捷聯(lián)慣導(dǎo)算法及組合導(dǎo)航原理講義(20170220)

1、捷聯(lián)慣導(dǎo)算法與組合導(dǎo)航原理講義嚴(yán)恭敏，翁浚 編著西北工業(yè)大學(xué)2016-9前 言近年來，慣性技術(shù)不論在軍事上、工業(yè)上，還是在民用上，特別是消費(fèi)電子產(chǎn)品領(lǐng)域，都獲得了廣泛的應(yīng)用，大到潛艇、艦船、高鐵、客機(jī)、導(dǎo)彈和人造衛(wèi)星，小到醫(yī)療器械、電動獨(dú)輪車、小型四旋翼無人機(jī)、空中鼠標(biāo)和手機(jī)，都有慣性技術(shù)存在甚至大顯身手的身影。相應(yīng)地，慣性技術(shù)的研究和開發(fā)也獲得前所未有的蓬勃發(fā)展，越來越多的高校學(xué)生、愛好者和工程技術(shù)人員加入到慣性技術(shù)的研發(fā)隊伍中來。慣性技術(shù)涉及面廣，涵蓋元器件技術(shù)、測試設(shè)備和測試方法、系統(tǒng)集成技術(shù)和應(yīng)用開發(fā)技術(shù)等方面，囿于篇幅和作者知識面限制，本書主要討論捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)算法方面的有關(guān)問題，包括

2、姿態(tài)算法基本理論、捷聯(lián)慣導(dǎo)更新算法與誤差分析、組合導(dǎo)航卡爾曼濾波原理、捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對準(zhǔn)技術(shù)、組合導(dǎo)航系統(tǒng)建模以及算法仿真等內(nèi)容。希望讀者參閱之后能夠?qū)萋?lián)慣導(dǎo)算法有個系統(tǒng)而深入的理解，并能快速而有效地將基本算法應(yīng)用于解決實(shí)際問題。本書在編寫和定稿過程中得到以下同行的熱心支持，指出了不少錯誤之處或提出了許多寶貴的修改建議，深表謝意：西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院：梅春波、趙彥明、劉洋、沈彥超、肖迅、牟夏、鄭江濤、劉士明、金竹、馮理成、趙雪華；航天科工第九總體設(shè)計部：王亞軍；遼寧工程技術(shù)大學(xué)：丁偉；北京騰盛科技有限公司：劉興華；東南大學(xué)：童金武；中國農(nóng)業(yè)大學(xué)：包建華；南京航空航天大學(xué)：趙宣懿；武漢大

3、學(xué)：董翠軍；網(wǎng)友：Zoro；山東科技大學(xué)：王云鵬。書中缺點(diǎn)和錯誤在所難免，望讀者不吝批評指正。作 者 2016年9月目 錄第1章 概 述61.1捷聯(lián)慣導(dǎo)算法簡介61.2 Kalman濾波與組合導(dǎo)航原理簡介7第2章 捷聯(lián)慣導(dǎo)姿態(tài)解算基礎(chǔ)102.1反對稱陣及其矩陣指數(shù)函數(shù)102.1.1 反對稱陣102.1.2 反對稱陣的矩陣指數(shù)函數(shù)122.2方向余弦陣與等效旋轉(zhuǎn)矢量132.2.1 方向余弦陣132.2.2 等效旋轉(zhuǎn)矢量142.3方向余弦陣微分方程及其求解172.3.1 方向余弦陣微分方程172.3.2 方向余弦陣微分方程的求解172.4姿態(tài)更新的四元數(shù)表示202.4.1 四元數(shù)的基本概念202.4

4、.2 四元數(shù)微分方程232.4.3 四元數(shù)微分方程的求解252.5等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程及其泰勒級數(shù)解262.5.1 等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程262.5.2 等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程的泰勒級數(shù)解292.6圓錐運(yùn)動條件下的等效旋轉(zhuǎn)矢量算法312.6.1 圓錐運(yùn)動的描述312.6.2 圓錐誤差補(bǔ)償算法33第3章 地球形狀與重力場基礎(chǔ)403.1地球的形狀描述403.2地球的正常重力場463.3地球重力場的球諧函數(shù)模型503.3.1 球諧函數(shù)的基本概念503.3.2 地球引力位函數(shù)583.3.3 重力位及重力計算63第4章 捷聯(lián)慣導(dǎo)更新算法及誤差分析694.1捷聯(lián)慣導(dǎo)數(shù)值更新算法694.1.1 姿態(tài)更新算法69

5、4.1.2 速度更新算法704.1.3 位置更新算法764.2捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差方程764.2.1慣性傳感器測量誤差764.2.2姿態(tài)誤差方程784.2.3速度誤差方程794.2.4位置誤差方程794.2.5誤差方程的整理804.3靜基座誤差特性分析824.3.1 靜基座誤差方程824.3.2 高度通道834.3.3 水平通道834.3.4 水平通道的簡化884.3.5 水平通道誤差方程的仿真90第5章 卡爾曼濾波基本理論925.1遞推最小二乘法925.2 Kalman濾波方程的推導(dǎo)945.3連續(xù)時間隨機(jī)系統(tǒng)的離散化與連續(xù)時間Kalman濾波1015.4噪聲相關(guān)條件下的Kalman濾波1075.5序

6、貫濾波1115.6信息濾波與信息融合1145.7平方根濾波1165.8遺忘濾波1245.9 Sage-Husa自適應(yīng)濾波1255.10最優(yōu)平滑算法1275.11非線性系統(tǒng)的EKF濾波、二階濾波與迭代濾波1305.12間接濾波與濾波校正1365.13聯(lián)邦濾波（待完善）1365.14濾波的穩(wěn)定性與可觀測度分析141第6章 初始對準(zhǔn)及組合導(dǎo)航技術(shù)1476.1捷聯(lián)慣導(dǎo)粗對準(zhǔn)1476.1.1矢量定姿原理1476.1.2解析粗對準(zhǔn)方法1496.1.3間接粗對準(zhǔn)方法1526.2捷聯(lián)慣導(dǎo)精對準(zhǔn)1536.3慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航1576.3.1空間桿臂誤差1576.3.2時間不同步誤差1586.3.3狀態(tài)空間模型1

