(完整)初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)集合,推薦文檔

1、第1頁共 8 頁初三數(shù)學(xué)圓教案一、本章知識(shí)框架基本元素：戀匕 弧I弦I圓心、半徑垂徑定理圓心角、弧、弦、弦尤距關(guān)系號(hào)圓有黃的算 圓心常 圓周杯 弦切角直與圓*狡與圓有關(guān)的位置關(guān)專直線與砸切一切線及切繪長(zhǎng)相離園與圓的位置關(guān)系種)弧長(zhǎng)和扇形、弓形的面枳 舁t圓錐與圓錐的側(cè)面展開圖二、本章重點(diǎn)1. 圓的定義：(1) 線段 0A 繞著它的一個(gè)端點(diǎn) 0 旋轉(zhuǎn)一周， 另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的封閉曲線， 叫 做圓.(2) 圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.2. 判定一個(gè)點(diǎn) P 是否在。0 上.設(shè)。0 的半徑為 R, 0 吐 d,則有dr 點(diǎn) P 在O0 外；d =點(diǎn) P 在O0 上;dvr 點(diǎn) P 在O0

2、 內(nèi).3. 與圓有關(guān)的角(1) 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的性質(zhì)：1圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.2同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.390的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.4如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.5圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.(3) 弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角. 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角.弦切角的度數(shù)等于它

3、夾的弧的度數(shù)的一半.4. 圓的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合； 圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任 意一對(duì)禰性：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、軸對(duì)稱、中心對(duì)椒圓的認(rèn)識(shí)圓中的有關(guān)計(jì)第2頁共 8 頁組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.垂徑定理及推論：(1) 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.(2) 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.(3) 弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.(4) 平分一條弦所對(duì)的兩條

4、弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.(5) 平行弦夾的弧相等.5. 三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1) 三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.(2) 三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在 三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用0 表示.三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是 到對(duì)邊中點(diǎn)距離的 2 倍，通常用 G 表示.(4) 垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).6. 切線的

5、判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：1經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2到圓心的距離 d 等于圓的半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)：1圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.2經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).3經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線 長(zhǎng).(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓 心的連線平分兩條切線的夾角.7. 圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角 等于內(nèi)對(duì)角.各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.8.

6、 直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。0 半徑為 R,點(diǎn) 0 到直線 I 的距離為 d.(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離 dR直線和。0 有唯一公共點(diǎn)=直線 I 和。0 相切=d= R.(3) 直線 I 和。0 有兩個(gè)公共點(diǎn)二直線 I 和。0 相交=dr)，圓心距-卜-.第3頁共 8 頁(1) J沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部-1 -夕卜離=dR+ r.(2) 丄卞一沒有公共點(diǎn)，且二亠的每一個(gè)點(diǎn)都在-外部=-I - 內(nèi) 含二 dRr(3) 丄-i 卞一有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部 =1-1 -一外切=d= R+ r.1 一有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，.一的每個(gè)

7、點(diǎn)都在：內(nèi)部=1 一內(nèi)切=d= R- r.(5) -有兩個(gè)公共點(diǎn)!-相交=R- rdpi=pa=P點(diǎn)為-中點(diǎn).小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷.例 2 下列命題正確的是（）A. 相等的圓周角對(duì)的弧相等B. 等弧所對(duì)的弦相等C三點(diǎn)確定一個(gè)圓D.平分弦的直徑垂直于弦.解：A.在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以A 不正確.B. 等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此 B 正確.C三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個(gè)圓.D.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于此弦.故選 B.例 3 四邊形 ABC 吶接于。0,/ A：ZB：Z C= 1 : 2 : 3,求/ D. 分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，

8、圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.解：設(shè)/ A= x，/ B= 2x，/ C= 3x，則/ D=/ A+ZCZB= 2x.x + 2x + 3x+ 2x= 360，x = 45.ZD= 90.小結(jié)：此題可變形為：四邊形 ABCE 外切于。0,周長(zhǎng)為 20,且 AB：BC：CD= 1:2 : 3, 求 AD 的長(zhǎng).例 4 為了測(cè)量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為 30的三角板和一個(gè)刻度 尺，用如圖 23-4 所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以 求得鐵環(huán)半徑.若測(cè)得 P 心 5cm 則鐵環(huán)的半徑是_cm分析：測(cè)量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切 線長(zhǎng)性質(zhì)Ih第5

9、頁共 8 頁定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行第6頁共 8 頁合作解決， 即過 P 點(diǎn)作直線 OP! PA 再用三角板畫一個(gè)頂點(diǎn)為 A、 一邊為 AP 大小為 60的角，這個(gè)角的另一邊與 0P 的交點(diǎn)即為圓心 0,再用三角函數(shù)知識(shí) 求解.解：tanZPAO = =0P= PA tan60&= 5 x PA小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型. 例 5已知 一相交于 A B 兩點(diǎn)，一的半徑是 10,丄的半徑是 17, 公共弦 A 吐 16,求兩圓的圓心距.解：分兩種情況討論：若-亠位于 AB 的兩側(cè)（如圖 23-8），設(shè)-一-與 AB 交于 C,連

