2022年2022年微積分入門

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載序中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代（公元前7 世紀(jì)）,我國(guó)的莊周所著的莊子一書的“天下 篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”,即老莊哲學(xué)中全部的無(wú)限可 分性和極限思想； 公元前 4 世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮. 無(wú)窮.無(wú)限?。ㄗ钚o(wú)內(nèi)）.無(wú)窮大（最大無(wú)外）的定義和極限.瞬時(shí)等概念；這為樸實(shí)的.也為很典型的極限概念；而極限理論便為微分學(xué)的基礎(chǔ)；古希臘時(shí)期（公元前3 世紀(jì)）,阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)窮盡圓周長(zhǎng),而求得圓周率愈來(lái)愈好的近似值, 也用一連串的三角形來(lái)填充拋物線的圖形,以求得其面積；這為窮盡法的古典例子之一,可以說為積分思想的起源；17 世紀(jì),很多聞名的數(shù)學(xué)家.天文學(xué)

2、家.物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的爭(zhēng)論工作,如法國(guó)的費(fèi)馬.笛卡爾.羅伯瓦.笛沙格；英國(guó)的巴羅.瓦里士； 德國(guó)的開普勒； 意大利的卡瓦列利等人都提出很多很有建樹的理論；為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻(xiàn)；17 世紀(jì)下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自爭(zhēng)論和完成了微積分的創(chuàng)立工作,雖然這只為特別初步的工作；19 世紀(jì)初,法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首,對(duì)微積分的理論進(jìn)行了仔細(xì)爭(zhēng)論,建立了極限理論, 后來(lái)又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化,使極限理論成為了微積分的堅(jiān)決基礎(chǔ)；才使微積分進(jìn)一步的進(jìn)綻開來(lái)；1874 年,德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一

3、個(gè)沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù),即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線,這與直觀概念為沖突的； 它使人們熟識(shí)到極限概念.連續(xù)性.可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依靠比人們想象的要深?yuàn)W得多；外爾斯特拉斯最終完成了對(duì)實(shí)數(shù)系更深刻的性質(zhì)的懂得,使得數(shù)學(xué)分析完全由實(shí)數(shù)系導(dǎo)出,脫離了知覺懂得和幾何直觀；人類對(duì)自然的熟識(shí)永久不會(huì)止步,微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也始終在進(jìn)展著,人類熟識(shí)微積分的水平在不斷深化；微積分學(xué)calculus、 拉丁語(yǔ)意為用來(lái)計(jì)數(shù)的小石頭為爭(zhēng)論極限.微分學(xué).積分學(xué)和無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,并成為了現(xiàn)代高校訓(xùn)練的重要組成部分；歷史上,微積分曾經(jīng)指無(wú)窮小的運(yùn)算；更本質(zhì)的講, 微積分學(xué)為一門爭(zhēng)論變化的科學(xué),正如幾何學(xué)為爭(zhēng)

4、論空間的科學(xué)一樣；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著；因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后,就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了；由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深,也由于科學(xué)技術(shù)進(jìn)展的需要, 一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,這就為微積分學(xué)； 微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)進(jìn)展中的位置為特別重要的, 可以說它為繼歐氏幾何后, 全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)制造；微積分學(xué)在科學(xué). 經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用,來(lái)解決那些僅依靠代數(shù)學(xué)不能有效解決的問題； 微積分學(xué)在代數(shù)學(xué). 三角學(xué)和解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)上建立起來(lái),并包括微分學(xué).積分學(xué)兩大分支；微

5、分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,為一套關(guān) 于變化率的理論； 它使得函數(shù). 速度.加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行爭(zhēng)論；積分學(xué),包括求積分的運(yùn)算,為定義和運(yùn)算面積.體積等供應(yīng)一 套通用的方法； 微積分學(xué)基本定理指出, 微分和積分互為逆運(yùn)算, 這也為兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的緣由；我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來(lái)爭(zhēng)論微積分學(xué),但為在教學(xué)中,微分學(xué)一般會(huì)先被引入；在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,微積分學(xué)通常被稱為分析學(xué),并被定義為爭(zhēng)論函數(shù)的科學(xué)；在高二上學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,我們熟識(shí)了導(dǎo)數(shù)和定積分, 并開頭了對(duì)其應(yīng)用的懂得和練習(xí)； 其實(shí), 早在高中物理開頭不久后的學(xué)習(xí)中,我們就接觸到了微積分的原型微元法；同當(dāng)

6、年的科學(xué)家一樣,我們也因物理上的應(yīng)用需要, 開頭了對(duì)微積分學(xué)的熟識(shí)之旅；借著這次爭(zhēng)論性學(xué)習(xí)的契機(jī), 我們就明白一下微積分學(xué)的進(jìn)展歷史,熟識(shí)數(shù)學(xué)爭(zhēng)論對(duì)社會(huì)進(jìn)展的重要意義,本著“以史為鏡” 的態(tài)度明白其中波折而好玩的進(jìn)展歷程；并由此拓展自己的學(xué)問面,增加自己對(duì)微積分學(xué)習(xí)的愛好；作為理科生,探究過程中的我們也能結(jié)合所學(xué)歷史學(xué)問.辯證分析的方法, 培育自身人文素養(yǎng), 增強(qiáng)自身的綜合素養(yǎng), 為高中階段的歷史學(xué)習(xí)畫上圓滿的句號(hào)；我們也對(duì)微積分在生活中就一些簡(jiǎn)潔實(shí)際應(yīng)用的一些爭(zhēng)論來(lái)提高自己在以微積分的思想方法解決問題的才能；明白在哪些情形,哪些領(lǐng)域會(huì)用到微積分；進(jìn)一步加深對(duì)微積分的熟識(shí)；另一方面, 在進(jìn)行小

7、組爭(zhēng)論. 共同爭(zhēng)論的時(shí)候, 通過組員的積極參與和組員間的合作, 我們可以通過共同探究增強(qiáng)自己的責(zé)任感,增進(jìn)相互之間的友情, 提高自身的實(shí)踐探究才能, 學(xué)會(huì)將理論學(xué)問和動(dòng)手實(shí)踐才能結(jié)合來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題,以此提高自身的綜合素養(yǎng)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微積分的主要內(nèi)容及其他爭(zhēng)論函數(shù), 從量的方面爭(zhēng)論事物運(yùn)動(dòng)變化為微積分的基本方法；這種方法叫做數(shù)學(xué)分析；原來(lái)從廣義上說, 數(shù)學(xué)分析包括微積分. 函數(shù)論等很多分支學(xué)科, 但為現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來(lái), 數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞, 一提數(shù)學(xué)分析就知道為指微積分；微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)；微分學(xué)

