赤平投影原理實用教案

1、 極射赤平投影簡稱赤平投影極射赤平投影簡稱赤平投影 主要用來表主要用來表示線、面的方向及其它們之間的角距關系和運示線、面的方向及其它們之間的角距關系和運動規(guī)律動規(guī)律; 它把物體三維空間的幾何要素它把物體三維空間的幾何要素(例如線、例如線、面面)反映和投影在平面上進行研究處理，從而反映和投影在平面上進行研究處理，從而提供提供(tgng)了一種形象、直觀、簡便、綜合了一種形象、直觀、簡便、綜合的定量計算和圖解方法。由于具有以上優(yōu)點，的定量計算和圖解方法。由于具有以上優(yōu)點，赤平投影被廣泛地用于天文、航海、測量、地赤平投影被廣泛地用于天文、航海、測量、地理、地質科學等學科中。構造地質學應用赤平理、地質

2、科學等學科中。構造地質學應用赤平投影來分析地質構造的幾何學形態(tài)以及作用力投影來分析地質構造的幾何學形態(tài)以及作用力和地質構造之間的關系等方面的問題。它是研和地質構造之間的關系等方面的問題。它是研究地質構造的一種重要手段。究地質構造的一種重要手段。極射赤平投影及使用極射赤平投影及使用(shyng)(shyng)方法方法第1頁/共39頁第一頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(一一) 投影投影(tuyng)要素要素: 赤平投影赤平投影(tuyng)是以圓球體作為投影是以圓球體作為投影(tuyng)工具工具, 投投影影(tuyng)球中用于投影球中用于投影(tuyn

3、g)的各個組成部分稱為投影的各個組成部分稱為投影(tuyng)要素要素: 1. 投影投影(tuyng)球球: 是一個以任意長度為半徑的球體是一個以任意長度為半徑的球體, 投影投影(tuyng)球的表面叫球面。球的表面叫球面。第2頁/共39頁第二頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(一一) 投影要素投影要素: 2. 赤平圓赤平圓: 過投影球球心過投影球球心(qixn)的水平面的水平面, 又叫赤又叫赤平投影面、或簡稱赤平面。平投影面、或簡稱赤平面。第3頁/共39頁第三頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(一一) 投影要素投影要

4、素: 3. 基圓基圓: 赤平面與投影球面赤平面與投影球面(qimin)相交的大相交的大圓叫基圓。凡是過球心的平面與投影球球面圓叫基圓。凡是過球心的平面與投影球球面(qimin)相交所成的圓通稱為大圓相交所成的圓通稱為大圓; 凡是不過投影球球心的平面凡是不過投影球球心的平面與投影球球面與投影球球面(qimin)相交所成的圓通稱為小圓。相交所成的圓通稱為小圓。第4頁/共39頁第四頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(一一) 投影要素投影要素(yo s): 4. 極射點極射點: 投影球上下兩極的發(fā)射點叫極射點。投影球上下兩極的發(fā)射點叫極射點。由上極射點由上極射點(

5、P)把下半球的幾何要素把下半球的幾何要素(yo s)投影到赤投影到赤平面上的投影稱下半球投影平面上的投影稱下半球投影; 以下極射點以下極射點(F)把上半球把上半球的幾何要素的幾何要素(yo s)投影到赤平面上的投影叫上半球投投影到赤平面上的投影叫上半球投影。構造地質赤平投影分析一般采用下半球投影。影。構造地質赤平投影分析一般采用下半球投影。第5頁/共39頁第五頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(二二) 平面的赤平投影解析平面的赤平投影解析: 1. 過球心的平面的赤平投影過球心的平面的赤平投影: 設想通過球心的平面無限設想通過球心的平面無限(wxin)延伸，

