小學(xué)數(shù)學(xué) 格點(diǎn)型面積.教師版

1、4-2-7. 格點(diǎn)型面積例題精講模塊一、正方形格點(diǎn)問題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等 (通常規(guī)定是 1 個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網(wǎng)，其中的每個交點(diǎn)就叫做一個格點(diǎn)在方格網(wǎng)中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多 邊形叫做格點(diǎn)多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個格點(diǎn)多邊形那么，格點(diǎn)多邊形的面積如何計(jì)算？它與格點(diǎn)數(shù)目有沒有關(guān)系？如果有，這兩者之間的關(guān)系能否用計(jì)算公式來 表達(dá)？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用 N 表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)，L 表示多邊形周界上的格點(diǎn)，S 表示多邊形面積，請同學(xué)們分析前幾個例題的 格點(diǎn)數(shù)L我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： S =N

2、 + -1 這個規(guī)律就是畢克定理2畢克定理若一個格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有 N 個格點(diǎn)，它的邊界上有 L 個格點(diǎn)，則它的面積為 S =N +L2-1 【例 1】 判斷下列圖形哪些是格點(diǎn)多邊形？【答案】是格點(diǎn)多邊形【例 2】 如圖，計(jì)算各個格點(diǎn)多邊形的面積 【解析】 本題所給的圖形都是規(guī)則圖形，它們的面積運(yùn)用公式直接可求，只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了 方法一：圖是正方形，邊長是 4，所以面積是 4 ´4 =16 (面積單位)；圖是矩形，長是 5，寬是 3，所以面積是 5 ´3 =15 (面積單位)；圖是三角形，底是 5，高是 4，所以面積是 5 ´4 ¸2 =10

3、 (面積單位)；圖是平行四邊形，底是 5，高是 3，所以面積是 5 ´3 =15 (面積單位)；圖是直角梯形，上底是 3，下底是 5，高是 3，所以面積是（3 +5）´3¸2 =12 (面積單位)； 圖是梯形，上底是 3，下底是 6，高是 4，所以面積是（3 +6）´4¸2 =18 (面積單位)如果兩格點(diǎn)之間的距離是 2，能利用剛計(jì)算的結(jié)果說出相應(yīng)面積么？(教師總結(jié)：面積數(shù)值均擴(kuò)大 4 倍) 【答案】圖 16 ；圖15 ；圖 10 ；圖15 ；圖12 ；圖 18 12222【例 3】 如圖(a)，計(jì)算這個格點(diǎn)多邊形的面積IIIIII(a)(b)

4、 (c )【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 方法一(擴(kuò)展法)這是個三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想 別的辦法：這個三角形是處在長是 6、寬是 4 的矩形內(nèi)，除此之外還有其他三個直角三角形，如下右圖(b)， 這三個直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個直角三角形面積，就是所要求的三角形面 積矩形面積是 6 ´4 =24 ；直角三角形的面積是： 6 ´2 ¸2 =6 ；直角三角形的面積是： 4 ´2 ¸2 =4 ； 直角三角形面積是 4 ´2 ¸2 =4 ；

5、所求三角形的面積是 24 -（6+4+4）=10 (面積單位)方法二 (割補(bǔ)法 ) 將原三角形分割成兩個我們方便計(jì)算面積的三角形，如 (c)圖因此三角形的面積是： 5 ´2 ¸2 +5 ´2 ¸2 =10 (面積單位)【答案】 10【例 4】 右圖是一個方格網(wǎng)，計(jì)算陰影部分的面積1cmDFC1cmAE B【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽【解析】 擴(kuò)展法把所求三角形擴(kuò)展成正方形 ABCD 中這個正方形中有四個三角形：一個是要求的V AEF ；另外 三個分別是： ABE、 FEC、 DAF，它們都有一條邊是

