2022年2022年北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分知識拓展

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分學(xué)問拓展（一）【學(xué)問拓展】1如函數(shù)y f（ x）為由參數(shù)方程所確定的,該怎樣求它的導(dǎo)數(shù)？前面我們爭論了顯函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但在某些情形下,因變量 y 與自變量 x 的關(guān)系精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為通過另一參變量t 由參數(shù)方程xt 和 yt 來給出的,對于這類函數(shù),有時可以把精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載它很簡潔地表示成顯函數(shù)的形式,但有時就比較麻煩甚至不行能因此, 我們有必要找出這類函數(shù)的求導(dǎo)方法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) xt的反函數(shù)t1 x,并設(shè)它滿意反函數(shù)求導(dǎo)的條

2、件,于為可把y 看作復(fù)合函精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)yt1 x .由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法就,得dy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dydydydt dxdtdxdxdt' t. t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x例1求參數(shù)方程ycost、 sin t 、dy所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法dydydtdxdx dtsin t costcos t sin tcot t .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

3、 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x例2求參數(shù)方程yt1、t 32t所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)2,d 2y數(shù).dx2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2d 2 yddydyd y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)依據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的定義dx 2dxdx、 因此要求dxdx 2、 只要把 y 對 x 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載導(dǎo)數(shù) y 求出來, 再將 y 與 x t 1 聯(lián)系, 重復(fù)利用參數(shù)方程求導(dǎo)公式,求出 y 對 x 的導(dǎo)數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 dy'dx也即為我們要求y 對 x

4、 的二階導(dǎo)數(shù)d 2 y2 .dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法dydydtdx dx dt 3t 2d4t. dy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載d 2 ydx 2ddydxdxdtdx dx dt3t 24tt16t42 3t2 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載假如函數(shù) y f （x）為由極坐標(biāo)方程 （ ）給出來的,就可把極坐標(biāo)方程先化成參數(shù)方程,再求導(dǎo)數(shù)即 x （ ） cos、y （ ） sin 、從而dy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dyddxdx dsin coscos sintan.tan精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

5、- - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2什么為羅爾定理？我們先考察一個函數(shù)yf xx 2 ,簡潔驗證這個函數(shù)滿意：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（）在閉區(qū)間1, 1 上連續(xù)（）在開區(qū)間（1, 1）內(nèi)可導(dǎo)（） f（ 1） f（ 1） 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)fx2x 、 令fx2x0、 得 x0（ 1,1）即在開區(qū)間（1, 1）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載內(nèi)存在點x使得 f00 （如圖 314）一般地,我們有（即羅爾定理）如函數(shù) f（x）滿意條件 （） 在閉區(qū)間 a、b 上連續(xù)；（） 在開區(qū)間 （

6、 a、b）內(nèi)可導(dǎo)；（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在區(qū)間 a、b 的兩個端點的函數(shù)值相等,即（fa）（fb）,就至少存在一點a、 b使得 f0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載羅爾定理的幾何意義為：兩個端點的縱坐標(biāo)相等的到處存在切線（端點除外） 的連續(xù)曲線 y f （ x ）上,至少有一點、 f的切線為水平的如圖315精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 證明 f xx 22x3、 x1、3 滿意羅爾定理 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范證

7、法f xx1 x3 、 f1f 30.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx2x22 x1 、明顯 f （ x）滿意羅爾定理的三個條件,其中a 1、b 3存在點 1（ 1, 3）,使 f10. 即符合羅爾定理的結(jié)論3什么為拉格朗日中值定理？在羅爾定理的幾何意義中,可以看出在羅爾定理的條件下,曲線上至少有一條切線為水平的,這時曲線的兩個端點的連線也為水平的（f （ a） f （b） ,因此也可以說成為至少有一點處的切線平行于兩個端的連線這個結(jié)論可以推廣到更一般的情形,即有下面更一般的結(jié)論（即拉格朗日中值定理）如函數(shù) f （ x）滿意：（）在閉區(qū)間a、b 上連續(xù)；（）在開區(qū)間（a, b

8、）內(nèi)可導(dǎo)；就至精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載少存在一點 （ a,b）,使 ff bf a . bafbfa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：作幫助函數(shù)f xfxfaxa ba精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載簡潔驗證, f（ x ）在 a, b 上滿意羅爾定理的條件,從而至少存在一點 （ a, b）,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載使 f0.又f x fxf bf a 、 ba精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載從而 fff bf a0.ba即ff bf a .ba拉格朗日中值定理的幾何意義為：到處存在切線 兩個端點除外 的