6、必定延伸，必定與球面相交構成一個直徑與投影球直徑相對的大圓。與球面相交構成一個直徑與投影球直徑相對的大圓。直立平面與投影球相交為一直立大圓直立平面與投影球相交為一直立大圓(SPNF)，水平，水平平面與投影球相交為水平大圓或基圓平面與投影球相交為水平大圓或基圓(WNES)，傾斜，傾斜平面與投影球相交為一傾斜大圓平面與投影球相交為一傾斜大圓(SANB) 。第6頁/共39頁第六頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(二二) 平面的赤平投影解析平面的赤平投影解析: 1. 過球心的平面的赤平投影過球心的平面的赤平投影: 上述球面直立大圓上述球面直立大圓(SPNF) 、水

7、平、水平(shupng)大圓大圓或基圓或基圓(WNES) 、傾斜大圓、傾斜大圓(SANB) 的各點與上極射的各點與上極射點點(P)的連線必穿過赤平面的連線必穿過赤平面, 在赤平面上留下的一系列在赤平面上留下的一系列穿透點穿透點, 這些穿透點的連線即為相應大圓的極射赤平這些穿透點的連線即為相應大圓的極射赤平投影投影, 簡稱大圓弧。簡稱大圓弧。大圓弧第7頁/共39頁第七頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(二二) 平面的赤平投影解析平面的赤平投影解析: 1. 過球心的平面的赤平投影過球心的平面的赤平投影: 直立大圓在赤平面的赤平投影為基圓的一條直徑直立大圓在赤平

8、面的赤平投影為基圓的一條直徑(即直立大圓即直立大圓PSFN的投影為的投影為NS直徑直徑)；水平大圓的赤平投；水平大圓的赤平投影就是影就是(jish)基圓基圓(WNES)；傾斜大圓的赤平投影是以基；傾斜大圓的赤平投影是以基圓直徑為弦的大圓弧圓直徑為弦的大圓弧(ASBN投影成投影成SBN)第8頁/共39頁第八頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(二二) 平面的赤平投影解析平面的赤平投影解析: 1. 過球心的平面的赤平投影過球心的平面的赤平投影: 極射赤平投影的一個重要性質極射赤平投影的一個重要性質(xngzh)是是, 球面大球面大圓投影到赤平面上仍是一個圓圓投影

9、到赤平面上仍是一個圓第9頁/共39頁第九頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(二二) 平面的赤平投影解析平面的赤平投影解析: 2. 不過球心的平面的赤平投影不過球心的平面的赤平投影: 把平面移至投影球內把平面移至投影球內, 但不過球心但不過球心, 則平面必相交則平面必相交與球面與球面(qimin)而成一個直徑小于投影球直徑的小圓。而成一個直徑小于投影球直徑的小圓。直立平面的投影為直立小圓直立平面的投影為直立小圓; 水平平面的投影為水平小水平平面的投影為水平小圓圓; 傾斜平面的投影為傾斜小圓。傾斜平面的投影為傾斜小圓。第10頁/共39頁第十頁，共40頁。一一.

10、 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(三三) 直線的赤平投影解析直線的赤平投影解析: 設想一直線通過球心設想一直線通過球心, 無限延長必相交于投影球面兩無限延長必相交于投影球面兩點點, 稱為極點。鉛直線交于球面上下兩點稱為極點。鉛直線交于球面上下兩點, 水平直線交于基圓水平直線交于基圓上兩點上兩點; 傾斜傾斜(qngxi)直線交于交于相應球面兩點。這些交直線交于交于相應球面兩點。這些交點與上極射點點與上極射點(P)的連線穿過赤平面的穿透點稱為直線的赤的連線穿過赤平面的穿透點稱為直線的赤平投影點。平投影點。第11頁/共39頁第十一頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng

11、)的基本原理的基本原理(三三) 直線的赤平投影解析直線的赤平投影解析: 鉛直直線的赤平投影點在基圓中心鉛直直線的赤平投影點在基圓中心, 水平直線的水平直線的赤平投影點就是基圓上的兩個極點赤平投影點就是基圓上的兩個極點, 兩點距離等于基圓的兩點距離等于基圓的直徑直徑; 傾斜直線的赤平投影點有一點傾斜直線的赤平投影點有一點(y din)在基圓內在基圓內, 另一點另一點(y din)在基圓外在基圓外, 兩點在赤平投影圖上的角距相兩點在赤平投影圖上的角距相差差180。第12頁/共39頁第十二頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(四四) 赤平投影網赤平投影網: 構造地

