2016南京三模數(shù)學(xué)試卷

1、南京市2016屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù) 學(xué) 2016.05注意事項(xiàng)：1本試卷共4頁(yè)，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘2答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙參考公式樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上）1已知全集u1，2，3，a，集合m1，3若um2，5，則實(shí)數(shù)a的值為2設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1i)24i，其中i為

2、虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 3甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績(jī)（單位：環(huán)）如下表：選手第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8則甲、乙兩位選手中成績(jī)最穩(wěn)定的選手的方差是s1i2while s100ii2ss×iend whileprint i（第5題圖）4從2個(gè)白球，2個(gè)紅球，1個(gè)黃球這5個(gè)球中隨機(jī)取出兩個(gè)球，則取出的兩球中恰有一個(gè)紅球的概率是5執(zhí)行如圖所示的偽代碼，輸出的結(jié)果是 6已知，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同直線，l，m給出下列命題：lm； lm； ml； lm其中正確的命題是 (填寫所有

3、正確命題的序號(hào))7設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿足sn2an2，則 8設(shè)f是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上，且線段pf的中點(diǎn)恰為雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則雙曲線的離心率為9如圖，已知a，b分別是函數(shù)f(x)sinx(0)在y軸右側(cè)圖象上的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，且aob，則該函數(shù)的周期是10已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2，則不等式f(x1)2的解集是oyxab（第9題圖）abcdm（第11題圖）11如圖，在梯形abcd中，abcd，ab4，ad3，cd2，2若·3，則· 12在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓m：(xa)2(ya3)21(a0)，點(diǎn)

4、n為圓m上任意一點(diǎn)若以n為圓心，on為半徑的圓與圓m至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的最小值為13設(shè)函數(shù)f(x)g(x)f(x)b若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為14若實(shí)數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的最大值為二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分)在abc中，已知a，b，c分別為角a，b，c的對(duì)邊若向量m(a，cosa)，向量n(cosc，c)，且m·n3bcosb（1）求cosb的值；（2）若a，b，c成等比數(shù)列，求的值（第16題圖）abcda1b1c116

5、(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，d為棱bc上一點(diǎn) （1）若abac，d為棱bc的中點(diǎn)，求證：平面adc1平面bcc1b1；（2）若a1b平面adc1，求的值 17 (本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓c：1(ab0)的離心率為，點(diǎn)(2，1)在橢圓c上（1）求橢圓c的方程；oxyfpq（第17題圖）（2）設(shè)直線l與圓o：x2y22相切，與橢圓c相交于p，q兩點(diǎn) 若直線l過(guò)橢圓c的右焦點(diǎn)f，求opq的面 積；求證： opoq18(本小題滿分16分)如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域abcd，其四條邊均為道路，adbc，adc90°，ab5千

6、米，bc8千米，cd3千米現(xiàn)甲、乙兩管理員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往d地，甲的路線是ad，速度為6千米/小時(shí)，乙的路線是abcd，速度為v千米/小時(shí)（1）若甲、乙兩管理員到達(dá)d的時(shí)間相差不超過(guò)15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；（2）已知對(duì)講機(jī)有效通話的最大距離是5千米若乙先到達(dá)d，且乙從a到d的過(guò)程中始終能用對(duì)講機(jī)與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍（第18題圖）cbad19(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)x3mx2m(m0) （1）當(dāng)m1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間； （2）設(shè)g(x)|f(x)|，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，m上的最大值；（3）若存在t0，使得函數(shù)f(x)圖象上有且僅有兩個(gè)不

7、同的點(diǎn)，且函數(shù)f(x)的圖象在這兩點(diǎn)處的兩條切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，t)，試求m的取值范圍 20(本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為sn，記bn （1）若an是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列，其中a，d均為正數(shù) 當(dāng)3b1，2b2，b3成等差數(shù)列時(shí)，求的值； 求證：存在唯一的正整數(shù)n，使得an+1bnan+2 （2）設(shè)數(shù)列an是公比為q(q2)的等比數(shù)列，若存在r，t(r，tn*，rt)使得，求q的值南京市2016屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題 2016.05注意事項(xiàng)：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時(shí)間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫在答題紙

