概率學(xué)：第七章參數(shù)估計(jì)2

1、補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 121212X,lim,XnnnnFgT XXXE T XXXgT XXXg 設(shè)總體為 的函數(shù)，為一統(tǒng)計(jì)量。如果則稱為漸進(jìn)無偏的估計(jì)量。定義：定義：例：例：0,XU設(shè)總體試討論這兩個估計(jì)量的無偏性，有效性和相合性。試討論這兩個估計(jì)量的無偏性，有效性和相合性。 2,MLnXX有矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量有矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量例如：例如：*22nE S無偏估計(jì)量無偏估計(jì)量221nnE Sn22limnnE S但但漸進(jìn)無偏估計(jì)量漸進(jìn)無偏估計(jì)量),( XFX，), 0( UX無偏性無偏性22.2MEEXnn 00( )01xxXF xxx的分布函數(shù)是利用順序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)可得利用順序

2、統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)可得X(n)的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為： 110( )0nX nxnxfxother M是 的無偏估計(jì)量。 LnEE X需要了解需要了解X(n)的密度函數(shù)的密度函數(shù) 1011nLnxnEE Xxndxn直接計(jì)算有：直接計(jì)算有：不是無偏估計(jì)量，只是漸進(jìn)無偏估計(jì)量不是無偏估計(jì)量，只是漸進(jìn)無偏估計(jì)量( )1LnnXn但但是無偏估計(jì)量是無偏估計(jì)量有效性有效性現(xiàn)在分析現(xiàn)在分析 12,MLnnXXn的有效性的有效性122224Var=Var 2VarVar4.123MnXXXnnnn 21222022222111112(2)nnxnx ndxnnnnnnnnn n 22221VarVar1Ln

3、nnnXnnE XE XnVarVarLM這個例子中的極大似然估計(jì)更有效這個例子中的極大似然估計(jì)更有效最后看兩個估計(jì)量的相合性。最后看兩個估計(jì)量的相合性。之前證明過：之前證明過：樣本均值是總體期望的相合估計(jì)量。樣本均值是總體期望的相合估計(jì)量。M是樣本均值的一半， 是總體期望的一半。故矩法估計(jì)量是相合估計(jì)量故矩法估計(jì)量是相合估計(jì)量極大似然估計(jì)量在一般情況下也有相合性，證明很極大似然估計(jì)量在一般情況下也有相合性，證明很復(fù)雜，我們這里就不給出了復(fù)雜，我們這里就不給出了相合性相合性參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：如果：如果構(gòu)造一個統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造一個統(tǒng)計(jì)量12(,)nXXX來作為參數(shù)來作為參數(shù) 的

4、估計(jì)量，則稱為的估計(jì)量，則稱為參數(shù)參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)。 回憶：回憶：點(diǎn)估計(jì)總是有誤差的，但沒有給出偏差的程度，點(diǎn)估計(jì)總是有誤差的，但沒有給出偏差的程度，引例引例 設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命XN（ ，100），現(xiàn)），現(xiàn)隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取5只，用樣本均值估計(jì)其平均壽命。測三組數(shù)據(jù)：只，用樣本均值估計(jì)其平均壽命。測三組數(shù)據(jù)：均值均值第一組145515021370161014301473.4第二組140013901408151213901420第三組150015101460150514251480用樣本均值用樣本均值X來估計(jì)參數(shù)來估計(jì)參數(shù) 的值的值但范圍有多大呢？但范圍有多大呢