12、質學中常用的投影網有由吳爾福創(chuàng)造的吳氏構造地質學中常用的投影網有由吳爾福創(chuàng)造的吳氏網和由施密特創(chuàng)造的施氏網。網和由施密特創(chuàng)造的施氏網。 1. 吳氏網的結構及成圖原理吳氏網的結構及成圖原理: 吳氏網由基圓吳氏網由基圓(赤平大圓赤平大圓) 、經向大圓弧、緯向小圓弧、經向大圓弧、緯向小圓弧等東西、南北等東西、南北(nnbi)經緯線組成。標準的吳氏網的基圓經緯線組成。標準的吳氏網的基圓直徑為直徑為20cm , 經、緯度間距經、緯度間距2。第13頁/共39頁第十三頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(四四) 赤平投影網赤平投影網:1. 吳氏網的結構吳氏網的結構及成圖原

13、理及成圖原理(yunl): 吳氏網由基吳氏網由基圓圓(赤平大圓赤平大圓) 、經向大圓弧、緯經向大圓弧、緯向小圓弧等東西、向小圓弧等東西、南北經緯線組成。南北經緯線組成。標準的吳氏網的標準的吳氏網的基圓直徑為基圓直徑為20cm 經、緯度間距經、緯度間距2。0306090120150180210240270300330第14頁/共39頁第十四頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(四四) 赤平投影網赤平投影網: 1. 吳氏網的結構及成圖原理吳氏網的結構及成圖原理(yunl): (1) 基圓基圓: 由指北方向由指北方向N為為0, 順時針方向刻出順時針方向刻出0360

14、的刻度，這些刻度起著量度方位角的作用。的刻度，這些刻度起著量度方位角的作用。第15頁/共39頁第十五頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理1. 吳氏網的結構及成圖原理吳氏網的結構及成圖原理: (2) 經向大圓弧經向大圓弧: 由一系列通過球心，走向南北，由一系列通過球心，走向南北，分別分別(fnbi)向西和向東傾斜，傾角從基圓邊上到基向西和向東傾斜，傾角從基圓邊上到基圓中心傾角由圓中心傾角由090的許多平面投影大圓弧所組的許多平面投影大圓弧所組成。這些大圓弧與東西直徑線的各交點到直徑端點成。這些大圓弧與東西直徑線的各交點到直徑端點(E、W) 的距離分別的距離分別

15、(fnbi)代表各平面的傾角值。如圖中代表各平面的傾角值。如圖中NGS大圓弧向西傾斜大圓弧向西傾斜, 傾角傾角30。第16頁/共39頁第十六頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理1. 吳氏網的結構及成圖原理吳氏網的結構及成圖原理: (3) 緯向小圓弧緯向小圓弧: 由一系列走向東西而不通過球由一系列走向東西而不通過球心的直立球面小圓的投影小圓弧組成。緯向小圓弧心的直立球面小圓的投影小圓弧組成。緯向小圓弧也是也是2一個間隔，它分割南北一個間隔，它分割南北(nnbi)直徑線的距直徑線的距離，與經向大圓弧分割東西直徑線的距離是相對的。離，與經向大圓弧分割東西直徑線的距

16、離是相對的。經向大圓弧緯向小圓弧施密特網吳氏網第17頁/共39頁第十七頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(四四) 赤平投影網赤平投影網: 1. 吳氏網的結構及成圖原理吳氏網的結構及成圖原理(yunl): 2. 吳氏網與施氏網的區(qū)別吳氏網與施氏網的區(qū)別: 吳氏網施氏網第18頁/共39頁第十八頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(四四) 赤平投影網赤平投影網: 1. 吳氏網的結構及成圖原理吳氏網的結構及成圖原理: 2. 吳氏網與施氏網的區(qū)別吳氏網與施氏網的區(qū)別: 吳氏網球面上大小相等的小圓吳氏網球面上大小相等的小圓, 投影在