8、的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙21【選做題】在a、b、c、d四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟a選修41：幾何證明選講apohc（第21題a圖）b如圖，已知半圓o的半徑為2，p是直徑bc延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，pa與半圓o相切于點(diǎn)a， h是oc的中點(diǎn)，ahbc（1）求證：ac是pah的平分線；（2）求pc的長(zhǎng)b選修42：矩陣與變換已知曲線c：x22xy2y21，矩陣a所對(duì)應(yīng)的變換t把曲線c變成曲線c1，求曲線c1的方程 c選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程設(shè)極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合

9、，極軸與x軸的正半軸重合已知橢圓c的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)m的極坐標(biāo)為(1，)若p是橢圓c上任意一點(diǎn)，試求pm的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)p的直角坐標(biāo)d選修45：不等式選講求函數(shù)f(x)5的最大值【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出 文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22（本小題滿分10分）從0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)中任選三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，記x為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和（1）求x是奇數(shù)的概率；（2）求x的概率分布列及數(shù)學(xué)期望23（本小題滿分10分） 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)p(x0，y0)在曲線yx2(x0)上已知a(0，1)，pn(x

10、，y)，nn*記直線apn的斜率為kn （1）若k12，求p1的坐標(biāo)；（2）若 k1為偶數(shù)，求證：kn為偶數(shù)南京市2016屆高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則2對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、填空題（本大題共14小題，每小題

11、5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上）15 23i 30.02 4 58 674 8 94 101，3 11 123 13(1，2) 14 二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分)解：（1）因?yàn)閙·n3bcosb，所以acoscccosa3bcosb由正弦定理，得sinacoscsinccosa3sinbcosb，············

12、···············································3分所以sin(ac)3sinbco

13、sb，所以sinb3sinbcosb因?yàn)閎是abc的內(nèi)角，所以sinb0，所以cosb···········································

14、;·········7分（2）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac由正弦定理，得sin2bsina·sinc ································&#

15、183;··············································9分因?yàn)閏osb，b是abc的內(nèi)角，所以

16、sinb·················································&#

17、183;····11分又············································

18、3;····················14分16(本小題滿分14分)證明：（1）因?yàn)閍bac，點(diǎn)d為bc中點(diǎn)，所以adbc ······················

19、83;··························2分 因?yàn)閍bca1b1c1 是直三棱柱，所以bb1平面abc 因?yàn)閍dÌ平面abc，所以bb1ad ··············&

20、#183;····································4分 因?yàn)閎cbb1b，bcÌ平面bcc1b1，bb1Ì平面bcc1b1， 所以ad平面bcc1b1 因?yàn)閍dÌ平面adc1，所

21、以平面adc1平面bcc1b1 ·············································6分(2)連結(jié)a1c，交ac

22、1于o，連結(jié)od，所以o為ac1中點(diǎn) ·············································8分因?yàn)閍1b平面ad

23、c1，a1bÌ平面a1bc，平面adc1平面a1bcod，所以a1bod ···········································

24、·······12分因?yàn)閛為ac1中點(diǎn)，所以d為bc中點(diǎn)，所以1 ······································

25、3;···························14分17(本小題滿分14分)解：（1）由題意，得，1，解得a26，b23所以橢圓的方程為1 ···············

26、;··················································

27、;·2分（2）解法一 橢圓c的右焦點(diǎn)f(，0)設(shè)切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切線方程為y±(x)······························4分由方程組解得或 所以點(diǎn)p，q的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，所以pq ·&#

28、183;·······························6分因?yàn)閛到直線pq的距離為，所以opq的面積為 因?yàn)闄E圓的對(duì)稱性，當(dāng)切線方程為y(x)時(shí)，opq的面積也為綜上所述，opq的面積為 ·······&

29、#183;·························8分解法二 橢圓c的右焦點(diǎn)f(，0)設(shè)切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切線方程為y±(x)·············

30、··················4分把切線方程 y(x)代入橢圓c的方程，消去y得5x28x60設(shè)p(x1，y1) ，q(x2，y2)，則有x1x2 由橢圓定義可得，pqpffq2ae( x1x2)2××················

31、·····6分因?yàn)閛到直線pq的距離為，所以opq的面積為 因?yàn)闄E圓的對(duì)稱性，當(dāng)切線方程為y(x)時(shí)，所以opq的面積為綜上所述，opq的面積為 ·································8分解法