5、？取樣本取樣本1，得到估計(jì)值，得到估計(jì)值1473.4 是一個真實(shí)存在的確定的數(shù)，只是我們不知道確切的值是一個真實(shí)存在的確定的數(shù)，只是我們不知道確切的值取樣本取樣本2，得到估計(jì)值，得到估計(jì)值1400取樣本取樣本3，得到估計(jì)值，得到估計(jì)值1480隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的觀測值在的觀測值在 的真實(shí)值左右波動。的真實(shí)值左右波動。區(qū)間估計(jì)的思想?yún)^(qū)間估計(jì)的思想用用 來作為參數(shù)來作為參數(shù) 可能取值范圍的估計(jì)，同時給出可能取值范圍的估計(jì)，同時給出參數(shù)參數(shù) 落在隨機(jī)區(qū)間落在隨機(jī)區(qū)間 中的概率，稱為中的概率，稱為區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)。構(gòu)造兩個統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造兩個統(tǒng)計(jì)量),(),(212211nnXXXXXX ),(21 ),(

6、21 0,1XUNn考慮考慮U統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量：上例：上例：要求有要求有90%的把握判斷的把握判斷 落在落在,XX之間之間求求的選取的選取解：解：點(diǎn)估計(jì)中，我們用點(diǎn)估計(jì)中，我們用X估計(jì)估計(jì) ?，F(xiàn)在我們要精確了解?，F(xiàn)在我們要精確了解估計(jì)的誤差，需要考察統(tǒng)計(jì)量估計(jì)的誤差，需要考察統(tǒng)計(jì)量X作為隨機(jī)變量的分布。作為隨機(jī)變量的分布。已經(jīng)知道：已經(jīng)知道：2,XNn方差已知，但是方差已知，但是 是一個未知參數(shù)，使用起來不方便。是一個未知參數(shù)，使用起來不方便。如何處理樣本均值這一統(tǒng)計(jì)量如何處理樣本均值這一統(tǒng)計(jì)量？0.90XPn查表得查表得 有有90%的把握成立的把握成立 0.95 0.90 注意：注意：對于某個

7、給定的觀測值，上述不等式對于某個給定的觀測值，上述不等式不是一定成不是一定成立立，但是有，但是有100組數(shù)據(jù)的話，其中應(yīng)當(dāng)有組數(shù)據(jù)的話，其中應(yīng)當(dāng)有90個估計(jì)是成個估計(jì)是成立的，即成立的可能為立的，即成立的可能為90%。先找正數(shù)先找正數(shù)，使得，使得(-)=1- ()65. 1 379. 751065. 165. 1 n 379. 7379. 7 XX 置信水平、置信區(qū)間置信水平、置信區(qū)間 設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù)設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù) ，對給定的，對給定的 （很小），（很?。绻蓸颖荆ㄈ绻蓸颖荆╔1，X2，Xn）確定兩個統(tǒng)計(jì)量）確定兩個統(tǒng)計(jì)量 1（ X1，X2，Xn ），）， 2（

8、X1，X2，Xn ），），使得使得P 1 2=1- ，則稱隨機(jī)區(qū)間（，則稱隨機(jī)區(qū)間（ 1 ， 2 ）為）為參數(shù)參數(shù) 的置信度（或置信水平）為的置信度（或置信水平）為1- 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 1置信下限置信下限 2置信上限置信上限上例：上例：8.765,8.765XX為置信度為為置信度為0.9（或直接寫為（或直接寫為1-0.1）的置信區(qū)間）的置信區(qū)間注意：注意： 1- 只是一種記法，但是這種記法會簡化計(jì)算只是一種記法，但是這種記法會簡化計(jì)算定義定義121TT或置信概率 為的置信區(qū)間， 與分別稱為112212X,01XnnFgTXXXTXXX 設(shè)總體為 的函數(shù)。如有統(tǒng)計(jì)量和使得對給定的有12

9、,( )TTg則隨機(jī)區(qū)間稱為參數(shù)的置信度置信下限與置信上限。112212,( ),1nnP TXXXgTXXX 區(qū)間估計(jì)的一般定義區(qū)間估計(jì)的一般定義幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明 2、參數(shù)、參數(shù) 的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間（的置信區(qū)間（ 1， 2） 表示該區(qū)間有表示該區(qū)間有100（1- ）%的可能性包含總體參的可能性包含總體參 數(shù)數(shù) 的真值。的真值。3、不同的、不同的置信水平，參數(shù)置信水平，參數(shù) 的置信區(qū)間不同。的置信區(qū)間不同。 4、置信區(qū)間越小，估計(jì)越精確，但置信水平會降低；置信區(qū)間越小，估計(jì)越精確，但置信水平會降低； 相反，置信水平越大，估計(jì)越可靠，但精確度會降相反，置信水平越大，估計(jì)越可

