廣州大學2015-2016(2)線性代數(shù)B卷

1、第 1 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷院、系領導審批并簽名b 卷廣 州 大 學 2015-2016學 年 第 二 學 期 考 試 卷課 程：線性代數(shù)、考 試 形 式：閉卷考試學院:_ 專業(yè)班級 :_ 學號:_ 姓名:_ 題 次一二三四五六七八總 分評卷人分 數(shù)18 18 10 10 12 12 12 8 100 得 分一、填空題（每空3 分，共 18分）1. 設a為 3 階矩陣，且|2a，則 |2|a . 2. 若向量組123(1,1,1),(2, 3,4),(1, 2, )aaaa線性相關，則 a . 3. 設1301a，則8a. 4. 已知1374a，121303b，則秩()r ab .

2、5. 設i是 n階單位矩陣，則i的全部特征值為 . 6. 設1(1,0,1) ，2(1,1,0)，3(0,1,1)是3r的一個基，則(1,2, 3)在該基下的坐標是 . 二、選擇題（每小題3 分，共 18 分）1設 n階方陣,ab 滿足關系式abo，且bo，則必有（）. （a）ao； （b）|0b； （c）222()abab ； （d）|0a. 第 2 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷2. 已知1231231231aaabbbccc，則111122223333253253253acbbacbbacbb（）. （a） 6 ；（b）-6 ；（c）10 ；（d）-10. 3. 設a是3階矩陣，a的第二

3、列乘以2為矩陣b，則ta的（）為tb. （a）第二行乘以2；（b）第二列乘以2；（c）第二行乘以12；（d ）第二列乘以12. 4設 n 維向量組12345,的秩為 3，且滿足135230，242，則該向量組的一個最大線性無關組是（）. （a）135,； （b）124,； （c ）245,； （d）134,. 5. 已知a為mn矩陣，其秩為 r ，則（）. （a）當 rm 時，方程組0ax有唯一解 ; （b）當 rn時，方程組0ax有無窮多解；（c）當 mn時，方程組0ax有唯一解 ; （d）當 rm 時，方程組0ax有無窮多解 . 6. 若矩陣taa，則矩陣a是（）. （a）對角矩陣 ; （

4、b）正交矩陣 ; （c ）對稱矩陣 ; （d）可逆矩陣 . 三、 （本題 10 分）計算行列式2151130602121476d. 第 3 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷四、 （本題 10 分）求矩陣111121113a的伴隨矩陣和逆矩陣 . 五、 （本題 12 分）設12341121(,)12332578a. （1）求矩陣a的行最簡形和秩 ; （2）求向量組1234,的一個最大無關組 , 再把其余向量用該最大無關組線性表示 . 第 4 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷六、 （本題 12 分）求非齊次線性方程組123412341342,231,225xxxxxxxxxxx的通解及其導出組的一個基

5、礎解系. 第 5 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷七、 （本題 12 分）求矩陣460350361a的特征值和特征向量 . 第 6 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷八、 （本題 8 分）設向量組123,線性無關，證明向量組112323，212322，3123343也線性無關 . 第 7 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷院、系領導審批并簽名b 卷廣 州 大 學 2015-2016學 年 第 二 學 期 考 試 卷 解 答課 程：線性代數(shù)、考 試 形 式：閉卷考試學院:_ 專業(yè)班級 :_ 學號:_ 姓名:_ 題 次一二三四五六七八總 分評卷人分 數(shù)18 18 10 10 12 12 12 8 100 得

6、 分一、填空題（每空3 分，共 18分）1. 設a為 3 階矩陣，且|2a，則 |2|a 32 . 2. 若向量組123(1,1,1),(2, 3,4),(1, 2, )aaaa線性相關，則 a 3 . 3. 設1301a，則8a1 240 1 . 4. 已知1374a，121303b，則秩()r ab 2 . 5. 設i是 n階單位矩陣，則i的全部特征值為 1 . 6. 設1(1,0,1) ，2(1,1,0)，3(0,1,1)是3r的一個基，則(1,2, 3)在該基下的坐標是(1,0, 2). 二、選擇題（每小題3 分，共 18 分）1設 n階方陣,ab 滿足關系式abo，且bo，則必有（

7、d ）. （a）ao； （b）|0b； （c）222()abab ； （d）|0a. 第 8 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷2. 已知1231231231aaabbbccc，則111122223333253253253acbbacbbacbb（ b ）. （a） 6 ；（b）-6 ；（c）10 ；（d）-10. 3. 設a是3階矩陣，a的第二列乘以2為矩陣b，則ta的（ a ）為tb. （a）第二行乘以2；（b）第二列乘以2；（c）第二行乘以12；（d ）第二列乘以12. 4設 n 維向量組12345,的秩為 3，且滿足135230，242，則該向量組的一個最大線性無關組是（ d ）. （a）

8、135,； （b）124,； （c ）245,； （d）134,. 5. 已知a為mn矩陣，其秩為 r ，則（ b ）. （a）當 rm 時，方程組0ax有唯一解 ; （b）當 rn時，方程組0ax有無窮多解；（c）當 mn時，方程組0ax有唯一解 ; （d）當 rm 時，方程組0ax有無窮多解 . 6. 若矩陣taa，則矩陣a是（ c ）. （a）對角矩陣 ; （b）正交矩陣 ; （c ）對稱矩陣 ; （d）可逆矩陣 . 三、 （本題 10 分）計算行列式2151130602121476d. 解：075131306021207712d75132127712 -5分35301077233277

9、2. -10分第 9 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷四、 （本題 10 分）求矩陣111121113a的伴隨矩陣和逆矩陣 . 解：112131122232132333521220101aaaaaaaaaa，-5分|1 51( 2)1( 1)2a，-8分152111220|2101aaa. -10分五、 （本題 12 分）設12341121(,)12332578a. （1）求矩陣a的行最簡形和秩 ; （2）求向量組1234,的一個最大無關組 , 再把其余向量用該最大無關組線性表示 . 解： （1）12341121(,)12332578a112101120336r101101120000r( 行最

10、簡形 ) ，-6分矩陣a的秩( )ar3. -8分（2）向量組1234,的一個最大無關組為12,，-10分且有312，4122. -12分第 10 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷六、 （本題 12 分）求非齊次線性方程組123412341342,231,225xxxxxxxxxxx的通解及其導出組的一個基礎解系. 解：1 1 1 1 2( ,)2 3 1 1 11 0 2 2 5 ab1 1 1 1 20 1 1 1 30 1 1 1 3r1 0 2 2 50 1 1130 0 0 0 0 r，-5分此時，同解方程組為1342342253xxxxxx-7分令3142,xkxk ，求得通解為12

11、1234225113100010 xxkkxx，(12,k k 為任意數(shù) ) -10分導出組的一個基礎解系為122211,1001. -12分第 11 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷七、 （本題 12 分）求矩陣460350361a的特征值和特征向量 . 解：方陣a的特征多項式為2460|350(2)(1)361ia，所以方陣a的特征值為：12，231.-6分當12時，解方程組 ( 2)0ia x，得基礎解系1111p，所以方陣a對應于12的全部特征向量為111(0)kkp. -9分當231時，解方程組 ()0ia x，得基礎解系2210p，3001p，所以方陣a對應于231的全部特征向量為2233kkpp (23,kk 不同時為零 ).-12分第 12 頁 共 6 頁線性代數(shù) b 卷八、 （本題 8 分）設向量組123,線性無關，證明向量組112323，212322，312334