高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)案蘇教版選修2

1、12.3 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2. 能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的公式、法則進(jìn)行一些簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)( 僅限于形如f(axb)的導(dǎo)數(shù) ) 1復(fù)合函數(shù)的概念由基本初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，稱為復(fù)合函數(shù)如ysin 2x由ysin u及u 2x復(fù)合而成2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則若yf(u) ，uaxb，則yxyuux，即yxyua其中yx，yu分別表示y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)及y關(guān)于u的導(dǎo)數(shù)1判斷 ( 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1) 下列函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)( ) yx31x1；ycosx4；y1ln x；y(2x3)4. (2) 函數(shù)y1(3x1)2的導(dǎo)

2、數(shù)y6(3x 1)3.( ) (3) 函數(shù)yx(1ax)2(a0) ，且y|x 25，則實(shí)數(shù)a的值為 1.( ) 答案： (1) (2) (3) 2函數(shù)yx2cos 2x的導(dǎo)數(shù)y _答案： 2xcos 2x2x2sin 2x3函數(shù)y (2 017 8x)3的導(dǎo)數(shù)y _答案： 24(2 017 8x)24曲線y cos 2x6在x6處切線的斜率為_答案： 2 復(fù)合函數(shù)的概念指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：(1)y(abxn)m；(2)y(x24x)3；(3)ye2x2；(4)y2sin(2 x2) 【解】(1)yum，uabxn. (2)yu3，ux24x. (3)yeu，u2x2. (4)y2sin

3、u，u2x2. 判斷復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系的一般方法是從外向里分析，最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)是以基本函數(shù)為主要形式，各層的中間變量結(jié)構(gòu)也都是基本函數(shù)關(guān)系，這樣一層一層分析，最里層應(yīng)是關(guān)于自變量x的基本函數(shù)或關(guān)于自變量x的基本函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算而得到的函數(shù)1. 指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：(1)ycos(3x 1) ；(2)ye3x22；(3)y1(1 5x)3. 解： (1)ycos u，u3x1；(2)yeu，u3x22；(3)yu3，u15x. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y(2x3)2；(2)ye2x；(3)ysin ( x)( 其中 ，均為常數(shù) ) 【解】(1) 函數(shù)y(2x3)2可

4、以看作函數(shù)yu2和u2x3 的復(fù)合函數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有yxyuux(u2) (2x3) 4u8x12. (2) 函數(shù)y e2x可以看作函數(shù)yeu和u 2x的復(fù)合函數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有yxyuux(eu) ( 2x) 2eu 2e2x. (3) 函數(shù)ysin ( x) 可以看作函數(shù)ysin u和ux的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有yxyuux(sin u) ( x) cos u cos( x) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y5log2(2x1) ；(2)ycos53 7x；(3)y2x1；(4)ycos2x. 解： (1) 設(shè)y5log2u，u2x1. 則yxy

5、uux5uln 2210uln 210(2x1)ln 2. (2) 設(shè)ycos u，u53 7x. 則yxyuux sin u( 7) 7sin53 7x. (3)y122x1(2x1)12x1. (4)y 2cos x(cos x) 2cos xsin x sin 2x. 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)f(x) ln1x1x. 求曲線yf(x) 在點(diǎn) (0 ，f(0) 處的切線方程【解】因?yàn)閒(x) ln(1 x) ln(1 x) ，所以f(x) 11x11x，f(0) 2. 又因?yàn)閒(0) 0，所以曲線yf(x)在點(diǎn) (0 ，f(0) 處的切線方程為y2x. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是要分清

6、函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，也就是明確復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，適當(dāng)選定中間變量3. 放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，假設(shè)在放射性同位素銫137 的衰變過(guò)程中，其含量m( 單位：太貝克 ) 與時(shí)間t( 單位：年 ) 滿足函數(shù)關(guān)系：m(t) m02t30，其中m0為t0 時(shí)銫 137 的含量，已知t30 時(shí)，銫 137 含量的變化率為10ln 2(太貝克 / 年) ，求m(60) 的值解：因?yàn)閙(t) 130ln 2m02t30，所以m(30) 130ln 2m023030 10ln 2，解得m0600， 所以m(t) 6002t30， 所以

7、t60 時(shí)，銫 137 的含量為m(60) 6002603060014150( 太貝克 ) (1) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，也就是明確復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，適當(dāng)選定中間變量(2) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，分步求導(dǎo)中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)，如(cos 2x) 2sin 2x，而 (cos 2x) sin 2x. (3) 根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)，如求y sin2x3的導(dǎo)數(shù)，設(shè)y sin u，u2x3，則yxyuuxcos u2 2cos 2x3. 求

8、ysinnxcos nx的導(dǎo)數(shù)【解】y (sinnx) cos nx sinnx(cos nx) nsinn1x(sin x) cos nxsinnx( sin nx) (nx) nsinn1xcos xcos nx sinnx(sin nx) nnsinn1x(cos xcos nxsin xsin nx) nsinn1xcos(n1)x (1) 易把復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)搞錯(cuò)，意識(shí)不到“sinnx” “cos nx”均為復(fù)合函數(shù)易將求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則用錯(cuò)最后結(jié)果易因化簡(jiǎn)不到位致誤(2) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時(shí)應(yīng)注