10、靠，但精確度會降 低，置信區(qū)間會較長。低，置信區(qū)間會較長。一般：對于固定的樣本容量，一般：對于固定的樣本容量， 不能同時做到精確度高（置信區(qū)間?。?，可靠程度也不能同時做到精確度高（置信區(qū)間?。?，可靠程度也 高（高（1- 大）。不降低可靠性的同時要縮小估計(jì)范大）。不降低可靠性的同時要縮小估計(jì)范 圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。1、估計(jì)、估計(jì) 和估計(jì)和估計(jì)g( ) 并沒有本質(zhì)區(qū)別。并沒有本質(zhì)區(qū)別。分位數(shù)分位數(shù) 設(shè)設(shè) X f (n)（f 為某種分布，為某種分布，n 為有關(guān)的自由為有關(guān)的自由度），度），01，則稱滿足，則稱滿足 ( )P Xf n 的數(shù)的數(shù)

11、f(n) 為分布為分布 f (n) 的的 分位數(shù)分位數(shù)（或（或分位點(diǎn)分位點(diǎn)） 查課本后面的表可得查課本后面的表可得 2 2分布，分布， t t 分布，分布， F F 分布分布的分位數(shù)。的分位數(shù)。12u12u注意注意l 對于對于 t(n) 分布，當(dāng)分布，當(dāng) n 趨于無窮時，分布趨于趨于無窮時，分布趨于 N(0,1)，故當(dāng)自由度較大時，用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故當(dāng)自由度較大時，用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)的分位數(shù) u 代替代替 t(n) 的分位數(shù)。的分位數(shù)。l 若若X 2(n) 分布，當(dāng)分布，當(dāng)n趨于無窮時，趨于無窮時， 近似的服從近似的服從 N(0,1)，故當(dāng)自由度較大時，近似，故當(dāng)自由度較大時，近似的有的有

12、()2Xnn 2( ) 2.nunn l 對于對于 F(m,n) 分布和分布和 ( (01),),有有1 ( , )1( ,).F m nFn m 單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì) 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 2已知已知， 未知，未知，則取則取U-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 ，對，對 做區(qū)間估計(jì)。做區(qū)間估計(jì)。XUn對給定的置信水平對給定的置信水平1- ，由，由1/2()1P Uu 將觀測值將觀測值 代入，則可得具體的區(qū)間。代入，則可得具體的區(qū)間。12,nx xx確定臨界值（確定臨界值（X的雙側(cè)的雙側(cè)

13、分位數(shù)）得分位數(shù)）得 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為111111222222(|)()()()2 ()11P UuPuUuF uFuF u nuXnuX22/122/1, 例例1 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐中知道，滾珠直徑某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐中知道，滾珠直徑X可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個，個，測得直徑為（單位：測得直徑為（單位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）試求該天產(chǎn)品的平均直徑）試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點(diǎn)估計(jì)；的點(diǎn)估計(jì)；（2）若已知方差為）若已知方差為0.06，試求該天平均直徑，試求

14、該天平均直徑EX的置信的置信 區(qū)間：區(qū)間： =0.05； =0.01。解解 （1）由矩法估計(jì)得）由矩法估計(jì)得EX的點(diǎn)估計(jì)值為的點(diǎn)估計(jì)值為 114.615.1 14.914.815.215.114.956E Xx續(xù)解續(xù)解 （2）由題設(shè)知）由題設(shè)知XN（ ，0.06） 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量，得統(tǒng)計(jì)量，得EX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1212,XuXunn當(dāng)當(dāng) =0.05時，時，0.9751.96u而而 0.0614.95,0.16xn所以，所以，EX的置信區(qū)間為（的置信區(qū)間為（14.754，15.146）當(dāng)當(dāng) =0.01時，時，0.9952.58u所以，所以，EX的置信區(qū)間為（的置信區(qū)間為（14.6

