雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、雙曲線知識(shí)點(diǎn)指導(dǎo)教師：鄭軍一、雙曲線的定義：1. 第一定義：到兩個(gè)定點(diǎn) F1 與 F2 的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（|F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡（ PF1PF22aF1 F2（ a 為常數(shù)）這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)aF1F2|.要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值 . （ 2）2 |當(dāng)| MF| | MF|=2 a 時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn) F 所對(duì)應(yīng)的一支；12 a2當(dāng)|MF1MF2時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn) F1 所對(duì)應(yīng)的一支；|=2當(dāng) 2a=| F1F2| 時(shí)，軌跡是一直線上以 F1、F2 為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng) 2a| F1F2 | 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在 .2. 第二定義：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn) F 的距離與它到

2、一條定直線 l 的距離之比是常數(shù) e( e1) 時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線 這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線 l 叫做雙曲線的準(zhǔn)線二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y2（a0， b 0） ( 焦點(diǎn)在 x 軸上 ) ；a 21b2y 2x2（a0， b 0） ( 焦點(diǎn)在 y 軸上 ) ；a 21b21. 如果 x 2 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 x 軸上；如果 y 2 項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 y軸上 . a 不一定大于 b.2.與雙曲線 x2y2 1共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是x2ky 21a2b2a2b2k3.雙曲線方程也可設(shè)為： x2y21(mn 0)mn例題：已知雙曲線 C 和橢圓 x2y21有相同的焦點(diǎn)

3、， 且過 P(3, 4) 點(diǎn)，求雙曲線 C 的169軌跡方程。三、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系：1 點(diǎn)與雙曲線：點(diǎn) P( x0, y0 ) 在雙曲線x2y21(a0, b0)的內(nèi)部x02y021a2b2a2b2點(diǎn) P( x0, y0 ) 在雙曲線 x2y21(a0, b0)的外部x02y021a2b2a2b22222點(diǎn) P( x0, y0 ) 在雙曲線 x2y21(a0, b0)上x02 -y20 =1abab2 直線與雙曲線：（代數(shù)法）設(shè)直線 l : y kxm ，雙曲線 x2y 21(a 0,b 0) 聯(lián)立解得a2b 2(b2a 2 k 2 )x 22a2 mkx a 2

4、m2a 2b201)m 0 時(shí)，bkb 直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；aakb ， kb ，或 k 不存在時(shí)直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；aa2) m 0 時(shí)， k 存在時(shí)，若 b 2a2 k 20k b ，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)； a若 b2a2k 20 ，( 2a2mk)24(b2a2 k 2 )( a2 m2a2b2 )4a2 b2 ( m2b2a2 k)20時(shí)， m2b2a2 k20，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；0時(shí)， m2b2a2 k20，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；0時(shí) m2b2a2k 20 ， k 2m2b2 直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；a2若 k 不存在

5、，a m a 時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；m a或 m直a線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；3. 過定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系：設(shè)直線 l : ykx m 過定點(diǎn) P(x0, y0 ) ，雙曲線 x2y 21(a 0, b 0)a2b21).當(dāng)點(diǎn) P(x0 , y0 ) 在雙曲線內(nèi)部時(shí)：b k b ，直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；aak b ，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)； akb 或 kb 或 k 不存在時(shí)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)；aa2).當(dāng)點(diǎn) P(x0 , y0 ) 在雙曲線上時(shí)：kb 或 kb2 x0 ，直線與雙曲線只交于點(diǎn) P( x0 , y0 ) ；aa2 y0b k b

6、 直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)） ；aab2 x0（ y00 ）或bb2 x0（ y00 ）或 kbk2 y0ak或 k 不存在，aa2 y0a直線與雙曲線在一支上有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) y0 0 時(shí)，kb 或 k 不存在，直線與雙曲線只交于點(diǎn)P( x0 , y0 ) ；akb 或 kb 時(shí)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)；aabkb 直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)） ；aa3).當(dāng)點(diǎn) P(x0 , y0 ) 在雙曲線外部時(shí)：當(dāng)P 0,0 時(shí)，b k b ，直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；aakb 或 kb 或 k 不存在，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；a a當(dāng)點(diǎn) m 0 時(shí)，k m2 b

