研究生課程紊流數(shù)學(xué)模型結(jié)課作業(yè)3（精編版）

1、.4. 簡述時(shí)均方程的定義與其封閉性問題。解： 時(shí)均方程的定義：紊流運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究說明，雖然紊流結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜， 但它仍然遵循連續(xù)介質(zhì)的一般動(dòng)力學(xué)規(guī)律，因此，雷諾在1886 年提出用時(shí)均值概念來研究紊流運(yùn)動(dòng)。他認(rèn)為，紊流中任何物理量雖然都隨時(shí)間和空間而變化， 但是任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)仍然符合連續(xù)介質(zhì)流動(dòng)的特征，流場中任一空間點(diǎn)上應(yīng)該適用黏性流體運(yùn)動(dòng)的根本方程。此外， 由于各個(gè)物理量都具有某種統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，所以根本方程中任一瞬時(shí)物理量都可用平均物理量和脈動(dòng)物理量之和來代替，并且可以對整個(gè)方程進(jìn)展時(shí)間平均運(yùn)算。雷諾從不可壓縮流體的連續(xù)性方程和n-s 方程，導(dǎo)出紊流平均運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程即雷諾方程。隨

2、后，人們引用時(shí)均值概念又導(dǎo)出了紊流平均運(yùn)動(dòng)的能量方程和紊動(dòng)動(dòng)能方程等，并且把它們推廣到可壓縮流體中，從而形成了目前廣泛使用的一種經(jīng)典紊流理論。時(shí)均方程的封閉性問題： 推導(dǎo)的時(shí)均流物理量的方程都是準(zhǔn)確方程，因?yàn)橥茖?dǎo)過程中未作任何近似假設(shè)。但這些方程不再構(gòu)成封閉的方程組：由于方程10 / 10ii(u'u ' )01txidu udu1p2uiii(ii )uiu ( fi )dt2dtxixk xk2u f( pu )u (uiuk )(uiuk )uiiiiixixkxkxixkxixku u''的非線性，對時(shí)間平均的過程引入了未知的脈動(dòng)速度相關(guān)ij 和速度 -

3、 標(biāo)量ui''脈動(dòng)相關(guān)'' 。從物理意義分析，這兩個(gè)相關(guān)如乘以密度，就分別表示紊動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)量輸運(yùn)和熱或物質(zhì)的輸運(yùn)。ijxi 方向的動(dòng)量沿xj 方向的輸運(yùn)u u是或 xj 方向的動(dòng)量沿 xi 方向的輸運(yùn)， 對于流體的作用與應(yīng)力一樣， 故被稱為紊動(dòng)應(yīng)u''力或雷諾應(yīng)力；i是標(biāo)量沿 xi 方向的輸運(yùn)，即紊動(dòng)熱或物質(zhì)通量。在大多數(shù)流動(dòng)區(qū)域中，紊動(dòng)應(yīng)力和紊動(dòng)通量比層流的應(yīng)力ui /x j 和層流的通量i /xi 大得多，因而可忽略層流應(yīng)力和層流通量。''''為了求解方程 5-18 至方程 5-20 ，得出速度、壓力和溫度或濃

4、度u u的時(shí)均值，就必須確定紊動(dòng)相關(guān)項(xiàng)ij 和 ui，這正是紊流計(jì)算的癥結(jié)所在。為了封閉前面所得的方程組， 比擬切實(shí)可行的方法是引入紊流模型，用較低階的相關(guān)或時(shí)均流的變量近似地表示一定階數(shù)的相關(guān)。紊流模型描述紊動(dòng)輸運(yùn)的規(guī)律， 用以模擬實(shí)際紊流的時(shí)均性質(zhì)。紊流模型表示為微分方程或代數(shù)方程，這些方程與時(shí)均流方程 5-18 至5-20 聯(lián)立，組成封閉的方程組，便可求解紊流的速度場、壓力場、溫度場、濃度場。ui0(5-18a)xiu'i0(5-18b)xidu jpf(u ju' u')(5-19)jijdtxixixijijduif(5-20)dtxi5. 用 k 方程模型理