17、吳氏網上直徑角距是投影在吳氏網上直徑角距是相等的，但由于所處部位不同，投影小圓的作圖半徑不等、面積也相等的，但由于所處部位不同，投影小圓的作圖半徑不等、面積也不等，其規(guī)律是，由基圓圓心到圓周逐漸不等，其規(guī)律是，由基圓圓心到圓周逐漸(zhjin)變大。變大。 施氏網球面上大小相等小圓投影到施氏網上不成小圓，而成施氏網球面上大小相等小圓投影到施氏網上不成小圓，而成四級曲線，但每個四級曲線構成的圖形面積相等，而且是球面小圓四級曲線，但每個四級曲線構成的圖形面積相等，而且是球面小圓面積的面積的1/2。第19頁/共39頁第十九頁，共40頁。一一. 赤平投影赤平投影(tuyng)的基本原理的基本原理(四四

18、) 赤平投影網赤平投影網: 1. 吳氏網的結構及成圖原理吳氏網的結構及成圖原理: 2. 吳氏網與施氏網的區(qū)別吳氏網與施氏網的區(qū)別: 因為吳氏網上反映角距關系比較精確，且作圖方便，因為吳氏網上反映角距關系比較精確，且作圖方便，尤其是在旋轉尤其是在旋轉(xunzhun)操作方面更顯示其優(yōu)越性，操作方面更顯示其優(yōu)越性，因此，在求解線、面之間的角距關系方面，采用吳氏網。因此，在求解線、面之間的角距關系方面，采用吳氏網。 在面臨眾多的線、面統(tǒng)計分析，進行線、面的變化在面臨眾多的線、面統(tǒng)計分析，進行線、面的變化規(guī)律和分布規(guī)律的研究時，多用施氏網，因為施密特網規(guī)律和分布規(guī)律的研究時，多用施氏網，因為施密特網

19、具有等面積特征，能夠真實地反映球面上投影極點地分具有等面積特征，能夠真實地反映球面上投影極點地分別疏密。別疏密。第20頁/共39頁第二十頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法第21頁/共39頁第二十一頁，共40頁。二二. 赤平投影赤平投影(tuyng)網的使網的使用方法用方法所需工具所需工具: 吳氏網吳氏網(在實習指導書后面在實習指導書后面) 透明紙透明紙(2020cm) 硬紙板硬紙板(2020cm) 圖釘圖釘(tdng)一枚或大頭針一枚或大頭針 橡皮擦橡皮擦 鉛筆鉛筆 透明膠帶透明膠帶第22頁/共39頁第二十二頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投

20、影網的使用(shyng)方法方法投影前要作的準備投影前要作的準備(zhnbi)工作工作: 1. 透明紙放在投影網上，用鉛筆標記一透明紙放在投影網上，用鉛筆標記一個個“+” 以注明投影網中心；再用一以注明投影網中心；再用一55mm的透明膠帶貼在透明紙上的透明膠帶貼在透明紙上( 貼在投影網中心所貼在投影網中心所在部位在部位) 。 2. 將透明紙上的將透明紙上的“+”標記與投影網對準，標記與投影網對準，用圖釘或大頭針沿中心扎下去并固定在桌面上，用圖釘或大頭針沿中心扎下去并固定在桌面上，此時透明紙能繞圖釘此時透明紙能繞圖釘(投影網中心投影網中心)作水平方向作水平方向的旋轉。的旋轉。 3. 用鉛筆在透明