7、596.4車載慣性/里程儀組合導(dǎo)航1596.4.1航位推算算法1596.4.2航位推算誤差分析1616.4.3慣性/里程儀組合1646.5低成本姿態(tài)航向參考系統(tǒng)（AHRS）1676.5.1簡化的慣導(dǎo)算法及誤差方程1686.5.2地磁場測量及誤差方程1696.5.3低成本組合導(dǎo)航系統(tǒng)模型1706.5.4低成本慣導(dǎo)的姿態(tài)初始化1716.5.5捷聯(lián)式地平儀的工作原理173第7章 捷聯(lián)慣導(dǎo)與組合導(dǎo)航仿真1767.1飛行軌跡和慣性器件信息仿真1767.1.1飛行軌跡設(shè)計1767.1.2 捷聯(lián)慣導(dǎo)反演算法1777.1.3 仿真1787.2捷聯(lián)慣導(dǎo)仿真1807.2.1 Matlab子函數(shù)1807.2.2捷聯(lián)

8、慣導(dǎo)仿真主程序1857.3慣導(dǎo)/衛(wèi)星組合導(dǎo)航仿真1867.3.1Matlab子函數(shù)1867.3.2組合導(dǎo)航仿真主程序187附 錄190A一些重要的三維矢量運(yùn)算關(guān)系190B 運(yùn)載體姿態(tài)的歐拉角描述192C 姿態(tài)更新的畢卡算法、龍格庫塔算法及精確數(shù)值解法199D 從非直角坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的矩陣變換207E 線性系統(tǒng)基本理論211F 加權(quán)最小二乘估計216G 矩陣求逆引理217H 幾種矩陣分解方法（QR、Cholesky與UD）219I 二階濾波中的引理證明223J 方差陣上界的證明225K 三階非奇異方陣的奇異值分解226L Matlab仿真程序231M 練習(xí)題237參考文獻(xiàn)241第1章 概 述

9、第1章 概 述11.1捷聯(lián)慣導(dǎo)算法簡介11.2 Kalman濾波與組合導(dǎo)航原理簡介31.1捷聯(lián)慣導(dǎo)算法簡介在捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)（SINS）中慣性測量器件（陀螺和加速度計）直接與運(yùn)載體固聯(lián)，通過導(dǎo)航計算機(jī)采集慣性器件的輸出信息并進(jìn)行數(shù)值積分求解運(yùn)載體的姿態(tài)、速度和位置等導(dǎo)航參數(shù)，這三組參數(shù)的求解過程即所謂的姿態(tài)更新算法、速度更新算法和位置更新算法。特別在惡劣的高動態(tài)環(huán)境下，高精度的SINS對慣性器件性能和導(dǎo)航算法精度的要求都非?？量?，由于高精度慣性器件往往價格昂貴并且進(jìn)一步提升精度異常困難，所以在影響SINS精度的所有誤差源中要求因?qū)Ш剿惴ㄒ鸬恼`差比重必須很小，一般認(rèn)為應(yīng)小于5%。姿態(tài)更新算法是SI

10、NS算法的核心，對整個系統(tǒng)的解算精度影響最為突出，具有重要的研究和應(yīng)用價值。傳統(tǒng)的姿態(tài)更新算法有歐拉角法、方向余弦陣法和四元數(shù)法等方法，這些方法直接以陀螺采樣輸出作為輸入，使用泰勒級數(shù)展開或龍格庫塔等方法求解姿態(tài)微分方程，未充分考慮轉(zhuǎn)動的不可交換性誤差問題。傳統(tǒng)姿態(tài)更新算法在理論上可以通過提高采樣和更新頻率來提高解算精度，但實(shí)際陀螺采樣頻率又受限于傳感器的帶寬和噪聲水平，因此傳統(tǒng)算法的精度提升空間相對有限，僅適用于對解算精度要求不太高的場合。早在1775年，歐拉就提出了等效旋轉(zhuǎn)矢量的概念，指出剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動（即繞固定點(diǎn)的任何有限角位移）均可用繞經(jīng)過該固定點(diǎn)的某軸的一次轉(zhuǎn)動來實(shí)現(xiàn)，建立了剛體上單

11、位矢量在轉(zhuǎn)動前后的變換公式。1840年，羅德里格使用后人稱之為羅德里格參數(shù)的表示方法，推導(dǎo)了相繼兩次轉(zhuǎn)動的合成公式，它與W. R. Hamilton在1843年發(fā)明的四元數(shù)乘法表示是一致的。研究表明，相繼多次的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動問題可用一系列的姿態(tài)變化量（變化四元數(shù)或變化矩陣）相乘來描述，每個姿態(tài)變化量與對應(yīng)轉(zhuǎn)動的等效旋轉(zhuǎn)矢量之間存在轉(zhuǎn)換公式，使用等效旋轉(zhuǎn)矢量計算姿態(tài)變化量不存在任何原理上的誤差。因此，現(xiàn)代的SINS姿態(tài)更新算法研究的關(guān)鍵就在于如何使用陀螺輸出構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量，以盡量減小和避免不可交換性誤差，后續(xù)再使用等效旋轉(zhuǎn)矢量計算姿態(tài)變化量和進(jìn)行姿態(tài)更新將變得非常簡單，而不像傳統(tǒng)方法那樣，直接使用陀

12、螺輸出進(jìn)行姿態(tài)更新容易引起不可交換性誤差。1949年，J. H. Laning在研究火控系統(tǒng)的過程中詳細(xì)地分析了空間轉(zhuǎn)動合成的性質(zhì)，推導(dǎo)了由等效旋轉(zhuǎn)矢量確定轉(zhuǎn)動角速度的公式，但是由于缺少更好的應(yīng)用背景驅(qū)動（比如后來SINS發(fā)展的迫切需求），未能獲得廣泛的研究重視。20世紀(jì)50年代是機(jī)械陀螺儀飛速發(fā)展的一個重要時期，也正是在那時發(fā)現(xiàn)了著名的圓錐運(yùn)動現(xiàn)象，即當(dāng)陀螺儀在其旋轉(zhuǎn)軸和輸出軸出現(xiàn)同頻不同相的角振動時，盡管其輸入軸凈指向不變（在整體上沒有隨時間改變的趨勢項），但陀螺儀還是會敏感到并輸出常值角速率。1958年，為揭示圓錐運(yùn)動現(xiàn)象產(chǎn)生的根源，L. E. Goodman建立了剛體轉(zhuǎn)動的等效旋轉(zhuǎn)矢量

