2012年北京高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、 中國校長網(wǎng)2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)本試卷共5頁. 150分.考試時(shí)長120分鐘.考試生務(wù)必將答案答在答題卡上.在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題。每小題5分.共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合勝目要求的一項(xiàng).1已知集合a=xr|3x+20 b=xr|（x+1）(x-3)0 則ab=a （-，-1）b （-1，-） c （-,3）d (3,+)【解析】和往年一樣，依然的集合(交集)運(yùn)算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因?yàn)?，利用二次不等式可得或畫出?shù)軸易得：故選d【答案】d2設(shè)不等

2、式組，表示平面區(qū)域?yàn)閐，在區(qū)域d內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（a） （b） （c） （d）【解析】題目中表示的區(qū)域如圖正方形所示，而動(dòng)點(diǎn)d可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此，故選d?！敬鸢浮縟3設(shè)a，br?！癮=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（ ）a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)時(shí)，如果同時(shí)等于零，此時(shí)是實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件；而如果已經(jīng)為純虛數(shù)，由定義實(shí)部為零，虛部不為零可以得到，因此想必要條件，故選b?！敬鸢浮縝4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（ ）a. 2 b

3、.4 c.8 d. 16【解析】，循環(huán)結(jié)束，輸出的s為8，故選c。【答案】5.如圖. acb=90º，cdab于點(diǎn)d，以bd為直徑的圓與bc交于點(diǎn)e.則( )a. ce·cb=ad·db b. ce·cb=ad·abc. ad·ab=cd ² d.ce·eb=cd ²【解析】在中，acb=90º，cdab于點(diǎn)d，所以,由切割線定理的,所以ce·cb=ad·db。【答案】a6.從0，2中選一個(gè)數(shù)字.從1.3.5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )a. 2

4、4 b. 18 c. 12 d. 6【解析】由于題目要求的是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況?！敬鸢浮縝7.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）a. 28+6 b. 30+6 c. 56+ 12 d. 60+12【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀

5、出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計(jì)算得到的邊長。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，因此該幾何體表面積，故選b?！敬鸢浮縝8.某棵果樹前n前的總產(chǎn)量s與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高。m值為（ ）a.5 b.7 c.9 d.11【解析】由圖可知6,7,8,9這幾年增長最快，超過平均值，所以應(yīng)該加入，因此選c?！敬鸢浮縞第二部分(非選擇題共110分)二.填空題共6小題。每小題5分。共30分.9直線為參數(shù))與曲線為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_。 【解析】直線的普通方程，圓的普通方程為，可以直線圓相交，故有2個(gè)交點(diǎn)?！敬鸢浮?

6、10已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和。若，則=_?！窘馕觥恳?yàn)?，所以，?！敬鸢浮浚?1在abc中，若=2，b+c=7，cosb=，則b=_?！窘馕觥吭赼bc中，利用余弦定理 ，化簡得：，與題目條件聯(lián)立，可解得【答案】412在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l過拋物線=4x的焦點(diǎn)f.且與該撇物線相交于a、b兩點(diǎn).其中點(diǎn)a在x軸上方。若直線l的傾斜角為60º.則oaf的面積為 【解析】由可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)f(1,0)，因?yàn)閮A斜角為，所以直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式，直線方程為，將直線和曲線聯(lián)立，因此【答案】13已知正方形abcd的邊長為1，點(diǎn)e是ab邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_，的最大值為_?！窘馕觥扛鶕?jù)平面向量的數(shù)

7、量積公式，由圖可知，因此，而就是向量在邊上的射影，要想讓最大，即讓射影最大，此時(shí)e點(diǎn)與b點(diǎn)重合，射影為，所以長度為1【答案】1，114.已知，若同時(shí)滿足條件：，或；, 。則m的取值范圍是_。 【解析】根據(jù)，可解得。由于題目中第一個(gè)條件的限制，或成立的限制，導(dǎo)致在時(shí)必須是的。當(dāng)時(shí)，不能做到在時(shí)，所以舍掉。因此，作為二次函數(shù)開口只能向下，故，且此時(shí)兩個(gè)根為，。為保證此條件成立，需要，和大前提取交集結(jié)果為；又由于條件2：要求，0的限制，可分析得出在時(shí)，恒負(fù)，因此就需要在這個(gè)范圍內(nèi)有得正數(shù)的可能，即應(yīng)該比兩根中小的那個(gè)大，當(dāng)時(shí)，解得，交集為空，舍。當(dāng)時(shí)，兩個(gè)根同為，舍。當(dāng)時(shí)，解得，綜上所述【答案】三、

8、解答題公6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15（本小題共13分）已知函數(shù)。（1）求的定義域及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間。16（本小題共14分） 如圖1，在rtabc中，c=90°，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點(diǎn)，且debc，de=2，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd,如圖2.(i)求證：a1c平面bcde；(ii)若m是a1d的中點(diǎn)，求cm與平面a1be所成角的大小；(iii)線段bc上是否存在點(diǎn)p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說明理由解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如圖建系，則，,設(shè)平面法向量為則 又

9、，與平面所成角的大小。（3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則則，設(shè)平面法向量為，則 。假設(shè)平面與平面垂直，則，不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直。17（本小題共13分）近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的風(fēng)分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；（）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤額概率；（）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾

10、”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為其中a0，=600。當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最大時(shí)，寫出的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)的值。（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）解：（1）由題意可知：。（2）由題意可知：。（3）由題意可知：，因此有當(dāng)，時(shí)，有18（本小題共13分）解：（1）由為公共切點(diǎn)可得：，則，則，又，即，代入式可得：（2），設(shè)則，令，解得：，；，原函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增若，即時(shí)，最大值為；若，即時(shí)，最大值為若時(shí)，即時(shí)，最大值為綜上所述：當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最大值為19（本小題共14分）解：（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，

11、解得：由韋達(dá)定理得：，設(shè)，方程為：，則，欲證三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證。20（本小題共13分）解：（1）由題意可知，（2）先用反證法證明：若則，同理可知，由題目所有數(shù)和為即與題目條件矛盾易知當(dāng)時(shí)，存在的最大值為1（3）的最大值為.首先構(gòu)造滿足的：，.經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且，.下面證明是最大值. 若不然，則存在一個(gè)數(shù)表，使得.由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于.設(shè)中有列