32、一：(i)若直線pq的斜率不存在，則直線pq的方程為x或x當(dāng)x時(shí)，p (，)，q(，)因?yàn)?#183;0，所以opoq當(dāng)x時(shí)，同理可得opoq ·································10分(ii) 若直線pq的斜率存在，設(shè)直線pq的方程為yk

33、xm，即kxym0因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即m22k22將直線pq方程代入橢圓方程，得(12k2) x24kmx2m260.設(shè)p(x1，y1) ，q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2·································12分因?yàn)?#18

34、3;x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)×km×()m2將m22k22代入上式可得·0，所以opoq綜上所述，opoq ································

35、83;····14分解法二：設(shè)切點(diǎn)t(x0，y0)，則其切線方程為x0xy0y20，且xy2 (i)當(dāng)y00時(shí)，則直線pq的直線方程為x或x當(dāng)x時(shí)，p (，)，q(，)因?yàn)?#183;0，所以opoq當(dāng)x時(shí)，同理可得opoq ····························

36、;······10分(ii) 當(dāng)y00時(shí)，由方程組消去y得(2xy)x28x0x86y0設(shè)p(x1，y1) ，q(x2，y2)，則有x1x2，x1x2 ······························12分所以·x1x

37、2y1y2x1x2因?yàn)閤y2，代入上式可得·0，所以opoq綜上所述，opoq ·····································14分18(本小題滿分16分)解：(1)由題意，可得ad12千米

38、由題可知|， ··············································2分解得v ··

39、;············································4分(2) 解法一：經(jīng)過(guò)t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為f(t)由于先

40、乙到達(dá)d地，故2，即v8 ················································

41、;6分當(dāng)0vt5，即0t時(shí)，f(t)(6t)2(vt)22×6t×vt×cosdab(v2v36) t2因?yàn)関2v360，所以當(dāng)t時(shí)，f(t)取最大值，所以(v2v36)×()225，解得v ······························

42、3;··········9分當(dāng)5vt13，即t時(shí)，f(t)(vt16t)29(v6) 2 (t)29因?yàn)関8，所以，(v6) 20，所以當(dāng)t時(shí)，f(t)取最大值，所以(v6) 2 ()2925，解得v ·························

43、;···············13分當(dāng)13vt16， t時(shí)，f(t)(126t)2(16vt)2，因?yàn)?26t0，16vt0，所以當(dāng)f(t)在(，)遞減，所以當(dāng)t時(shí)，f(t)取最大值，(126×)2(16v×)225，解得v 因?yàn)関8，所以 8v ···············

44、······························16分解法二：設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)，甲、乙之間的距離的平方為f(t)由于先乙到達(dá)d地，故2，即v8 ············&#

45、183;····································6分以a點(diǎn)為原點(diǎn)，ad為x軸建立直角坐標(biāo)系， 當(dāng)0vt5時(shí)，f(t)(vt6t)2(vt)2由于(vt6t)2(vt)225，所以(v6)2(v)2對(duì)任意0t都

46、成立，所以(v6)2(v)2v2，解得v ··············································

47、83;9分當(dāng)5vt13時(shí)，f(t)(vt16t)232由于(vt16t)23225，所以4vt16t4對(duì)任意t都成立，即對(duì)任意t都成立，所以解得v ·····································

48、3;·········13分當(dāng)13vt16即t，此時(shí)f (t)(126t)2(16vt)2由及知：8v，于是0126t12124，又因?yàn)?16vt3，所以f (t)(126t)2(16vt)2423225恒成立綜上可知8v ························

49、;·····················16分19(本小題滿分16分)解：（1）當(dāng)m1時(shí)，f(x)x3x21f (x)3x22xx(3x2)由f (x)0，解得x0或x所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(，0)和(，) ··············

50、83;·······················2分（2）依題意m0因?yàn)閒(x)x3mx2m，所以f (x)3x22mxx(3x2m)由f (x)0，得x或x0 當(dāng)0x時(shí)，f (x)0，所以f(x)在(0，)上為增函數(shù)；當(dāng)xm時(shí)，f (x)0，所以f(x)在(，m)上為減函數(shù)；所以，f(x)極大值f()m3m ····

51、83;············································4分當(dāng)m3mm，即m，ymaxm3m··

52、83;············································6分當(dāng)m3mm，即0m時(shí)，ymaxm綜上，ymax ·&

