無(wú)棱二面角的求法

1、無(wú)棱二面角的求法所給圖形中， 沒(méi)有出現(xiàn)棱的二面角稱為無(wú)棱二面角 求其大小的方法， 歸納起來(lái)有以下五種1兩點(diǎn)法 即根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線， 找到所求二面角的棱， 然后作出其平面角解之例 1如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，求面與面所成二面角的大小分析因?yàn)榕c共面且不平行，故延長(zhǎng)后必相交，設(shè)交點(diǎn)為，則就是所求二面角的棱，于是作出其平面角便可求解略解延長(zhǎng)、交于，連，作于，連，則就是所求二面角的平面角，2平行線法其理論依據(jù)是直線與平在平行的性質(zhì)具體作法是： 在二面角的一個(gè)面內(nèi)作 （找）一直線與另一個(gè)面平行， 則過(guò)二面角兩面的公共點(diǎn)且與該直線平行的直線就是所求二面角的棱例 2面的垂線過(guò)邊長(zhǎng)為、的等邊，且頂

2、點(diǎn)、，求面，分別引與面所在平所成角的大小解取的中點(diǎn)，作交于，則，又，是平行四邊形，面過(guò)作直線，則為所求二面角的棱，且，即，又面，就是所求二面角的平面角顯然（此題還可用兩點(diǎn)法求解，讀者自己完成）3垂面法其理論依據(jù)是： 如果兩相交平面都與第三個(gè)平面垂直，那么它們的交線必與第三個(gè)平面垂直 據(jù)此，如果圖形中能作出一個(gè)平面與無(wú)棱二面角的兩個(gè)面都垂直，那么該平面與二面角兩個(gè)面的交線所成角就是該二面角的平面角在例 1 中，易證對(duì)角面 與面 及面 都垂直，故就是所求二面角的平面角顯然，或例 2也可用垂面法求解，只須證面與面及面都垂直（留給讀者完成）4平移法其理論依據(jù)是： 一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，它們所成的

3、二面角相等或互補(bǔ) 具體作法，將無(wú)棱二面角一個(gè)面平移到適當(dāng)位置，可得到一個(gè)與所求二面角相等或互補(bǔ)的有棱二面角，然后作出該二面角的平面角便可求解在例 2中，如果作交于，作交于，則面面，這時(shí)，二面角等于所求二面角故只要求出二面角即達(dá)目的（具體求解留給讀者完成）例 3在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，在上，且，求面與面所成二面角的大小解過(guò)作交于，再過(guò)作交于，則面面，于是二面角與所求二面角相等 作于，連，則，就是二面角的平面角，即為所求二面角的大小5面積射影法其理論依據(jù)是定理：如果平面圖形的面積為，它在平面內(nèi)的射影的面積為，并且所在平面與平面所成角為，那么在例 1 中，顯然是在底面內(nèi)的射影，故可用面積射影法求解，設(shè)所求二面角為，則，例 2也可用面積射影法