13、與角速度之間的關(guān)系式，后人稱之為Goodman-Robinson定理，該定理從幾何上將轉(zhuǎn)動不可交換性誤差的坐標(biāo)分量描述為單位球面上的一塊有向面積，其面積由對應(yīng)動坐標(biāo)軸在單位球面上掃過的曲線與連接該曲線端點(diǎn)的大圓圍成，Goodman借助二維Green積分理論獲得了不可交換性誤差的近似公式。1969年，基于Goodman近似公式，J. W. Jordan在假設(shè)陀螺角增量輸出為二次多項式條件下提出了等效旋轉(zhuǎn)矢量的“pre-processor”算法，它與后來發(fā)展的等效旋轉(zhuǎn)矢量二子樣算法完全一致。1969年，J. E. Bortz在其博士論文中詳細(xì)推導(dǎo)了等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程（1971年正式發(fā)表，后人稱之

14、為Bortz方程），它是利用陀螺輸出求解等效旋轉(zhuǎn)矢量的基本公式，奠定了等效旋轉(zhuǎn)矢量多子樣算法的理論基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用時一般需對較復(fù)雜的Bortz方程做近似處理，事實(shí)上，其簡化結(jié)果與Goodman公式完全一致，它也可以根據(jù)Laning公式簡化獲得。1983年，R. B. Miller采用在圓錐運(yùn)動條件下使算法漂移誤差最小作為評價標(biāo)準(zhǔn)，推導(dǎo)了等效旋轉(zhuǎn)矢量三子樣優(yōu)化算法。1990年，J. E. Lee研究了四子樣優(yōu)化算法。1992年，Y. F. Jiang研究了利用本更新周期內(nèi)的三子樣及前更新周期內(nèi)的角增量計算旋轉(zhuǎn)矢量的優(yōu)化算法。1996年，M. B. Ignagni提出了由陀螺角增量構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量

15、的通式，并給出了多達(dá)10種類型的等效旋轉(zhuǎn)矢量算法。1999年，C. G. Park總結(jié)提出了各子樣下求解圓錐誤差補(bǔ)償系數(shù)和算法漂移誤差估計的通用公式。至此，從理論上看，在理想的圓錐運(yùn)動條件下的不可交換性誤差補(bǔ)償問題得到了比較完美的解決。捷聯(lián)慣導(dǎo)的基本概念在20世紀(jì)50年代就已經(jīng)提出了，但是由于當(dāng)時計算機(jī)的運(yùn)算能力極其有限，在算法發(fā)展的早期階段姿態(tài)更新通常采用雙速回路算法方案：高速回路（e.g.,400Hz-10kHz）使用簡單的一階算法補(bǔ)償由角振動引起的姿態(tài)不可交換性誤差；中速回路（e.g.,50Hz-200Hz）以高速回路的處理結(jié)果作為輸入再使用相對復(fù)雜的高階算法進(jìn)行姿態(tài)矩陣或四元數(shù)更新。雙

16、速回路算法的結(jié)構(gòu)設(shè)計和實(shí)現(xiàn)過程都稍顯繁瑣，它只是在計算機(jī)運(yùn)算能力低下時期所采取的權(quán)宜之策，隨著通用計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，尤其是80年代中后期之后，導(dǎo)航計算機(jī)的運(yùn)算能力就不再是導(dǎo)航算法研究中需要著重關(guān)注的問題。雙速回路算法的結(jié)構(gòu)研究已經(jīng)成為歷史，目前的計算機(jī)完全能夠滿足高速高精度姿態(tài)更新解算的要求。1998年，P. G. Savage相繼發(fā)表的兩篇論文對整體捷聯(lián)慣導(dǎo)數(shù)值算法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，但相對于普通技術(shù)人員而言，其算法描述過于繁雜，給具體實(shí)現(xiàn)帶來了很大的不便或困惑。1.2 Kalman濾波與組合導(dǎo)航原理簡介如果信號受噪聲干擾，為了從量測中恢復(fù)出有用信號而又要盡量減少干擾的影響，常常采用濾

17、波器進(jìn)行信號處理。使用經(jīng)典濾波器時假定信號和干擾的頻率分布不同，通過設(shè)計特定的濾波器帶通和帶止頻段，實(shí)現(xiàn)有用信號和干擾的分離。但是，如果干擾的頻段很寬，比如白噪聲，在有用信號的頻段范圍內(nèi)也必然會存在干擾，這時經(jīng)典濾波器對濾除這部分干擾噪聲無能為力。若有用信號和干擾噪聲的頻帶相互重疊，信號處理時通常不再認(rèn)為有用信號是確定性的，而是帶有一定隨機(jī)性的。對于隨機(jī)信號不可能進(jìn)行準(zhǔn)確無誤差的恢復(fù)，只能根據(jù)信號和噪聲的統(tǒng)計特性，利用數(shù)理統(tǒng)計方法進(jìn)行估計，并且一般采取某種統(tǒng)計準(zhǔn)則使估計誤差盡可能小。借用經(jīng)典濾波器的術(shù)語，這種針對隨機(jī)信號的統(tǒng)計估計方法也常常稱為濾波器，或稱為現(xiàn)代濾波器以區(qū)別于經(jīng)典濾波器，但須注

18、意經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器之間是有本質(zhì)區(qū)別的。1 Kalman濾波早在1632年，伽利略（Galileo Galilei）就嘗試用各種誤差函數(shù)最小化的方法提出了估計理論問題。1801年，數(shù)學(xué)家高斯（Karl Gauss）將最小二乘估計法應(yīng)用于谷神星的軌道跟蹤和預(yù)測，取得了良好的效果。最小二乘估計以觀測殘差平方和最小作為估計準(zhǔn)則，它不需要關(guān)于量測的任何統(tǒng)計信息，算法簡單且實(shí)用性強(qiáng)，在參數(shù)估計領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。但是，通常情況下最小二乘估計只能應(yīng)用于靜態(tài)參數(shù)估計，而不適用于動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)估計。20世紀(jì)40年代初期，維納（Norbert Wiener）開始將統(tǒng)計方法應(yīng)用于通信系統(tǒng)和控制系統(tǒng)的研究中，