5、論證明混合長模型理論的缺陷。kkkuuuk 3/2解： 在 k 方程u(t)(ij )ic，如果變itdtxixikxix jxixll化率項(xiàng)、對流輸運(yùn)項(xiàng)、擴(kuò)散輸運(yùn)項(xiàng)均可忽略不計(jì)，那么k 的產(chǎn)生等于 k 的耗散， 這樣的紊動(dòng)被稱為處于當(dāng)?shù)仄胶鉅顟B(tài)。對于無浮力的剪切層，k 方程變?yōu)?；uk3/2td() 2cylct將上式代入柯莫哥洛夫 - 普朗特表達(dá)式'kl ，消去 k，可得：cu'31/22t()lcdyuc'3這是方程tl 21x2中引入的混合長公式，因?yàn)榭蓪⒒旌祥Ll m 視作()1/4 乘以cd長度比尺 l。這一推導(dǎo)清楚地說明，混合長模型只適合于紊動(dòng)處于當(dāng)?shù)仄椒€(wěn)狀態(tài)

6、的水流。1混合長假設(shè)忽略了紊動(dòng)量的擴(kuò)散輸運(yùn)由公式知，一旦速度梯度為零，vt 和便相應(yīng)為零。這與實(shí)際情況相悖。例如在管路和渠道水流中，中心線上u 為零，但 v 的數(shù)值不為零，只比tv 的最大ty值小 20左右。幸運(yùn)的是，中心線上的剪應(yīng)力恰好為零，所以這種謬誤對流場的計(jì)算影響不大。 但在熱輸運(yùn)計(jì)算中， 中心線上值取零就會(huì)導(dǎo)致十分荒謬的結(jié)果，例如當(dāng)熱量從渠道的一側(cè)傳到另一側(cè)時(shí)，如果中心線上為零，渠道的另一側(cè)就永遠(yuǎn)得不到熱量。 事實(shí)上，在管路、明渠的水流中， 紊流主要產(chǎn)生在近壁區(qū)， 熱量是通過紊動(dòng)的擴(kuò)散作用被輸運(yùn)到中心線。 混合長假設(shè)忽略了擴(kuò)散輸運(yùn)， 因而錯(cuò)誤地認(rèn)為在中心線得不到紊動(dòng)。2混合長假設(shè)忽略

7、了紊動(dòng)量的對流輸運(yùn)網(wǎng)格后的均勻流， 是均勻紊流的典型例子。 網(wǎng)格的存在使得紊流在網(wǎng)格后形成尾跡， 紊動(dòng)由時(shí)均流的對流輸運(yùn)輸送到下游，在下游形成均勻紊流。 這種情況下，下游區(qū)域的時(shí)均流的流速均勻，假設(shè)按混合長假設(shè)，應(yīng)得出vt0 ，從而得出下游無紊動(dòng)的錯(cuò)誤結(jié)論。 究其根源，是因?yàn)榛旌祥L假設(shè)中忽略了對流輸運(yùn)。(3) 混合長模型缺少通用性混合長模型對于不同類型的水流需采用不同的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，這是混合長理論中忽略了紊動(dòng)量的擴(kuò)散輸運(yùn)和對流輸運(yùn)的必然結(jié)果?；旌祥L假設(shè)的要害， 是將紊動(dòng)處理為沒有時(shí)間積累、沒有空間輸運(yùn)，就地產(chǎn)生，就地消亡的當(dāng)?shù)仄胶鉅顟B(tài)，這 當(dāng)然就會(huì)限制混合長假設(shè)的使用圍。6. 簡述紊流模型的分類，

8、各自的優(yōu)缺點(diǎn)與適用性。解： 紊流模型可定義為一組方程代數(shù)方程或微分方程 ，這組方程能確定時(shí)均流方程中的紊動(dòng)輸運(yùn)項(xiàng)， 從而封閉時(shí)均流方程組。 根據(jù)紊流模型采用的微分輸運(yùn)方程的個(gè)數(shù)， 將紊流模型劃分為 : 零方程模型、 單方程模型、 二方程模型和多方程模型。零方程模型 ：普朗特在 1925 年提出的混合長假設(shè)，是第一個(gè)描述紊動(dòng)粘性系數(shù)分布的紊流模型， 亦堪稱為第一個(gè)比擬適宜的紊流模型。 普朗特受到氣體運(yùn)動(dòng)理論的啟發(fā)，假設(shè)紊動(dòng)粘性系數(shù)v t 正比于時(shí)均速度 v 和混合長lm ?；旌祥L按照以下方式進(jìn)展定義：設(shè)一流體團(tuán)塊，以其原有的時(shí)均流速運(yùn)動(dòng)，由于紊動(dòng)，該團(tuán)塊在橫向由y1 位移到y(tǒng)2 。在y2 點(diǎn)，團(tuán)