15、92，15.208）置信水平提高，置信區(qū)間擴(kuò)大，估計(jì)精確度降低。置信水平提高，置信區(qū)間擴(kuò)大，估計(jì)精確度降低。 例例2 假定某地一旅游者的消費(fèi)額假定某地一旅游者的消費(fèi)額X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N( ， 2)，且標(biāo)準(zhǔn)差且標(biāo)準(zhǔn)差 =12元，今要對該地旅游者的平均消費(fèi)額元，今要對該地旅游者的平均消費(fèi)額EX加以區(qū)間估計(jì)，為了能以加以區(qū)間估計(jì)，為了能以95%的置信度相信這種估計(jì)誤的置信度相信這種估計(jì)誤差小于差小于2元，問至少要調(diào)查多少人？元，問至少要調(diào)查多少人？解解 由題意知：消費(fèi)額由題意知：消費(fèi)額XN( ，122)，設(shè)要調(diào)查，設(shè)要調(diào)查n人。人。由由 10.950.05即即 121.96u1.960.9

16、5XPn得得 查表得查表得 而而 2X1.962n解得解得 21.96 12138.292n至少要調(diào)查至少要調(diào)查139人人例例2 續(xù)續(xù)：估計(jì)誤差小于估計(jì)誤差小于1元，問至少要調(diào)查多少人？元，問至少要調(diào)查多少人？1X1.961n解得解得 21.96 12553.191n至少要調(diào)查至少要調(diào)查554人人在方法不變的前提下，要想提高精度，只能增加樣本的在方法不變的前提下，要想提高精度，只能增加樣本的容量容量正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì) 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 ， 均未知均未知 試取試取U-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 XUn仍然服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布仍然服從標(biāo)

17、準(zhǔn)正態(tài)分布若將其作為區(qū)間估計(jì)的分布，得置信度若將其作為區(qū)間估計(jì)的分布，得置信度1-的置信區(qū)間的置信區(qū)間1212,XuXunn 未知，置信上限下限中都含有未知參數(shù)，未知，置信上限下限中都含有未知參數(shù)，不是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量如何來處理？如何來處理？用某種統(tǒng)計(jì)量來替換未知量用某種統(tǒng)計(jì)量來替換未知量 2構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)置信水平為當(dāng)置信水平為1- 時，有時，有 12(1)1P Ttn 查查t-分布表確定分布表確定 12(1)tn從而得從而得 的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 由于由于T分布也是對稱的分布也是對稱的 (1)t n 1/ nSXn 2*/nSSnSXT ，或或

18、 )1(1),1(12/12/1ntnSXntnSXnn ，則有：，則有：代替代替用用221 nSnn ,1/ nSXTn 在例在例1中若滾珠直徑的方差中若滾珠直徑的方差2未知，用同樣的數(shù)未知，用同樣的數(shù)據(jù)求據(jù)求的置信概率為的置信概率為0.95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解：解：回憶公式回憶公式例例36,14.95nx根據(jù)題設(shè)有：根據(jù)題設(shè)有：0.950.051- )1(1),1(12/12/1ntnSXntnSXnn 2062. 00425. 06255. 0)95.141 .15()95.141 .15()95.146 .14(61222 nS續(xù)解續(xù)解查表有：查表有： 0.97512152.57