9、意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)果1函數(shù)y (3x2)2的導(dǎo)數(shù)y _解析：y 2(3x2)(3x2) 6(3x2) 答案： 18x12 2若f(x) sin3x4，則f4_解析：f(x) 3cos 3x4，所以f4 3. 答案： 3 3設(shè)曲線yeax在點(diǎn) (0 ，1) 處的切線與直線x2y10 垂直，則a_解析：由題意知y|x0aeax|x 0a2. 答案： 2 a 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1若f(x) (2xa)2，且f(2) 20，則a( ) a1 b 2 c3 d 4 解析：選 a設(shè)f(x) t2，t 2xa，則f(x) 2t24t4(2xa) ，f(2) 4(4a) 20，所以a1. 2函數(shù)y (

10、x2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為 ( ) a3x2b 3x23a2c2x22a2d 2x2解析：選 by (x2a) (xa)2(x2a)(xa)2 (xa)2 2(x2a)(xa) (xa) 3x23a2. 3曲線yx2x1在點(diǎn) (1，1) 處的切線方程為( ) axy1 0 b xy10 cxy2 0 d xy20 解析：選 cyx2x12x1x2(2x1)21(2x1)2，當(dāng)x1 時(shí)，y 1，所以k 1，由點(diǎn)斜式得切線方程為：y1 (x 1)，即xy 20. 4已知f(x) e xsin x，則f12_解析：f(x) (ex) sin xex(sin x) exsin x excos x ex

11、(sin xcos x) ，所以f12 e2 sin2cos2 e2 . 答案： e25函數(shù)yxsin2x2cos 2x2的導(dǎo)數(shù)為 _解析：因?yàn)閥xsin2x2cos 2x2x2sin(4x) x2sin 4x，所以yx2sin 4x x2(sin 4x) 12sin 4x 2xcos 4x. 答案：12sin 4x2xcos 4x6已知a0，f(x) ax22x1ln(x1) ，l是曲線yf(x) 在點(diǎn)p(0 ，f(0) 處的切線，則切線l的方程為 _解析：f(x) ax22x1ln(x 1)，f(0) 1. 所以f(x) 2ax 21x12ax2(2a2)x1x1，f(0) 1，所以切點(diǎn)p

12、的坐標(biāo)為 (0 ，1) ，l的斜率為 1，所以切線l的方程為xy 10. 答案：xy 10 7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxsin2x；(2)yxe1 2x；(3)ycos xsin 3x. 解： (1)y (x) sin2xx(sin2x) sin2xx2sin x(sin x) sin2xxsin 2x. (2)y e12xx(e12x) e12xxe12x(1 2x) e12xxe12x( 2) (1 2x)e12x. (3)y (cos xsin 3x) (cos x) sin 3x cos x(sin 3x) sin xsin 3x3cos xcos 3x. 8 已知函數(shù)f(x) 在

13、r上滿足f(x) 2f(2 x)x28x8， 求曲線yf(x) 在點(diǎn) (1，f(1)處的切線方程解：對(duì)f(x) 2f(2 x) x2 8x8 兩邊求導(dǎo)，得f(x) 2f(2x) 2x 8，于是f(1) 2f(1) 28，解得f(1) 2，故切線斜率為2. 又f(x) 2f(2x) x28x 8，令x1，得f(1) 2f(1) 188，解得f(1) 1，即切點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1) ，所以切線方程為y 12(x1) ，即y2x1. b 能力提升 1已知函數(shù)yeaxb，則y _解析：yeax b可由yeu，uaxb復(fù)合而成，從而yxyuuxeuaaeax b. 答案：aeaxb2已知函數(shù)f(x) x1x

14、aln(x 1) ，若a2，則曲線yf(x) 在點(diǎn) (0，f(0) 處的切線方程為 _解析：f(x) xa(x1)(xa)21x1a 1(xa)21x1. 當(dāng)a2 時(shí)，f(0) 21(0 2)210174，而f(0) 12，因此曲線yf(x) 在點(diǎn) (0 ，f(0) 處的切線方程為y 1274(x0) ，即 7x4y20. 答案： 7x4y20 3求曲線yln(2x1)上的點(diǎn)到直線2xy30 的最小距離解：設(shè)點(diǎn)p(x0，y0) 為已知曲線上任意一點(diǎn)，由題意得點(diǎn)p到直線 2xy30 的最小距離為曲線yln(2x1) 在點(diǎn)p處的切線與直線 2xy3 0 平行時(shí)的距離由y ln(2x1) 12x1(2x1)22x1，知點(diǎn)p處的切線斜率為22x01. 由22x012，得x01，y0ln(2x01) 0. 所以點(diǎn)p(1 ，0)處的切線方程為y2(x1)，即 2xy20. 2xy 30 與 2xy20 的距離為|3 ( 2)|22(1)25. 4( 選做題 ) 日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加已知將1 噸水凈化到純凈度為x% 時(shí)所需費(fèi)用 ( 單位：元 ) 為c(x) 5 284100 x(80 x100) 求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)