19、提出了著名的維納濾波理論。同一時期，柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorow）也進(jìn)行了類似的研究。維納濾波是一種從頻域角度出發(fā)設(shè)計濾波器的方法，它根據(jù)有用信號和干擾信號的功率譜特性，通過構(gòu)造和求解維納霍夫（Wiener-Hopf）方程得到最佳濾波器的傳遞函數(shù)，給出了最小均方誤差意義下的穩(wěn)態(tài)解。但是，在一般情況下求解維納霍夫方程極為困難，甚至是不可能的。此外，維納濾波僅適用于低維平穩(wěn)隨機(jī)過程，人們試圖將它推廣到高維和非平穩(wěn)情況，但都因無法突破計算上的困難而難以實(shí)用，這嚴(yán)重限制了維納濾波的普及。維納濾波在歷史上有著非常重要的作用和獨(dú)特的地位，它首次將數(shù)理統(tǒng)計理論和線性系統(tǒng)理論有機(jī)結(jié)合起來，

20、形成了對隨機(jī)信號進(jìn)行估計的新理論，雖然維納濾波不適合用于狀態(tài)估計，但是它在信號處理和通信理論中依然十分有用。1960年，Rudolf Kalman將控制系統(tǒng)狀態(tài)空間的概念引入隨機(jī)估計理論中，建立了隨機(jī)狀態(tài)空間模型，利用了隨機(jī)狀態(tài)方程、量測方程以及激勵白噪聲的統(tǒng)計特性，構(gòu)造估計算法對隨機(jī)狀態(tài)進(jìn)行濾波估計，后來被稱為Kalman（卡爾曼）濾波。在Kalman濾波中，所有利用的信息都是時域內(nèi)的參量，它不但可以應(yīng)用于一維平穩(wěn)的隨機(jī)過程，還可應(yīng)用于多維非平穩(wěn)過程，這就避免了Wiener濾波器設(shè)計的困境。Kalman濾波是一套由數(shù)字計算機(jī)實(shí)現(xiàn)的實(shí)時遞推算法，它以隨機(jī)系統(tǒng)的量測作為濾波器的輸入，濾波器的輸出

21、是對系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計，這一特征與確定性控制系統(tǒng)中的狀態(tài)觀測器非常相似。在Kalman濾波器出現(xiàn)以后，估計理論的發(fā)展基本上都是以它為基礎(chǔ)的一些推廣和改進(jìn)。20世紀(jì)60年代，Kalman濾波在美國的太空計劃中獲得了成功的應(yīng)用，但是由于當(dāng)時計算機(jī)字長較短，濾波器在實(shí)現(xiàn)過程中有時會出現(xiàn)一些問題，即計算機(jī)求解均方誤差陣容易出現(xiàn)無窮大情況，導(dǎo)致濾波發(fā)散。平方根濾波是一種在數(shù)學(xué)上增加Kalman濾波精度的方法，Potter為“阿波羅”太空計劃開發(fā)了第一個平方根濾波算法，它推動了后來一些其他平方根濾波方法的研究，比如Bierman提出的U-D分解濾波。平方根濾波精度性能的提升是以增加計算量為代價的，目前，隨

22、著計算機(jī)硬件技術(shù)的發(fā)展，普遍采用雙精度浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計算和存儲，多數(shù)情況下不必再像過去那樣過于關(guān)注和擔(dān)心數(shù)值問題了。經(jīng)典Kalman濾波是基于線性系統(tǒng)的估計方法，一般只能適用于線性或者非常接近于線性的非線性問題，對于非線性比較明顯的問題，Kalman濾波往往不能給出滿意的結(jié)果，需要采用非線性估計方法。最為廣泛使用的非線性估計方法是EKF（擴(kuò)展卡爾曼濾波），它通過泰勒級數(shù)展開，對非線性函數(shù)進(jìn)行線性化近似。同樣，以泰勒級數(shù)展開為基礎(chǔ)，若保留二階項則稱為二階卡爾曼濾波方法，理論上二階濾波降低了EKF的線性化誤差，會得到比EKF稍好的估計性能，但這是以高復(fù)雜性和計算量為代價的。迭代濾波方法也是一種對EKF

23、濾波的修正。隨著系統(tǒng)規(guī)模的不斷增大，如何有效處理多個傳感器測量信息的問題被提出并得到了廣泛的研究。傳統(tǒng)的方法是采用集中式Kalman濾波，將所有測量信息送到中心處理器進(jìn)行集中處理，雖然它的處理結(jié)果是全局最優(yōu)的，但是這種處理方式存在通信負(fù)擔(dān)重、計算量大和容錯性能差等缺點(diǎn)。Speyer從分散控制的角度提出了多處理器結(jié)構(gòu)思想，每個局部傳感器都有自己的分處理器，處理包括自身在內(nèi)的所有傳感器的測量信息，得到的估計結(jié)果既是局部最優(yōu)的也是全局最優(yōu)的。Willsky對Speyer的方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一個中心處理器（主）加多個局部處理器（子）的結(jié)構(gòu)方式，主處理器完成各個子處理器結(jié)果的合成，各子處理器間不要求

24、通信聯(lián)系，因而是相互獨(dú)立的。Carlson對分散濾波算法做了重大改進(jìn)，提出了聯(lián)邦濾波算法，采用信息分享原理，把全局狀態(tài)估計信息和系統(tǒng)噪聲信息分配給各個子濾波器，且不改變各子濾波器算法的形式，聯(lián)邦濾波具有實(shí)現(xiàn)簡單、信息分享方式靈活、容錯性能好的諸多優(yōu)點(diǎn)。2 組合導(dǎo)航將運(yùn)載體從起始點(diǎn)引導(dǎo)到目的地的技術(shù)或方法稱為導(dǎo)航，導(dǎo)航系統(tǒng)提供的信息主要有姿態(tài)、方位、速度和位置，甚至還包括加速度和角速率，這些信息可用于運(yùn)載體的正確操縱和控制。隨著技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)航系統(tǒng)的種類越來越多，比如慣導(dǎo)系統(tǒng)、衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)、磁羅盤、里程儀/多普勒測速儀/空速計、氣壓高度表/雷達(dá)高度表、地標(biāo)點(diǎn)/地圖匹配等。這些導(dǎo)航系統(tǒng)各有特色，優(yōu)

