平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)

1、5 6 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一、內(nèi)容及其解析1、內(nèi)容：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、兩個(gè)平面向量的夾角的坐標(biāo)公式及用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。2、解析：平面向量的數(shù)量積是兩向量之間的一種運(yùn)算，前面我們已經(jīng)做了充分研究，這次課通過建立直角坐標(biāo)系，給出了向量的另一種表示式-坐標(biāo)表示式后，這樣就使得向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而平面向量的坐標(biāo)表示把向量之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)之間的運(yùn)算 , 這就為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁。本節(jié)內(nèi)容是在平面向量的坐標(biāo)表示以及平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，介紹了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，平面兩點(diǎn)

2、間的距離公式，和向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。由于向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)之間的一種關(guān)系，特別用向量的數(shù)量積能有效地解決線段垂直的問題。把向量的數(shù)量積應(yīng)用到三角形中，還能解決三角形邊角之間的有關(guān)問題。所以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示為解決直線垂直問題，三角形邊角的有關(guān)問題提供了很好的辦法，本節(jié)內(nèi)容也是全章重要內(nèi)容之一。二、目標(biāo)及解析1、目標(biāo)1）、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2）、了解用平面向量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題3）、掌握向量垂直的條件2、解析：1）、通過建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出平面向量的數(shù)量積；2）、引入數(shù)量積的坐標(biāo)表示后, 可以用坐標(biāo)將距離、角度及垂直關(guān)系用坐標(biāo)

3、表示出來 , 從而解決有關(guān)這些方面的幾何問題.3）、兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方法之一。( 注意 :垂直的坐標(biāo)表示x1x2+ y1y2 =0 , 共線的坐標(biāo)表示 x1y2x2y1=0)三、教學(xué)問題診斷本節(jié)課是在學(xué)生充分理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示，并已經(jīng)掌握了向量的數(shù)量積的概念和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，應(yīng)該說，從知識(shí)的接受上學(xué)生并不困難，也能理解各個(gè)公式的坐標(biāo)表示。本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，并能用坐標(biāo)形式處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，難點(diǎn)是向量垂直的條件的理解與掌握，解決問題的關(guān)鍵是在掌握向量數(shù)量積概念的基礎(chǔ)上，通過建立直角坐標(biāo)系，

4、將向量的數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算，即數(shù)之間的運(yùn)算。四、教學(xué)支持條件分析本節(jié)內(nèi)容是全章重點(diǎn)內(nèi)容之一，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)容易混淆，在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真預(yù)習(xí)的前提下，教學(xué)中從向量的幾何意義上突破難點(diǎn)，在通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)加以鞏固?？砂阎匾再|(zhì)、運(yùn)算律、例題做成幻燈片，提高課堂效率。五、教學(xué)設(shè)計(jì)過程（一）、教學(xué)基本流程情景創(chuàng)設(shè) 新課講授例題解析目標(biāo)檢測(cè)小結(jié)與作業(yè)（二）情景創(chuàng)設(shè)平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法，向量的表示形式不同，對(duì)其運(yùn)算的表示方式也會(huì)改變 . 向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘向量帶來了極大的方便 . 上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標(biāo)表示，對(duì)平面向量的數(shù)量積的表示方式

5、又會(huì)帶來哪些變化呢？設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置情境，引出課題，設(shè)下問題懸念，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，引起注意，喚起學(xué)生追求探索新知識(shí)的欲望 .問題 1：設(shè)單位向量 i, j 分別與平面直角坐標(biāo)系中的 x 軸、 y 軸方向相同， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量 OA 3i 2 j ，則向量 OA 的坐標(biāo)是，若向量 a (1, 2) ，則向量 a 可用 i, j 表示為；已知 | i | | j | 1， ij ，且 a3i2 j ， bij ，則 a b；設(shè)計(jì)意圖：由舊知識(shí)入手，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過的知識(shí)，以便向新知識(shí)進(jìn)行探索。（三）新課講授1、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示問題 2：已知兩個(gè)非零向量a(x1 , y1 ) ，b

6、(x2 , y2 ) ，怎樣用 a 與 b 的坐標(biāo)來表示 a b呢？（讓學(xué)生自主推導(dǎo)）設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生自主推導(dǎo)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，讓學(xué)生能快速將所學(xué)的向量的坐標(biāo)表示知識(shí)用到剛學(xué)的向量的數(shù)量積的問題上，體會(huì)知識(shí)的形成過程。設(shè)向量 i, j 分別為平面直角坐標(biāo)系的x 軸、 y 軸上的單位向量，則有ax1iy1 j ， b x2 i y2 j a b(x1 iy1 j )( x2 iy2 j )x1 x2 i2(x1 2 x2 1· 1 12yy )ijy y jx1 x2y1 y2兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。練習(xí)：若a(2,3) ，則 a a， | a |；若

7、表示向量a 的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為( 1,2) 和(2,6)，則| a |；若a(1,1) ， b( 3,3) ，則 a b， a 與 b 的夾角是；設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過做練習(xí)，及時(shí)鞏固所學(xué)新知識(shí)，加深理解2、學(xué)生活動(dòng)問題 3：設(shè) i 是 x 軸上的單位向量，j 是 y 軸上的單位向量，則 i i_ i j_ j i_ j j_設(shè)計(jì)意圖：鞏固向量數(shù)量積的概念，并為下面的問題做鋪墊3、建構(gòu)數(shù)學(xué)a (x1, y1),b (x2, y2) ，則 a b x1x2y1y2 ，讓學(xué)生用自己的語言表達(dá)，教師歸納得：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。問題 4：向量的數(shù)量積的性質(zhì)如何用坐標(biāo)表示？（

