四川大學(xué)隨機(jī)信號(hào)第五章習(xí)題解答

1、 隨機(jī)信號(hào)分析基礎(chǔ) 第5章習(xí)題講解 四川大學(xué)電子信息學(xué)院5.8 解：由題可知，要求系統(tǒng)輸出過程的均值：設(shè)設(shè)X(t)是有界的平穩(wěn)過程，其均值為是有界的平穩(wěn)過程，其均值為m mX X，則，則 ) 3 . 2 . 5()()()()()()(dhmdtXEhdtXhEtYEX顯然，顯然， 是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。dhmtYEmXY)()(（1）系統(tǒng)輸出的均值2( )XRabe22lim( )XXRmaXma 首先計(jì)算系統(tǒng)輸入過程均值已知有關(guān)系式：0 ( )( )( )XYE Y tmhdaedamt 系統(tǒng)所示的傳函為：1( )( ),( )1tRCj RCh tteHR

2、Cj RC為求得輸出的自相關(guān)函數(shù)，分別從時(shí)域和頻域可得兩種方法。2( )( )( )* ()( )( )( )YXYXRRhhGHG5.11 要求的是輸出的自相關(guān)函數(shù)5.11 從時(shí)域角度)()()()(),(212121YXYRddhhRttR )()()()(hhRRXY 若隨機(jī)輸入過程若隨機(jī)輸入過程X(t)X(t)是寬平穩(wěn)的，那么線性時(shí)不變是寬平穩(wěn)的，那么線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出過程系統(tǒng)的輸出過程Y(t)Y(t)也是寬平穩(wěn)的隨機(jī)過程。實(shí)際上，也是寬平穩(wěn)的隨機(jī)過程。實(shí)際上，對(duì)于嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程結(jié)論同樣也成立。若輸入是各態(tài)對(duì)于嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程結(jié)論同樣也成立。若輸入是各態(tài)經(jīng)歷過程，輸出也將是各態(tài)經(jīng)歷過程

3、。經(jīng)歷過程，輸出也將是各態(tài)經(jīng)歷過程。（2）系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸出的功率譜密度若輸入隨機(jī)過程若輸入隨機(jī)過程X(t)為平穩(wěn)過程，則輸出的自相關(guān)為平穩(wěn)過程，則輸出的自相關(guān)函數(shù)為：函數(shù)為：)(*)(*)()(hhRRXY利用傅立葉變換，可得輸出的功率譜密度利用傅立葉變換，可得輸出的功率譜密度 式中式中H()是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，其模（絕對(duì)值）的平是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，其模（絕對(duì)值）的平方方H()2稱之為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。稱之為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。 )()()()()()(2XXYGHGHHG5.11 從頻域角度5.11 解：先求出輸入電壓的自相關(guān)函數(shù)00( )( )()(c

4、os(2)(cos(2 ()11cos232XRE X t X tE XtXt( )()FTXXRG所以輸入的功率譜密度：2( )( ) (2 )(2 )32XG (t) 11 2()cos0t (0)(0)2sin(t / 2)t / 2 rect()ea 2aa22eacos0 aa2(0)2aa2(0)21,10,else sin2(2)(2)2從計(jì)算復(fù)雜度考慮，我們從頻域的角度來計(jì)算輸出的自相關(guān)函數(shù)2222222( )( )( )2( )(2 )(2 )1322YXGHGRCRC 22222214 (2 )(2 )2 1 4R CR C 2222222( )( )cos214YYR C

5、RIFT GR C5.16 解：要求傳輸函數(shù)和輸出Z(t)的均方值，由系統(tǒng)圖可知： ( )()*( )Z tX tX tTU t( )* ( )()* ( )( )* ( )()X ttt TU tX tU tU t T( )( )()h tU tU tT所以傳函為：sin(/ 2)( ) ( )exp()/ 22Tj THFT h tTT（2）解：220201( )( )2sin12224ZE ZtGdTNdN T22202sin (/ 2)( )( )( )2(/ 2)ZXNTGHGTT)()()(HGGXXY)()()(HGGXYX若輸入隨機(jī)信號(hào)為白噪聲過程，其若輸入隨機(jī)信號(hào)為白噪聲過程

6、，其Gx()=NGx()=N0 0/2/2，則有，則有 )(2)(0HNGXY)(2)(0HNGYX因此當(dāng)系統(tǒng)性能未知時(shí)：若能設(shè)法得到互譜密度，就可因此當(dāng)系統(tǒng)性能未知時(shí)：若能設(shè)法得到互譜密度，就可由式由式(5.2.42)(5.2.42)確定線性系統(tǒng)的的傳輸函數(shù)。確定線性系統(tǒng)的的傳輸函數(shù)。 系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度5.18 解：要求互功率譜密度( )Hj( )( )( )( )XYXXGGHj G所以：22( )( )( )( )YXXGHGG已知微分器傳遞函數(shù)為5.23 解：要求自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度由圖可知：( )( ) ( )Z tX t Y t( ) ( ) () (

7、) ( ) () ()ZREZ t Z tE X t Y t X tY t( )( )XYRR由維納辛欽定理可得：1( )( )( )*( )2ZZXYGFT RGG5.26 解：由題可知，所求的系統(tǒng)為一白化濾波器，有：2( )( )( )1YXGHG2228()3H(8)(8)(3)(3)jjjj把已知的有色噪聲通過某系統(tǒng)后變?yōu)榘自肼?，這把已知的有色噪聲通過某系統(tǒng)后變?yōu)榘自肼?，這個(gè)系統(tǒng)稱為白化濾波器。個(gè)系統(tǒng)稱為白化濾波器。對(duì)于對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，當(dāng)，當(dāng)t0時(shí)，有時(shí)，有h(t)=0，所以有：，所以有：dtXhdthXtYt)()()()()(0如果一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，對(duì)任意有限輸