25、缺點(diǎn)并存，比如慣導(dǎo)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)是自主性強(qiáng)、動態(tài)性能好、導(dǎo)航信息全面且輸出頻率高，但其缺點(diǎn)是誤差隨時間不斷累積，長期精度差；衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)是精度高、誤差不隨時間增大，缺點(diǎn)是導(dǎo)航信息不夠全面、頻帶窄、信號容易受到干擾、在室內(nèi)等環(huán)境下接收不到衛(wèi)星信號而無法使用。在許多對導(dǎo)航性能要求苛刻的任務(wù)中，無論是精度要求高還是可靠性要求高，任何單一的導(dǎo)航系統(tǒng)可能都無法滿足要求，這就需要使用多種導(dǎo)航系統(tǒng)同時對運(yùn)載體進(jìn)行導(dǎo)航信息測量，再對所有測量信息作綜合處理（包括檢測、結(jié)合、相關(guān)和估計），從而得到更為準(zhǔn)確和可靠的導(dǎo)航結(jié)果。這種對多種導(dǎo)航信息作綜合處理的技術(shù)就稱為組合導(dǎo)航技術(shù)。從上述對慣導(dǎo)和衛(wèi)星導(dǎo)航的優(yōu)缺點(diǎn)描述中

26、可以看出，兩者性能具有非常強(qiáng)的互補(bǔ)性，因而慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航被公認(rèn)為是最佳的組合導(dǎo)航方案。組合導(dǎo)航系統(tǒng)的設(shè)計一般都采用Kalman濾波器，Kalman濾波器最早和最成功的應(yīng)用實(shí)例便是在導(dǎo)航領(lǐng)域。1960年卡爾曼在美國國家航空航天局埃姆斯研究中心（NASA Ames Research Center）訪問時，Stanley Schmidt發(fā)現(xiàn)Kalman濾波方法對于解決阿波羅計劃的軌道預(yù)測很有用，后來阿波羅登月飛船的導(dǎo)航系統(tǒng)便使用了Kalman濾波器，通常認(rèn)為Schmidt首次實(shí)現(xiàn)了Kalman濾波器。此外，美國在航天飛機(jī)、潛艇和無人航空航天飛行器（比如巡航導(dǎo)彈）上均使用了Kalman濾波器。第2

27、章 捷聯(lián)慣導(dǎo)姿態(tài)解算基礎(chǔ)第2章 捷聯(lián)慣導(dǎo)姿態(tài)解算基礎(chǔ)12.1反對稱陣及其矩陣指數(shù)函數(shù)12.1.1 反對稱陣12.1.2 反對稱陣的矩陣指數(shù)函數(shù)32.2方向余弦陣與等效旋轉(zhuǎn)矢量42.2.1 方向余弦陣42.2.2 等效旋轉(zhuǎn)矢量52.3方向余弦陣微分方程及其求解82.3.1 方向余弦陣微分方程82.3.2 方向余弦陣微分方程的求解82.4姿態(tài)更新的四元數(shù)表示112.4.1 四元數(shù)的基本概念112.4.2 四元數(shù)微分方程142.4.3 四元數(shù)微分方程的求解162.5等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程及其泰勒級數(shù)解172.5.1 等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程172.5.2 等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程的泰勒級數(shù)解202.6圓錐運(yùn)動

28、條件下的等效旋轉(zhuǎn)矢量算法222.6.1 圓錐運(yùn)動的描述222.6.2 圓錐誤差補(bǔ)償算法24 在捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的姿態(tài)、速度和位置更新算法中，姿態(tài)算法對整個系統(tǒng)精度的影響最大，它是算法研究和設(shè)計的核心。在非定軸轉(zhuǎn)動情況下，描述姿態(tài)運(yùn)動的微分方程是非線性的，其離散化求解會引起轉(zhuǎn)動不可交換誤差?，F(xiàn)代高精度的捷聯(lián)慣導(dǎo)中，陀螺儀往往采用角增量信號輸出方式，利用角增量構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量以補(bǔ)償和降低不可交換誤差，是目前主流姿態(tài)算法的基礎(chǔ)。本章先介紹一些有關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動或坐標(biāo)系變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，之后重點(diǎn)討論等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程的推導(dǎo)及其離散化求解方法。2.1反對稱陣及其矩陣指數(shù)函數(shù)2.1.1 反對稱陣兩個三維列向量

29、和之間的叉乘積，可利用行列式計算規(guī)則表示為 （2.1-1）另一方面，若計算由向量中各元素構(gòu)造的某種特殊矩陣與向量之間的矩陣乘法，可得 （2.1-2）比較式（2.1-1）與式（2.1-2），容易發(fā)現(xiàn)它們的右端結(jié)果完全相同，因此，可記式（2.1-2）左端的特殊矩陣如下 （2.1-3）并將其稱為向量的反對稱陣（或斜對稱陣）。引入反對稱陣概念后，兩向量之間叉乘運(yùn)算可等價表示為前一向量的反對稱陣與后一向量之間的矩陣乘法運(yùn)算，亦即 （2.1-4）以后會看到，這一簡單改寫方式在許多場合會帶來很大的便利。如果是實(shí)向量（以后在涉及反對稱陣時未特別說明均作此假設(shè)），顯然有 （2.1-5）其中，右上標(biāo)“”表示Her

30、mite轉(zhuǎn)置，即共軛轉(zhuǎn)置。不難驗(yàn)證下式成立： （2.1-6）可見，反對稱陣是正規(guī)矩陣(Normal Matrix)。根據(jù)矩陣?yán)碚撝?，正?guī)矩陣可酉相似于對角陣，且不同特征值對應(yīng)的特征向量兩兩正交。下面求解與對角陣之間的相似變換關(guān)系。首先，計算的特征多項式 （2.1-7）其中，是向量的模值。令特征多項式，可解得的三個特征值如下 （2.1-8）當(dāng)時，不難求得與上式三個特征值相對應(yīng)的單位特征向量，分別為 （2.1-9）而當(dāng)（甚至）時，可選擇單位正交特征向量如下 （2.1-10）實(shí)際上，反對稱陣的復(fù)單位特征向量是不唯一的（見附錄I練習(xí)題2），式（2.1-9）和（2.1-10）只給出了其中一組。如記 （2