9、塊原有速度與周圍介質(zhì)時(shí)均速度之差為u ；如果在y2 點(diǎn)的平均橫向脈動(dòng)速度恰好為u ，那么距離y2y1定義為混合長lm 。對于剪力層，只有一個(gè)起主導(dǎo)作用的紊動(dòng)應(yīng)力uv 和速度梯度u ，普朗特y認(rèn)為v 等于時(shí)均速度的梯度和混合長l m 的乘積： vu 。據(jù)此，并設(shè)比例常lmy數(shù)為 1，可將紊動(dòng)系數(shù)寫為：vt2u 。這是著名的普朗特混合長假設(shè)。這一lmy假設(shè)將紊動(dòng)粘性系數(shù)當(dāng)?shù)貢r(shí)均流速梯度聯(lián)系起來，同時(shí)引入了未知參數(shù)混合長l m 。對于防止確定l m ，卡門建議將l m 與時(shí)均流速分布按照下式建立關(guān)系：l mkuy此式對于近壁水流可以得出較好的結(jié)果，但是缺少通用性。例如2uy2在射流和尾跡中，速度剖面

10、含有拐點(diǎn)，由式得出無限大的混合長。混合長理論至今仍被廣泛地應(yīng)用于各種水力計(jì)算，但其不可克制的固有的缺陷也更加深刻地被人們所認(rèn)識(shí)。這主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1混合長假設(shè)忽略了紊動(dòng)量的擴(kuò)散輸運(yùn)由公式知，一旦速度梯度為零，vt 和便相應(yīng)為零。這與實(shí)際情況相悖。例如在管路和渠道水流中，中心線上u 為零，但yvt 的數(shù)值不為零，只比vt 的最大值小 20左右。幸運(yùn)的是，中心線上的剪應(yīng)力恰好為零，所以這種謬誤對流場的計(jì)算影響不大。 但在熱輸運(yùn)計(jì)算中， 中心線上值取零就會(huì)導(dǎo)致十分荒謬的結(jié)果，例如當(dāng)熱量從渠道的一側(cè)傳到另一側(cè)時(shí)，如果中心線上為零，渠道的另一側(cè)就永遠(yuǎn)得不到熱量。 事實(shí)上，在管路、明渠的水流中，

11、紊流主要產(chǎn)生在近壁區(qū)，熱量是通過紊動(dòng)的擴(kuò)散作用被輸運(yùn)到中心線?；旌祥L假設(shè)忽略了擴(kuò)散輸運(yùn)， 因而錯(cuò)誤地認(rèn)為在中心線得不到紊動(dòng)。2混合長假設(shè)忽略了紊動(dòng)量的對流輸運(yùn)網(wǎng)格后的均勻流， 是均勻紊流的典型例子。 網(wǎng)格的存在使得紊流在網(wǎng)格后形成尾跡， 紊動(dòng)由時(shí)均流的對流輸運(yùn)輸送到下游，在下游形成均勻紊流。 這種情況下，下游區(qū)域的時(shí)均流的流速均勻，假設(shè)按混合長假設(shè)，應(yīng)得出vt0 ，從而得出下游無紊動(dòng)的錯(cuò)誤結(jié)論。 究其根源，是因?yàn)榛旌祥L假設(shè)中忽略了對流輸運(yùn)。(3) 混合長模型缺少通用性混合長模型對于不同類型的水流需采用不同的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，這是混合長理論中忽略了紊動(dòng)量的擴(kuò)散輸運(yùn)和對流輸運(yùn)的必然結(jié)果?；旌祥L假設(shè)的要害，

12、 是將紊動(dòng)處理為沒有時(shí)間積累、沒有空間輸運(yùn)，就地產(chǎn)生，就地消亡的當(dāng)?shù)仄胶鉅顟B(tài)，這 當(dāng)然就會(huì)限制混合長假設(shè)的使用圍。一般地說， 混合長模型可用以計(jì)算許多簡單的剪力層型的流動(dòng)，因?yàn)檫@種情況下可用經(jīng)驗(yàn)方法確定l m ；而對于在紊動(dòng)輸運(yùn)過程中占有重要地位的較復(fù)雜的水流，那么很難確定 l m ，混合長模型便不再適用。單方程模型 ：考慮到紊動(dòng)速度比尺的對流輸運(yùn)和擴(kuò)散輸運(yùn)；在非恒定流動(dòng)中， 還考慮到紊動(dòng)的歷史。 當(dāng)對流輸運(yùn)或擴(kuò)散輸運(yùn)比擬重要時(shí)，單方程模型自然比混合長模型優(yōu)越得多。 如自由流條件急劇變化的、 非平衡狀態(tài)的邊界層， 自由流為紊流的邊界層，穿過對稱平面或者對稱軸u0 的熱輸運(yùn)，湍流中的熱輸運(yùn)等。y