8、1） a (x1, y1)，則 | a|怎么表示？（ 2）若 A(x1, y1),B(x2,y2) 則 | AB|又如何表示？（1） |a|x12y12（2）| AB|(x1x2)2(y1y2)2問題 5：你能寫出向量夾角公式的坐標(biāo)表示式以及向量平行和垂直的坐標(biāo)表示式嗎？設(shè)計(jì)意圖：仍然在幫助學(xué)生回憶有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的過程中，引導(dǎo)他們用坐標(biāo)的形式表示，通過兩向量的兩種特殊位置關(guān)系，體會(huì)向量的坐標(biāo)表示，感受向量的數(shù)量積的作用。并幫助學(xué)生記住這些結(jié)論（1） cosa bx1 x2y1 y2| a | | b |x12y12x2 2y2 2（2） a / bx1 y2x2 y10（3） a bx1x2y1

9、y204、例題解析例 1已知 a( 1,3) ，b( 3,1) ，求 a b ， | a |，| b | ， a 與 b 的夾角 ?？梢越又鴨枺?a, b的夾角怎么求？解： a b ( 1)33(1)2 3| a |( 1)2( 3)22| b |( 3)2(1) 22cosab233| a | b |222 0 56先讓學(xué)生嘗試解答， 體會(huì)自主應(yīng)用新知識(shí)解決問題的過程，然后給出詳細(xì)解答 .例 2已知 A(1,2) ， B(2,3) ， C ( 2,5) ，試判斷ABC 的形狀，并給出證明.解：ABC 是直角三角形 .證明如下： AB(1,1) ， AC( 3,3) ABAC 1(3)13 0

10、 AB AC ABC 是直角三角形先讓學(xué)生畫出簡(jiǎn)圖，直觀感知三角形的形狀，然后引導(dǎo)學(xué)生分析解答 .注重培養(yǎng)學(xué)生由觀察猜測(cè)證明的思維方法 .例題引伸：在直角解：若OABAOB中， OA(2,3) ， OB90 ，則 OAOB(1, k)，求實(shí)數(shù)k 的值； 23k0 k23若 OAB90 ，則 AOAB而 AO(2, 3), AB OBOA ( 1, k 3) 23( k3) 0 k 11 3若OBA90 ，則BOBA而BO(1,k ), BAOAOB(1,3k) 1 k(3 k) 0313 k25、課堂小結(jié)掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；掌握平面向量的模的坐標(biāo)公式以及

11、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；掌握兩個(gè)平面向量的夾角的坐標(biāo)公式；能用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；目標(biāo)檢測(cè)1.若 a( 4,3), b(5,6) ，則 3 | a |24a b ；2.若 a(3,1), b(x, 3) ，且 a b ，則實(shí)數(shù) x ；3.若 A( 1, 4), B(5,2), C (3,4) ，則 ABC 的形狀是；4.若 a(2,3), b( 4,7) ，則 a 在 b 方向上的投影是；5. 若 a (4,2) ，則與 a 垂直的單位向量的坐標(biāo)是；設(shè)計(jì)意圖：充分做到以本為本，根據(jù)學(xué)情，能讓學(xué)生把握公式特點(diǎn)，能利用公式進(jìn)行計(jì)算。配餐作業(yè)一基礎(chǔ)題（ A組題）1.在

12、已知 a=( x，y），b=( y，x) ，則 a，b 之間的關(guān)系為（）CA. 平行 B. 不平行不垂直C.abD.以上均不對(duì)2.若a=( x1, y1), b=( x2, y2),且ab,坐標(biāo)滿足條件（） CA. x x - y y=0B. x y- x y=0C. xx +yy=0D. x y +x y=012121122121212213. a=(2,3), b=(-2,4), 則( a+b) ·( a- b)=. -74. 已知a=( 2,3), b=(3,2) ，求：a·b、（a+b）·（ab）、（a+b）2、a( a+b) 、b( a+b)設(shè)計(jì)意圖：在

13、目標(biāo)檢測(cè)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固所學(xué)公式，達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)的目的。二鞏固題（ B組題）5.給定兩個(gè)向量 a=(3,4),b=(2,-1)且( a+xb) ( a- b), 則x等于（）CA.23B. 23C.23D.232346.若a=(-4,3),b=(5,6),則3| a| a·b等于（）D.A.23B.57C.63D.837. 已知a=( ， ) ，b=(-3,5) 且a與b的夾角為鈍角，則 的取值范圍是（ ）AA. 10B. 10C. 10D. 1033338. 已知A(1 ，0) ，B(3 ，1) ，C(2 ，0) ，且 a= BC , b=CA , 則a與b的夾角為。 45

14、6;9. 證明：以 A(-2,-3), B(19,4), C(-1,-6) 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形。10. 在 ABC 中， AB (1，1)， AC (2，k)，若 ABC 中有一個(gè)角為直角，求實(shí)數(shù) k 的值。設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生熟悉公式的變形， 對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)完整的印象，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化。三提高題（ C組題）11. 已知 a=(4,3), 向量 b是垂直 a的單位向量，則 b等于（ ）DA. (3,4)或(4,3)B. (3,4)或 (3, 4) C. (3, 4)或(4,3)D.(3, 4)或 ( 3, 4)555555555555555512.已知 a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為（） CA.13B.13C.65D.655513.已知 A(1,2),B(2,3), C(-2,5)，則 ABC為（）AA. 直角三角形 B. 銳