7、2 時(shí)，過點(diǎn) P(x0 , y0 ) 的直線與雙曲線相切 a2k b 時(shí)，直線與雙曲線只交于一點(diǎn)； a幾何法：直線與漸近線的位置關(guān)系例：過點(diǎn) P(0,3)的直線 l 和雙曲線 C : x2y21，僅有一個(gè)公共點(diǎn)， 求直線 l 的方4程。四、雙曲線與漸近線的關(guān)系：1.若雙曲線方程為 x2y21(a0, b0)a2b2漸近線方程： x2y20yb xa2b2a2.若雙曲線方程為 y 2x 21 （ a 0，b0）a 2b2漸近線方程： y2x20 ya xa2b2b3.若漸近線方程為 yb xxy0aba雙曲線可設(shè)為 x 2y 2,0.a 2b 24.若雙曲線與 x2y 21 有公共漸近線a2b

8、2則雙曲線的方程可設(shè)為x2y2（0 ，焦點(diǎn)在 x 軸上，0，焦點(diǎn)在 y 軸a 2b2上）五、雙曲線與切線方程：1.雙曲線 x2y21(a0, b0) 上一點(diǎn) P( x0 , y0 ) 處的切線方程是 x0 xy0 y1 .a2b2a2b22.過雙曲線 x2y21(a 0, b 0) 外一點(diǎn) P( x, y ) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是a2b200x0 xy0 y1.a2b23.雙曲線 x2y21(a0, b0) 與直線 AxByC0 相切的條件是 A2a2B2b2c2 .a2b2六、雙曲線的性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在 x 軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在 y 軸）雙曲線x 2y 21( a 0, b 0)a

9、 2b2y2x 21( a 0, b0)a 2b2第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 ， F2 的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于 F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。MMF1MF2 2a 2aF1F2Pyy yyF2x xx xF1F2PF1定義第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F 和一條定直線 l 的距離的比是常數(shù) e ，當(dāng) e 1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn) F 叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e （ e 1 ）叫做雙曲線的離心率。Pyy yyPPF2xxF1F2x xPF1范圍x a ， y Ry a ， x R對(duì)稱軸x 軸 ， y 軸；實(shí)軸長(zhǎng)為

10、2a , 虛軸長(zhǎng)為2b對(duì) 稱 中原點(diǎn) O (0,0)心焦 點(diǎn) 坐F1( c,0)F2 (c,0)F1(0,c)F2 (0, c)標(biāo)焦點(diǎn)在實(shí)軸上， ca2b2；焦距： F1F22c頂 點(diǎn) 坐（a ,0 ） ( a ,0)(0,a ,)(0 ， a )標(biāo)離心率ec (e1) ， c2a2b2 ， e 越大則雙曲線開口的開闊度越大aa 2a 2準(zhǔn) 線 方xycc程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：2a 2c頂 點(diǎn) 到頂點(diǎn) A （ A ）到準(zhǔn)線 l1 （ l 2 ）的距離為aa2準(zhǔn) 線 的12c距離頂點(diǎn) A1 （ A2 ）到準(zhǔn)線 l 2 （ l1 ）的距離為 a2ac焦 點(diǎn) 到焦點(diǎn) F1

11、 （ F2 ）到準(zhǔn)線 l1 （ l 2 ）的距離為 ca 2b2cc準(zhǔn) 線 的焦點(diǎn) F1 （ F2 ）到準(zhǔn)線 l 2 （ l 1 ）的距離為 a 2距離c漸近線x (虛 )xc(虛 )yb yb方程a實(shí)a實(shí)共 漸 近x 2y 2k （k 0 ）y 2x 2k（ k0 ）線 的 雙a 2b 2a 2b 2曲 線 系方程雙曲線 x 2y 21與直線 y kx b的位置關(guān)系：a 2b 2x2y21轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。直 線 和利用 a2b2雙 曲 線ykx b的位置二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦 AB的弦長(zhǎng) AB1k 2(x1x2 )24x1 x2通徑： ABy2y1過