31、.1-11）可驗(yàn)證有，因此是酉矩陣。根據(jù)矩陣特征值與特征向量之間的關(guān)系，有 （2.1-12）上式兩邊同時左乘，得 （2.1-13）至此，驗(yàn)證了可酉相似于對角陣，并求得了相應(yīng)的相似變換矩陣。最后，給出反對稱陣的冪方公式，如下綜上，可寫出通式 （2.1-14）2.1.2 反對稱陣的矩陣指數(shù)函數(shù)根據(jù)哈密頓凱萊（Hamilton-Cayley）定理，矩陣指數(shù)函數(shù)可以展開成的有限項級數(shù)形式，即 （2.1-15）其中，、和為待定系數(shù)。根據(jù)式（2.1-13）和（2.1-15），有 （2.1-16）上式兩邊矩陣都展開成元素分量形式，可得 （2.1-17）將特征值式（2.1-8）代入式（2.1-17），比較兩邊

32、對角線元素，可得如下方程組 即 （2.1-18）從上式可解得待定系數(shù) （2.1-19）再將這些待定系數(shù)重新代回式（2.1-18），有反對稱陣的矩陣函數(shù)求解公式 （2.1-20）實(shí)際上，若直接將式（2.1-14）代入式（2.1-15）的求和符號中，亦可求得上式，即 （2.1-21）此外，在式（2.1-16）中有，據(jù)此可得 （2.1-22）對比上式與式（2.1-12），可知與反對稱陣具有相同的特征向量，它們均為矩陣的列向量；并且矩陣函數(shù)與對角陣具有相同的特征值，分別為 （2.1-23）根據(jù)以上特征值，易知有成立，所以是酉矩陣。由于多個酉矩陣之乘積仍然是酉矩陣，可知也是酉矩陣；此外，式（2.1-20

33、）表明，若是實(shí)向量則是實(shí)矩陣，所以必定是單位正交陣，這一點(diǎn)亦可證明如下： （2.1-24）值得指出的是，由于，所以，在所有三階單位正交陣中只有行列式為1者才可以表示成的形式，事實(shí)上，行列式為1的單位正交陣可稱為右手直角坐標(biāo)變換矩陣（反之，行列式為-1者可稱為左手矩陣）。2.2方向余弦陣與等效旋轉(zhuǎn)矢量2.2.1 方向余弦陣若用分別表示直角坐標(biāo)系（系）坐標(biāo)軸上的單位矢量，而用表示（系）坐標(biāo)軸向的單位矢量，則可分別用表示為： （2.2-1）實(shí)際上，上式表示的正是兩直角坐標(biāo)系之間的基變換公式，將其改寫成矩陣的方式，如下 （2.2-2）其中，為從系到系的過渡矩陣（或稱從系到系的坐標(biāo)系/基變換矩陣），即

34、（2.2-3）假設(shè)有一個三維矢量，它在系和系下的投影坐標(biāo)分別為 和 若用投影表示法，則有 （2.2-4）而若用坐標(biāo)表示法，則有 （2.2-5）將式（2.2-2）代入式（2.2-5）的右端，可得 （2.2-6）從而有 即 （2.2-7）其中，記為從系到系的坐標(biāo)變換矩陣，也就是從系到系的坐標(biāo)系變換矩陣（或過渡矩陣）。從幾何含義上，不難驗(yàn)證過渡矩陣是單位正交陣（即有），比如對于式（2.2-3）中的第一行向量，它表示在系的投影，可記為，顯然有，而第一行向量與第二行向量點(diǎn)乘為同理，可驗(yàn)證中任一行向量為單位向量，且任意兩個不同行向量之間正交。由于矩陣中的每一個元素均表示兩套坐標(biāo)系（系和系）相應(yīng)坐標(biāo)軸之間夾

35、角的余弦值，比如表示坐標(biāo)軸與之間夾角的余弦值，即，因此常稱為方向余弦陣（direction cosine matrix, DCM）。2.2.2 等效旋轉(zhuǎn)矢量參見圖2.2-1，三維空間中的某矢量繞另一單位矢量轉(zhuǎn)動（設(shè)）角度，得矢量，以下求解轉(zhuǎn)動前后兩矢量與之間的幾何運(yùn)算關(guān)系。圖2.2-1 等效旋轉(zhuǎn)矢量不妨假設(shè)矢量和單位矢量具有共同的起始點(diǎn)，記的矢端在上的投影為。若以為圓心、為半徑作圓，則的矢端也在該圓周上。在圓上取一點(diǎn)使得，則有 （2.2-8）轉(zhuǎn)動前的矢量相對于單位矢量可分解為平行于的分量和垂直于的分量，如下 即 （2.2-9）其中 （2.2-10） （2.2-11）同理，轉(zhuǎn)動后的矢量相對于也可

36、以分解為平行分量和垂直分量，如下 即 （2.2-12）其中 （2.2-13） （2.2-14）至此，將式（2.2-10）和式（2.2-14）代入式（2.2-12），可詳細(xì)展開為 （2.2-15）此外，由附錄A三重矢積公式（A-3），即，可得 （2.2-16）將式（2.2-16）代入式（2.2-15），得 （2.2-17）其中記 （2.2-18）式（2.2-17）稱為羅德里格（Rodrigues）旋轉(zhuǎn)公式，它建立了轉(zhuǎn)動前后兩矢量與之間的線性變換關(guān)系，該變換是轉(zhuǎn)軸及轉(zhuǎn)角的函數(shù)。直角坐標(biāo)系上存在三個坐標(biāo)軸向單位矢量，也可對它們實(shí)施旋轉(zhuǎn)操作。假設(shè)有動坐標(biāo)系系與參考坐標(biāo)系系，兩坐標(biāo)系在起始時刻重合，接著

37、系相對于系作定軸轉(zhuǎn)動，即繞通過原點(diǎn)的單位矢量轉(zhuǎn)動了角，也就是說，系坐標(biāo)軸的單位矢量繞轉(zhuǎn)動角得到系坐標(biāo)軸的單位矢量。根據(jù)式（2.2-18），可得兩坐標(biāo)軸單位矢量之間的變換關(guān)系 （2.2-19）再假設(shè) （2.2-20）將式（2.2-19）和（2.2-20）代入過渡矩陣式（2.2-2），得 （2.2-21）這表明，矩陣正好是從參考坐標(biāo)系系到動坐標(biāo)系系的過渡矩陣，它也是從系到系的坐標(biāo)變換矩陣，可重新記式（2.2-18）為： （2.2-22）進(jìn)一步，若記和，則有，將其代入式（2.2-22），可得 （2.2-23）這里稱為等效旋轉(zhuǎn)矢量（Rotation Vector），根據(jù)圖2.2-1，等效旋轉(zhuǎn)矢量的矢量