8、的主要內(nèi)容包括：極限理論.導(dǎo)數(shù).微分等；積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分.不定積分 等；微積分為與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系著進(jìn)展起來(lái)的；最初,牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對(duì)第谷浩渺的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析運(yùn)算,得到了萬(wàn)有引力定律, 并進(jìn)一步導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律；此后,微積分學(xué)成了推動(dòng)近代數(shù)學(xué)進(jìn)展強(qiáng)大的引 擎,同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué).物理學(xué).化學(xué).生物學(xué).工程學(xué).經(jīng)濟(jì)學(xué)等自 然科學(xué).社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的進(jìn)展；并在這些學(xué)科中有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用,特殊為運(yùn)算機(jī)的顯現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷進(jìn)展；微積分主要有三大類分支：極限.微分學(xué).積分學(xué)；微積分的基本理論說明 了微分和積分為互逆運(yùn)算； 牛頓和萊布尼茨發(fā)

9、覺了這個(gè)定理以后才引起了其他學(xué)者對(duì)于微積分學(xué)的狂熱的爭(zhēng)論；這個(gè)發(fā)覺使我們?cè)谖⒎趾头e分之間相互轉(zhuǎn)換；這個(gè)基本理論也供應(yīng)了一個(gè)用代數(shù)運(yùn)算很多積分問題的方法,該方法并不真正進(jìn)行極限運(yùn)算而為通過發(fā)覺不定積分；該理論也可以解決一些微分方程的問題,解決未知數(shù)的積分；微分問題在科學(xué)領(lǐng)域無(wú)處不在；微積分的基本概念仍包括函數(shù).無(wú)窮序列. 無(wú)窮級(jí)數(shù)和連續(xù)等, 運(yùn)算方法主要有符號(hào)運(yùn)算技巧,該技巧與初等代數(shù)和數(shù)學(xué)歸納法緊密相連；微積分被延長(zhǎng)到微分方程.向量分析.變分法.復(fù)分析.時(shí)域微分和微分拓?fù)涞阮I(lǐng)域；微積分的現(xiàn)代版本為實(shí)分析；極限微積分中最重要的概念為“極限” ；微商（即導(dǎo)數(shù)）為一種極限；定積分也為一種極限；從牛頓

10、實(shí)際使用它到制定出周密的定義,數(shù)學(xué)家們奮斗了200 多年；現(xiàn)在使用的定義為維斯特拉斯于19 世紀(jì)中葉給出的；數(shù)列極限就為當(dāng)一個(gè)有次序的數(shù)列往前延長(zhǎng)時(shí),假如存在一個(gè)有限數(shù) （非無(wú)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載限大的數(shù)）,使這個(gè)數(shù)列可以無(wú)限地接近這個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)就為這個(gè)數(shù)列的極限；數(shù)列極限的表示方法為：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim xnlnxn1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中 l就為極限的值；例如當(dāng)越大越往前延長(zhǎng) ,這個(gè)值越趨近于0；導(dǎo)數(shù)2n 時(shí),它的極限為l = 0；就為說n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載我們知道在運(yùn)動(dòng)學(xué)中

11、, 平均速度等于通過的距離除以所花費(fèi)的時(shí)間,同樣在一小段間隔的時(shí)間內(nèi),除上其走過的一小段距離,等于這一小段時(shí)間內(nèi)的速度, 但當(dāng)這一小段間隔的時(shí)間趨于零時(shí),這時(shí)的速度為瞬時(shí)速度, 無(wú)法依據(jù)通常的除法運(yùn)算,這時(shí)的速度為時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；得用求導(dǎo)的方法運(yùn)算；也就為說,一個(gè)函數(shù) 的自變量趨近某一極限時(shí),其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導(dǎo)數(shù)；在速度問題上,距離為時(shí)間的因變量,隨時(shí)間變化而變化,當(dāng)時(shí)間趨于某一極限時(shí),距離增量除以時(shí)間增量的極限即為距離對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義為該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率；微分學(xué)微分學(xué)主要爭(zhēng)論的為在函數(shù)自變量變化時(shí)如何確定函數(shù)值的瞬時(shí)變化率或微分；換言之,運(yùn)算導(dǎo)數(shù)

12、的方法就叫微分學(xué)；微分學(xué)的另一個(gè)運(yùn)算方法為牛頓法,該算法又叫應(yīng)用幾何法, 主要通過函數(shù)曲線的切線來(lái)查找點(diǎn)斜率；費(fèi)馬常被稱作“微分學(xué)的鼻祖” ；積分學(xué)積分學(xué)為微分學(xué)的逆運(yùn)算, 即從導(dǎo)數(shù)推算出原函數(shù)； 又分為定積分與不定積分；一個(gè)一元函數(shù)的定積分可以定義為無(wú)窮多小矩形的面積和,約等于函數(shù)曲線下包含的實(shí)際面積； 依據(jù)以上熟識(shí), 我們可以用積分來(lái)運(yùn)算平面上一條曲線所包含的面積.球體或圓錐體的表面積或體積等；而不定積分,用途較少,主要用于微分方程的解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微積分的符號(hào)微分學(xué)中的符號(hào)“ dx”.“dy”等,系由萊布尼茨第一使用；其中的d 源自拉丁語(yǔ)中“差”（dif

13、ferentia ）的第一個(gè)字母；積分符號(hào)“”亦由萊布尼茨所創(chuàng), 它為拉丁語(yǔ)“總和” （ summa）的第一個(gè)字母 s 的伸長(zhǎng) 和有相同的意義 ；微積分學(xué)的應(yīng)用微積分學(xué)的進(jìn)展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的全部領(lǐng)域；它與大部分科學(xué)分支,特殊為物理學(xué),關(guān)系親密,而經(jīng)濟(jì)學(xué)亦常常會(huì)用到微積分學(xué)；幾乎全部現(xiàn)代 技術(shù),如建筑.航空等都以微積分學(xué)作為基本數(shù)學(xué)工具；微積分學(xué)課程在高校理.工科教學(xué)中,微積分為“高等數(shù)學(xué)”的主要內(nèi)容之一；其教學(xué)法由學(xué)科創(chuàng)立一開頭就受到人們重視；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微積分的基本介紹微積分學(xué)基本定理指出, 求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算, 把上下限代入不定積分即