12、雙 曲x0 xy0 yy0 yx0 x1或利用導(dǎo)數(shù)線 上 一1或利用導(dǎo)數(shù)22a2b2ab點(diǎn) 的 切線七、 弦長(zhǎng)公式：若直線 ykx b與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、 B，且 x1 , x2分別為 A、 B 的橫坐標(biāo)，則AB( x1x2 ) 2( y1y2 )2ABk 21 x1 x2k 21x1 x224x1 x21 k 2，若 y1 , y2 分別為 A、 B 的縱| a |坐標(biāo)，則 AB11 y1y211y1 y224 y1 y2 。k2k 2通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、 B 兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng) | AB |2b 2。a若弦 AB所在直線方程設(shè)為 xkyb ，則 AB 1k

13、2 y1y2 。特別地，焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解，例：直線 yx1與雙曲線 x 2y 21相交于 A, B 兩點(diǎn)，則 AB =_23八、焦半徑公式：雙曲線 x2y 21 （a0，b0）上有一動(dòng)點(diǎn)M ( x0 , y0 )a2b2a , | MF2 |當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在左支上時(shí) | MF1 |ex0ex0 a當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在右支上時(shí) | MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a注：焦半徑公式是關(guān)于 x0 的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當(dāng)M (x0 , y0 ) 在左支端點(diǎn)時(shí) | MF1 | ca ，| MF2 | ca

14、 ，當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在左支端點(diǎn)時(shí) | MF1 | ca ， | MF2 | c a九、等軸雙曲線：x2y21（a0，b0）當(dāng) a b 時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線；a2b2則： 1.ab ；2. 離心率 e2 ；3. 兩漸近線互相垂直，分別為 y= x ；4. 等軸雙曲線的方程x 2y2，0 ；5. 等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)。十、共軛雙曲線：1. 定義：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線2. 方程：3. 性質(zhì)：共軛雙曲線有共同的漸近線；共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)共圓它們的離心率的倒數(shù)的平方和等

15、于1。x 2y 2（ a>0;b>0）的焦點(diǎn)為12為曲線上任意一點(diǎn)，12。-1F與 F ，且 pF PF2a2b 2則 PF1F2 的面積 Sb 2 cot焦點(diǎn)三角形面積公式：S F1PF22, (F1 PF2 )b cot2雙曲線1. 點(diǎn) P 處的切線 PT平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角 .2. PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影 H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3. 以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交 .4. 以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓 相切 . （內(nèi)切： P 在右支；外切： P在左支

16、）5. 若P0(x0, y0 ) 在雙曲線 x2y21 （ a 0,b 0）上，則過 P0 的雙曲線的切線方程是x0 xy0 ya2b21.a2b26.若 P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線 x2y2 1（ a 0,b 0）外 ，則過 Po 作雙曲線的兩條切線切a2b2點(diǎn)為 P1、P2，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程是 x0 xy0 y1.a2b27.雙曲線x2y21（ 0,b ）的左右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn) ，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一ao2a2b218.點(diǎn) F1 PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S F1PF2b2co t .29. 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn) F 作直線與雙曲線相交 P 、Q兩點(diǎn)， A 為

17、雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP 和 AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則 MF NF.10. 過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、 Q, A 1 、A2 為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q交于點(diǎn) M，A2P 和 A1 Q交于點(diǎn) N，則 MFNF.11.AB是雙曲線 x2y2的中點(diǎn)，a2b21（a0,b 0）的不平行于對(duì)稱軸的弦， M( x0 , y0 ) 為 AB則 KOM KABb2 x0 ，即 K ABb 2 x0 。a 2 y0a 2 y012.若P0(x0 , y0 )在雙曲線 x2y2（ ）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是221 a 0,b0abx0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .13. 目錄14.雙曲線知識(shí)點(diǎn).錯(cuò)誤！未定義書簽。15.1 雙曲線定義： .錯(cuò)誤！未定義書簽。16.2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：.錯(cuò)誤！未定義書簽。17.3. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是： .錯(cuò)誤！未定義書簽。18.4. 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.錯(cuò)誤！未定義書簽。19.5. 曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).錯(cuò)誤！未定義書簽。20.6 曲線的內(nèi)外部