再由加法原理即可求解兩個(gè)正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有3 ´3 +3 ´3 =18 種不同的 情形【答案】 18【鞏固】 有兩個(gè)不完全一樣的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字 1、2、3、4、5、6將兩個(gè)正方 體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 要使兩個(gè)數(shù)字之和為奇數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的

34、奇偶性不同，即這兩個(gè)數(shù)字一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶 數(shù)，由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3， 5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)偶數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有3´3 =9 種不同的情形【答案】 9【例 16】 有兩個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面分別有 1、2、3、4、5、6 個(gè)點(diǎn)隨意擲這兩個(gè)骰子，向上一面點(diǎn) 數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 方法一：要使兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的奇偶性相同，可以分為兩步： 第一步第一個(gè)骰子隨意擲有 6 種可能的點(diǎn)數(shù)；第二步當(dāng)?shù)谝粋€(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)

35、確定了以后，第 二個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)只能是與第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同奇偶性的 3 種可能的點(diǎn)數(shù) 根據(jù)乘法原理，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有6 ´3 =18 （種）方法二：要使兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的奇偶性相同，所以，可以分為兩類： 第一類：兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)有 3 ´3 =9 （種）不同的情形第二類：兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)類似第一類，也有3 ´3 =9 （種）不同的情形根據(jù)加法原理，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有9 +9 =18 （種）方法三：隨意擲兩個(gè)骰子，總共有 6 ´6 =36 （種）不同的情形因?yàn)閮蓚€(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)與偶 數(shù)的可能性是一樣的

36、，所以，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有36 ¸2 =18 （種）【答案】 18【鞏固】 有三個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面分別有 1、2、3、4、5、6 個(gè)點(diǎn)隨意擲這三個(gè)骰子，向上一面點(diǎn) 數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 方法一：要使三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，或者一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外兩 個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)可以分為三步：第一步，第一個(gè)骰子隨意擲有 6 種可能的點(diǎn)數(shù)；第二步，當(dāng)?shù)谝粋€(gè) 骰子的點(diǎn)數(shù)確定了以后，第二個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)還是奇數(shù)偶數(shù)都有可能所有也有 6 種可能的點(diǎn)數(shù)；第三 步，當(dāng)前兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)即奇偶性都確定了之后第三個(gè)骰子

37、點(diǎn)數(shù)的奇偶性就確定了所以只有 3 種可 能的點(diǎn)數(shù)根據(jù)乘法原理，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有6 ´6 ´3 =108 （種）方法二：要使三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，或者一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外兩 個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)所以，要分兩大類來考慮：第一類：三個(gè)點(diǎn)數(shù)同為偶數(shù)由于擲骰子可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地?cái)S每擲一個(gè)骰子出現(xiàn)偶數(shù) 點(diǎn)數(shù)都有 3 種可能由乘法原理，這類共有 3 ´3 ´3 =27 （種）不同的情形第二類：一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)另外兩個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)先選一個(gè)骰子作為偶數(shù)點(diǎn)數(shù)的骰子有 3 種 選法，然后類似第一類的討論方法，共有 3 ´（3´

38、3´3）=81（種）不同情形根據(jù)加法原理，三個(gè)骰子向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有3 ´3 ´3 +3 ´3 ´3 ´3 =108 （種） 【答案】 108【鞏固】 3 個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)和中，哪個(gè)數(shù)最有可能？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 對(duì)于 3 個(gè)骰子的情況，情況比較復(fù)雜，點(diǎn)數(shù)和的取值范圍是 3 到 18，其中點(diǎn)數(shù)和為 3 到 8 的情況的 種數(shù)可以用隔板法求出，例如，8 點(diǎn)的情況，實(shí)際上將8 隔為 3 段，一共有7 ´6 ¸(2 ´1) =21 種 而 13 到 1

39、8 的點(diǎn)數(shù)情況種數(shù)也可以直接求出，例如點(diǎn)數(shù)為 13 的情況，將每個(gè)骰子的數(shù)值分別記為 (7 -a ) 、 (7 -b ) 、 (7 -c ) ， a 、 b 、 c 的取值都是 1 到 6，則問題變?yōu)?(7 -a ) +(7 -b) +(7 -c ) =13 的 解的數(shù)量，即 a +b +c =8 的解的數(shù)量，這就又可以用隔板法來求了，得數(shù)還是 21 種，(事實(shí)上構(gòu)成 的數(shù)表一定是左右對(duì)稱的)對(duì)于點(diǎn)數(shù)和為 9、10、11、12 的情況不能用隔板法來求，例如對(duì) 9 進(jìn)行隔7板有 8 ´7 ¸(2 ´1)󰀀=28 種，但這 28 種中還包括了 1、1、

40、7，1、7、1，7、1、1 三種情況，所以實(shí)際 的情況只有 25 種，對(duì)于點(diǎn)數(shù)和為 10 點(diǎn)的情況用擋板法求得 45 種，扣除 9 種出現(xiàn)超過 6 點(diǎn)的情況， 還有 36 種,詳表如圖：所以 3 個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和中，10 和 11 的可能性最大【答案】10 和 11【例 17】 一種電子表在 10 點(diǎn) 28 分 6 秒時(shí)，顯示的時(shí)間如圖所示。那么 10 點(diǎn)至 10 點(diǎn)半這段時(shí)間內(nèi)，電子表 上六個(gè)數(shù)字都不相同有_個(gè)。10 : 28 : 06【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，一試，第 16 題【解析】 分的十位只能取 2，再考慮秒的十位可以取 3、4、

41、5 三種，分的個(gè)位可以取 10-4=6 種，秒的個(gè)位可 以取 10-5=5 種.所以一共有 3×6×5=90 種.【答案】 90 種【例 18】 有一種用 12 位數(shù)表示時(shí)間的方法：前兩位表示分，三四位表示時(shí)，五六位表示日，七八位表示月， 后四位表示年凡不足數(shù)時(shí)，前面補(bǔ) 0按照這種方法，2002 年 2 月 20 日 2 點(diǎn) 20 分可以表示為 200220022002這個(gè)數(shù)的特點(diǎn)是：它是一個(gè) 12 位的反序數(shù)，即按數(shù)位順序正著寫反著寫都是相同 的自然數(shù)，稱為反序數(shù)例如171，23032 等是反序數(shù)而 28 與 82 不相同，所以 28，82 都不是反 序數(shù)問：從公元 1000 年到 2002 年 12 月，共有多少個(gè)這樣的時(shí)刻？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 反序數(shù)是關(guān)于中心對(duì)稱的數(shù)1 日期的兩個(gè)數(shù)可以是 01，02，03，10，11，12 中的任意一個(gè)2 年份的前兩位可以是 1012 中的任意數(shù)3 年份的末兩位可以分別是 09，05 中的任意數(shù)4 在公元 1000公元 2000 年間符合條件的數(shù)共有 6 ´3 ´10 ´6 =1080 個(gè)2000，2001，2002，月份可選 01，02，03，10，11