19、06.tnt將所求的數(shù)值代入公式，得將所求的數(shù)值代入公式，得的置信概率為的置信概率為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為14.714, 15.186比較例比較例1 1和例和例2 2的結(jié)果會發(fā)現(xiàn)，由同一組樣本觀察值，的結(jié)果會發(fā)現(xiàn)，由同一組樣本觀察值，按同樣的置信概率，按同樣的置信概率，對對計(jì)算出的置信區(qū)間因?yàn)橛?jì)算出的置信區(qū)間因?yàn)? 2的的是否已知會不一樣。是否已知會不一樣。當(dāng)當(dāng)2 2已知，已知，我們掌握的信息多一些，在其他條件相我們掌握的信息多一些，在其他條件相同的情況下，對同的情況下，對的估計(jì)精度要高一些，即表現(xiàn)為的估計(jì)精度要高一些，即表現(xiàn)為的置信區(qū)間長度要小些。的置信區(qū)間長度要小些。當(dāng)當(dāng)2 2未

20、知，未知，對對的估計(jì)精的估計(jì)精度要低一些，即表現(xiàn)為度要低一些，即表現(xiàn)為的置信區(qū)間長度在大一些。的置信區(qū)間長度在大一些。2 2為已知時，為已知時， 14.754，15.1462 2為未知時，為未知時， 14.714, 15.186例例4 某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認(rèn)為服從正態(tài)被認(rèn)為服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取分布，今隨機(jī)抽取9個，測得其重量為（單位：克）：個，測得其重量為（單位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。試用。試用95%的置信度估計(jì)全部口杯的平均重量。的置信度估計(jì)全部口杯的平均重量。解解 由題設(shè)可

21、知：口杯的重量由題設(shè)可知：口杯的重量XN（ ， 2） 由于方差未知，故考慮分布由于方差未知，故考慮分布 (1)t n 由抽取的由抽取的9個樣本，可得個樣本，可得 1/ nSXTn 4 .21212. 0,9 xSnn，例例4續(xù)續(xù) 某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認(rèn)為服從被認(rèn)為服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取4個，測得其重量為（單位：個，測得其重量為（單位：克）：克）：21.1，21.3，21.4，21.5。試用。試用95%的置信度的置信度估計(jì)全部口杯的平均重量，比較與例估計(jì)全部口杯的平均重量，比較與例4的區(qū)別。的區(qū)別。由由 10.950.050.975(

22、8)2.306t得得 查表得查表得 全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（21.26，21.54） 10.975213836. 08212. 0306. 21)8(2/1 nStn 正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)間估計(jì) 總體總體XN（ ， 2），其中），其中 已知，已知， 2未知未知 先從點(diǎn)估計(jì)入手先從點(diǎn)估計(jì)入手估計(jì)方差一般使用樣本方差，但是注意到估計(jì)方差一般使用樣本方差，但是注意到 已知，考慮已知，考慮2211niiSXn2221111nniiiiE SEXVar Xnn故故S 2是是 2的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量(0,1)iXN構(gòu)造構(gòu)

23、造 2-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 22221221niniiiXnSX查查 2- 分布表，確定分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 12222( ),( )nn122221122,( )( )nniiiiXXnn但是但是S 2的分布依賴于參數(shù)的分布依賴于參數(shù) 2，由由2( )n例例5已知某種果樹產(chǎn)量服從（已知某種果樹產(chǎn)量服從（218， 2），隨機(jī)），隨機(jī)抽取抽取6棵計(jì)算其產(chǎn)量為（單位：公斤）棵計(jì)算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，236。試以。試以95%的置信水平估計(jì)產(chǎn)的置信水平估計(jì)產(chǎn)量的方差。量的方差。解解

24、計(jì)算計(jì)算 6212931iix查表查表 1 0.05 20.05 222(6)14.45,(6)1.24果樹方差的置信區(qū)間為果樹方差的置信區(qū)間為 2931 2931,202.84,2363.7114.45 1.24如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 已已知，知， 2未未知知，是否，是否可取可取U-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 ，或者，或者U2對對 做區(qū)間估計(jì)？做區(qū)間估計(jì)？XUn1/2|XUn1/2|XnU只有單向的控制只有單向的控制提示：提示：思考：思考：1、2、 U22(1)估計(jì)精度太低估計(jì)精度太低人為刻意造出的估計(jì)量效果往往沒有有點(diǎn)估計(jì)背景的人為刻意造出的估計(jì)量效果往往沒有有點(diǎn)估計(jì)背景的估計(jì)量