9、連續(xù)曲線y fx上,至少有一條切線平行于兩個端點的連線 如圖 3 16 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在拉格朗日定理的證明中,采納的方法為先作出一個幫助函數(shù),故這種方法也稱幫助函數(shù)法 幫助函數(shù)法也稱為構(gòu)造法它為數(shù)學(xué)分析中一種重要的證題方法,這種方法的基本思想為先構(gòu)造一個與欲證結(jié)果有關(guān)的幫助函數(shù),然后再由已知條件.概念和定理, 推斷所要證明的結(jié)論的正確性拉格朗日定理為應(yīng)用最廣泛的微分中值定理,也為微分學(xué)中最重要的定理之一,它的結(jié)論常稱為拉格朗日中值公式為運用便利,可把這個公式寫成以下幾種形式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ffbfa 、 baa、 b .精品學(xué)習(xí)資料

10、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 fbfaf ba 、a、 b .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 fbfafa baba 、 01 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 fx 0 xfx0fx 0 x x、 01 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 yfx 0 x x、 01 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對于這些公式要敏捷運用,比如：不必局限于a<b；如某函數(shù)f（ x ）在開區(qū)間（ a,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b

11、）（有限或無限）內(nèi)到處有導(dǎo)數(shù),就對x 1、 x 2a、 b可以斷言,在x1 與 x 2 之間存在 使精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ffx 2f x 1.x 2x 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載拉格朗日定理建立了函數(shù)f（x ）在 a, b 上的平均變化率f bf a ba（整體性質(zhì)）與該精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載函數(shù)在（ a, b）內(nèi)某點處導(dǎo)數(shù)f（局部性質(zhì)）之間聯(lián)系,從而為利用導(dǎo)數(shù)解決整體性問題供應(yīng)了可能性需要說明的為：在拉格朗日定理中,只指出“中間值”（或 ）的存在性,而沒有供應(yīng)確定 （或 ）的方法例 1證明：如 f（ x ）在區(qū)間（ a,

12、b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么f （ x）在區(qū)間（ a, b）內(nèi)為一個常數(shù)思路啟發(fā)要證明 f（ x）在（ a,b）內(nèi)為一個常數(shù),只要能證明：對于（a, b）內(nèi)的任精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載意不相同的兩點x1 、 x 2 都有 f x 1fx 2即可精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范證法任取x 1 、 x 2a、 b,不妨設(shè)x 1x 2 ,由于f（ x）在（ a, b）內(nèi)可導(dǎo),從而精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f （ x）在x 1 、 x 2上連續(xù),在x 1

13、、 x 2內(nèi)可導(dǎo),由微分中值定理,至少存在一點x 1 、 x 2,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載使得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x 2f x1x 2x 1 f.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由已知,對xa、 b 、有fx0、從而f 0、 于為fx 2f x 10即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2f x1 .即函數(shù) f （x）在（ a, b）內(nèi)為一個常數(shù)利用拉格朗日定理可以證明不等式,常用的步驟為：（ 1）挑選適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f（ x ）及相應(yīng)區(qū)間 a ,b （ 2）驗證條件,應(yīng)用

14、拉格朗日定理得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f bf afba 、a、 b .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3依據(jù) fx 在 a、 b 內(nèi)的符號或單調(diào)性證得不等式 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2設(shè) f （x）在 0 , c 上定義, fx 存在且單調(diào)遞減,f （0） 0證明：對于0 ab a b c,恒有 f（ a b） f（ a） f （ b）思路啟發(fā)對函數(shù)f （x ）在區(qū)間 0 , a與b、a b 上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理,再結(jié)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載合 fx的單調(diào)

15、遞減性即可證得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范證法（ 1）如 a 0 時明顯成立（ 2）如 a>0 時,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由fx在 0,a上應(yīng)用拉格朗日定理,即faf0f a0 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即faaf 0a .再由 f （ x）在 b、a b 上應(yīng)用拉格朗日定理得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f abfbfy a、 byab .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因 fx單調(diào)遞減,故對<a b<y ,有 ffy 留意到 a

16、0,故有 afafy,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f abf baff bf a .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載從上面可以看出,拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣,而羅爾定理為拉格朗日的一種特別情形（只要令f（ a） f（ b）即得羅爾定理） 4怎樣利用導(dǎo)數(shù)求不定式的極限？ 我們先看幾個例子：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2limxlim x0; limxsin1 xlimsin1 不存在；lim3x232.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0xx0x0xx0xx4xx14精品學(xué)習(xí)