53、#183;················································8分（3）設(shè)兩

54、切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1，x2則函數(shù)f(x)在這兩點(diǎn)的切線的方程分別為y(x13mx12m)(3x122mx1)(xx1)，y(x23mx22m)(3x222mx2)(xx2) ···································&#

55、183;·······10分將(2，t)代入兩條切線方程，得t(x13mx12m)(3x122mx1)(2x1)，t(x23mx22m)(3x222mx2)(2x2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)圖象上有且僅有兩個(gè)不同的切點(diǎn)，所以方程t(x3mx2m)(3x22mx)(2x)有且僅有不相等的兩個(gè)實(shí)根···········12分整理得t2x3(6m)x24mxm設(shè)h(x)2x3(6m)x24mxm，h (x)6x22(6m)x4m2

56、(3xm)(x2)當(dāng)m6時(shí)，h (x)6(x2)20，所以h(x)單調(diào)遞增，顯然不成立當(dāng)m6時(shí)， h (x)0，解得x2或x列表可判斷單調(diào)性，可得當(dāng)x2或x，h(x)取得極值分別為h(2)3m8，或h()m3m2m 要使得關(guān)于x的方程t2x3(6m)x24mxm有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則t3m8，或tm3m2m ·······················

57、3;·······14分因?yàn)閠0，所以3m80，（*），或m3m2m0（*）解（*），得m，解（*），得m93或m93因?yàn)閙0，所以m的范圍為(0，93，) ·······························

58、···16分20(本小題滿分16分)解：（1）因?yàn)?b1，2b2，b3成等差數(shù)列， 所以4b23b1b3，即4×3(2ad)， 解得， ···································&#

59、183;4分 由an1bnan2，得anda(n1)d，整理得 ········································6分解得n， ···

60、83;····································8分由于1且0 因此存在唯一的正整數(shù)n，使得an1bnan2 ········&#

61、183;································10分（2）因?yàn)?，所?設(shè)f(n)，n2，nn*則f(n1)f(n)，因?yàn)閝2，n2，所以(q1)n22(q2)n3n2310，所以f(n1)f(n)0，即f(n1)f(n)，即f(n)單調(diào)遞增·&

62、#183;································12分所以當(dāng)r2時(shí)，tr2，則f(t)f(r)，即，這與互相矛盾所以r1，即 ··········

63、3;························14分若t3，則f(t)f(3) ·，即，與相矛盾于是t2，所以，即3q25q50又q2，所以q ················

64、3;··························16分南京市2016屆高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2016.05 說(shuō)明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則2對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和

65、難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)21【選做題】在a、b、c、d四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟a選修41：幾何證明選講證明：(1)連接ab因?yàn)閜a是半圓o的切線，所以pacabc因?yàn)閎c是圓o的直徑，所以abac又因?yàn)閍hbc，所以cahabc，所以paccah，所以ac是pah的平分線 ·····&

66、#183;·····································5分(2)因?yàn)閔是oc中點(diǎn)，半圓o的半徑為2，所以bh3，ch1又因?yàn)閍hbc，所以ah2bh·hc3，所以ah在rtahc中，ah，c

67、h1，所以cah30°由(1)可得pah2cah60°，所以pa2由pa是半圓o的切線，所以pa2pc·pb，所以pc·(pcbc)(2)212，所以pc2 ·································

68、83;·········10分b選修42：矩陣與變換解：設(shè)曲線c上的任意一點(diǎn)p(x，y)，p在矩陣a對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)q(x，y)則 ， 即x2yx，xy，所以xy，y ····························&#

69、183;···················5分代入x22xy2y21，得y22y·2()21，即x2y22，所以曲線c1的方程為x2y22 ·····················&#

70、183;·····················10分c選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：m的極坐標(biāo)為(1，)，故直角坐標(biāo)為m(0，1)，且p(2cos，sin)，所以pm，sin1，1 ·················

71、5分當(dāng)sin時(shí)，pmmax，此時(shí)cos±所以，pm的最大值是，此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(±，)·······························10分d選修45：不等式選講 解：函數(shù)定義域?yàn)?，4，且f(x)0 由柯西不等式得52()2()()(5··)2，······················5分 即27×4(5··)2，所以56 當(dāng)且僅當(dāng)5，即x時(shí)，取等號(hào)所以，函數(shù)f(x)5的最大值為6 ········