8、入其響應(yīng)有如果一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，對(duì)任意有限輸入其響應(yīng)有界，則稱此界，則稱此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的。 5.1.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性與物理可實(shí)現(xiàn)的問題系統(tǒng)的穩(wěn)定性與物理可實(shí)現(xiàn)的問題 5.26 解：要求系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)的H(s)的極點(diǎn)在左半的極點(diǎn)在左半S平面，而平面，而零點(diǎn)不在右半零點(diǎn)不在右半S平面。平面。 H () 8 j3 j穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)應(yīng)絕對(duì)可積的，即滿足絕對(duì)可積的，即滿足 dh)(系統(tǒng)傳函的極點(diǎn)在系統(tǒng)傳函的極點(diǎn)在S平面的左半平面或平面的左半平面或Z平面的單位圓平面的單位圓內(nèi)。內(nèi)。5.26 解:5.27 解：這是求解一個(gè)形成濾波

9、器形成濾波器 對(duì)于某個(gè)具有有理譜密度的零均值平穩(wěn)隨機(jī)序?qū)τ谀硞€(gè)具有有理譜密度的零均值平穩(wěn)隨機(jī)序列，可以把它看作是一零均值單位譜高的白序列通列，可以把它看作是一零均值單位譜高的白序列通過離散線性系統(tǒng)形成的，這個(gè)離散線性系統(tǒng)的傳遞過離散線性系統(tǒng)形成的，這個(gè)離散線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為函數(shù)為H(z)（穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)），稱濾波器（穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)），稱濾波器H(z)為這個(gè)隨機(jī)過程的形成濾波器。為這個(gè)隨機(jī)過程的形成濾波器。 類似離散序列，任意一有理譜密度的平穩(wěn)過程類似離散序列，任意一有理譜密度的平穩(wěn)過程可以認(rèn)為是零均值單位譜高的白噪聲通過因果線性可以認(rèn)為是零均值單位譜高的白噪聲通過因果線性定常系統(tǒng)定常

10、系統(tǒng)H(s)后形成的。后形成的。)()()()(2jHjHjHGY穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)的H(s)的極點(diǎn)在左半的極點(diǎn)在左半S平面而平面而零點(diǎn)不在右半零點(diǎn)不在右半S平面。平面。同題5.26選取穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)：(2)( )(1)(3)jHjj2()()XGH(2)(2)(1)(1)(3)(3)jjjjjj自回歸或自回歸或AR(Autoregresive)模型模型 滑動(dòng)平均滑動(dòng)平均(MA)模型模型 自回歸滑動(dòng)平均自回歸滑動(dòng)平均(ARMA)模型模型 npllnlnXYaY1qmmnmnXbY0qmmnmpllnlnXbYaY01常見的隨機(jī)序列的模型5.30 要求自相關(guān)函數(shù)和功率譜密

11、度5.30 （1）解：1nnnWXX顯然這是一個(gè)一階MA過程，該過程輸出的自相關(guān)函數(shù)滿足下列方程2,00,1,( )0,q kXi i kiWbbkqRkkq該方程可參考教材107頁式（5.5.5）輸入隨機(jī)序列在-1到1間均勻分布，所以：213X由上述方程可以算出：211(0);(1);( 1)333WWWRRR 功率譜為：112( )( )(1 cos)3kj kWWkGRk e（2）解：122nnnnZXXX X213,q 2,b01,b1 2,b21這是一個(gè)二階MA過程2,04,13( )1,230,2ZkkRkkk 2222( )( )( )412()()332(34coscos2 )

12、3ZWj kZkjjjjGFT RkRk eeeee可求得功率譜為：（3）解：112nnnYYX 這是一個(gè)一階AR過程，輸出的自相關(guān)函數(shù)可由Yule-Walker方程表示為：121(),0( )( ),0piYiYpiYXia Rki kRka Rik40,( )9140,( )()29YkYkRkkRk 111,2pa RY(k) RY(k)14( )()29kYRk 功率譜密度為：0041( )()92411()()192241512coskj kYkjkjkkkGeee解法二：先計(jì)算功率譜，再得到自相關(guān)函數(shù)112nnnYYX 11()()()2Y ZZ Y ZX Z 對(duì)方程兩邊作Z變換有

13、：得傳輸函數(shù)為：1( )1( )( )10.51()10.5jY ZH ZX ZZHe輸入和傳函知道了，就可得到功率譜：2( )( )( )1145 4cos315 12cosYXGHG計(jì)算相關(guān)函數(shù)之前，熟悉一下一個(gè)變換對(duì)222222(1)(1)2 coskXXbbaaaa該變換對(duì)見教材111頁式（5.5.29）和式（5.5.30) 利用上述公式可得：1 3141( )()()1 1 4292kkYRk 5.31 解：要求差分方程由題可知2()()()YXGGH21( )1.64 1.6cosH得到：2111( )1.640.80.811(0.81)(0.81)H ZZZZZ從穩(wěn)定性和系統(tǒng)特性考慮選?。?1()10.8H ZZ數(shù)字濾波器的概念 濾波器是對(duì)輸入信號(hào)的波形或頻譜進(jìn)行某種濾波器是對(duì)輸入信號(hào)的波形或頻譜進(jìn)行某種變換，以得到一定的輸出信號(hào)。實(shí)現(xiàn)濾波的系統(tǒng)變換，以得到一定的輸出信號(hào)。實(shí)現(xiàn)濾波的系統(tǒng)是離散的稱為數(shù)字濾波。是離