21、紙上描下投影網的基圓用鉛筆在透明紙上描下投影網的基圓(圓周圓周)，并在上端，并在上端0處注記一箭頭，箭頭指處注記一箭頭，箭頭指向投影網上向投影網上0的刻度處。的刻度處。第23頁/共39頁第二十三頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法投影前要作的準備工作投影前要作的準備工作(gngzu): 3. 用鉛筆在透明紙上描下投影網的基圓用鉛筆在透明紙上描下投影網的基圓(圓周圓周)，并在上端，并在上端0處注記一箭頭，箭頭指處注記一箭頭，箭頭指向投影網上向投影網上0的刻度處。的刻度處。0第24頁/共39頁第二十四頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(s

22、hyng)方法方法(一一) 平面的赤平投影平面的赤平投影: 例如例如: 一平面的產狀為一平面的產狀為12030 1. 透明紙上指北箭頭透明紙上指北箭頭(jintu)與投影網的與投影網的0重合重合, 從從0開始開始, 順時針數到投影網的順時針數到投影網的120 處處, 用鉛筆在該處的基圓上注記用鉛筆在該處的基圓上注記一點。該點為平面的傾向。一點。該點為平面的傾向。 吳氏網透明紙第25頁/共39頁第二十五頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法(一一) 平面的赤平投影平面的赤平投影: 例如例如: 一平面的產狀為一平面的產狀為12030 2. 轉動透明紙轉動透明紙

23、, 使使120 傾向的注記點移動至投影網的東西直徑傾向的注記點移動至投影網的東西直徑上上, 沿著投影網東西直徑由投影網圓周向圓心方向數沿著投影網東西直徑由投影網圓周向圓心方向數30, 得一點得一點C, 然然后描繪出過后描繪出過C點的經向大圓弧點的經向大圓弧, 該大圓弧為產狀為該大圓弧為產狀為12030傾斜平面傾斜平面的赤平投影。的赤平投影。 3. 把透明紙指北箭頭把透明紙指北箭頭(jintu)轉回原來轉回原來0方位方位, 此時所畫大圓此時所畫大圓弧的弧凸方向為弧的弧凸方向為120 , 角距為角距為30。第26頁/共39頁第二十六頁，共40頁。二二. 赤平投影赤平投影(tuyng)網的使用方法網

24、的使用方法(二二)直線的赤平投影直線的赤平投影: 例如例如: 一直線的產狀為一直線的產狀為33040 1. 透明紙上指北箭頭與投影網的透明紙上指北箭頭與投影網的0重合重合, 從從0開始開始(kish), 順時針數到投影網的順時針數到投影網的330 處處, 用鉛筆在該處的基圓上注記一點。該用鉛筆在該處的基圓上注記一點。該點為直線的傾伏向。點為直線的傾伏向。 第27頁/共39頁第二十七頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法(二二)直線的赤平投影直線的赤平投影(tuyng): 例如例如: 一直線的產狀為一直線的產狀為33040 2. 轉動透明紙轉動透明紙, 使使

25、330 傾伏向的注記點移動至投影傾伏向的注記點移動至投影(tuyng)網網的東西直徑上的東西直徑上, 沿著投影沿著投影(tuyng)網東西直徑由投影網東西直徑由投影(tuyng)網圓周網圓周向圓心方向數向圓心方向數40, 得一點得一點A, 該點即為為產狀為該點即為為產狀為33040傾斜直線的傾斜直線的赤平投影赤平投影(tuyng)。 第28頁/共39頁第二十八頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法(三三)法線的赤平投影法線的赤平投影: 這里說的法線是指平面的法線，平面這里說的法線是指平面的法線，平面及其法線二者之間相互垂直，夾角相差及其法線二者之間相互垂直

26、，夾角相差90; 平面及其法線的投影常常互為使用平面及其法線的投影常常互為使用(shyng)。平面投影是大圓弧，而平面法。平面投影是大圓弧，而平面法線的投影則為一極點，投影起來方便，在線的投影則為一極點，投影起來方便，在圖面上表示起來也較簡潔。圖面上表示起來也較簡潔。 第29頁/共39頁第二十九頁，共40頁。二二. 赤平投影赤平投影(tuyng)網的使用方法網的使用方法(三三)法線的赤平投影法線的赤平投影: 例如例如: 求一平面求一平面(pngmin)產狀為產狀為9040的法的法線投影。線投影。 1. 透明紙上指北箭頭與投影網的透明紙上指北箭頭與投影網的0重合重合, 從從0開始開始, 順時針數