14、得到積分值, 而微分就為導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積, 這也為兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的緣由；我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來(lái)爭(zhēng)論微積分學(xué),但為在教學(xué)中,微分學(xué)一般會(huì)先被引入；微積分學(xué)為微分學(xué)和積分學(xué)的總稱；它為一種數(shù)學(xué)思想,“無(wú)限細(xì)分”就為微分,“無(wú)限求和”就為積分；十七世紀(jì)后半葉,牛頓和萊布尼茨完成了很多數(shù) 學(xué)家都參與過預(yù)備的工作, 分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)； 他們建立微積分的動(dòng)身點(diǎn)為直觀的無(wú)窮小量,但為理論基礎(chǔ)為不堅(jiān)固的；由于“無(wú)限”的概念為無(wú)法用 已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算,所以, 直到十九世紀(jì), 柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論,康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論,這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化；學(xué)習(xí)微

15、積分學(xué),首要的一步就為要懂得到,“極限”引入的必要性：由于,代數(shù)為人們已經(jīng)熟識(shí)的概念,但為,代數(shù)無(wú)法處理“無(wú)限”的概念；所以,必需 要利用代數(shù)處理代表無(wú)限的量,這時(shí)就細(xì)心構(gòu)造了“極限”的概念；在“極限” 的定義中, 我們可以知道, 這個(gè)概念繞過了用一個(gè)數(shù)除以0 的麻煩, 相反引入了一個(gè)過程任意小量；就為說,除的數(shù)不為零,所以有意義,同時(shí),這個(gè)小量可以 取任意小, 只要滿意在德爾塔區(qū)間, 都小于該任意小量, 我們就說他的極限為該數(shù)你可以認(rèn)為這為投機(jī)取巧,但為, 他的有用性證明, 這樣的定義仍算比較完善,給出了正確推論的可能性；這個(gè)概念為成功的；微積分為與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著進(jìn)展起來(lái)的,它在天文學(xué). 力

16、學(xué).化學(xué).生物學(xué).工程學(xué).經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué). 社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中,有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用；特殊為運(yùn)算機(jī)的創(chuàng)造更有助于這些應(yīng)用的不斷進(jìn)展；客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著；因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后,就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了；由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深,也由于科學(xué)技術(shù)進(jìn)展的需要, 一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,這就為微積分學(xué)； 微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)進(jìn)展中的位置為特別重要的, 可以說它為繼歐氏幾何后, 全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)制造；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載differential and integral ca

17、lculus數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支；內(nèi)容主要包括函數(shù).極限.微分學(xué).積分學(xué)及其應(yīng)用； 函數(shù)為微積分爭(zhēng)論的基本對(duì)象,極限為微積分的基本概念, 微分和積分為特定過程特定形式的極限； 17 世紀(jì)后半葉,英國(guó)數(shù)學(xué)家i.牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家g.w.萊布 尼茲,總結(jié)和進(jìn)展了幾百年間前人的工作,建立了微積分, 但他們的動(dòng)身點(diǎn)為直觀的無(wú)窮小量,因此尚缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)；19 世紀(jì) a.l. 柯西和 k. 魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上；加之19 世紀(jì)后半葉實(shí)數(shù)理論的建立,又使極限理論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ),從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善；極限的思想方法可追溯到古代,3 世紀(jì),中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)用圓

18、 內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積,求出圓周率的近似值3.141024,并 指出：“割之彌細(xì), 所失彌少,割之又割,以至不行割, 就與圓合體而無(wú)所失矣” ；劉徽對(duì)面積的深刻熟識(shí)和他的割圓術(shù)方法,正為極限思想的詳細(xì)表達(dá)；數(shù)列極限為函數(shù)極限的基礎(chǔ),一個(gè)數(shù)列 an 假如當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí), an 與某一實(shí)數(shù)無(wú)限接 近,就稱之為收斂數(shù)列,a 為數(shù)列的極限,記作例如,數(shù)列的極限為0；微分學(xué)的基本概念為導(dǎo)數(shù)； 導(dǎo)數(shù)為從速度問題和切線問題抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念；牛頓從蘋果下落時(shí)越落越快的現(xiàn)象受到啟示,期望用數(shù)學(xué)工具來(lái)刻畫這一事實(shí)；導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)數(shù)學(xué)工具無(wú)論在理論上仍為實(shí)際應(yīng)用中,都起著基礎(chǔ)而重要的作用；例如在

19、求極大.微小值問題中的應(yīng)用；積分學(xué)的基本概念為一元函數(shù)的不定積分和定積分；主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì).運(yùn)算, 以及在理論和實(shí)際中的應(yīng)用；不定積分概念為為解決求導(dǎo)和微分的逆 運(yùn)算而提出來(lái)的；假如對(duì)每一x i,有 fx f（ x ）,就稱 fx為 fx 的一個(gè)原函數(shù), fx 的全體原函數(shù)叫做不定積分,記為,因此,假如fx為 fx 的一個(gè)原函數(shù),就 fx c,其中 c 為任意常數(shù)；定積分概念的產(chǎn)生來(lái)源于運(yùn)算平面上曲邊形的面積和物理學(xué)中諸如求變力所作的功等物理量的問題；解決這些問題的基本思想為用有限代替無(wú)限；基本方法為在對(duì)定義域a,b進(jìn)行劃分后,構(gòu)造一個(gè)特殊形式的和式, 它的極限就為所要求的量； 詳細(xì)地說

20、, 設(shè) fx 為定義在 a,b上的函數(shù),任意分劃區(qū)間a,b:ax0x1 xnb,記,任取 xi xi ,假如有一實(shí)數(shù)i,有下式成立： ,就稱 i 為 fx 在a,b上的定積分,記為 i fxdx ；當(dāng) fx 0 時(shí),定積分的幾何意義為表示由x a,xb,y0 和 yfx 所圍曲邊形的面積；定積分除了可求平面圖形的面積外,在物理方面的應(yīng)用主要有解微分方程的初值問題和“微元求和”；聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的基本公式為：如fx 在a,b 上連續(xù), fx為 fx 的原函數(shù),就 fxdx fbfa；通常稱之為牛頓 -萊布尼茲公式；因此,運(yùn)算定積分實(shí)際上就為求原函數(shù),也即求不定積分；但即使fx 為初等函數(shù),運(yùn)算