38、方向表示轉(zhuǎn)軸方向，而模值大小表示旋轉(zhuǎn)角度大小。從轉(zhuǎn)動的物理含義上看，表示的是相同的轉(zhuǎn)動，這可通過將其代入式（2.2-23）進(jìn)行驗(yàn)證，即與的取值無關(guān)。如果限定轉(zhuǎn)角的取值范圍，則等效旋轉(zhuǎn)矢量和方向余弦陣之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。從坐標(biāo)系的定軸轉(zhuǎn)動中可以看出，等效旋轉(zhuǎn)矢量（或單位轉(zhuǎn)軸）是一種比較特殊的矢量，它在系和系下的坐標(biāo)值完全相等，即有（或）。有時為了更加明確地顯示系相對于系的轉(zhuǎn)動關(guān)系，可利用下角標(biāo)進(jìn)行標(biāo)注，比如（或）。將式（2.2-23）與向量反對稱陣的矩陣函數(shù)（2.1-20）對比，可看出兩者形式上完全一致，這說明式（2.1-20）中三維向量具有等效旋轉(zhuǎn)矢量的物理含義。根據(jù)式（2.1-30）和（2

39、.1-31）還可以看出，方向余弦陣的一個特征值恒為1（），與其對應(yīng)的單位特征向量（）表示轉(zhuǎn)軸方向；方向余弦陣的另外兩個共軛特征值（和）即為等效旋轉(zhuǎn)矢量模值的冪指函數(shù)，特征值的幅角表示等效旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)角大小。若將方向余弦陣看作是等效旋轉(zhuǎn)矢量的函數(shù)，可簡記為 （2.2-24）并且有 （2.2-25）特別地，若分別取、和，則有 （2.2-26a） （2.2-26b） （2.2-26c）上述三式分別稱為以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的基本轉(zhuǎn)動矩陣，或稱Givens矩陣或初等旋轉(zhuǎn)矩陣，空間的任意轉(zhuǎn)動都可以由三次基本轉(zhuǎn)動合成，參見附錄B。由等效旋轉(zhuǎn)矢量與方向余弦陣之間的一一對應(yīng)關(guān)系可知，方向余弦陣雖然含有9個元素，但它

40、只有3個獨(dú)立參數(shù)，包含了6個約束條件，即行向量之間兩兩正交（3個）及每個行向量模值均為1（3個）。3個獨(dú)立參數(shù)即為3個自由度，這與三維空間中的轉(zhuǎn)動自由度是一致的。2.3方向余弦陣微分方程及其求解2.3.1 方向余弦陣微分方程假設(shè)動坐標(biāo)系（系）和參考坐標(biāo)系（系）具有共同的原點(diǎn)，系相對于系轉(zhuǎn)動的角速度為，從系到系的坐標(biāo)系變換矩陣記為，它是時變矩陣，再假設(shè)在系中有一固定矢量，則固定矢量在兩坐標(biāo)系下投影的轉(zhuǎn)換關(guān)系（即坐標(biāo)變換），為 （2.3-1）將上式兩邊同時微分，得 （2.3-2）注意到，是系中的固定矢量，則有；由于系相對于系的角速度為，則在系上觀察的角速度應(yīng)為（或?qū)憺椋?，并且有，因而式?.3-2

41、）可化為 即 （2.3-3）由于上式對于任意系固定矢量都成立，任選三個不共面的非零矢量、和，則有顯然矩陣可逆，所以必定有 （2.3-4）這便是方向余弦陣微分方程，或稱為姿態(tài)陣微分方程，它建立了動坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系之間方向余弦陣與動坐標(biāo)系運(yùn)動角速度之間的關(guān)系。此外，通過如下矢量運(yùn)算關(guān)系比較上式兩邊，可得反對稱陣的相似變換公式 （2.3-5）根據(jù)式（2.3-4）和式（2.3-5），并考慮到是單位正交陣，即有，容易證明以下四種方向余弦陣微分方程是相互等價的： （2.3-6a） （2.3-6b） （2.3-6c） （2.3-6d）2.3.2 方向余弦陣微分方程的求解以下討論微分方程的求解，為了書寫

42、簡便，略去各量的上下角標(biāo)，但明確寫出時變量的時間參數(shù)，并記反對稱陣，將姿態(tài)陣微分方程表示為 （2.3-7）顯然，這是一個典型的時變系數(shù)齊次微分方程，需采用畢卡（Peano-Baker/Picard?）法求解。首先，對式（2.3-7）在時間段上積分，得 （2.3-8）由于上式右邊第二項被積函數(shù)依然含有待求的，重復(fù)使用上式右邊整體代入積分號內(nèi)，第一次代入，得 （2.3-9）第二次代入，可得 （2.3-10）依此不斷代入，便可得到以無限重積分表示的所謂的畢卡級數(shù) （2.3-11）上述級數(shù)是收斂的，但一般情況下得不到閉合形式的解（初等解），只有在所謂的定軸轉(zhuǎn)動特殊情形下才容易得到閉合解?？紤]時間段，對

43、于任意時間參數(shù)，假設(shè)轉(zhuǎn)動角速度滿足如下可交換性條件 （2.3-12）則有 即 （2.3-13）現(xiàn)計算以下微分 （2.3-14）注意，上式的最后一個等號是在式（2.3-12）條件下才能成立的。根據(jù)式（2.3-14），有如下積分成立 （2.3-15）同理，有 （2.3-16）等等。至此，在可交換條件（2.3-12）下，畢卡級數(shù)式（2.3-11）可簡化成閉合解形式 （2.3-17）下面說明可交換條件式（2.3-12）的幾何含義。設(shè)角速度的分量形式為和，則有 （2.3-18） （2.3-19）令上述兩式相等，可解得 （2.3-20）如果式（2.3-20）中所有的角速率分量都不為0，則有 （2.3-21