13、但是，單方程模型中關(guān)于如何確定長度比尺l，目前仍為不易解決的問題。對于比剪力層復(fù)雜的流動(dòng)， 欲確定長度比尺的分布就如同在混合長模型中確定混合長的分布一樣， 很難用經(jīng)驗(yàn)方法解決。 這使得單方程模型迄今為止仍限用于剪力層流動(dòng)。對于剪力層型的流動(dòng)，前已述與，混合長模型也可得出滿意的結(jié)果，且比 單方程模型更為簡單。為了滿足紊流模型開展的實(shí)際需要，人們轉(zhuǎn)而開始尋求更普遍、 更精細(xì)的方法來確定長度比尺l 的分布，其結(jié)果就是雙方程紊流模型。二方程模型： 長度比尺 l，表征大的含能渦旋的尺寸大小，它與紊動(dòng)能量k 一樣，受輸運(yùn)過程的影響和制約。 例如，網(wǎng)格后形成的渦旋通過對流傳播到下游， 下游任何點(diǎn)處的渦旋尺寸

14、均取決于網(wǎng)格后的渦旋尺寸；耗散過程破壞小渦旋， 其效果是增大渦旋尺寸； 渦旋之間的拉拽， 形成能量梯級， 其效果是減小渦旋尺寸。所有這些決定著 l 的分布的過程之間的平衡，可用l 的微分輸運(yùn)方程表示， 據(jù)此便可計(jì)算 l 的分布。人們經(jīng)過長期的實(shí)踐， 也未能找到描述和計(jì)算l 分布的普遍適用公式， 所以不得不采用長度比尺的微分輸運(yùn)方程，構(gòu)造不同類型的雙方程紊流模型。 k模型是目前紊流研究中應(yīng)用廣泛的一種湍流模型。二方程模型優(yōu)點(diǎn)：1雙方程紊流模型不僅考慮到紊流速度比尺的輸運(yùn)，而且考慮到紊流長 度比尺的輸運(yùn)， 因而能確定各種復(fù)雜水流的長度比尺分布。尤其是有些形態(tài)的水流，其長度比尺不可能用簡單的方法經(jīng)驗(yàn)

15、確實(shí)定，這時(shí)， 雙方程模型便是有希望成功的計(jì)算這些水流的最簡單模型。例如，回流和一些由幾個(gè)自由層和璧面層相互作用形成的復(fù)雜剪力層， 用零方程和單方程模型均難得出較好的結(jié)果，用雙方程模型卻能得到極好的計(jì)算結(jié)果。2雙方程紊流模型已經(jīng)在相當(dāng)廣的應(yīng)用圍得到驗(yàn)證，證明有效。二方程模型缺點(diǎn)：1模型中的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，通用性尚不令人十分滿意，對弱剪力層和軸對稱射流，必須用一些函數(shù)代替幾個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。2紊動(dòng)粘性系數(shù)是各向同性的標(biāo)量，無法反映應(yīng)力的各向異性與由此造成的流動(dòng)宏觀參數(shù)的改變。3 k方程適用于紊流雷諾數(shù)足夠大的區(qū)域。紊流問題中涉與低雷諾數(shù)的固體壁面與其上的邊界層粘性底層與過渡層， k方程必須做出修正，或?qū)Ρ诿?/p>

16、附近的渦粘系數(shù)做出特殊的處理。7. 簡述紊流計(jì)算中邊界條件的類型與其給法。解：紊流的邊界可以是固體壁面、自由外表，也可以是無紊動(dòng)的水流，例如 射流或尾跡的自由邊界。 固體壁面和自由外表的位置是確定的，而自由邊界的位置卻是不確定的，因?yàn)槲蓜?dòng)流體和非紊動(dòng)流體之間的交界面犬牙交織且不恒定。 為了便于實(shí)際計(jì)算， 常將自由邊界定義為速度或某個(gè)標(biāo)量近似等于其自由流數(shù)值例如為 99%的位置。以上所說，皆為真實(shí)的物理邊界。如果水流對稱，只需計(jì)算其一半。對稱平面或?qū)ΨQ線也可以作為計(jì)算區(qū)域的邊界。原那么上說，對于壁面邊界，可以在固體壁面上規(guī)定無滑動(dòng)邊界條件，即：時(shí)均流速和脈動(dòng)速度的各個(gè)分量均為零，耗散率為一有限值