21、不定積分的問題也不能完全得到解決,所以要考慮定積分的近似運(yùn)算,常用的方法有梯形法和拋物線法；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微積分學(xué)的建立從微積分成為一門學(xué)科來(lái)說,為在十七世紀(jì), 但為, 微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了；公元前三世紀(jì), 古希臘的阿基米德在爭(zhēng)論解決拋物弓形的面積.球和球冠面積.螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中,就隱含著近代積分學(xué)的思想；作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說,早在古代以有比較清晰的論述；比如我國(guó)的莊周 所著的莊子一書的“天下篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”；三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不行割, 就與

22、圓周和體而無(wú)所失矣； ”這些都為樸實(shí)的. 也為很典型的極限概念；到了十七世紀(jì), 有很多科學(xué)問題需要解決, 這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素； 歸結(jié)起來(lái), 大約有四種主要類型的問題：第一類為爭(zhēng)論運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接顯現(xiàn)的, 也就為求即時(shí)速度的問題； 其次類問題為求曲線的切線的問題；第三類問題為求函數(shù)的最大值和最小值問題；第四類問題為求曲線長(zhǎng). 曲線圍成的面積.曲面圍成的體積. 物體的重心. 一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力；十七世紀(jì)的很多聞名的數(shù)學(xué)家.天文學(xué)家.物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的爭(zhēng)論工作,如法國(guó)的費(fèi)馬.笛卡爾.羅伯瓦.笛沙格；英國(guó)的巴羅.瓦里士； 德國(guó)的開普勒； 意大

23、利的卡瓦列利等人都提出很多很有建樹的理論；為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻(xiàn)；十七世紀(jì)下半葉, 在前人工作的基礎(chǔ)上, 英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自爭(zhēng)論和完成了微積分的創(chuàng)立工作,雖然這只為特別初步的工作； 他們的最大功績(jī)?yōu)榘褍蓚€(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起,一個(gè)為切線問題（微分學(xué)的中心問題） ,一個(gè)為求積問題 積分學(xué)的中心問題 ；牛頓和萊布尼茨建立微積分的動(dòng)身點(diǎn)為直觀的無(wú)窮小量, 因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析, 這正為現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源； 牛頓爭(zhēng)論微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮,萊布尼茨卻為側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的；牛頓在 1671 年寫了流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù) ,這

24、本書直到1736 年才出版,它在這本書里指出,變量為由點(diǎn).線.面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,否定了以前自己認(rèn)為 的變量為無(wú)窮小元素的靜止集合；他把連續(xù)變量叫做流淌量, 把這些流淌量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)； 牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題為：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑, 求給定時(shí)刻的速度（微分法） ；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程積分法 ；德國(guó)的萊布尼茨為一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者,1684 年,他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為為最早的微積分文獻(xiàn), 這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很奇怪的名字一種求極大微小和切線的新方法, 它也適用于分式和無(wú)理量, 以及這種新方法的神奇類型的運(yùn)算；就為這樣一篇說理也頗模糊的文章,卻有劃時(shí)代的意義；它已含有現(xiàn)代

25、的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微分符號(hào)和基本微分法就；1686 年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)；他 為歷史上最宏大的符號(hào)學(xué)者之一, 他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào), 遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào),這對(duì)微積分的進(jìn)展有極大的影響； 現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就為當(dāng)時(shí)萊布尼茨細(xì)心選用的；微積分學(xué)的創(chuàng)立, 極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)展, 過去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問題,運(yùn)用微積分,往往迎刃而解,顯示出微積分學(xué)的特殊威力；前面已經(jīng)提到, 一門科學(xué)的創(chuàng)立決不為某一個(gè)人的業(yè)績(jī),他必定為經(jīng)過多少人的努力后,在積存了大量成果的基礎(chǔ)上,最終由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的； 微積分也為這樣；不幸的為, 由于人們?cè)谟^賞微

26、積分的雄偉功效之余,在提出誰(shuí)為這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候, 竟然引起了一場(chǎng)悍然大波, 造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立； 英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó),囿于民族偏見, 過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前,因而數(shù)學(xué)進(jìn)展整整落后了一百年；其實(shí),牛頓和萊布尼茨分別為自己獨(dú)立爭(zhēng)論,在大體上相近的時(shí)間里先后完成的；比較特殊的為牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10 年左右,但為正式公開發(fā)表微積分這一理論,萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年；他們的爭(zhēng)論各有特長(zhǎng), 也都各有短處；那時(shí)候,由于民族偏見,關(guān)于創(chuàng)造優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)辯竟從1699 年始連續(xù)了一百多年；應(yīng)當(dāng)指出,這為和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)受一段

27、時(shí)間一樣, 牛頓和萊布尼茨的工作也都為很不完善的；他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問題上, 其說不一,特別模糊；牛頓的無(wú)窮小量,有時(shí)候?yàn)榱?有時(shí)候不為零而為有限的 小量；萊布尼茨的也不能自圓其說；這些基礎(chǔ)方面的缺陷, 最終導(dǎo)致了其次次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生；直到 19 世紀(jì)初,法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首,對(duì)微積分的理論進(jìn)行了仔細(xì)爭(zhēng)論, 建立了極限理論, 后來(lái)又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化,使極限理論成為了微積分的堅(jiān)決基礎(chǔ)；才使微積分進(jìn)一步的進(jìn)綻開來(lái)；任何新興的. 具有無(wú)量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者； 在微積分的歷史上也閃耀著這樣的一些明星： 瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟

28、約翰· 貝努利.歐拉.法國(guó)的拉格朗日.柯西歐氏幾何也好, 上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好, 都為一種常量數(shù)學(xué), 微積分才為真正的變量數(shù)學(xué), 為數(shù)學(xué)中的大革命； 微積分為高等數(shù)學(xué)的主要分支, 不只為局限在解決力學(xué)中的變速問題, 它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里, 建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微積分歷史積分的起源很早, 古希臘時(shí)期就有求特殊圖形面積的爭(zhēng)論；用的為窮盡的方法；阿基米德（ archimedes）用內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)窮盡圓周長(zhǎng),而求得圓周率愈來(lái)愈好的近似值, 也用一連串的三角形來(lái)填充拋物線的圖形,以求得其面積；這些都為窮盡法的古典例子；文藝