44、）這表示在時間段內(nèi)，系相對于系的轉(zhuǎn)動角速度方向始終不變，即為定軸轉(zhuǎn)動；如果式（2.3-20）中某些角速率分量為0，也容易得出該轉(zhuǎn)動是定軸轉(zhuǎn)動的結(jié)論；如果所有角速度分量均為0，即為靜止，它亦可視為定軸轉(zhuǎn)動的特殊情形。綜合上述三種情況，說明閉合解式（2.3-17）只有在定軸轉(zhuǎn)動情形下才能嚴(yán)格成立。針對時間段，記角增量且模值，考慮到矩陣指數(shù)函數(shù)式（2.1-19），則有 （2.3-22）因此，式（2.3-17）在時刻的解可簡寫為 （2.3-23）其中 （2.3-24）若將時間區(qū)間從更改為，且假設(shè)已知時刻的方向余弦陣為，時間段的角增量為且記模值，則求解時刻的姿態(tài)陣的公式為 （2.3-25） （2.3-2

45、6）上述兩式便是姿態(tài)陣離散化更新的遞推計算公式。值得注意的是，式（2.3-26）嚴(yán)格成立的前提條件是系在時間內(nèi)必須是定軸轉(zhuǎn)動，該式與式（2.2-23）相比，兩者在形式上完全一致，因而可以認(rèn)為定軸轉(zhuǎn)動時角增量是以系為參考，系相對于系轉(zhuǎn)動的等效旋轉(zhuǎn)矢量；否則，如果可交換性條件式（2.3-12）不成立，依然簡單地利用式（2.3-26）進(jìn)行計算將會引起姿態(tài)求解的不可交換誤差，不可交換性是高維時變系統(tǒng)（時變矩陣微分方程）的普遍特性。同理，類似于式（2.3-25）和（2.3-26），可求得另一種姿態(tài)陣微分方程表示形式的更新公式，為 （2.3-27） （2.3-28）其中，、。顯然，有成立。對于非定軸轉(zhuǎn)動下

46、的姿態(tài)更新方法，主要是通過等效旋轉(zhuǎn)矢量算法進(jìn)行不可交換誤差補(bǔ)償，這些內(nèi)容將在本章后續(xù)小節(jié)詳細(xì)介紹。2.4姿態(tài)更新的四元數(shù)表示四元數(shù)（quaternion）的概念最早在1843年由數(shù)學(xué)家哈密頓（W R Hamilton）提出，它可用于描述剛體轉(zhuǎn)動或姿態(tài)變換，與方向余弦陣相比，四元數(shù)表示方法雖然比較抽象，但卻十分的簡潔。2.4.1 四元數(shù)的基本概念顧名思義，四元數(shù)就是包含四個元的一種數(shù)，可表示為 （2.4-1）其中，、和都是實(shí)數(shù)，稱為實(shí)部、稱為虛部。四元數(shù)可以看作是復(fù)數(shù)概念的擴(kuò)充，有時也稱其為超復(fù)數(shù)，當(dāng)時四元數(shù)即退化為復(fù)數(shù)。四元數(shù)的虛數(shù)單位之間滿足如下乘法運(yùn)算規(guī)則 （2.4-2a）即 （哈密頓公式

47、） （2.4-2b）其中，運(yùn)算符“”表示四元數(shù)乘法運(yùn)算，在不引起歧義的情況下可寫成“”號或直接省略。式（2.4-2a）中第一行運(yùn)算規(guī)則與復(fù)數(shù)中虛數(shù)的運(yùn)算規(guī)則完全相同；第二行運(yùn)算規(guī)則與三維向量空間中坐標(biāo)軸單位矢量的叉乘運(yùn)算規(guī)則相同。四元數(shù)可以看作是四維空間中的一種數(shù)，但因其虛部單位矢量的叉乘運(yùn)算特點(diǎn)，也可將四元數(shù)的虛數(shù)部分看成是在三維空間中的映象（image），反之，一個三維矢量可以看作是一個零標(biāo)量四元數(shù)。假設(shè)有如下三個四元數(shù) （2.4-3a） （2.4-3b） （2.4-3c）兩個四元數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的四個元分別對應(yīng)相等，即 （2.4-4）兩個四元數(shù)之間的加（或減法）定義為 （2.4-5a）

48、或者記為 （2.4-5b）容易驗(yàn)證，四元數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即有和?？紤]到運(yùn)算規(guī)則（2.4-2a），兩個四元數(shù)的乘法結(jié)果為 （2.4-6）特別地，兩個零標(biāo)量四元數(shù)相乘，可得 （2.4-7）這是零標(biāo)量四元數(shù)乘法運(yùn)算規(guī)則與三維矢量運(yùn)算規(guī)則之間的關(guān)系，上式右邊同時包含了矢量的點(diǎn)乘運(yùn)算和叉乘運(yùn)算。實(shí)際上，運(yùn)算規(guī)則式（2.4-2a）可視為式（2.4-7）應(yīng)用于坐標(biāo)軸單位矢量的特殊情形。若采用三維矢量運(yùn)算表示法，四元數(shù)乘法可表示為 （2.4-8）在式（2.4-7）中，由于矢量叉乘不滿足交換律，因而四元數(shù)乘法也不滿足交換律，即一般情況下；當(dāng)且僅當(dāng)，即兩個四元數(shù)的虛部矢量相互平行（包括零矢量）時，才有

49、。容易驗(yàn)證，四元數(shù)乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，且乘法對加法滿足分配律和?？梢?，四元數(shù)乘法運(yùn)算律與矩陣乘法是完全一致的。若采用矩陣表示法，四元數(shù)乘法式（2.4-6）還可寫成 （2.4-9a）或者 （2.4-9b）其中 （2.4-10a） （2.4-10b）為了簡寫方便，可定義三維向量的兩種四維反對稱陣，分別如下 （2.4-11a） （2.4-11b）、分別稱為第一和第二反對稱陣，如果省略右下標(biāo)“1”和“2”則默認(rèn)為第一反對稱陣。根據(jù)上述反對稱陣定義，式（2.4-10）可簡寫為 和 （2.4-12）四元數(shù)的共軛（轉(zhuǎn)置）四元數(shù)定義為 （2.4-13）兩個四元數(shù)之和（或乘積）的共軛滿足如下運(yùn)算規(guī)則 （2.4-14a） （2.4-14b）式（2.4-14a）顯然成立；而采用乘法式（2.4-9b）容易驗(yàn)證式（2.4-1