17、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載從上面幾個例子可以看出,有兩個函數(shù)f（ x）和 g（ x）,當(dāng) x a（或 x ）時都趨于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載零,或都趨于窮大,但這時的極限f xlim可能存在,也可能不存在,通常把這種類型的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa g xx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載極限稱為不定式的極限如x a 時, f （x）與 g（x）都趨于0,就稱極限f xlim為 0 型精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa g x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載不定式； 如當(dāng) x a 時,f（

18、x ）與 g（ x）都趨于無窮大, 就稱極限lim fx為型不定式 關(guān)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa g x于不定式的極限,我們有下面的結(jié)論0(1) 型不定式. 洛必達(dá)法就0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如f x 、 gx 在點a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且 gx0;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 limfxlimg x0;xaxafx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 limxa gxfx存在 包括.fxfx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就lim存在、且 limlim.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa

19、 g xxa g xxa gx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注： 上面等式的右端分式為左端分式的分子和分母分別求導(dǎo)的結(jié)果,即為f x,而g x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載不為fx,這一點在利用上面的公式時肯定要留意如lim fx仍為一個不定式,并精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載g xxa gx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且 它 仍 滿 足 上 面 的 三 個 條 件 , 就 此 時 對lim fx再 用 一 次 洛 必 達(dá) 法 就 , 即

20、 此 時 有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa gxlim fxlim fx,即洛必達(dá)法就可以重復(fù)應(yīng)用上面的x 的變化趨勢x a 可換成xa gxxa gx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa, xa、 x、 x或x、 結(jié)論仍成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例1求 lim xx cos x0 型 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0xsin x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)由于當(dāng) x 0 時, x xcosx 0、x sinx 0,所以這為一個不定式,考慮利用

21、洛必達(dá)法就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法易知這為0 型不定式,應(yīng)用洛必達(dá)法就得：0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim xxcos xlim 1cosxx sin x0 型精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0xsin xx01cos x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limsin xsin xx cos x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0sin x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim2xcosx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x02limsin xxlim cos x精品學(xué)習(xí)資

22、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 sin xx0213.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點評此題在應(yīng)用一次洛必達(dá)法就以后得極限：lim 1cosxx sin x由極限公式：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x01cosx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) x 0 時,1 cosxxsinx 0、1 cosx0、故仍為一個不定式,且它的分子分母分別求導(dǎo)之后的極限存在,因此再應(yīng)用一次洛必達(dá)法就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例2求 lim xsin x0 型 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x 30精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

23、習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)當(dāng)x0時,xsinx0、 x30,考慮利用洛必達(dá)法 就.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法xlimsin x1limcos x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0limx 3sin xx03x 21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x06x6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例3求lim2xarctan x0型.10x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)由于limx2arctan x10、 l

24、imxx0、 故考慮利用洛必達(dá)法就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法lim2xarctan x 1xlimx11x 21x 2limxx 21.1x 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載g x例4設(shè)fxxx0、且已知g 0g00、g03.試求f0 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0x0、思路啟發(fā)依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,我們有f0g x lim f xf 0limx0g xlim.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x0x0x0x0 x 2精品學(xué)習(xí)資料

25、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由已知 g0 存在可知g（ x ）在點 x 0 連續(xù),故 lim g xg 00、 明顯 x 20 x0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故極限lim g x為 0 型不定式 又 g0 存在, 從而gxlimgxlim1gxg 0lim精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 x 20x0 x 2x02x2 x0x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 g0 . 存在2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法當(dāng)x0時,fxf 0g x 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

26、料 - - - 歡迎下載由洛必達(dá)法就得x0x 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f0lim g xlim gxx0 x 2x02x1 gxg0lim2 x0x013g0.22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點評雖然 g0 存在,此時有l(wèi)im gxg00、 即gxlim仍為不定式,但我們不精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0能再次利用洛必達(dá)法就而用以解法：x02x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載g xf 0limgxlimgxlim13g 0. 由于已知條件中只給出當(dāng)x 0 時 g精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 x 2x

27、02xx0222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（x ）的兩階導(dǎo)數(shù)即g0 存在, 而當(dāng) x 0 時,g（x）的兩階導(dǎo)數(shù)即gxx0 不肯定存在,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即使 gxx0存在,極限lim gx 也不肯定存在,故兩次利用洛必達(dá)法就為錯誤的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0(2) 型不定式. 洛必達(dá)法就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如f x 、 gx 在點a的某去心鄰域可導(dǎo),且 gx0;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 limfxxafx、limg x;xa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 l