17、。按照自由邊界的定義， 在自由邊界上， 速度和標(biāo)量的數(shù)值應(yīng)等于自由流的對應(yīng)數(shù)值。通常假設(shè)層外流完全不受紊動(dòng)的影響，故一切紊動(dòng)量， 如紊動(dòng)應(yīng)力和紊動(dòng)通量的各個(gè)分量k、等，在自由邊界上均取零值。2在對稱平面或?qū)ΨQ線上，由于對稱性，一些量的法向梯度必須為零；同時(shí)，另一些量本身的數(shù)值必須為零。前者如：所有的標(biāo)量, k,等、平行于對稱平面或?qū)ΨQ線的速度分量、法向應(yīng)力等。 后者如： 垂直于對稱平面或者對稱線的速度分量、標(biāo)量通量、剪應(yīng)力等。對自由外表提出適宜的邊界條件，是比擬復(fù)雜的問題， 為此幾乎形成了一個(gè)獨(dú)立的子學(xué)科， 因?yàn)樽杂赏獗砩贤ǔＳ酗L(fēng)成剪應(yīng)力，還有與大氣層的熱交換， 物理機(jī)制相當(dāng)復(fù)雜。 目前尚無準(zhǔn)

18、確且綜合性能好的邊界條件可供選用，這里只介紹兩種近似表示法。1如果略去自由外表上的風(fēng)應(yīng)力和與大氣層的熱交換，可將自由外表近似看作對稱平面， 按對稱平面的特殊條件提出邊界條件。還可將自由外表看作移動(dòng)的平面，自由外表附近形成剪力層，故可近似采用前述壁面邊界條件，即式5-75 式5-78 。u res1 ln( y e)(5-75)uk0(5-76)xnk1(5-77)u 2c3u(5-78)ky2自由外表的存在應(yīng)減小紊動(dòng)長度比尺。為了考慮這一效應(yīng)和風(fēng)成剪力的影響，羅迪建議采用以下的邊界條件：當(dāng)ks /cu a 時(shí)，對 k 采用對稱條件，否那么?。?u 2kacv3v1v3v2v3v3v3v3v1h

19、 3v3 v2h 3th 1q1h 2q2h 3q3h 3 h 1q1h 3 h 2q2(ks /c )3/2k yah(1u 2aksc)式中，下標(biāo) s 表示自由外表數(shù)值； h 為剪力層的垂向厚度； a 為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，可取 0.07 。8.寫出正交曲線坐標(biāo)系中流體力學(xué)的根本方程解： 連續(xù)性方程式為：t1( h 1h 2h 3h 1h 3v1)q1(h 3 h 1v2 )q2(h 1h 2 v3 ) q30(2-79)動(dòng)量方程式為：v2tv1v2h1q2v2 h 22v2q2v3v2h 3q3v2v1h 2h 2 h 1q1v2v3h 2h 2 h 3q3v23h3v1h1h 2 h 3q2h

20、2 h 1q2f121h 1 h 2 h 3q1( h h13 12)q2( h h3122)q3(h h1232)12h 1h 2h 2q123h 2h 2 h 3q333h 2 h 3h 3q211h 1 h 2h 1 q2(2-80b)v21h1v22h2h 3 h 1q3h 3 h 2q3f131h 1 h 2h 3q1( h h2331)q2( h h3123)q3( h h12 33)31h 1h 3h 3q123h 2 h 3h 3q211h 122h 2 (2-80c)h 3 h 1q3h 3 h 2q311( pv)211(2-81a)22( pv)222(2-81b)33( pv)233(2-81c)1221212(2-81d)2332223(2-81e)3113231(2-81f)其變形率量的分量為111v1v2h 1v3h 1(2-82a)h 1q1h 1h 2q2h 1h 3q31v2v3h 2v1h 2h 2q2h 2 h 3q3h 2 h1q11v3v1h 3v2h 3h 3q3h 3 h1q1h 3 h 2q222(2-82b)33(2-82c)2 122 231v21v3v2h 2h 21v11v2v1h 1v2h 2q2h 1q1h 1h 2q2h 1h 2q1v