29、復(fù)興之后,基于實(shí)際的需要及理論的探討, 積分技巧有了進(jìn)一步的進(jìn)展；譬如為了航海的便利,杰拉杜斯·麥卡托（ gerardus mercator）創(chuàng)造了所謂的麥?zhǔn)贤队胺?使得地圖上的直線就為航海時(shí)保持定向的斜駛線；17 世紀(jì)的前半,為微積分學(xué)的醞釀時(shí)期；的確劃分微積分學(xué)這門學(xué)科為在17 世紀(jì)由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓幾乎同時(shí)創(chuàng)立的,對(duì)此學(xué)界曾有極大的爭(zhēng)辯,兩人曾為爭(zhēng)奪微積分的創(chuàng)造權(quán)訴諸皇家學(xué)會(huì)仲裁；在他們創(chuàng)立微積分以前, 人們把微分和積分視為獨(dú)立的學(xué)科；而微積分之名與其符號(hào)之使用就為萊布尼茨所創(chuàng)；雖說微積分為萊布尼茨和牛頓創(chuàng)造的,但為指的為他

30、們兩人使微積分觀念成熟,澄清微.積分之間的關(guān)系,使運(yùn)算系統(tǒng)化,并且把微積分大規(guī)模使用到幾何 與物理上；在他們之前,微積分為萌芽時(shí)期,觀念在摸索中,運(yùn)算為個(gè)別的,應(yīng) 用也為個(gè)別的；在牛頓.萊布尼茨以前,對(duì)微分.積分最有奉獻(xiàn)的大致要算皮埃爾·德·費(fèi) 馬了,惋惜他未能體會(huì)兩者之間的親密關(guān)系；而牛頓的老師伊薩克·巴羅（i. barrow、 16301677）雖然知道兩者之間有互逆的關(guān)系,但他不能體會(huì)此種關(guān)系 的意義,其緣由之一就為求導(dǎo)數(shù)仍沒有一套有系統(tǒng)的運(yùn)算方法；古希臘平面幾何的成功, 予西方數(shù)學(xué)特別深遠(yuǎn)的影響,一般認(rèn)為, 唯有幾何的論證方法才為嚴(yán)格的,才為真正的數(shù)學(xué),

31、代數(shù)也不過為幫助的工具而已；直到笛卡兒及費(fèi)馬提倡以代數(shù)的方法爭(zhēng)論幾何的問題； 這種態(tài)度才漸有轉(zhuǎn)變； 可為一方面幾何思維方式深植人心, 而另一方面代數(shù)方法仍舊未臻成熟,實(shí)數(shù)系統(tǒng)遲遲未能建立, 所以很多數(shù)學(xué)家仍舊固守幾何陣營(yíng)而不能有有效的運(yùn)算方法,如巴婁就為； 牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點(diǎn),進(jìn)展了有效的微分方法,可為他的方法遲遲未敢進(jìn)展；雖然他用了微積分的技巧, 由萬(wàn)有引力及運(yùn)動(dòng)定律動(dòng)身說明白他的宇宙體系,但因可怕當(dāng)時(shí)人的批判,在他1687 年的巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中,卻把微 積分的痕跡抹去,而仍以古典的幾何論證方式論述；微積分實(shí)際被很多人不斷地完善,也離不開巴羅.笛卡爾.費(fèi)馬.惠更斯和沃利

32、斯的奉獻(xiàn)；牛頓.萊布尼茨雖然把微積分系統(tǒng)化,但它仍為不嚴(yán)格的； 可為微積分被成功地用來(lái)解決很多問題, 卻使十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家偏向其應(yīng)用性,而少致力于其嚴(yán)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載格性；當(dāng)時(shí),微積分學(xué)的進(jìn)展幸而把握在幾個(gè)特別優(yōu)越的數(shù)學(xué)家,如歐拉（l. euler、17071783）.拉格朗日（ j.u. lagrange、 17361813）.拉普拉斯（ p.s. de laplace、17491827）.達(dá)朗貝爾（ j.de r. d'alembert、 17171783）及白努利（ d. bernoulli、 17001782）世家等人的手里；爭(zhēng)論的問題由自然現(xiàn)象而

33、來(lái), 所以能以自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)合微積分的很多推論；使微積分學(xué)不因基礎(chǔ)不穩(wěn)而將之錯(cuò)誤；在這些眾數(shù)學(xué)家的手中, 微積分學(xué)的范疇很快地超過現(xiàn)在高校初階段所授的微積分課程,而邁向更高深的解析學(xué)；進(jìn)呈現(xiàn)代微積分理論的一個(gè)動(dòng)力為為明白決“切線問題”,另一個(gè)為“面積問題”；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載18 世紀(jì)的分析學(xué)驅(qū)動(dòng) 18 世紀(jì)的微積分學(xué)不斷向前進(jìn)展的動(dòng)力為物理學(xué)的需要,物理問題的表達(dá)一般都為用微分方程的形式；18 世紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)；他們把微積分應(yīng)用于天文學(xué).力學(xué).光學(xué).熱學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域,并獲得了豐碩的成果；在數(shù)學(xué)本身又進(jìn)展出了多元微分學(xué).多重積分學(xué).微分方程.無(wú)窮級(jí)數(shù)的

34、理論.變分法,大大地?cái)U(kuò)展了數(shù)學(xué)爭(zhēng)論的范疇；其中最聞名的要數(shù)最速降線問題：即最快下降的曲線的問題； 這個(gè)曾經(jīng)的難題用變分法的理論可以輕而易舉的解決；微積分創(chuàng)造優(yōu)先權(quán)大爭(zhēng)辯歷史上, 微積分為由兩位科學(xué)家, 牛頓和萊布尼茨幾乎同時(shí)發(fā)覺的；在創(chuàng)立微積分方面, 萊布尼茨與牛頓功績(jī)相當(dāng)； 這兩位數(shù)學(xué)家在微積分學(xué)領(lǐng)域中的杰出奉獻(xiàn)概括起來(lái)就為： 他們總結(jié)出處理各種有關(guān)問題的一般方法,熟識(shí)到求積問題與切線問題互逆的特點(diǎn), 并揭示出微分學(xué)與積分學(xué)之間的本質(zhì)聯(lián)系；他們都各自建立了微積分學(xué)基本定理, 他們給出微積分的概念. 法就.公式和符號(hào)理論為以后的微積分學(xué)的進(jìn)一步進(jìn)展奠定了堅(jiān)實(shí)而重要的基礎(chǔ)；總之,他們創(chuàng)立了作為一