28、imxa gxfx存在 包括.fxfx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就limxa g x也存在,且limxa g xlim.xa gx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注：這里的變化趨熱“ xa”同樣可換成“xa 、 xa、x、x、 x”.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例5求limln sin mx型 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0ln sin nx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)由于limln sin mx、 li

29、mln sin nx,故這為個不定式極限,考慮利精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x0用洛必達(dá)法就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法limln sin mx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0ln sin nx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limm sin nx cosmxm limsin nx0 型m limn cosnx1.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0nsin mx cos nxn x0sin mx0n x0m cosmx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

30、 歡迎下載例6求limxx nexn為正整數(shù),a0 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)當(dāng) x 時,x n、 e x、 故這為個型不定式的極限,考慮利精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載用洛必達(dá)法就,故有相繼應(yīng)用洛必達(dá)法就n 次得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法limxnxe xlimxnx n 1e x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limxn n1 x n 2 n e x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limxn.0.n e x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

31、歡迎下載點評對該不定式利用n 1 次洛必達(dá)法就的每一結(jié)果仍為不定式,第n 次應(yīng)用洛必達(dá)法就極限存在,故該極限需相繼使用n 次洛必達(dá)法就才能求出極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載除上述爭論的0 型與型不定式之外,在實際問題中,我們?nèi)猿Ｓ龅揭恍┫?0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0·.00 .1.0 型的不定式,對于這些不定式,我們都可以通過一些變化把它變成00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載型或型的不定式,從而可以得到解決下面我們通過一些例題加以說明精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例7limx 2 ln x 0型 .精品學(xué)習(xí)資

32、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)由于當(dāng) x0 時,x20、lnx、 故這為一個0·型不定式,考慮精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第一將其變成0 或型,再利用洛必達(dá)法就0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法limx 2 ln xlimln x型精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x01x 221xxlimlim精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x02x 30.x02精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點評上述解題

33、過程為將0·型變成型,再應(yīng)用洛必達(dá)法就,我們看會顯現(xiàn)什么結(jié)果精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2lim x 2 ln xlimx0 型精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x010ln x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim2xlim2x 2ln 2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x011x0ln 2x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載可以看出, 當(dāng)變成0 型再利用洛必達(dá)法就,不但求不出極限,而且結(jié)果比不用洛達(dá)法就0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以前更復(fù)雜,因此該極限不能變成0 型求它的極限由該例我

34、們得到啟示：當(dāng)將0·型變0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載成 0 型或0型用洛必達(dá)法就求不出它的極限時,應(yīng)考慮將它變成型或 0 型0,再利精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載用洛必達(dá)法就求之精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例8limx x 00 型 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)對于00 型不定式, 第一利用恒等式neln n 將其變成0·型, 再利用上述精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選

35、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法求之規(guī)范解法lim x ln xlimln x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x01xlimx0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xlimx0x ln x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim xex 0e1.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例9求limsecxtan x型 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)第一利用三角關(guān)系,將secx tanx 變成 1sin x cos x再

36、利用洛必達(dá)法就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法limsecxtan x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limx2x21sin x0 型 cosx0limx2cos x0. sin x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例10求 limcosx1x 2 1型 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)由于x 0 時, cosx 11故這為 1型不定式,第一利用恒等式x 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載neln n ,并將其變成

37、0 型或型,再利用洛必達(dá)法就0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法1cos x2ln cos xex 2、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limln cos xlimcos x1 lim1sin x1 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x 2x02xln cos x21lim2 x01cos xx2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limcosx x 2ex 0xe 2 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例11求 limxx

38、1x21ln x0 型 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2思路啟發(fā)由于當(dāng) x時, x1x1、ln x0.故這為一個0 型不定式,首精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載先利用恒等式eln nn 即可精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法x1x 21ln xln xe1 x 2ln x.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limxlnx1x 2ln xlimx11x

39、 21.1x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limxx1x 21ln xlimexln x1 x 2ln xe1e.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載從以上解題的過程可以看出,利用洛必達(dá)法就求不定式的極限為特別便利的,可以說,洛必達(dá)法就為解決不定式的極限的特別有用的方法因此期望讀者能夠嫻熟把握此種方法凡遇到不定式的極限能夠想到利用洛必達(dá)法就應(yīng)用洛必達(dá)法就應(yīng)留意以下幾個問題：（ 1）審查所求的極限為否為不定式,不為不定式不能應(yīng)用洛必達(dá)法就,由于它不滿意洛必法就的條件,如：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim 22cos xlim22 cosxlim2 sin x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x01x 2x01x 2x02x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為錯誤的由于極限2