6、水平放置的，易求它們的面積分別為1.5cm ， 2cm ， 1.5cm 所以，圖中陰影部分的面積為： 3 ´3 -（1.5´2 +2）=4 ( cm )【答案】 4【例 5】 分別計(jì)算圖中兩個格點(diǎn)多邊形的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 利用“擴(kuò)展法”和“割補(bǔ)法”我們都可以簡單的得到第一幅圖的面積均為 9 面積單位第二幅圖的面積均為 10 面積單位【點(diǎn)評】“一個格點(diǎn)多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和周界上的格點(diǎn)數(shù)與 格點(diǎn)多邊形的面積有沒有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？”下面我們就來探討一下！在鞏固中，我們發(fā)現(xiàn)兩個圖形面積相等

7、進(jìn)一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是8 個；第二個圖 形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是 10 個，包含在圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)也相等，都是 6 個【答案】第一幅圖的面積均為 9；第二幅圖的面積均為 10【鞏固】 求下列各個格點(diǎn)多邊形的面積（ 1） （2）【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3 星 【題型】解答 【答案】 15 ； 20 ； 14 ； 17（3）（4）2【例 6】“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù) N =9 ；圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù) L =20 ；根據(jù)畢克定理， 則 S =N + 【答案】 18【例 7】 右圖是一個 8 ´12 面積

8、單位的圖形求矩形內(nèi)的箭形 ABCDEFGH 的面積HGFAEDCBL2-1 =18 (單位面積)【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 箭形 ABCDEFGH 的面積 =（8+10 ¸2 -1）+4´8+（4¸2-1）´2=12 +32 +2 =46 (面積單位) 【答案】 46【例 8】 比較圖中的兩個陰影部分和的面積，它們的大小關(guān)系_【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第 9 題，6 分1 1 1【解析】 的面積為： ´2 ´1+ ´1´1+

9、80;3 ´1 =3 ，的面積也為 3 ´2 ¸2 =3 。所以兩塊陰影部分面積相等均為2 2 23?！敬鸢浮肯嗟取纠?9】 右圖中每個小正方形的面積都是 1，那么圖中這只“狗”所占的面積是多少？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】4 星 【題型】解答 【解析】 圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為 54，圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為 19所以圖形的面積為： 54 +19 ¸2 -1 =62.5 (面積單位) 【答案】 62.53【鞏固】 如圖，每一個小方格的面積都是 1 平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3 星 【題型】解答L【解析】 方法一：

10、正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：(N+ -1)×單位正方形面積，其中 N 為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)，L 為圖2形周界上格點(diǎn)數(shù)有 N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：(4+72-1)×1=6.5(平方厘米)方法二：如右上圖，先求出粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形的面積，有=3÷2=15，=2÷2=1，=2÷2=1，=2÷2=1，=2÷2=l，=2÷2=1，還有三個小正方形，所以粗 實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形面積為 15+l+1+1+1+1+3=95，而整個格點(diǎn)陣所圍成的圖形的面積為 16，所以粗 線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5 平

11、方厘米【答案】 6.5 平方厘米【例 10】 第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽在 7 月 21 日開幕，下面的圖形中，每一個小方格的面積是 1， 那么 7、2、1 三個數(shù)字所占的面積之和是多少？【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽【解析】 要計(jì)算三個數(shù)字所占的面積之和，可以先分別求出每個數(shù)字所占的面積顯然，圖中的三個數(shù)字都可以看 作格點(diǎn)多邊形，根據(jù)畢克定理，可以很方便地求出每個數(shù)字所占的面積值得注意的是：數(shù)字 “7”內(nèi)部有 兩個格點(diǎn)，而數(shù)字“2”和“1”內(nèi)部都沒有格點(diǎn)7 所占的面積為：2 +15 ¸2 -1 =8.5 ；2 所占的