27、到投影網的順時針數到投影網的90 處處, 用鉛筆在該處的基用鉛筆在該處的基圓上注記一點。該點為平面圓上注記一點。該點為平面(pngmin)的傾向。的傾向。 第30頁/共39頁第三十頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法(三三)法線的赤平投影法線的赤平投影: 2. 轉動透明紙轉動透明紙, 使使90傾向的注記點移動傾向的注記點移動(ydng)至投影網的東西直徑上至投影網的東西直徑上, 沿著投影網東西直徑由投影網沿著投影網東西直徑由投影網圓周向圓心方向數圓周向圓心方向數40, 得一點得一點D, 該點即為產狀為該點即為產狀為9040傾斜平面的赤平投影。傾斜平面的赤

28、平投影。 3. 繼續(xù)沿東西直徑再數繼續(xù)沿東西直徑再數90 得得P點點, 該點即為產該點即為產狀為狀為9040平面的法線投影點。平面的法線投影點。 第31頁/共39頁第三十一頁，共40頁。二二. 赤平投影赤平投影(tuyng)網的使用方法網的使用方法(四四)求兩平面的交線產狀求兩平面的交線產狀: 例如例如: 兩平面產狀為兩平面產狀為7040和和29030, 求其交求其交線產狀線產狀 1. 按前面所述平面的投影方法按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圓弧。投影得二大圓弧。 2. 而大圓弧相交而大圓弧相交(xingjio)與一點與一點b, 即為兩平即為兩平面交線的產狀面交線的產狀(傾伏向和傾伏角為

29、傾伏向和傾伏角為413) 第32頁/共39頁第三十二頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法(四四)求兩平面的夾角及其等分面求兩平面的夾角及其等分面: 例如例如: 兩平面產狀為兩平面產狀為7040和和29030, 求兩平面求兩平面的夾角及其等分面的夾角及其等分面 1. 按前面所述平面的投影方法按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圓弧。投影得二大圓弧。 2. 而大圓弧相交而大圓弧相交(xingjio)與一點與一點b，為二平面的交，為二平面的交線。線。 第33頁/共39頁第三十三頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法(四四

30、)求兩平面的夾角及其等分面求兩平面的夾角及其等分面: 3. 把把b點轉至東西直徑上點轉至東西直徑上, 從從b點沿東西直徑朝著點沿東西直徑朝著圓心方向數圓心方向數90 得得K點。點。 4. 將將K點轉至一經向大圓弧上點轉至一經向大圓弧上, 過過K點作出大圓弧點作出大圓弧FG, FG大圓弧所代表的平面即為產狀為大圓弧所代表的平面即為產狀為7040和和29030兩平面的公垂面兩平面的公垂面, 因而在因而在FG大圓弧上兩交線大圓弧上兩交線之間的夾角為真二面角之間的夾角為真二面角, 其中一對其中一對(y du)為銳角為銳角, 另一另一對對(y du)為鈍角為鈍角, 二者互為補角。二者互為補角。第34頁/共39頁第三十四頁，共40頁。二二. 赤平投影網的使用赤平投影網的使用(shyng)方法方法(四四)求兩平面的夾角及其等分面求兩平面的夾角及其等分面: 5. 在在FG大圓弧上數二面角的平分大圓弧上數二面角的平分(pngfn)角距角距, IH間平分間平分(pngfn)為為57 , 平分平分(pngfn)點為點為K, 在在FI+HG間平分間平分(pngfn)為為33 。 6. 轉動透明紙轉動透明紙, 使使b點和點和K點位于同一大圓弧上點位于同一大圓弧上, 該大圓弧即為二平面夾角中的平分該大圓弧即為二平面夾角中的平