35、門獨(dú)立學(xué)科的微積分學(xué)；微積分這種數(shù)學(xué)分析方法正式產(chǎn)生以后,由于解決了很多以往靠初等數(shù)學(xué)無(wú)法作答的實(shí)際問題, 所以逐步引起科學(xué)家和社會(huì)人士的重視；同時(shí), 也帶來(lái)了關(guān)于“誰(shuí)先建立微積分” 問題的爭(zhēng)辯； 從牛頓和萊布尼茨仍在世時(shí)就開頭顯現(xiàn)這種爭(zhēng)辯,英國(guó)和歐洲大陸各國(guó)不少科學(xué)家都卷入這場(chǎng)曠日長(zhǎng)久的.尖銳而復(fù)雜的論戰(zhàn)；這場(chǎng)論戰(zhàn)連續(xù)了100 多年的時(shí)間；就制造與發(fā)表的歲月比較, 牛頓制造微積分基本定理比萊布尼茨更早；前者奠基于 16651667 年,后者就為 16721676 年,但萊布尼茨比牛頓更早發(fā)表微積分的成果；故創(chuàng)造微積分的榮譽(yù)應(yīng)屬于他們兩人；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中國(guó)古代

36、數(shù)學(xué)中微積分的萌芽微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念； 求積的無(wú)限小方法； 積分與微分的互逆關(guān)系；最終一步為由牛頓.萊布尼茲完成的；前兩階段的工作,歐洲 的大批數(shù)學(xué)家始終追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的奉獻(xiàn)；對(duì)于這方面的工作,古代中國(guó)毫不遜色于西方,微積分思想在古代中國(guó)早有萌芽,甚至為古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的； 公元前 7 世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無(wú)限可分性和極限思想；公元前 4 世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮.無(wú)窮.無(wú)限?。ㄗ钚o(wú)內(nèi)）.無(wú)窮大（最大無(wú)外）的定義和極限.瞬時(shí)等概念；劉徽公元 263 年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積, 求得 圓周率約等于 3 .1416,他的極限思想和無(wú)窮小方法,為世界古代極

37、限思想的深刻表達(dá)；微積分思想雖然可追溯古希臘,但它的概念和法就卻為16 世紀(jì)下半葉,開 普勒.卡瓦列利等求積的不行重量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和進(jìn)展起來(lái)的；而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐. 圓臺(tái).圓柱的體積公式的證明到公元5 世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到；北宋大科學(xué)家沈括的夢(mèng)溪筆談獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”. “會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的爭(zhēng)論；南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274 年撰寫了劃時(shí)代巨著數(shù)書九章十八卷,創(chuàng)文明遐邇的“大衍求一術(shù)”增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解, 比西方早 500 多年；特殊為 13 世紀(jì) 40 歲月到 14 世紀(jì)初,在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰

38、,顯現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法.“正負(fù)開方術(shù)”.“大衍求一術(shù)”.“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法） .“垛積術(shù)”（高階等差級(jí)數(shù)求和）.“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）.“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法） .“四元術(shù)”（四元高次方程組解法） .勾股數(shù)學(xué).弧矢割圓術(shù).組合數(shù)學(xué).運(yùn)算技術(shù)改革和珠算等都為在世界數(shù)學(xué)史上有重要位置的杰出成果,中國(guó)古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的杰出工作,其中很多都為微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵；中國(guó)已具備了 17 世紀(jì)創(chuàng)造微積分前夕的全部?jī)?nèi)在條件,已經(jīng)接近了微積分的大門；惋惜中國(guó)元朝以后, 八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退,封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)

39、在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落,在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其次次數(shù)學(xué)危機(jī)及微積分規(guī)律上的嚴(yán)格化微積分產(chǎn)生之后,數(shù)學(xué)迎來(lái)了一次空前富強(qiáng)的時(shí)期；對(duì)18 世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響； 但為牛頓和萊布尼茨的微積分都缺乏清晰的.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律基礎(chǔ),這在初創(chuàng)時(shí)期為不行防止的；科學(xué)上的龐大需要戰(zhàn)勝了規(guī)律上的顧忌；他們需要做的事情太多了, 他們急于去攫取新的成果； 基本問題只好先放一放； 正如達(dá)朗貝爾所說的：“向前進(jìn), 你就會(huì)產(chǎn)生信心！”數(shù)學(xué)史的進(jìn)展一再證明自由制造總為領(lǐng)先于形式化和規(guī)律基礎(chǔ)；于為在微積分的進(jìn)展過程中, 顯現(xiàn)了這樣的局面： 一方面為微積分創(chuàng)立之后立刻在

40、科學(xué)技術(shù)上獲得應(yīng)用, 從而快速地進(jìn)展； 另一方面為微積分學(xué)的理論在當(dāng)時(shí)為不嚴(yán)密的, 顯現(xiàn)了越來(lái)越多的悖論和謬論；數(shù)學(xué)的進(jìn)展又遇到了深刻的令人 擔(dān)心的危機(jī)； 例如, 有時(shí)把無(wú)窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去,而有時(shí)卻又令無(wú)窮小量為零而忽視不計(jì)； 由于這些沖突,引起了數(shù)學(xué)界的極大爭(zhēng)辯；如當(dāng)時(shí)愛爾蘭主教.唯心主義哲學(xué)家貝克萊嘲笑“無(wú)窮小量”為“已死的幽靈”；貝克萊對(duì)牛頓導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行了批判；當(dāng)時(shí)牛頓對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義為：當(dāng) x 增長(zhǎng)為 x+o 時(shí), x 的立方（記為 x3）成為（ x+o）的立方（記為 x+o）3；即 x3+3 x2o+ 3x o2+ o3 ；x 與 x3 的增量分別為 o 和 3

41、 x2o+ 3x o2+ o3；這兩個(gè)增量與 x 的增量的比分別為1 和 3 x2+ 3x o+ o2 ,然后讓增量消逝,就 它們的最終比為1 與 3 x2；我們知道這個(gè)結(jié)果為正確的,但為推導(dǎo)過程的確存在著明顯的偷換假設(shè)的錯(cuò)誤： 在論證的前一部分假設(shè)o 為不為 0 的,而在論證的后一部分又被取為0；那么 o 究竟為不為 0 呢？這就為聞名的貝克萊悖論；這種微積分的基礎(chǔ)所引發(fā)的危機(jī)在數(shù)學(xué)史上稱為其次次數(shù)學(xué)危機(jī),而這次危機(jī)的引發(fā)與牛頓有直接關(guān)系；歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)；第一個(gè)為補(bǔ)救其次次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地的看法的為達(dá)朗貝爾；他在1754 年指出,必需用牢靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限