12、面積為：24 ¸2 -1 =11 ；1 所占的面積為：17 ¸2 -1 =7.5 所 以，這三個數(shù)字所占的面積之和為： 8.5 +11 +7.5 =27 【答案】 27【例 11】 5 ´5 的方格紙，小方格的面積是 1 平方厘米，小方格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)請你在圖上選 7 個格點(diǎn)，要求其 中任意 3 個格點(diǎn)都不在一條直線上，并且使這 7 個點(diǎn)用直線連接后所圍成的面積盡可能大那么，所圍 圖形的面積是 平方厘米【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】 為了使這 7 個點(diǎn)圍成最大的面積，這 7 個點(diǎn)應(yīng)盡量在正方形的邊或頂點(diǎn)上，如圖選

13、取 7 個點(diǎn)，圍成面積最 大最大面積為 5 ´5 -0.5 ´3 =23.5 (平方厘米)【答案】 23.5 平方厘米422【例 12】 兩個邊長相等的正方形各被分成 25 個大小相同的小方格現(xiàn)將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上 角的陰影部分(塊狀)面積為 5.12cm ，右下角的陰影部分(線狀)面積為 7.4cm ，求大正方形的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】5 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】從小愛數(shù)學(xué)【解析】 塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為 D，則 D 與前者共 14 個方格，與后者共 17 個方格，因此每個方格的19面積是（7.4 -5.12）¸（17-1

14、4）= （cm252）大正方形的面積為 19cm 【答案】 19 平方厘米2【例 13】 將邊長為正整數(shù) n的正方形平均分成n2個小正方形，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)。例如：圖 A 中的格點(diǎn)是邊長為 2 的正方形的格點(diǎn)。圖 B 中，在邊長為 12 的正方形中有四個完全相同的直角三角形。如果三 角形的一條直角邊是 3，那么這四個三角形各邊共經(jīng)過多少個格點(diǎn)？(每個格點(diǎn)只計(jì)一次)（A）【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 19 題，10 分 【解析】 如下圖是一個三角形的示意圖，共經(jīng)過了 33 個格點(diǎn)（B）【答案】 33 個格點(diǎn)5''模

15、塊二、三角形格點(diǎn)問題1、 定義：所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形規(guī)定它的面積 為 1，以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形2、 公式：關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積同樣有它的計(jì)算公式：如果用 S 表示面積，N 表示圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)，L 表示圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)，那么有 S =2 ´N +L -2 ，就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點(diǎn)數(shù)的 2 倍與周界 上格點(diǎn)數(shù)的和減去 2【例 14】 如圖(a)，有 21 個點(diǎn)，每相鄰三個點(diǎn)成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形計(jì)算三角形 ABC 的面積AAAAHCEF DC'CR

16、EF DCB(a)B(b)B(c )B(d)G【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 方法一：如圖(b)所示，在 V ABC 內(nèi)連接相鄰的三個點(diǎn)成V DEF，再連接 DC、EA、FB 后是 V ABC 可看成是由 V DEF 分別延長 FD、DE、EF 邊一倍、一倍、二倍而成的，由等積變換不難得到 S =2 ， S =3 ， S =4 ，所以 S =1 +2 +3 +4 =10 (面積單位)V ACD V AEB V FBC V方法二：如圖(c)所示，作輔助線把圖、分別移拼到、的位置，這樣可以通過數(shù)小正三 角形的方法，求出 V ABC 的面積為 10方法三：如圖(d)所示：作

17、輔助線可知：平行四邊形ARBE 中有 6 個小正三角形，而V ABE 的面積是平行四【答案】 10邊形 ARBE 面積的一半，即 S =3 ，平行四邊形 ADCH 中有 4 個小正三角形，而 V ADC 的面V AEB積是平行四邊形 ADCH 面積的一半，即 S =2 平行四邊形 FBGC 中有 8 個小正三角形，而V ACDV FBC 的面積是平行四邊形 FBGC 的一半，即：S =4 所以 S =1 +2 +3 +4 =10 (面積單位)V FBC V【鞏固】 如圖，每相鄰三個點(diǎn)所形成的三角形都是面積為 1 的等邊三角形，計(jì)算 ABC 的面積ACB【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型