25、好估計(jì)量好正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì) 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 ， 2均未知均未知 構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 212niiX中包含兩個未知參數(shù)，不能用來估計(jì)中包含兩個未知參數(shù)，不能用來估計(jì) 2自然想到，用樣本方差自然想到，用樣本方差 替換分子替換分子2nnS)1(2222 nnSn 當(dāng)置信水平為當(dāng)置信水平為1- 時，由時，由 查查 2- 分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)分布表，確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 21222(1),(1)nn 1)1()1(22/12222/nnSnPn

26、)1(,)1(22/222/12nnSnnSnn 例例6 設(shè)某燈泡的壽命設(shè)某燈泡的壽命XN（ ， 2），）， ， 2未知，現(xiàn)未知，現(xiàn)從中任取從中任取5個燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)個燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（單位：千小時），求置信水平為（單位：千小時），求置信水平為90%的的 2的區(qū)間估計(jì)。的區(qū)間估計(jì)。解解 修正樣本方差及均值分別為修正樣本方差及均值分別為 20.99511.6Sx10.90.1220.051 0.05(4)0.711(4)9.488220.05(1)4 0.9955.5977(4)0.711nS 2的置信區(qū)間為（的置信區(qū)間為（0.4

27、195，5.5977） 由由 得得 查表得查表得 220.95(1)0.4195(4)nS比較比較 已知和未知時方差的估計(jì)已知和未知時方差的估計(jì)設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的的樣本，則樣本，則222122()( )niiXnSn (1) )1()(2221222 nXXnSniin 思考：思考：當(dāng)當(dāng) 已知時，能否用已知時，能否用22(1)nS 作為統(tǒng)計(jì)量估計(jì)作為統(tǒng)計(jì)量估計(jì) 2例例已知某種果樹產(chǎn)量服從（已知某種果樹產(chǎn)量服從（218， 2），隨機(jī)抽?。S機(jī)抽取6棵計(jì)算其產(chǎn)量為（單位：公斤）棵計(jì)算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，

28、236，試以，試以95%的置信水平估計(jì)產(chǎn)量的方差。的置信水平估計(jì)產(chǎn)量的方差。解解 計(jì)算計(jì)算 6212929.5iixx查表查表 1 0.05 20.05 222(5)12.833,(5)0.831果樹方差的置信區(qū)間為果樹方差的置信區(qū)間為 5 2929.5 5 2929.5,190.28,2941.276 12.836 0.83218.5x 222(1)(5)nS 估計(jì)精度大大降低估計(jì)精度大大降低關(guān)鍵關(guān)鍵 找到一個找到一個僅含僅含待估計(jì)參數(shù)待估計(jì)參數(shù) ，不含其它未知參數(shù)的，不含其它未知參數(shù)的樣本函數(shù)（抽樣分布函數(shù)）樣本函數(shù)（抽樣分布函數(shù)）如何找這樣的函數(shù)？如何找這樣的函數(shù)？ 從相應(yīng)的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量出發(fā)從相應(yīng)的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量出發(fā)區(qū)間估計(jì)的步驟分析區(qū)間估計(jì)的步驟分析X,XF設(shè)總體對對進(jìn)行區(qū)間估計(jì)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)1. 若統(tǒng)計(jì)量若統(tǒng)計(jì)量R是是的點(diǎn)估計(jì)量，確定的點(diǎn)估計(jì)量，確定R的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，其中可能包含參數(shù)其中可能包含參數(shù)。2. 將將R中的參數(shù)中的參數(shù)約化，得統(tǒng)計(jì)量約化，得統(tǒng)計(jì)量S，不含任何未知，不含任何未知參數(shù)參數(shù)3. 利用統(tǒng)計(jì)量利用統(tǒng)計(jì)量S的分布得到