42、理論；但為他本人未能供應(yīng)這樣的理論； 最早使微積分嚴(yán)格化的為拉格朗日；為了防止使用無(wú)窮小推理和當(dāng)時(shí)仍不明確的極限概念,拉格朗日曾試圖把整個(gè)微積分建立在泰勒綻開式的基礎(chǔ)上；但為,這樣一來(lái),考慮的函數(shù)范疇太窄了,而且不用極限概念也 無(wú)法爭(zhēng)論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問題,所以,拉格朗日的以冪級(jí)數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題；到了 19 世紀(jì),顯現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家,他們積極為微積分的奠基工作而努力,其中包括了捷克的哲學(xué)家b.bolzano.曾著有無(wú)窮的悖論 ,明確地提出了級(jí)數(shù)收斂的概念,并對(duì)極限.連續(xù)和變量有了較深化的明白；分析學(xué)的奠基人,法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在18211823 年間出版的分析教程精品

43、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載和無(wú)窮小運(yùn)算講義 為數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作；在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列的基本概念和精確定義；對(duì)分析基礎(chǔ)做更深一步的懂得的要求發(fā)生在1874 年；那時(shí)的德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個(gè)沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù),即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線,這與直觀概念為沖突的；它使人們熟識(shí)到極限概念.連續(xù)性.可微性和收斂 性對(duì)實(shí)數(shù)系的依靠比人們想象的要深?yuàn)W得多；黎曼發(fā)覺, 柯西沒有必要把他的定積分限制于連續(xù)函數(shù)；黎曼證明白,被積函數(shù)不連續(xù),其定積分也可能存在；也 就為將柯西積分改進(jìn)為riemann 積分；這些事實(shí)使我們明白, 在為分析建立一個(gè)完善的基礎(chǔ)方面,仍需要再深挖一步

44、：懂得實(shí)數(shù)系更深刻的性質(zhì)； 這項(xiàng)工作最終由外爾斯特拉斯完成,使得數(shù)學(xué)分析完全由實(shí)數(shù)系導(dǎo)出, 脫離了知覺懂得和幾何直觀；這樣一來(lái), 數(shù)學(xué)分析全部的基本概念都可以通過實(shí)數(shù)和它們的基本運(yùn)算表述出來(lái)；微積分嚴(yán)格化的工作最終接近封頂,只有關(guān)于無(wú)限的概念沒有完全弄清晰,在這個(gè)領(lǐng)域,德國(guó)數(shù)學(xué)家 cantor做出了杰出的奉獻(xiàn)；總之,其次次數(shù)學(xué)危機(jī)和核心為微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固；柯西的奉獻(xiàn)在于, 將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)上；外爾斯特拉斯的奉獻(xiàn)在于規(guī)律地構(gòu)造了實(shí)數(shù)論；為此,建立分析基礎(chǔ)的規(guī)律次序?yàn)閷?shí)數(shù)系極限論微積分精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微積分的現(xiàn)代進(jìn)展人類對(duì)自然的熟識(shí)永久不會(huì)止步,微積分這門

45、學(xué)科在現(xiàn)代也始終在進(jìn)展著；以以下舉了幾個(gè)例子,足以說明人類熟識(shí)微積分的水平在不斷深化；在 riemann 將 cauchy 的積分含義擴(kuò)展之后, lebesgue又引進(jìn)了測(cè)度的概念, 進(jìn)一步將 riemann 積分的含義擴(kuò)展；例如聞名的 dirichilet 函數(shù)在 riemann 積分下不行積,而在 lebesgue積分下便可積；前蘇聯(lián)聞名數(shù)學(xué)大師所伯列夫?yàn)榱舜_定偏微分方程解的存在性和唯獨(dú)性,建立了廣義函數(shù)和廣義導(dǎo)數(shù)的概念； 這一概念的引入不僅賜予微分方程的解以新的含義,更重要的為,它使得泛函分析等現(xiàn)在數(shù)學(xué)工具得以應(yīng)用到微分方程理論中, 從而開創(chuàng)了微分方程理論的新天地；我國(guó)的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先

46、生所爭(zhēng)論的微分幾何領(lǐng)域,便為利用微積分的理論來(lái)爭(zhēng)論幾何, 這門學(xué)科對(duì)人類熟識(shí)時(shí)間和空間的性質(zhì)發(fā)揮的龐大的作用；并且這門學(xué)科至今仍舊很活躍； 由我國(guó)數(shù)學(xué)家朱熹平. 曹懷東完成最終封頂?shù)凝嫾尤R猜想便屬于這一領(lǐng)域；在多元微積分學(xué)中,newton leibniz公式的對(duì)比物為green 公式.ostrogradsky gauss 公式.以及經(jīng)典的stokes 公式；無(wú)論在觀念上或者在技術(shù)層次上,他們都為newtonleibniz 公式的推廣；隨著數(shù)學(xué)本身進(jìn)展的需要和解決問題的需要, 僅僅考慮歐式空間中的微積分為不夠的；有必要把微積分的演出舞臺(tái)從歐式空間進(jìn)一步拓展到一般的微分流形；在微分流形上, 外微分

47、式扮演著重要的角色；于為,外微分式的積分和微分流形上的stokes 公式產(chǎn)生了；而經(jīng)典的 green 公式. ostrogradskygauss公式.以及 stokes公式也得到了統(tǒng)一；微積分的進(jìn)展歷史說明白人的熟識(shí)為從生動(dòng)的直觀開頭,進(jìn)而達(dá)到抽象思 維,也就為從感性熟識(shí)到理性熟識(shí)的過程；人類對(duì)客觀世界的規(guī)律性的熟識(shí)具有相對(duì)性, 受到時(shí)代的局限； 隨著人類熟識(shí)的深化, 熟識(shí)將一步一步地由低級(jí)到高級(jí).由不全面到比較全面地進(jìn)展；人類對(duì)自然的探究永久不會(huì)有終點(diǎn)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微積分的產(chǎn)生及其重要意義微積分的產(chǎn)生為繼euclid幾何建立之后,數(shù)學(xué)進(jìn)展的又一個(gè)里程碑式的事