18、】解答【解析】 因?yàn)?N =5 ； L =3 ：所以 S =2 ´N +L -2 =2 ´5 +3 -2 =11 (面積單位)【答案】 11【例 15】 求下列格點(diǎn)多邊形的面積(每相鄰三個點(diǎn)“”或“”成面積為 1 的等邊三角形)（1）（2）（ 3 ） （4 ）【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 L =7 ； N =7 ， S =2 ´N +L -2 =2 ´7 +7 -2 =19 (面積單位)； L =5 ； N =8 ， S =2 ´N +L -2 =2 ´8 +5 -2 =19 (面積單位)； L =6 ；

19、N =7 ， S =2 ´N +L -2 =2 ´7 +6 -2 =18 (面積單位)； L =7 ； N =8 ， S =2 ´N +L -2 =2 ´8 +7 -2 =21 (面積單位)【答案】（1）19 ；（2）19 ；（）6【例 16】 把大正三角形每邊八等分，組成如右圖所示的三角形網(wǎng)如果大三角形的面積是 128，求圖中粗線所圍 成的三角形的面積【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 圖中有 1 +3 +5 +7 +9 +11 +13 +15 =64 (個)小三角形，那么一個小三角形的面積是128 ¸64 =2 ， 圖

20、形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為 12，圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為 4；圖形的面積為： 2 ´12 +4 -2 =26 (面積單位)，進(jìn)而得圖形的面積為： 26 ´2 =52 【答案】 52【例 17】 如圖，如果每一個小三角形的面積是 1 平方厘米，那么四邊形 ABCD 的面積是多少平方厘米？CCDDBBAA【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 法一：正三角形方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：(2N+L-2)x 單位正三角形面積，其中 N 為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)，L 為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)有 N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米

21、)法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實(shí)線內(nèi)完整的小正三角形有 10 個，而將不完整的小正三角形分成 4 部分計(jì) 算，其中部分對應(yīng)的平行四邊形面積為 4，所以部分的面積為 2，、部分對應(yīng)的平行四邊形 面積分別為 2，8，6，所以、部分的面積分別為 1，4，3所以粗實(shí)線內(nèi)圖形的面積為 10+2+1+4+3=20(平 方厘米)【答案】 20 平方厘米【例 18】 如果下圖中任意相鄰的三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積都是 2 平方厘米那么，三角形 ABC 的面積是_平 方厘米【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 S =S +S +S =2 ´12 +2 ´12 +2 ´

22、9 =66(平方厘米) DABC DABD DBCD DACD【答案】 66 平方厘米7模塊三、構(gòu)造格點(diǎn)進(jìn)行解題【例 19】 圖中正六邊形 ABCDEF 的面積是 54，AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形 CEPQ 的面積APF APFBE BEQQC DC D【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【解析】 如圖，將正六邊形 ABCDEF 等分為 54 個小正三角形根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積 PEF 面積 =3 ， CDE 面積 =9 ，四邊形 ABQP 面積 =11 上述三塊面積之和為 3 +9 +11 =23 因此，陰影四 邊形 CEPQ 面積為

23、 54 -23 =31 【答案】 31【例 20】 正六邊形 ABCDEF 的面積是 6 平方厘米M 是 AB 中點(diǎn)，N 是 CD 中點(diǎn)，P 是 EF 中點(diǎn)問：三角形 MNP 的面積是多少平方厘米？AFAQFMPMPBE BERSCND CND【考點(diǎn)】格點(diǎn)型面積 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【解析】 將正六邊形分成六個面積為 1 平方厘米的正三角形，再取它們各邊的中點(diǎn)將每個正三角形分為 4 個小正三 角形于是正六邊形 ABCDEF 被分成了 24 個小正三角形，每一個小正三角形的面積是 6 ¸24 =0.25 (平方 厘米)，三角形 MNP 由 9 個小正三角形所組成，所以三角形 MNP 的面積 =0.25 ´9 =2.25 (平方厘米)【答