10、結(jié)-i，貝 U垂直平分 AB, .又 A 吐 16 AC= 8.在戲中0&=0占-心蟲在毗曲QCA中 。匚=蟲 u =15故_-亠-若亠位于 AB 的同側(cè)（如圖 23-9），設(shè)一的延長(zhǎng)線與AB 交于 C,連結(jié)嚴(yán) .AC4AB又 A 吐 16, AC= 8.在 RtAOjCA 中 60 Jd 皆-心=6 在 RtdCA 中 C3C= - AC3=15謝23-8第7頁共 8 頁注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上 各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時(shí)，要注意雙解或多解問題.Cy-H4)a=6a四、輔助線總結(jié)1圓中常見的輔助線1) .作半徑，利用

11、同圓或等圓的半徑相等.2) .作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心 距”間的關(guān)系進(jìn)行證明.3) .作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行 計(jì)算.4) .作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角.5) .作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角一一直角.6) .遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角.7) .遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角.8) .欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常 連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直； 不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心向 直線作垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑.9) .遇到三角形的外心常連結(jié)外心和

12、三角形的各頂點(diǎn).相關(guān)定理:1.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等)(經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條說明：幾何語言： 若弦 AB CD 交于點(diǎn) P,則 PAPB=PC PD(相交弦定理)例 1.已知 P 為內(nèi)一點(diǎn)，二二二士吃，。O 半徑為士匕，過P 任作一弦 AB/，則關(guān)于 T 的函數(shù)關(guān)系式為_ 。卍羅27y =- y =解：由相交弦定理得.-，即.,其中2.切割線定理推論： 如果弦與直徑垂直相交， 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比 例中項(xiàng)說明：幾何語言：若 AB 是直徑，CD 垂直 AB 于點(diǎn) P,則 P2=PA PB例 2.已知 PT

13、切。0 于 T，PBA 為割線，交 0C 于 D, CT 為直徑，若 0C=BD=4cmAD=3cm 求 PB 長(zhǎng)。解：設(shè) TD-，BP=，由相交弦定理得：ADDB = CDTD即 - ； 11亠：(舍)由切割線定理，：由勾股定理，第8頁共 8 頁10）遇到三角形的內(nèi)心，常作：（1）內(nèi)心到三邊的垂線； 連結(jié)內(nèi)心和三角形 的頂點(diǎn).11）遇相交兩圓，常作：（1）公共弦；（2）連心線.12）遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線.13）求公切線時(shí)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線， 將公切線平移成直角三角形 的一條直角邊.2、圓中較特殊的輔助線1） 過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線.2） 將割線、相交弦補(bǔ)充完整

14、.3） 作輔助圓.例 1 如圖 23-10， AB 是的直徑， 弦 CDLAB,垂足為 E， 如果 AB= 10，CD= 8,那么 AE 的長(zhǎng)為（）A. 2B. 3C. 4D. 5分析：連結(jié) OC 由 AB 是。O 的直徑，弦 CDL AB 知 CD- DE 設(shè)AE= x，則在 Rt CEOK-丄，即:，答案：A.例 2 如圖 23-11，CA 為。0 的切線，切點(diǎn)為 A,點(diǎn) B 在。O 上，如果/ CAB= 55，那么/ AOB 等于（）A. 35B. 90C. 110D. 120分析：由弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系可以知道/AO 2/ BAG2X55= 110.答案：C.例 3 如果圓

15、柱的底面半徑為 4cm,母線長(zhǎng)為 5cm 那么側(cè)面積等于（）A.如応 ft?B .C . 2 口亡蚩*D . 4LlCffi2分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高， 即圓柱的母 線長(zhǎng)；另一邊長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱 的高，即 工.答案：B.例 4 如圖 23-12，在半徑為 4 的OO 中，AB CD 是兩條 直徑，M 為 OB 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) CM 交OO 于 E,且 EMM,C 連 結(jié)OE DE 盹=任.求：EM 的長(zhǎng).23-72第9頁共 8 頁簡(jiǎn)析：由 DC 是OO 的直徑，知 DEL EC,于是 EC =JDCDE? =7 .設(shè) EM= x,則 AM- MB= x(7 x)，即 i-一 .所以-:i - I .而 EMM,C 即卩 EM=4.例 5 如圖 23-13 , AB 是OO 的直徑， PB 切O0 于點(diǎn) B, PA 交OO 于點(diǎn) C, PF 分 別交 AB BC 于 E、D,交O0 于 F、G,且 BE BD 恰好是關(guān)于 x 的方程“和:(其中 m 為實(shí)數(shù))的兩根(1) 求證：BE= BD(2) 若-匸-亠，求/ A 的度數(shù).簡(jiǎn)析：(1)由 BE BD 是關(guān)于 x 的方程X -血斗(m2+ 4m +