48、 件；微積分產(chǎn)生之前, 人類基本上仍處在農(nóng)耕文明時(shí)期；解析幾何的產(chǎn)生為新時(shí)代到來(lái)的序曲, 但仍不為新時(shí)代的開端； 它對(duì)舊數(shù)學(xué)作了總結(jié), 使代數(shù)與幾何融為一體,并引發(fā)出變量的概念；變量,這為一個(gè)全新的概念,它為爭(zhēng)論運(yùn)動(dòng)供應(yīng) 了基礎(chǔ)推導(dǎo)出大量的宇宙定律必需等待這樣的時(shí)代的到來(lái),預(yù)備好這方面的思想, 產(chǎn)生像牛頓.萊布尼茨.拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)將來(lái), 為科學(xué)活動(dòng)供應(yīng)方法,指出方向的領(lǐng)導(dǎo), 但也必需等待創(chuàng)立一個(gè)必不行少的工具微積分,沒有微積分,推導(dǎo)宇宙定律為不行能的；在17 世紀(jì)的天才們開發(fā)的全部學(xué)問寶庫(kù)中,這 一領(lǐng)域?yàn)樽钬S富的,微積分為創(chuàng)立很多新的學(xué)科供應(yīng)了源泉；微積分的建立為人類頭腦最宏大的制造

49、之一, 一部微積分進(jìn)展史, 為人類一步一步堅(jiān)強(qiáng)地熟識(shí)客觀事物的歷史, 為人類理性思維的結(jié)晶； 它給出一整套的科學(xué)方法,開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元,并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用；恩格斯說： “在一切理論成就中, 未必再有什么像 17 世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)覺那樣被看作人類精神的最高成功了；假如在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績(jī),那就正為在這里； ”有了微積分,人類才有才能把握運(yùn)動(dòng)和過程； 有了微積分, 就有了工業(yè)革命,有了大工業(yè)生產(chǎn), 也就有了現(xiàn)代化的社會(huì)； 航天飛機(jī)； 宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都為微積分的直接后果； 在微積分的幫忙下, 萬(wàn)有引力定律發(fā)覺了, 牛頓用同一個(gè)公式來(lái)描述太陽(yáng)對(duì)行星的

50、作用,以及地球?qū)λ徑矬w的作用；從最小的塵埃到最遙遠(yuǎn)的天體的運(yùn)動(dòng)行為； 宇宙中沒有哪一個(gè)角落不在這些定律的所包含范疇內(nèi)；這為人類熟識(shí)史上的一次空前的飛躍,不僅具有宏大的科學(xué)意義,而且具有深遠(yuǎn)的社會(huì)影響； 它強(qiáng)有力地證明白宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì),摧殘了覆蓋在天體上的神奇主義.迷信和神學(xué)；一場(chǎng)空前龐大的.席卷近代世界的科學(xué)運(yùn)動(dòng)開頭了；毫無(wú)疑問,微積分的發(fā)覺為世界近代科學(xué)的開端；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載旋轉(zhuǎn)液體的液面以等角速度 旋轉(zhuǎn)的液體,液面的外形如何求得？解答：假設(shè)它的剖面為一條曲線,y 軸為轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)面以y軸為對(duì)稱軸,此時(shí)在液面會(huì)得到一正壓力r,r 可以同時(shí)供應(yīng)向心力,和重力因

51、此其中.都為常數(shù),因此該剖面的曲線為拋物線,液面外形為該拋物線繞 y 軸的旋轉(zhuǎn)面；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載直接求 sinx 的導(dǎo)函數(shù)從幾何上如何找到sinx的微分呢？解答：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載直接求d sin d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載把 變動(dòng) ,sin 從 變到 ,我們要明白 與 之比, 為一小段弦長(zhǎng),為斜線區(qū)域這個(gè)近似直角三角形的斜邊,此與 之比之比可以想成為 cos精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載四只蒼蠅飛行問題有四只蒼蠅 a、b、c、d 分別位于平面上的 1、1, -1、1, -1、-1, 1、-1,之

52、后它們一起以每秒1 單位的速度行動(dòng),行動(dòng)的方式為：a 蒼蠅始終向著 b 蒼蠅靠近,b 蒼蠅始終向著 c 蒼蠅靠近,c 蒼蠅始終向著 d 蒼蠅靠近,d 蒼蠅始終向著 a 蒼蠅靠近,試問：1四只蒼蠅會(huì)在何處相遇？2它們多久會(huì)相遇？3找出 a 蒼蠅的行動(dòng)軌跡,并大致畫出；4運(yùn)算 a 蒼蠅從開頭到相遇的路徑長(zhǎng)；5蒼蠅 a 會(huì)有什么樣的生理反應(yīng)？ 解答： 1. 2：從物理相對(duì)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)來(lái)看a 的行進(jìn)方向始終和b 的行進(jìn)方向保持垂直,你可以想象蒼蠅移動(dòng)了瞬時(shí)之后,方向就立刻修正參照?qǐng)D一.二.三,由于四 只蒼蠅為做等速運(yùn)動(dòng),所以每一時(shí)刻以四只蒼蠅圍出來(lái)的四邊形會(huì)為正方形,行進(jìn)方向垂直加上等速于為當(dāng)時(shí)間愈久的時(shí)

53、候,蒼蠅愈來(lái)愈靠近, 正方形愈來(lái)愈小,最終會(huì)內(nèi)縮成一點(diǎn),這一點(diǎn)會(huì)為原點(diǎn),這就為他們相遇的地方；此外,a 靠近 b 為垂直方向靠近 ,所以從 b 蒼蠅看來(lái), a 仍為以 1 單位 / 秒 的等速向 b 靠近,原先 a .b 的距離為2 單位,因此需要秒的時(shí)間四只蒼蠅會(huì)相遇,的推論都一樣,四只會(huì)一起相遇精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圖一圖二圖三 3：我們將蒼蠅 a 的坐標(biāo)位置用極坐標(biāo)的方式表達(dá),而b的位置就為要留意的為：和都為的函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 a 的速度為此向量要與平行,于為如果,初始值,；其軌跡如下圖所示事實(shí)上我們必需留意到,在的情形下會(huì)有的推論,我們不妨用積分式算出時(shí)刻走了多少路：等式右邊為速度乘上時(shí)間,在的時(shí)候,""；所以其實(shí)蒼蠅a 的軌跡應(yīng)為上述爭(zhēng)論要表達(dá)的為說,加上這一點(diǎn)為需要的,并且加上精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那一點(diǎn)后, 軌跡仍為連續(xù)的 可以想一下如何定義在端點(diǎn)的連續(xù)性 4：由 3 5：由 3得知在到 2 的時(shí)候,換言之,在之前已 轉(zhuǎn)了無(wú)限多圈 ,于為蒼蠅會(huì)“頭昏”；雪球融解假設(shè)雪球融解的速率與表面積成正比,如有一個(gè)半徑為 10 公分的雪球