不定積分的計算方法PPT課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 習題課一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分 不定積分的計算方法 第四四章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法1. 直接積分法直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法 .2. 換元積分法換元積分法xxfd)( 第一類換元法第一類換元法tttfd)()( 第二類換元法 注意常見的換元積分類型, 如掌握 P205P206 公式(16) (24)的推導方法 (代換: )(tx目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 分部積分法分部積分法vuxvud

2、使用原則:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般經(jīng)驗: 按“反, 對, 冪, 三, 指” 的順序,排前者取為 u , 排后者取為.v計算格式: 列表計算xvud目錄 上頁 下頁 返回 結束 xvund) 1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2() 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1(1多次分部積分的多次分部積分的 規(guī)規(guī) 律律)2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速計算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特別特別: 當 u 為

3、 n 次多項式時,0)1(nu計算大為簡便 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxC23分析分析: 5)1ln(d2xx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22c

4、os2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部積分目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 設,)(2xyxy解解: 令, tyx求積分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 求.deearctanxxx解解:xearctan原式xedxxearctanexexxxde1e2xxearctanexxxxde1e)e1 (222xxearctanexCx)e1 (ln221目

5、錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 求32(2)e.dxxxx解解: 取,23xxuxv2)4(e23 xx132xx660)(ku)4(kvx2ex221ex241ex281ex2161ex2e 原式)2(321 xx) 13(241xx681Cxxxx)7264(e232816161CxxaxaxPxkndcossine)(說明說明: 此法特別適用于如下類型的積分: 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 證明遞推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn證證:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,

6、Cx1ICx cosln目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8. 求.d1xx解解: 設1)(xxF1x,1x1x,1x則)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF連續(xù) , , ) 1 ()1 ()1 (FFF得21211121CC221121CC記作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,) 1(221Cx,) 1(221Cx利用 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 設 解解:)(xF為)(xf的原函數(shù),時時當當0 x,2sin)()(2xxFxf有且,1)0(F,0)(xF求. )(xf由題設, )()(xfxF則,2sin)()(2xxFxF故

7、xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即CxxxF4sin)(412,1)0(F, 1)0(2FC0)(xF, 因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分1. 一般積分方法一般積分方法有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 需要注意的問題需要注意的問題(1) 一般方法不一定是最簡便的方法,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,要注意綜合使用各種基本積分法, 簡便計

8、算 . 因此不一定都能積出.例如例如 , ,de2xx,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例10. 求.eee1d632xxxx解解: 令,e6xt 則,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Cxxxx636arctane3) 1ln(e) 1ln(e323目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例11. 求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsin

9、cos3xBAxBAsin)(cos)(比較同類項系數(shù)3 BA1 BA, 故2, 1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln2說明說明: 此技巧適用于形為xxdxcxbxadsincossincos的積分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例12.解解：xxbxaxIdsincossin1求因為.dsincoscos2xxbxaxI及12IbIaxxbxaxbxadsincossincos1Cx12IaIbxxbxaxaxbdsincossi

10、ncos)sincosd(xbxa2sincoslnCxbxaCxbxaabxbaI)sincosln(1221CxbxabaxbaI)sincosln(1222目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例13. 求不定積分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx) 1ln(cos21xxxxdsin)cos2(sin2目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例14.)()sin()sin(dkbabxaxxI求xbxaxd)sin()sin()()sin(bxax)sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax )cos(bx )cos(ax )sin(bx)sin(1ba xbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(Caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1Caxbxba)sin()sin(ln)sin(1解解:I =目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例15. 求nnnbxaxxI11)()(d解解